Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов
Кореневий функціонал (елемент інверсної системи Маколея) є лінійним функціоналом, що визначений на кільці поліномів та анулює ідеал поліномів. Обмежений кореневий функціонал є функціонал, що анулює d-ту компоненту ідеалу в деякому його напівградуюванні. Вивчається дія обмеженого кореневого функціона...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30708 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 22-28. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-30708 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-307082012-02-12T12:39:51Z Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов Сейфуллин, Т.Р. Математика Кореневий функціонал (елемент інверсної системи Маколея) є лінійним функціоналом, що визначений на кільці поліномів та анулює ідеал поліномів. Обмежений кореневий функціонал є функціонал, що анулює d-ту компоненту ідеалу в деякому його напівградуюванні. Вивчається дія обмеженого кореневого функціонала на безутіан для поліномів від декількох змінних. A root functional (element of Macaulay's inverse system) is a linear functional that is defined on a polynomial ring and annuls the ideal of polynomials. A bounded root functional is a functional that annuls a d-th component of the ideal in its some semigrading. We study the action of bounded root functionals on a multivariate Bezoutian. 2010 Article Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 22-28. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30708 512 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Сейфуллин, Т.Р. Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов Доповіді НАН України |
| description |
Кореневий функціонал (елемент інверсної системи Маколея) є лінійним функціоналом, що визначений на кільці поліномів та анулює ідеал поліномів. Обмежений кореневий функціонал є функціонал, що анулює d-ту компоненту ідеалу в деякому його напівградуюванні. Вивчається дія обмеженого кореневого функціонала на безутіан для поліномів від декількох змінних. |
| format |
Article |
| author |
Сейфуллин, Т.Р. |
| author_facet |
Сейфуллин, Т.Р. |
| author_sort |
Сейфуллин, Т.Р. |
| title |
Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов |
| title_short |
Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов |
| title_full |
Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов |
| title_fullStr |
Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов |
| title_full_unstemmed |
Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов |
| title_sort |
безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30708 |
| citation_txt |
Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2010. — № 10. — С. 22-28. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT sejfullintr bezutianiograničennyekornevyefunkcionalysistemypolinomov |
| first_indexed |
2025-07-03T11:06:00Z |
| last_indexed |
2025-07-03T11:06:00Z |
| _version_ |
1836623604946567168 |
| fulltext |
УДК 512
© 2010
Т.Р. Сейфуллин
Безутиан и ограниченные корневые функционалы
системы полиномов
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Летичевским)
Кореневий функцiонал (елемент iнверсної системи Маколея) є лiнiйним функцiоналом,
що визначений на кiльцi полiномiв та анулює iдеал полiномiв. Обмежений кореневий
функцiонал є функцiонал, що анулює d-ту компоненту iдеалу в деякому його напiвграду-
юваннi. Вивчається дiя обмеженого кореневого функцiонала на безутiан для полiномiв
вiд декiлькох змiнних.
В работе будут использоваться определения, обозначения и соглашения работ [1, 2]. Бу-
дем писать R[x]6d вместо R[x6d], будем использовать термин полуоднородная разностная
производная вместо термина монотонная разностная производная.
Определение 1. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Пусть U — модуль над
R, V — подмножество множества U . Обозначим V ⊥ множество всех линейных функциона-
лов на U , т. е. отображений из HomR(U ,R), которые аннулируют все элементы из V .
Определение 2. Пусть A — коммутативное кольцо, пусть K — конечное множество,
a = (ai)i∈K ∈ A
K , b = (bj)j∈K ∈ A
K . Обозначим a ∧ b = (ai·bj − aj·bi)(i,j)∈K×K .
Лемма 1. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные, f(x) = (f1(x), . . . , fs(x)) — полиномы из R[x]. Тогда:
1. R[x]6d1 ·R[x]6d2 ⊆ R[x]6d1+d2 .
2. (f(x))6d1
x ·R[x]6d2 ⊆ (f(x))6d1+d2
x .
3. R[x]6d1 ·(f(x))6d2
x ⊆ (f(x))6d1+d2
x .
