Група операторів ієрархії рівнянь Неймана

Досліджено властивості групи нелінійних операторів ієрархії Неймана для кореляційних операторів квантових багаточастинкових систем, які описуються статистиками Фермі–Дірака або Бозе–Ейнштейна. Доведено теорему існування розв'язків задачі Коші для цієї ієрархії у відповідних просторах послідовно...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Герасименко, В.І., Поліщук, Д.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2010
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30707
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Група операторів ієрархії рівнянь Неймана / В. I. Герасименко, Д.О. Полiщук // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 7-13. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-30707
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-307072012-02-12T12:39:21Z Група операторів ієрархії рівнянь Неймана Герасименко, В.І. Поліщук, Д.О. Математика Досліджено властивості групи нелінійних операторів ієрархії Неймана для кореляційних операторів квантових багаточастинкових систем, які описуються статистиками Фермі–Дірака або Бозе–Ейнштейна. Доведено теорему існування розв'язків задачі Коші для цієї ієрархії у відповідних просторах послідовностей ядерних операторів. We study properties of the group of nonlinear operators of the von Neumann hierarchy for correlation operators of quantum many-particle systems obeying the Fermi–Dirac or Bose–Einstein statistics. In the suitable spaces of sequences of trace class operators, the existence and uniqueness of solutions of the Cauchy problem of this hierarchy are proved. 2010 Article Група операторів ієрархії рівнянь Неймана / В. I. Герасименко, Д.О. Полiщук // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 7-13. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30707 517.9+531.19+530.145 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Герасименко, В.І. Поліщук, Д.О. Група операторів ієрархії рівнянь Неймана Доповіді НАН України
description	Досліджено властивості групи нелінійних операторів ієрархії Неймана для кореляційних операторів квантових багаточастинкових систем, які описуються статистиками Фермі–Дірака або Бозе–Ейнштейна. Доведено теорему існування розв'язків задачі Коші для цієї ієрархії у відповідних просторах послідовностей ядерних операторів.
format	Article
author	Герасименко, В.І. Поліщук, Д.О.
author_facet	Герасименко, В.І. Поліщук, Д.О.
author_sort	Герасименко, В.І.
title	Група операторів ієрархії рівнянь Неймана
title_short	Група операторів ієрархії рівнянь Неймана
title_full	Група операторів ієрархії рівнянь Неймана
title_fullStr	Група операторів ієрархії рівнянь Неймана
title_full_unstemmed	Група операторів ієрархії рівнянь Неймана
title_sort	група операторів ієрархії рівнянь неймана
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30707
citation_txt	Група операторів ієрархії рівнянь Неймана / В. I. Герасименко, Д.О. Полiщук // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 7-13. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT gerasimenkoví grupaoperatorívíêrarhíírívnânʹnejmana AT políŝukdo grupaoperatorívíêrarhíírívnânʹnejmana
first_indexed	2025-07-03T11:05:57Z
