Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше
Доведено справедливість граничної форми властивості Радона–Нікодима для довільного простору Фреше. Розглянуто деякі застосування.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30793 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше / І.В. Орлов, Ф.С. Стонякін // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 18-22. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-30793 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-307932012-02-15T12:15:51Z Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше Орлов, І.В. Стонякін, Ф.С. Математика Доведено справедливість граничної форми властивості Радона–Нікодима для довільного простору Фреше. Розглянуто деякі застосування. The validity of the limiting form of the Radon–Nikodym property for an arbitrary Fréchet space is proved. Some applications are considered. 2010 Article Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше / І.В. Орлов, Ф.С. Стонякін // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 18-22. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30793 517.98 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Орлов, І.В. Стонякін, Ф.С. Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше Доповіді НАН України |
| description |
Доведено справедливість граничної форми властивості Радона–Нікодима для довільного простору Фреше. Розглянуто деякі застосування. |
| format |
Article |
| author |
Орлов, І.В. Стонякін, Ф.С. |
| author_facet |
Орлов, І.В. Стонякін, Ф.С. |
| author_sort |
Орлов, І.В. |
| title |
Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше |
| title_short |
Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше |
| title_full |
Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше |
| title_fullStr |
Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше |
| title_full_unstemmed |
Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше |
| title_sort |
гранична форма властивості радона–нікодима вірна у довільному просторі фреше |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30793 |
| citation_txt |
Гранична форма властивості Радона–Нікодима вірна у довільному просторі Фреше / І.В. Орлов, Ф.С. Стонякін // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 18-22. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT orlovív graničnaformavlastivostíradonaníkodimavírnaudovílʹnomuprostorífreše AT stonâkínfs graničnaformavlastivostíradonaníkodimavírnaudovílʹnomuprostorífreše |
| first_indexed |
2025-07-03T11:10:16Z |
| last_indexed |
2025-07-03T11:10:16Z |
| _version_ |
1836623873133510656 |
| fulltext |
УДК 517.98
© 2010
I. В. Орлов, Ф. С. Стонякiн
Гранична форма властивостi Радона–Нiкодима вiрна
у довiльному просторi Фреше
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
Доведено справедливiсть граничної форми властивостi Радона–Нiкодима для довiльного
простору Фреше. Розглянуто деякi застосування.
Як вiдомо, найбiльш ефективний нескiнченновимiрний аналог iнтеграла Лебега — iнтеграл
Бохнера — не зберiгає, взагалi кажучи, одну з принципових властивостей iнтеграла Лебе-
га: тобто, кожний невизначений iнтеграл Бохнера є абсолютно неперервним, але не кожне
абсолютно неперервне вiдображення є невизначеним iнтегралом Бохнера [1]. Вiдомим пiдхо-
дом до цiєї проблеми є вiдокремлення, дослiдження та використання в конкретних задачах
класу просторiв, для яких ця рiзниця вiдсутня. Нагадаємо основнi визначення.
Визначення 1. Вiдображення f : I = [a; b] → E, де E — банахiв простiр, є iнтегров-
ним за Бохнером, якщо для довiльної послiдовностi простих вiдображень fn → f збiгається
вiдповiдна послiдовнiсть iнтегралiв fn, що природно визначаються. У випадку, коли E —
повний локально опуклий простiр (ЛОП), iнтегровнiсть f за Бохнером розумiється як iн-
тегровнiсть в усiх банахових просторах, що утворюються факторизацiєю за ядрами непе-
рервних напiвнорм та наступним поповненням за фактор-нормами.
Визначення 2. Говорять, що ЛОП E має властивiсть Радона–Нiкодима (RNP ), якщо
довiльне абсолютно неперервне вiдображення F : I = [a; b] → E є невизначеним iнтегралом
Бохнера, тобто має вигляд F (x) = C + (B)
x∫
a
f(t) dt.
Властивiсть RNP мають, наприклад, усi рефлексивнi банаховi простори. Рiзноманiтнi
дослiдження вказаного класу просторiв активно продовжуються [2–4]. Однак вiдзначимо,
що властивiсть RNP не мають, наприклад, добре вiдомi простори c0, L1[a; b] та C[a; b].