Таким образом, произведение R[x]×R[x] → R[x] индуцирует произведение
R[x]6d1
(f(x))6d1
x
×
R[x]6d2
(f(x))6d2
x
→
R[x]6d1+d2
(f(x))6d1+d2
x
.
Доказательство. Очевидно.
Лемма 2. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные, f(x) = (f1(x), . . . , fs(x)) — полиномы из R[x]. Тогда:
1. ((f(x))6∆1
x )⊥·R[x]6d2 ⊆ ((f(x))6∆1−d2
x )⊥.
2. (R[x]6∆1)⊥·R[x]6d2 ⊆ (R[x]6∆1−d2)⊥.
3. ((f(x))6∆1
x )⊥·(f(x))6d2
x ⊆ (R[x]6∆1−d2)⊥.
Таким образом, произведение R[x]∗×R[x] → R[x]∗ индуцирует произведение
((f(x))6∆1
x )⊥
(R[x]6∆1)⊥
×
R[x]6d2
(f(x))6d2
x
→
((f(x))6∆1−d2
x )⊥
(R[x]6∆1−d2)⊥
.
Доказательство. Положим A6d = R[x]6d, I6d = (f(x))6d
x .
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
Доказательство 1. Имеет место
(I6∆1)⊥·A6d2 .I6∆1−d2 = (I6∆1)⊥.A6d2 ·I6∆1−d2 ⊆ (I6∆1)⊥.I6∆1 = {0},
следовательно, (I6∆1)⊥·A6d2⊆(I6∆1−d2)⊥.
Доказательство 2. Имеет место
(A6∆1)⊥·A6d2 .A6∆1−d2 = (A6∆1)⊥.A6d2 ·A6∆1−d2 ⊆ (A6∆1)⊥.A6∆1 = {0},
следовательно, (A6∆1)⊥·A6d2⊆(A6∆1−d2)⊥.
Доказательство 3. Имеет место
(I6∆1)⊥·I6d2 .A6∆1−d2 = (I6∆1)⊥.I6d2 ·A6∆1−d2 ⊆ (I6∆1)⊥.I6∆1 = {0},
следовательно, (I6∆1)⊥·I6d2⊆(A6∆1−d2)⊥.
Лемма 3. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные, y≃x, f(x) = (f1(x), . . . , fs(x)) и F (x) = (F1(x), . . . , Ft(x)) — полиномы из R[x]. Тогда:
1. ((f(y))6∆
y )⊥.(f(y))6d
x,y ⊆ R[x]6d−∆−1.
2. (R[y]6∆)⊥.(F (x))6d
x,y ⊆ (F (x))6d−∆−1
x .
3. ((f(y))6∆
y )⊥.(F (x)·f(y))6d
x,y ⊆ (F (x))6d−∆−1
x .
Доказательство 1.
((f(y))6∆
y )⊥.(f(y))6d
x,y = ((f(y))6∆
y )⊥.
∑
α
(f(y))6α
y ·R[x]6d−α ⊆ R[x]6d−∆−1,
(R[y]6∆)⊥.(F (x))6d
x,y = (R[y]6∆)⊥.
∑
α
R[y]6α·(F (x))6d−α
x ⊆ (F (x))6d−∆−1
x ,
((f(y))6∆
y )⊥.(F (x)·f(y))6d
x,y = ((f(y))6∆
y )⊥.
∑
α
(f(y))6α
y ·(F (x))6d−α
x ⊆ (F (x))6d−∆−1
x .
Во всех трех случаях слагаемые с α 6 ∆ являются нулевыми, поэтому их можно отбросить
без изменения суммы. У остальных слагаемых α > ∆+1, следовательно, d−α 6 d−∆− 1.
Теорема 1. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — пере-
менные, y ≃ x, f(x) = (f1(x), . . . , fn+1(x)) — полиномы из R[x], δf =
n+1
∑
i=1
deg(fi)− n. Тогда:
1. det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(x)
∥
∥
∥
∥
= det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(y)
∥
∥
∥
∥
, обозначим этот полином B(x, y).