last_indexed	2025-07-03T11:05:57Z
_version_	1836623601417060352
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 10 • 2010 МАТЕМАТИКА УДК 517.9+531.19+530.145 © 2010 В. I. Герасименко, Д.О. Полiщук Група операторiв iєрархiї рiвнянь Неймана (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) Дослiджено властивостi групи нелiнiйних операторiв iєрархiї Неймана для кореляцiй- них операторiв квантових багаточастинкових систем, якi описуються статистиками Фермi–Дiрака або Бозе–Ейнштейна. Доведено теорему iснування розв’язкiв задачi Кошi для цiєї iєрархiї у вiдповiдних просторах послiдовностей ядерних операторiв. Добре вiдомо значення математичного опису кореляцiй для багатьох проблем сучасної ста- тистичної механiки. Як приклад вiдзначимо таку фундаментальну проблему, як строгий вивiд квантових кiнетичних рiвнянь [1–4], зокрема кiнетичних рiвнянь, що описують Бозе гази в конденсованому станi [4, 5]. Мета даної роботи полягає в строгому обгрунтуваннi iєрархiї нелiнiйних рiвнянь Нейма- на, якою описуються кореляцiї у Фермi та Бозе багаточастинкових системах, i дослiдженнi властивостей групи нелiнiйних операторiв, що породжується цiєю iєрархiєю. Встановлено, що у вiдповiдних просторах послiдовностей ядерних операторiв така група є групою кла- су C0, i на основi цього в роботi побудовано розв’язок задачi Кошi iєрархiї рiвнянь фон Неймана для початкових даних з цих просторiв. Нехай H — гiльбертiв простiр, що асоцiюється з однiєю частинкою, тодi Hn ≡ H⊗n — n-частинковий гiльбертiв простiр та H⊗0 = C. Нехай Sn — група перестановок множини iндексiв (1, . . . , n). Кожнiй перестановцi π ∈ Sn цiєї множини вiдповiдає iзоморфiзм pπ простору H⊗n в себе. Оператор pπ вiдображає факторизованi елементи ψ1 ⊗ ψ2 ⊗ · · · ⊗ ⊗ ψn ∈ H⊗n в ψπ(1) ⊗ ψπ(2) ⊗ · · · ⊗ ψπ(n) ∈ H⊗n. Оператор симетризацiї S+ n та оператор антисиметризацiї S− n визначенi на просторi H⊗n такою формулою S± n . = 1 n! ∑ πǫSn (±1)\|π\|pπ, (1) де \|π\| — кiлькiсть попарних перестановок перестановки π. Оператори S± n є ортогональними проекторами, тобто (S± n )2 = S± n , областi значень яких є вiдповiдно симетричним тензорним добутком H+ n та антисиметричним тензорним добутком H− n n гiльбертових просторiв H. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 7 Символами F± H = ∞⊕ n=0 H± n позначимо простори Фока, якi вiдповiдають Фермi та Бозе си- стемам частинок [6]. Розглянемо квантову систему не фiксованого, тобто довiльного, але скiнченного числа однакових (безспiнових) частинок з одиничною масою m = 1 в просторi R ν , ν > 1, що задовольняють статистику Фермi–Дiрака або Бозе–Ейнштейна. Гамiльтонiан H = ∞⊕ n=0 Hn системи є самоспряженим оператором (H0 = 0) з областю визначення D(H) = { ψ = ⊕ ψn ∈ ∈ F± H \| ψn ∈ D(Hn) ∈ H± n , ∑ n ‖Hnψn‖ 2 < ∞ } ⊂ F± H . На функцiях ψn, що належать пiдпросторам S± n L 2 0(R νn) ⊂ D(Hn) ⊂ S± n L 2(Rνn) нескiнченно диференцiйовних функцiй з компактними носiями, n-частинковий гамiльтонiан дiє згiдно з формулою Hnψn = n∑ i=1 K(i)ψn + n∑ k=1 n∑ i1<···<ik=1 Φ(k)(i1, . . . , ik)ψn, (2) де K(i)ψn = −(~2/2)∆qiψn — оператор кiнетичної енергiї, Φ(k)(i1, . . . , ik)ψn = = Φ(k)(qi1 , . . . , qik)ψn — k-частковий потенцiал взаємодiї, 2π~ — постiйна