Це означає, что клас просторiв з RNP є недостатньо широким для багатьох конкретних
задач аналiзу i виникає проблема опису абсолютно неперервних вiдображень, якi можна
зобразити у виглядi невизначених iнтегралiв Бохнера.
У наших роботах [5, 6] у зв’язку з даною проблемою був введений, зокрема, клас ком-
пактно абсолютно неперервних вiдображень вiдрiзка в ЛОП ACK(I,E), який мiстить аб-
солютно неперервнi вiдображення з вiдрiзка I у банаховi простори EC , що породженi усiма
абсолютно опуклими компактами C ∈ C(E), тобто мають вигляд (spanC, pC), де pC є функ-
цiоналом Мiнковського множини C. Основний результат роботи [6, теорема 3.2] стверджує,
що довiльне вiдображення F ∈ ACK(I,E) є невизначеним iнтегралом Бохнера. У [6] вислов-
лено гiпотезу про те, що в довiльному просторi Фреше E класи компактно абсолютно непе-
рервних вiдображень ACK(I,E) та невизначених iнтегралiв Бохнера W 1
1 (I,E) збiгаються
(тобто, E має K-властивiсть Радона–Нiкодима (RNP )K).
У данiй роботi показано справедливiсть цiєї гiпотези: довiльний простiр Фреше має
властивiсть (RNP )K (теорема 1). На цiй базi встановлено основний результат роботи —
гранична форма властивостi RNP (теорема 3): для довiльного простору Фреше E простiр
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
невизначених iнтегралiв Бохнера W 1
1 (I,E) можливо двома способами зобразити як топо-
логiчну iндуктивну границю:
W 1
1 (I,E)
top
= lim
−−−−−→
C∈C(E)
W 1
1 (I,EC)
top
= lim
−−−−−−→
C′∈C(E)
AC(I,EC′). (1)
Аналогiчне зображення є вiрним також i для простору L1(I,E) (теорема 4).
Отриманий результат у певному сенсi розв’язує проблему Радона–Нiкодима для про-
сторiв Фреше.
Перейдемо до бiльш детального викладення. Далi позначимо через L1(I,E) простiр вiд-
ображень f : I → E, що iнтегровнi за Бохнером на I.
1. K-властивiсть Радона–Нiкодима у просторах Фреше. Згiдно з [6, теорема 3.2]
ACK(I,E) ⊂ W 1
1 (I,E) для довiльного ЛОП E; при цьому включення може бути строгим [6,
приклад 3.1]. Однак якщо E — простiр Фреше, то вказанi класи збiгаються.
Теорема 1. Нехай E — простiр Фреше. Тодi для довiльного f ∈ L1(I,E) iснує та-
кий компакт C ∈ C(E), що вiдображення F (x) = F (a) + (B)
x∫
a
f(t) dt належить до класу
AC(I,EC). Таким чином, ACK(I,E) = W 1
1 (I,E), тобто довiльний простiр Фреше E має
властивiсть (RNP )K .
Схема доведення. 1. Якщо E — банахiв простiр, то f є майже скрiзь сепарабель-
нозначним, тобто можна вважати E сепарабельним. Отже, з точнiстю до iзометрiї E ⊂
⊂ C[0; 1] [7, V.7.12].
2. Введемо поняття елiпсоїда Cε, ε = (εk > 0)∞1 , в E вiдносно фiксованої послiдовностi
δ = (δk > 0)∞1 :
Cε =
{
ϕ ∈ E
∣
∣
∣
∣
max
(
|ϕ(0)|, sup
k
ωϕ(δk)
εk
)
6 1
}
,
де ωϕ — модуль неперервностi функцiї ϕ. За допомогою теореми Арцела–Асколi неважко
показати, що Cε ∈ C(E) при εk → 0.
3. Безпосередньо перевiряється вимiрнiсть функцiї ‖f(·)‖Cε
для довiльного Cε. Покла-
демо при k = 1, 2, . . . εk = (0, 0, . . . , 0,
k
︷︸︸︷
1 , 1, 1, . . .), Jk(f) =
∫
I
‖f(t)‖C
εk
dt.
При цьому виявляється, що lim
k→∞
Jk(f) = 0. Це дає можливiсть пiдiбрати послiдовнiсть
вигляду
ε =
1, . . . , 1;
k1
︷︸︸︷
1
2
, . . . ,
1
2
;
k2
︷︸︸︷
1
3
, . . . ,
1
3
; . . . ;
kn
︷ ︸︸ ︷
1
n+ 1
, . . .