2. B(x, y) ∈ (f(x))
6δf
x,y , B(x, y) ∈ (f(y))
6δf
x,y , B(x, y) ∈ R[x, y]6δf .
3. B(x, y) определяется однозначно с точностью до слагаемого из (f(x)∧f(y))
6δf
x,y неза-
висимо от выбора ∇f(x, y).
Определение 3. Определитель B(x, y) в теореме 1 называется безутианом полиномов
f(x) для матрицы их разностных производных ∇f(x, y).
Теорема 1. (Продолжение.)
4. Если B′(x, y) является безутианом полиномов f(x) для матрицы их разностных
производных ∇′f(x, y)=∇f(y, x), то B′(x, y)=B(y, x); и B(y, x)−B(x, y)∈(f(x)∧f(y))
6δf
x,y .
5. Если F (x)∈R[x]6d, то B(x, y)·(F (x)−F (y))∈ (f(x)∧f(y))
6δf+d
x,y .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 23
Доказательство 1, 2, 3. 1 и 3 теоремы следуют из теоремы 1 из [1], если в нее вместо
f(x) подставить (f(x), F (x)), вместо δf подставить δf + d; 2 теоремы очевидно.
Доказательство 4. В силу 1 леммы 2 из [1] ∇′fi(x, y) = ∇fi(y, x) является разностной
производной полинома fi(x) для i = 1, n + 1. Легко видеть, что ∇′fi(x, y) является по-
луоднородной разностной производной полинома fi(x), так как ∇fi(x, y) является полу-
однородной разностной производной полинома fi(x). Пусть B′(x, y) является безутианом
полиномов f(x) для матрицы их разностных производных ∇′f(x, y) = ∇f(y, x), тогда
B′(x, y) = det
∥
∥
∥
∥
∇′f(x, y)
f(y)
∥
∥
∥
∥
= det
∥
∥
∥
∥
∇f(y, x)
f(y)
∥
∥
∥
∥
= B(y, x).
Следовательно, в силу 3 теоремы B(y, x)−B(x, y) = B′(x, y) −B(x, y) ∈ (f(x)∧f(y))
6δf
x,y .
Доказательство 5.
B(x, y)·(F (x) − F (y)) = det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(x)
∥
∥
∥
∥
·(F (x)− F (y)) =
= det
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y) ∇F (x, y)
f(x) 0
0 F (x)− F (y)
∥
∥
∥
∥
∥
∥
= det
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y) ∇F (x, y)
f(x) 0
f(y) 0
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∈ (f(x) ∧ f(y))
6δf+d
x,y .
Матрица третьего определителя получается из матрицы второго определителя путем при-
бавления к последней строке линейной комбинации остальных строк
−
n
∑
k=1
(xk − yk) · ‖∇
kf(x, y) ∇kF (x, y)‖+ ‖ f(x) 0 ‖ = ‖f(y) −F (x)+F (y)‖.
Теорема 2. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные, y≃x, f(x) = (f1(x), . . . , fn+1(x)) — полиномы из R[x], δf =
n+1
∑
i=1
deg(fi)− n. Положим
B(x, y) = det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(x)
∥
∥
∥
∥
= det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(y)
∥
∥
∥
∥
.
Пусть L(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x))6∆
x . Тогда:
1. L(y∗).B(x, y) ∈ R[x]6δf−∆−1.
2. L(y∗).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf
x .
3. L(y∗).B(x, y) определяется однозначно с точностью до слагаемого из (f(x))
6δf−∆−1
x
независимо от выбора ∇f(x, y).
4. L(y∗).B(x, y) определяется однозначно с точностью до слагаемого из (f(x))
6δf−∆−1
x
независимо от действия L(x∗) вне R[x]6∆.
Доказательство 1, 2. В силу 2 теоремы 1 B(x, y) ∈ (f(y))
6δf
x,y . Поскольку L(y∗) анну-
лирует (f(y))6∆
y , то в силу 1 леммы 3 L(y∗).B(x, y) ∈ R[x]6δf−∆−1.