Планка. Вважа- тимемо, що функцiї Φ(k), k > 1, є трансляцiйно-iнварiантними, симетричними вiдносно пе- рестановок аргументiв та задовольняють умови Като [7], якi гарантують самоспряженiсть оператора Гамiльтона (2). Стани систем Бозе та Фермi частинок належать вiдповiдно простору L 1(F± H) = = ∞⊕ n=0 L1(H± n ) послiдовностей f = (f0, f1, . . . , fn, . . .) ядерних операторiв fn ≡ fn(1, . . . , n) ∈ ∈ L 1(H± n ) i f0 ∈ C, що задовольняють умову симетрiї fn(1, . . . , n) = fn(i1, . . . , in) для до- вiльних (i1, . . . , in) ∈ (1, . . . , n), з нормою ‖f‖ L1(F± H) = ∞∑ n=0 ‖fn‖L1(H± n ) = ∞∑ n=0 Tr1,...,n\|fn(1, . . . , n)\|, де символ Tr1,...,n — частиннi слiди. Позначимо L 1 0 всюди щiльну в просторi L1(F± H) мно- жину фiнiтних послiдовностей вироджених операторiв [7] з нескiнченно диференцiйовними ядрами з компактними носiями. Зазначимо, що простiр L 1(F± H) мiстить бiльш загальнi по- слiдовностi операторiв, нiж тi, якими описуються стани квантових систем. У просторi L1(F± H) введемо однопараметричну сiм’ю вiдображень G(−t) = ⊕∞ n=0Gn(−t) згiдно з формулою Gn(−t)fn . = e− i ~ tHnfne i ~ tHn . (3) У просторах L 1(F± H) вiдображення t → G(−t)f визначено i є iзометричною сильно непе- рервною групою операторiв, яка зберiгає позитивнiсть та самоспряженiсть операторiв. Цiєю групою операторiв визначається розв’язок задачi Кошi рiвняння Неймана (квантового рiв- няння Лiувiлля) [8]. Для f ∈ L 1 0(F ± H) ⊂ D(−N ) у сенсi збiжностi за нормою в просторах L 1(F± H) iснує грани- ця, якою визначається iнфiнiтезимальний генератор N = ⊕∞ n=0Nn групи операторiв (3) lim t→0 1 t (G(−t)f − f) = − i ~ (Hf − fH) . = −N f, 8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10 де H = ⊕∞ n=0Hn — гамiльтонiан (2), оператор (− i ~ (Hf − fH)) визначено на D(H) ⊂ ⊂ F± H . Кумулянти s-го порядку As(t, Y ) груп операторiв (3) визначено такою формулою [9]: As(t, 1, . . . , s) . = ∑ P: (1,...,s)= ⋃ i Xi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)! ∏ Xi⊂P G\|Xi\|(−t,Xi), де ∑ P: (1,...,s)= ⋃ i Xi,\|P\|>1 — сума за всiма можливими розбиттями P множини (1, . . . , s) на \|P\| > 1 непорожнiх пiдмножин Xi ⊂ (1, . . . , s), що взаємно не перетинаються. Надалi вживаються такi позначення: ({X1}, . . . , {X\|P\|}) — множина, елементами якої є \|P\| пiдмножин Xi ⊂ Y ≡ (1, . . . , s), що попарно не перетинаються, розбиття P: Y = = \|P\|⋃ i=1 Xi, тобто число елементiв цiєї множини дорiвнює \|({X1}, . . . , {X\|P\|})\| = \|P\|. Згiдно з введеним позначенням множина {Y } складається з одного елемента — множини Y = = (1, . . . , s) розбиття P (\|P\| = 1), тобто \|{Y }\| = 1. На множинi iндексiв визначимо вiдображення декластеризацiї θ : ({X1}, . . . , {X\|P\|}) → Y такою формулою: θ({X1}, . . . , {X\|P\|}) = Y. Наприклад, нехайX ≡ (1, . . . , s+n), тодi для множини ({Y },X\Y ) маємо θ({Y },X\Y ) = X. За допомогою вiдображення декластеризацiї визначимо узагальнення поняття кумулян- та груп операторiв у випадку кластерiв частинок, а саме A\|P\|(t) — кумулянт \|P\|-го порядку груп операторiв (3) визначимо формулою A\|P\|(t, {X1}, . . . , {X\|P\|}) . = . = ∑ P′ : ({X1},...,{X\|P\|})= ⋃ k Zk (−1)\|P ′\|−1(\|P′\| − 1)! ∏ Zk⊂P′ G\|θ(Zk)\|(−t, θ(Zk)), (4) де ∑ P′ : ({X1},...,{X\|P\|})= ⋃ k Zk — сума за всiма можливими розбиттями P′ множини ({X1}, . . ., {X\|P\|}) на \|P′\| непорожнiх пiдмножин Zk ⊂ ({X1}, . . . , {X\|P\|}), що попарно не перетина- ються. У термiнах кореляцiйних операторiв g(t) = (0, g1(t, 1), . . . , gs(t, 1, . . . , s), . . .) ∈ L 1(F± H) еволюцiя всiх можливих станiв систем Бозе та Фермi частинок описується задачею Кошi iєрархiї рiвнянь Неймана d dt gs(t, Y ) = −Ns(Y )gs(t, Y ) + + ∑ P: Y= ⋃ i Xi, \|P\|>1 ∑ Z1⊂X1, Z1 6=∅ · · · ∑ Z\|P\|⊂X\|P\|, Z\|P\| 6=∅ ( −N ( \|P\| ∑ r=1 \|Zr\| ) int (Z1, . . . , Z\|P\|) ) S± s ∏ Xi⊂P g\|Xi\|(t,Xi), (5) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 9 gs(t, Y ) ∣∣ t=0 = gs(0, Y ), s > 1, (6) де N (n) int (1, . . . , n) . = − i ~ [·,Φ(n)(1, . . . , n)], Φ(n) — n-частинковий потенцiал взаємодiї, визначений формулою (2), ∑ P: Y= ⋃ i Xi,\|P\|>1 — сума за всiма можливими розбиттями P множини Y ≡ (1, . . . , s) на \|P\| > 1 пiдмножин Xi ⊂ Y , що попарно не перетинаються, ∑ Zj⊂Xj ,Zj 6=∅ — сума за всiма непорожнiми пiдмножинами Zj ⊂ Xj . Зауважимо, що у випадку класичних багаточастинкових систем iєрархiя (5) була введе- на в роботi [10] як наближення нульового порядку за густиною нелiнiйної iєрархiї ББГКI для маргiнальних кореляцiйних функцiй у випадку парного потенцiалу взаємодiї. Для кван- тових багаточастинкових систем, що описуються статистикою Максвелла–Больцмана, така iєрархiя була введена в [11]. Розв’язок задачi Кошi (5), (6) зображується таким розкладом: gs(t, Y ) = ∑ P: Y= ⋃ i Xi A\|P\|(t, {X1}, . . . , {X\|P\|})S ± s ∏ Xi⊂P g\|Xi\|(0,Xi), s > 1, (7) де A\|P\|(t) — кумулянт \|P\|-го порядку (4) груп операторiв (3), оператор симетризацiї S+ s та оператор антисиметризацiї S− s визначенi формулою (1). У просторах L 1(F± H) розв’язок (7) породжує групу нелiнiйних операторiв. Властивостi цiєї групи описує така теорема. Теорема 1. Для f ∈ L 1(F± H) однопараметрична сiм’я вiдображень t→ (At(f))n . = ∑ P: (1,...,n)= ⋃ i Xi A\|P\|(t, {X1}, . . . , {X\|P\|})S ± n ∏ Xi⊂P f\|Xi\|(Xi) (8) є групою нелiнiйних операторiв класу C0. У пiдпросторах L 1 0(H ± n ) ⊂ L 1(H± n ) iнфiнiтези- мальний генератор N(·) групи (8) визначається таким оператором: (N(f))n(1, . . . , n) . = −Nnfn + + ∑ P: (1,...,n)= ⋃ i Xi, \|P\|6=1 ∑ Z1⊂X1, Z1 6=∅ · · · ∑ Z\|P\|⊂X\|P\|, Z\|P\| 6=∅ ( −N ( \|P\| ∑ r=1 \|Zr\| ) int (Z1, . . . , Z\|P\|) ) S± n ∏ Xi⊂P f\|Xi\|(Xi), (9) Доведення. Вiдображення (8) визначено на операторах fn ∈ L 1(H± n ), n > 1, i спра- ведлива така оцiнка: ‖(At(f))n‖L1(H± n ) 6 n!e3ncn, (10) де c ≡ max(c̃, 1) та c̃ ≡ max P: (1,...,n)= ⋃ i Xi ‖f\|Xi\|‖L1(H± \|Xi\| ). 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10 Групова властивiсть однопараметричної сiм’ї нелiнiйних операторiв At(·), визначених формулою (8), доводиться аналогiчно випадку статистики Максвела–Больцмана [11]. Властивiсть сильної неперервностi групи At(·) за параметром t ∈ R 1 є наслiдком сильної неперервностi груп (3) рiвнянь Неймана [6, 8]. Дiйсно, згiдно з рiвнiстю ∑ P: (1,...,n)= ⋃ i Xi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)! = n∑ k=1 (−1)k−1s(n, k)(k − 1)! = δn,1, де s(n, k) — числа Стiрлiнга другого роду та δn,1 — символ Кронекера, справедлива така рiвнiсть: ∑ P: (1,...,n)= ⋃ i Xi ∑ P′ : ({X1},...,{X\|P\|})= ⋃ k Zk (−1)\|P ′\|−1(\|P′\| − 1)!S± n ∏ Xi⊂P f\|Xi\|(Xi) = fn(1, . . . , n). Таким чином, для fn ∈ L 1 0(H ± n ) ⊂ L 1(H± n ), n > 1, справедливо lim t→0 ∥∥∥∥∥ ∑ P: (1,...,n)= ⋃ i Xi ∑ P′ : ({X1},...,{X\|P\|})= ⋃ k Zk (−1)\|P ′\|−1(\|P′\| − 1)!