1
n+ 1
; . . .
,
для якої
∫
I
‖f(t)‖Cε
dt < ∞, Cε ∈ C(E), звiдки F ∈ AC(I,EC).
4. У загальному випадку результат випливає зi щiльного вкладення E у добуток послi-
довностi банахових просторiв та вiдомої теореми Тихонова [8].
2. Шкала просторiв, що породженi компактами у просторi Фреше. Для дове-
дення граничної форми (1) властивостi RNP необхiдно також дослiдити властивостi iндук-
тивної шкали {EC} банахових просторiв, що породженi усiма компактами C ∈ C(E). Цi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 19
властивостi ми з’єднаємо у такому твердженнi (у гiльбертовому випадку вони дослiдженi
в [9]).
Теорема 2. Нехай E — простiр Фреше, C(E) — система всiх абсолютно опуклих ком-
пактiв у E, що iндуктивно впорядкована вiдношенням
(C1 4 C2) ⇔ (C1 ⊂ M · C2,M > 0).
Тодi:
(i) система
−→
E C = {EC}C∈C(E) — iндуктивна шкала ЛОП вiдносно неперервних вкла-
день;
(ii) iндуктивна границя шкали
−→
E C збiгається з початковим простором:
E
top
= lim
−−−−−→
C∈C(E)
EC ;
(iii) шкала
−→
E має властивiсть σ-компактної апроксимацiї: для довiльної послiдовностi
{Cn}
∞
1 ⊂ C(E) знайдеться такий компакт C∞ ∈ C(E), що для усiх n ∈ N справедливi
компактнi вкладення ECn
→֒→֒ EC∞
.
3. Гранична форма властивостi Радона–Нiкодима. Вiдзначимо, що з теорем 1
та 2 випливає векторний iзоморфiзм
W 1
1 (I,E)
vect
= lim
−−−−−→
C∈C(E)
W 1
1 (I,EC)
у випадку простору Фреше E. Насправдi, цей iзоморфiзм є топологiчним. Бiльше того,
W 1
1 (I,E) припускає аналогiчне зображення у виглядi iндуктивної границi просторiв абсо-
лютно неперервних вiдображень.
У просторах Фреше невизначених iнтегралiв Бохнера W 1
1 (I,E) над просторами Фреше
ми введемо визначальну систему напiвнорм
{
‖F‖j = ‖F (a)‖j +
b∫
a
‖F ′(t)‖jdt
}
, j ∈ N.
У просторах W 1
1 (I,EC) та бiльш широких просторах абсолютно неперервних вiдображень
AC(I,EC), C ∈ C(E), введемо банаховi норми
‖F‖C = ‖F (a)‖C +
b∫
a
‖F ′(t)‖Cdt.
Сформулюємо основний результат роботи.
Теорема 3. У довiльному просторi Фреше E справедлива гранична форма властивостi
RNP (1):
W 1
1 (I,E)
top
= lim
−−−−−→
C∈C(E)
W 1
1 (I,EC)
top
= lim
−−−−−−→
C′∈C(E)
AC(I,EC′).
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
Схема доведення. 1. З теореми 2 виходить
(EC →֒→֒ EC′) ⇒ (AC(I,EC) →֒ W 1
1 (I,EC′) →֒ AC(I,EC′)).
Звiдси випливає збiг двох iндуктивних границь у (1).
2. Залишається перевiрити першу рiвнiсть в (1); при цьому вкладення iндуктивної гра-
ницi в простiр Y = W 1
1 (I,E) є очевидним. Неперервнiсть зворотного вкладення достатньо
перевiрити на iнтегралах вiд простих функцiй. Якщо Fn
Y
−→ 0, F ′
n = fn — простi, то по-
кладаючи, у випадку банахова E,
Cn = {x ∈ span fn(I) | ‖x‖ 6 1}, C = co
(
∞⋃
n=1
√
‖Fn‖Cn
· Cn
)
,
можна перевiрити, що C ∈ C(E) и ‖Fn‖C → 0.
3. Перехiд до випадку простору Фреше E повторює схему, що викладена в п. 4 доведення
теореми 1.