В силу 1 теоремы 1 B(x, y) ∈ (f(x))
6δf
x,y . Тогда L(y∗).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf
x .
Доказательство 3. В силу 3 теоремы 1 B(x, y) определяется однозначно с точностью
до слагаемого S(x, y) ∈ (f(x)∧f(y))
6δf
x,y ⊆ (f(x)·f(y))
6δf
x,y независимо от выбора ∇f(x, y).
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
Поскольку L(y∗) аннулирует (f(y))6∆
y , то в силу 3 леммы 3 имеет место L(y∗).S(x, y) ∈
∈ (f(x))
6δf−∆−1
x . Следовательно, L(y∗).B(x, y) определяется однозначно с точностью до
слагаемого L(y∗).S(x, y) из f(x))
6δf−∆−1
x независимо от выбора ∇f(x, y).
Доказательство 4. Пусть L′(x∗) ∈ R[x]∗ и имеет место L′(x∗) ≡ L(x∗) на R[x]6∆, поло-
жим l(x∗) = L′(x∗)−L(x∗), тогда l(x∗) аннулирует R[x]6∆ и L′(y∗).B(x, y)−L(y∗).B(x, y) =
= l(y∗).B(x, y). Поскольку l(y∗) аннулирует R[y]6∆ и в силу 2 теоремы 1 B(x, y) ∈ (f(x))
6δf
x,y ,
то в силу 2 леммы 3 l(y∗).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf−∆−1
x . Следовательно, L(y∗).B(x, y) определя-
ется однозначно с точностью до слагаемого l(y∗).B(x, y) из (f(x))
6δf−∆−1
x независимо от
действия L(x∗) вне R[x]6∆.
Следствие 1. Пусть имеют место условия теоремы 2. Тогда:
1. Если ∆ > δf , то L(y∗).B(x, y) = 0 и определяется однозначно независимо от выбора
∇f(x, y) и независимо от действия L(x∗) вне R[x]6∆.
2. Если ∆ = δf−1, то L(y∗).B(x, y) ∈ R[x]60.
3. Если ∆ = δf−1 и deg(fi) > 1 для i = 1, n+1, то L(y∗).B(x, y) определяется однозначно
независимо от выбора ∇f(x, y) и независимо от действия L(x∗) вне R[x]6∆.
Доказательство 1. Так как ∆ > δf , то δf−∆−1<0. Следовательно, R[x]6δf−∆−1 = {0}
и (f(x))
6δf−∆−1
x = {0}.
В силу 1 теоремы 2 имеет место L(y∗).B(x, y) ∈ R[x]6δf−∆−1 = {0}, следовательно,
L(y∗).B(x, y) = 0.
В силу 3 теоремы L(y∗).B(x, y) однозначно определяется с точностью до слагаемого
из (f(x))
6δf−∆−1
x = {0} независимо от выбора ∇f(x, y), т. е. определяется однозначно.
В силу 4 теоремы 1 L(y∗).B(x, y) определяется однозначно с точностью до слагаемого из
(f(x))
6δf−∆−1
x = {0} независимо от действия L(x∗) вне R[x]6∆, т. е. определяется одно-
значно.
Доказательство 2. Так как ∆ = δf − 1, то δf −∆ − 1 = 0, тогда в силу 1 теоремы 2
имеет место L(y∗).B(x, y) ∈ R[x]6δf−∆−1 = R[x]60.
Доказательство 3. Так как ∆ = δf−1, то δf−∆−1 = 0, тогда (f(x))
6δf−∆−1
x = (f(x))60
x .
Так как deg(fi) > 1 для i = 1, n+1, то (f(x))60
x = {0}, следовательно, (f(x))
6δf−∆−1
x = {0}.
Далее доказательство полностью повторяет третий абзац доказательства 1 следствия.
Теорема 3. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные, y≃x, f(x) = (f1(x), . . . , fn+1(x)) — полиномы из R[x], δf =
n+1
∑
i=1
deg(fi)− n. Положим
B(x, y) = det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(x)
∥
∥
∥
∥
= det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(y)
∥
∥
∥
∥
.