× × ∏ Zk⊂P′ G\|θ(Zk)\|(−t, θ(Zk))S ± n ∏ Xi⊂P f\|Xi\|(Xi)− fn ∥∥∥∥∥ L1(H± n ) 6 6 ∑ P: (1,...,n)= ⋃ i Xi ∑ P′ : ({X1},...,{X\|P\|})= ⋃ k Zk (\|P′\| − 1)! lim t→0 ∥∥∥∥∥ ∏ Zk⊂P′ G\|θ(Zk)\|(−t, θ(Zk))S ± n × × ∏ Xi⊂P f\|Xi\|(Xi)− S± n ∏ Xi⊂P f\|Xi\|(Xi) ∥∥∥∥∥ L1(H± n ) . Оскiльки вiдображення Gn(−t) є сильно неперервною групою (3), тобто в сенсi збiжностi за нормою простору L 1(H± n ) iснує границя lim t→0 (Gn(−t)fn − fn) = 0, для пiдмножин Xi ⊂ Y , що попарно не перетинаються, справедлива також така рiвнiсть: lim t→0 ( ∏ Zk⊂P′ G\|θ(Zk)\|(−t, θ(Zk))fn − fn ) = 0. Для fn ∈ L 1 0(H ± n ) ⊂ L 1(H± n ) ми виводимо lim t→0 ‖(At(f))n − fn‖L1(H± n ) = 0. Для побудови генератора N(·) сильно неперервної групи (8) спочатку продиференцiюємо її в сенсi поточкової збiжностi в просторах L 1(H± n ), тобто для довiльних ψn ∈ D(Hn) ⊂ H± n . ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 11 Беручи до уваги, що для fn ∈ L 1 0(H ± n ) ⊂ D(N(·)n) справедлива рiвнiсть (4), для групи (8) ми виводимо lim t→0 1 t ((At(f))n − fn) = = lim t→0 1 t ( ∑ P: (1,...,n)= ⋃ i Xi A\|P\|(t, {X1}, . . . , {X\|P\|})S ± n ∏ Xi⊂P f\|Xi\|(Xi)− fn ) = = lim t→0 1 t (A1(t, {1, . . . , n})fn − fn) + + ∑ P: (1,...,n)= ⋃ i Xi, \|P\|>1 lim t→0 1 t A\|P\|(t, {X1}, . . . , {X\|P\|})S ± n ∏ Xi⊂P f\|Xi\|(Xi) = = −Nnfn + ∑ P: (1,...,n)= ⋃ i Xi, \|P\|>1 ∑ Z1⊂X1, Z1 6=∅ . . . ∑ Z\|P\|⊂X\|P\|, Z\|P\| 6=∅ N ( \|P\| ∑ r=1 \|Zr\| ) int (Z1, . . . , Z\|P\|)S ± n ∏ Xi⊂P f\|Xi\|(Xi). (11) Отже, для fn ∈ L 1 0(H ± n ) ⊂ D(N(·)n) ⊂ L 1(H± n ), n > 1, у сенсi збiжностi за нормою в просторах L 1(H± n ), ми остаточно маємо lim t→0 ‖ 1 t ((At(f))n − fn)− (N(f))n‖L1(H± n ) = 0, де N(·) визначено формулою (9). Для абстрактної початкової задачi (5), (6) у просторах L 1(F± H) послiдовностей ядерних операторiв справедлива така теорема. Теорема 2. Розв’язок початкової задачi (5), (6) iєрархiї рiвнянь Неймана визначається розкладом (7). Для початкових даних gn(0) ∈ L 1 0(H ± n ) ⊂ L 1(H± n ) формулою (7) визначає- ться сильний (класичний) розв’язок, а для довiльних початкових даних gn(0) ∈ L 1(H± n ) — слабкий (узагальнений) розв’язок. Твердження, що для початкових даних gn(0) ∈ L 1 0(H ± n ) ⊂ L 1(H± n ), n > 1, послiдов- нiсть (7) є сильним розв’язком початкової задачi (5), (6), є наслiдком теореми 1. Твердження, що у випадку довiльних початкових даних g(0) ∈ L 1(F± H) розкладом (7) визначається слабкий розв’язок початкової задачi iєрархiї рiвнянь Неймана (5), випливає зi справедливостi рiвняння d dt (fs, gs(t)) = (Nsfs, gs(t)) + + Tr1,...,s ∑ P: Y= ⋃ i Xi, \|P\|>1 ∑ Z1⊂X1, Z1 6=∅ · · · ∑ Z\|P\|⊂X\|P\|, Z\|P\| 6=∅ N ( \|P\| ∑ r=1 \|Zr\| ) int (Z1, . . . , Z\|P\|)fsS ± s ∏ Xi⊂P g\|Xi\|(t,Xi), де для вироджених обмежених операторiв з нескiнченно диференцiйовними ядрами, зосе- редженими на компактах fs ∈ L0(H ± s ), та для операторiв gs(t), визначених формулою (7), згiдно з оцiнкою (10) функцiонал (fs, gs(t)) ≡ Tr1,...,sfsgs(t) iснує. 