Iзоморфiзм (1) можна переформулювати для простору iнтегровних за Бохнером вiд-
ображень L1(I,E), якщо покласти
o
AC (I,EC′) = {F ∈ AC(I,EC′) | F (a) = 0}.
Теорема 4. У довiльному просторi Фреше E справедлива гранична форма властивостi
RNP у виглядi
L1(I,E)
top
= lim
−−−−−→
C∈C(E)
L1(I,EC)
top
= lim
−−−−−−→
C′∈C(E)
o
AC (I,EC′). (2)
Вiдзначимо корисне застосування iзоморфiзмiв (1), (2), яке випливає з вiдомого крите-
рiю неперервностi лiнiйних операторiв, що визначенi на iндуктивнiй границi [8, II.6.1].
Наслiдок 1. Нехай E — простiр Фреше, X — довiльний ЛОП, A : W 1
1 (I,E) → X —
лiнiйний оператор. Тодi рiвносильними є такi умови:
(i) A неперервний на W 1
1 (I,E);
(ii) A неперервний на кожному W 1
1 (I,EC), C ∈ C(E);
(iii) A неперервний на кожному AC(I,EC′), C ′ ∈ C(E).
Аналогiчне твердження справедливе i для операторiв A : L1(I,E) → X.
Друге застосування теореми 3 є iстотно нелiнiйним i узагальнює теорему про сере-
днє [10].
Наслiдок 2. Нехай E — простiр Фреше, вiдображення F : [a; b] → E неперервне на
[a; b] та диференцiйовне на [a; b] \ e, де mes(e) = 0, mes
w
F (e) = 0, а множина F ′([a; b] \ e)
обмежена. Тодi iснує такий абсолютно опуклий компакт C ⊂ E, що
F (b)− F (a)
b− a
∈ coEC
F ′([a; b] \ e). (3)
Вiдзначимо, що оцiнка в (3) на вiдмiну вiд оцiнки в [10] та iнших оцiнок класичного
типу, може бути незамкненою в E.
Результати наслiдкiв 1, 2 вказують на можливiсть “обходити” вiдсутнiсть глобальної
властивостi RNP у просторi шляхом переходу до пiдпросторiв, що породженi компактами.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 21
1. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. –
829 с.
2. Cheeger J., Kleiner B. Characterization of the Radon-Nikodym property in terms of inverse limits // arXiv:
0706.3389v3 [math. FA], 11 Jan 2008. – 12 p.
3. Bu Q., Buskes G., Lai Wei-Kai. The Radon–Nikodym property for tensor products of Banach lattices II //
Positivity. – 2008. – 12. – P. 45–54.
4. Arvanitakis A.D., Aviles A. Some examples of continuous images of Radon–Nikodym compact spaces //
arXiv:0903.0653v1 [math.GN], 3 Mar 2009. – 11 p.
5. Orlov I.V., Stonyakin F. S. Compact variation, compact subdifferential and indefinite Bochner integral //
Meth. Funct. Anal. and Topol. – 2009. – 15, No 1. – P. 74–90.
6. Orlov I. V., Stonyakin F. S. Strong compact properties of the mappings and K-property of Radon–
Nikodym // Ibid. – 2010. – 16, No 2. – P. 183–196.
7. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. – Москва: Изд-во иностр. лит.,
1962. – 896 с.
8. Shaefer H.H. Topological vector spaces. – New York; London: McMillan, 1966. – 359 p.
9. Орлов И.В. Гильбертовы компакты, компактные эллипсоиды и компактные экстремумы // Совре-
менная математика. Фундаментальные направления. – 2008. – 29. – С. 165–175.
10. Орлов И.В. Формула конечных приращений для отображений в индуктивные шкалы пространств //
Математическая физика, анализ, геометрия. – 2001. – 8, № 4. – С. 419–439.
Надiйшло до редакцiї 12.03.2010Таврiйський нацiональний унiверситет
iм. В. I. Вернадського, Сiмферополь
I. V. Orlov, F. S. Stonyakin
Limiting form of the Radon–Nikodym property is true for arbitrary
Fréchet space
The validity of the limiting form of the Radon–Nikodym property for an arbitrary Fréchet space is
proved. Some applications are considered.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
|