Пусть L1(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x))6∆1
x , F2(x) ∈ R[x]6d2 . Тогда:
1. (L1(y∗).B(x, y))·F2(x), (L1(y∗)·F2(y)).B(x, y) ∈ R[x]6δf+d2−∆1−1.
2. (L1(y∗).B(x, y))·F2(x) и (L1(y∗)·F2(y)).B(x, y) определяются однозначно с точностью
до слагаемого из (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x независимо от выбора ∇f(x, y).
3. (L1(y∗).B(x, y))·F2(x), (L1(y∗)·F2(y)).B(x, y)∈(f(x))
6δf+d2−∆1−1
x , если F2(x)∈(f(x))6d2
x .
4. (L1(y∗).B(x, y))·F2(x) и (L1(y∗)·F2(y)).B(x, y) определяются однозначно с точностью
до слагаемого из (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x независимо от действия L1(x∗) вне R[x]6∆1 .
5. (L1(y∗).B(x, y))·F2(x) − (L1(y∗)·F2(y)).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 25
Доказательство. В силу 1 леммы 2 L1(x∗)·F2(x) аннулирует (f(x))6∆1−d2
x , так как
L1(x∗) аннулирует (f(x))6∆1
x и F2(x) ∈ R[x]6d2 . В силу 1 теоремы 2 L1(y∗).B(x, y) ∈
∈ R[x]6δf−∆1−1, так как L1(x∗) аннулирует (f(x))6∆1
x .
Доказательство 1. Так как L1(y∗).B(x, y) ∈ R[x]6δf−∆1−1 и F2(x) ∈ R[x]6d2 , то
имеет место (L1(y∗).B(x, y))·F2(x) ∈ R[x]6δf+d2−∆1−1. Так как L1(x∗)·F2(x) аннулиру-
ет (f(x))6∆1−d2
x , то в силу 1 теоремы 2 (L1(y∗)·F2(y)).B(x, y) ∈ R[x]6δf−(∆1−d2)−1 =
= R[x]6δf+d2−∆1−1.
Доказательство 2. В силу 3 теоремы 2 L1(y∗).B(x, y) определяется однозначно с то-
чностью до слагаемого из (f(x))
6δf−∆1−1
x независимо от выбора ∇f(x, y), так как L1(x∗)
аннулирует (f(x))6∆1
x . Тогда (L1(y∗).B(x, y))·F2(x) определяется однозначно, с точностью
до слагаемого из (f(x))
6δf−∆1−1
x ·R[x]6d2 ⊆ (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x , так как F2(x) ∈ R[x]6d2 .
В силу 3 теоремы 2 (L1(y∗)·F2(y)).B(x, y) определяется однозначно с точностью до слага-
емого из (f(x))
6δf−(∆1−d2)−1
x = (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x при неоднозначности ∇f(x, y), так как
L1(x∗)·F2(x) аннулирует (f(x))6∆1−d2
x .
Доказательство 3. Так как L1(y∗).B(x, y) ∈ R[x]6δf−∆1−1 и F2(x) ∈ (f(x))6d2
x , то имеет
место (L1(y∗).B(x, y))·F2(x) ∈ R[x]6δf−∆1−1·(f(x))6d2
x ⊆ (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x . Так как L1(x∗)
аннулирует (f(x))6∆1
x и F2(x) ∈ (f(x))6d2
x , то в силу 3 леммы 2 L1(x∗)·F2(x) аннулирует
R[x]6∆1−d2 , тогда L1(x∗)·F2(x) ≡ 0(x∗) на R[x]6∆1−d2 . Тогда в силу 4 теоремы 2 имеет место
(L1(y∗)·F2(y)).B(x, y) − 0(y∗).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf−(∆1−d2)−1
x = (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x , так как
0(x∗) аннулирует (f(x))6∆1−d2
x . Следовательно, (L1(y∗)·F2(y)).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x .