12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10 Таким чином, кореляцiйнi оператори, якi є розв’язками (7) iєрархiї нелiнiйних рiвнянь Неймана (5), описують еволюцiю квантових станiв Бозе та Фермi багаточастинкових сис- тем в альтернативний спосiб. У вiдповiдних просторах послiдовностей ядерних операторiв L 1(F± H) = ⊕∞ n=0L 1(H± n ) цей розв’язок визначається групою нелiнiйних операторiв класу C0. Вiдзначимо, що для початкових даних з просторiв L 1(F± H) середнє число частинок є скiн- ченним. Для опису еволюцiї нескiнченночастинкових систем [12], зокрема, для виводу кван- тових кiнетичних рiвнянь з динамiки частинок необхiдно побудувати розв’язки для по- чаткових кореляцiйних операторiв, що належать бiльш загальним банаховим просторам, нiж L 1(F± H). 1. Боголюбов М.М. Лекцiї з квантової статистики. Питання статистичної механiки квантових систем. – Kиїв: Рад. школа, 1949. – 207 с. 2. Gerasimenko V. I. Approaches to derivation of quantum kinetic equations // Ukr. J. Phys. – 2009. – 54, No 8–9. – P. 834–846. 3. Arnold A. Mathematical properties of quantum evolution equations // Lect. Notes Math. – 2008. – 1946. – P. 45–109. 4. Erdös L., Schlein B., Yau H.-T. Derivation of the cubic non-linear Schrödinger equation from quantum dynamics of many-body systems // Invent. Math. – 2007. – 167, No 3. – P. 515–614. 5. Fröhlich J., Graffi S., Schwarz S. Mean-field and classical limit of many-body Schrödinger dynamics for bosons // Commun. Math. Phys. – 2007. – 271, No 3. – P. 681–697. 6. Bratelli O., Robinson D.W. Operator algebras and quantum statistical mechanics. – Berlin: Springer, 1997. – Vol. 2. – 505 p. 7. Kato T. Perturbation theory for linear operators. – Berlin: Springer, 1995. – 740 p. 8. Petrina D.Ya. Mathematical foundations of quantum statistical mechanics. – Dordrecht: Kluwer, 1995. – 444 p. 9. Gerasimenko V. I., Shtyk V.O. Initial-value problem for the Bogolyubov hierarchy for quantum systems of particles // Ukr. Math. J. – 2006. – 58, No 9. – P. 1175–1191. 10. Green M. S. Boltzmann equation from the statistical mechanical point of view // J. Chem. Phys. – 1956. – 25, No 5. – P. 836–855. 11. Gerasimenko V. I. Groups of operators for evolution equations of quantum many-particle systems // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2009. – 191. – P. 341–355. 12. Cercignani C., Gerasimenko V. I., Petrina D.Ya. Many-particle dynamics and kinetic equations. – Dord- recht: Kluwer Acad. Publ., 1997. – 252 p. Надiйшло до редакцiї 17.02.2010Iнститут математики НАН України, Київ Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка V. I. Gerasimenko, D.O. Polishchuk The group of operators of the von Neumann hierarchy of equations We study properties of the group of nonlinear operators of the von Neumann hierarchy for correlati- on operators of quantum many-particle systems obeying the Fermi–Dirac or Bose–Einstein stati- stics. In the suitable spaces of sequences of trace class operators, the existence and uniqueness of solutions of the Cauchy problem of this hierarchy are proved. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 13

Група операторів ієрархії рівнянь Неймана

Institution

Ähnliche Einträge