Доказательство 4. В силу 4 теоремы 2 (L1(y∗).B(x, y)) определяется однозначно, с то-
чностью до слагаемого из (f(x))
6δf−∆1−1
x , независимо от действия L1(x∗) вне R[x]6∆1 . Так
как F2(x) ∈ R[x]6d2 , то (L1(y∗).B(x, y))·F2(x) определяется однозначно с точностью до сла-
гаемого из (f(x))
6δf−∆1−1
x ·R[x]6d2 ⊆ (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x независимо от действия L1(x∗) вне
R[x]6∆1 . Так как F2(x) ∈ R[x]6d2 , то в силу 2 леммы 2 функционал L1(x∗)·F2(x) опре-
деляется однозначно на R[x]6∆1−d2 независимо от действия L1(x∗) вне R[x]6∆1 . Тогда
в силу 4 теоремы 2 (L1(y∗)·F2(y)).B(x, y) определяется однозначно с точностью слагае-
мого из (f(x))
6δf−(∆1−d2)−1
x = (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x независимо от действия L1(x∗)·F2(x) вне
R[x]6∆1−d2 , следовательно, и независимо от действия L1(x∗) вне R[x]6∆1 .
Доказательство 5. В силу 4 теоремы 1 B(x, y)·(F2(x)−F2(y)) ∈ (f(x) ∧ f(y))
6δf+d2
x ⊆
⊆ (f(x)·f(y))
6δf+d2
x . Поскольку L1(y∗) аннулирует (f(y))6∆1
y , то в силу 3 леммы 3
(L1(y∗).B(x, y))·F2(x)− L1(y∗)·F2(y).B(x, y) = L1(y∗).B(x, y)·(F2(x)−F2(y)) ∈
∈ L1(y∗).(f(x)·f(y))
6δf+d2
x = (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x .
Теорема 4. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные, y≃x, f(x) = (f1(x), . . . , fn+1(x)) — полиномы из R[x], δf =
n+1
∑
i=1
deg(fi)− n. Положим
B(x, y) = det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(x)
∥
∥
∥
∥
= det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(y)
∥
∥
∥
∥
.
Пусть Lp(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x))
6∆p
x для p = 1, 2. Тогда:
1. L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) аннулирует (f(x))
6∆1+∆2−(δf−1)
x .
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
2. L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) определяется однозначно на R[x]6∆1+∆2−(δf−1) независимо от
выбора ∇f(x, y).
3. L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) определяется однозначно на R[x]6∆1+∆2−(δf−1) независимо от
действия L1(x∗) вне R[x]6∆1 и действия L2(x∗) вне R[x]6∆2 .
4. L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) ≡ L2(x∗)·(L1(y∗).B(x, y)) на R[x]6∆1+∆2−(δf−1).
Доказательство 1. Так как L2(x∗) аннулирует (f(x))6∆2
x , то в силу 1 теоремы 2 по-
лином L2(y∗).B(x, y) ∈ R[x]6δf−∆2−1. Так как L1(x∗) аннулирует (f(x))6∆1
x , то в силу 1
леммы 2 L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) аннулирует (f(x))
6∆1−(δf−∆2−1)
x = (f(x))
6∆1+∆2−(δf−1)
x .
Доказательство 2. Так как L2(x∗) аннулирует (f(x))6∆2
x , то в силу 3 теоремы 2
полином L2(y∗).B(x, y) определяется однозначно с точностью до слагаемого S(x) из
(f(x))
6δf−∆2−1
x независимо от выбора ∇f(x, y). Поскольку L1(x∗) аннулирует (f(x))6∆1
x ,
то в силу 3 леммы 2 L1(x∗)·S(x) аннулирует R[x]6∆1−(δf−∆2−1) = R[x]6∆1+∆2−(δf−1). То-
гда функционал L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) определяется однозначно с точностью до слагаемо-
го L1(x∗)·S(x), аннулирующего R[x]6∆1+∆2−(δf−1), следовательно, L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y))
определяется однозначно на R[x]6∆1+∆2−(δf−1) независимо от выбора ∇f(x, y).
Доказательство 3. Так как L2(x∗) аннулирует (f(x))6∆2
x , то в силу 4 теоремы 2
полином L2(y∗).B(x, y) определяется однозначно с точностью до слагаемого S(x) из
(f(x))
6δf−∆2−1
x независимо от действия L2(x∗) вне R[x]6∆2 . Поскольку L1(x∗) анну-
лирует (f(x))6∆1
x , то в силу 3 леммы 2 L1(x∗)·S(x) аннулирует R[x]6∆1−(δf−∆2−1) =
= R[x]6∆1+∆2−(δf−1). Тогда L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) определяется однозначно с точностью
до слагаемого L1(x∗)·S(x), аннулирующего R[x]6∆1+∆2−(δf−1), следовательно, функционал
L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) определяется однозначно на R[x]6∆1+∆2−(δf−1) независимо от дей-
ствия L2(x∗) вне R[x]6∆2 .
Так как L2(x∗) аннулирует (f(x))6∆2
x , то в силу 1 теоремы 2 L2(y∗).B(x, y) ∈
∈ R[x]6δf−∆2−1. Тогда в силу 2 леммы 2 функционал L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) определяется
однозначно на R[x]6∆1−(δf−∆2−1) = R[x]6∆1+∆2−(δf−1) независимо от действия L1(x∗) вне
R[x]6∆1 .
Доказательство 4. Пусть F2(x) ∈ R[x]6∆1+∆2−(δf−1). Так как L1(x∗) аннулирует
(f(x))6∆1
x , то в силу 5 теоремы 3
L1(y∗).B(x, y)·F2(x)− L1(y∗).B(x, y)·F2(y) ∈ (f(x))
6δf+d2−∆1−1
x = (f(x))6∆2
x ,
где d2 = ∆1 + ∆2 − (δf − 1). Так как L2(x∗) аннулирует (f(x))6∆2
x , то
L2(x∗).L1(y∗).B(x, y)·F2(x) = L2(x∗).L1(y∗).B(x, y)·F2(y).
Тогда
L2(x∗)·(L1(y∗).B(x, y)).F2(x) = L2(x∗).L1(y∗).B(x, y)·F2(x) =
= L2(x∗).L1(y∗).B(x, y)·F2(y) = L1(y∗).L2(x∗).B(x, y)·F2(y) =
= L1(x∗).L2(y∗).B(y, x)·F2(x) = L1(x∗)·(L2(y∗).B(y, x)).F2(x).
Тогда в силу произвольности F2(x) ∈ R[x]6∆1+∆2−(δf−1) имеет место
L2(x∗)·(L1(y∗).B(x, y)) ≡ L1(x∗)·(L2(y∗).B(y, x)) на R[x]6∆1+∆2−(δf−1).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №10 27
В силу 4 теоремы 1 B′(x, y) = B(y, x) является безутианом полиномов f(x) для матрицы
их разностных производных ∇′f(x, y) = ∇f(y, x). Тогда в силу 2 теоремы
L1(x∗)·(L2(y∗).B(y, x)) ≡ L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) на R[x]6∆1+∆2−(δf−1).
Следовательно,
L2(x∗)·(L1(y∗).B(x, y)) ≡ L1(x∗)·(L2(y∗).B(x, y)) на R[x]6∆1+∆2−(δf−1).
1. Seifullin T.R. Extension of bounded root functionals of a system of polynomial equations // Доп. НАН
України. – 2002. – No 7. – С. 35–42.
2. Сейфуллин Т.Р. Продолжение корневых функционалов системы полиномиальных уравнений и ре-
дукция полиномов по модулю ее идеала // Там само. – 2003. – № 7. – С. 19–27.
Поступило в редакцию 14.01.2010Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
T.R. Seifullin
A Bezoutian and bounded root functionals of a system of polynomials
A root functional (element of Macaulay’s inverse system) is a linear functional that is defined on
a polynomial ring and annuls the ideal of polynomials. A bounded root functional is a functional
that annuls a d-th component of the ideal in its some semigrading. We study the action of bounded
root functionals on a multivariate Bezoutian.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №10
|