Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов
Кореневий функціонал (елемент інверсної системи Маколея) є лінійним функціоналом, що визначений на кільці поліномів та анулює ідеал поліномів. Обмежений кореневий функціонал є функціонал, що анулює d-ту компоненту ідеалу в деякому його напівградуюванні. Розглядається взаємозв'язок між безутіано...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30794 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 23-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-30794 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-307942012-02-15T12:08:42Z Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов Сейфуллин, Т.Р. Математика Кореневий функціонал (елемент інверсної системи Маколея) є лінійним функціоналом, що визначений на кільці поліномів та анулює ідеал поліномів. Обмежений кореневий функціонал є функціонал, що анулює d-ту компоненту ідеалу в деякому його напівградуюванні. Розглядається взаємозв'язок між безутіаном для поліномів від декількох змінних та операцією розширення обмежених кореневих функціоналів. A root functional (element of Macaulay's inverse system) is a linear functional that is defined on a polynomial ring and annuls the ideal of polynomials. A bounded root functional is a functional that annuls the d-th component of the ideal in its some semigrading. We consider the interconnection between the action of bounded root functionals on a multivariate Bezoutian and the extension operation of bounded root functionals. 2010 Article Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 23-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30794 512 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Сейфуллин, Т.Р. Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов Доповіді НАН України |
| description |
Кореневий функціонал (елемент інверсної системи Маколея) є лінійним функціоналом, що визначений на кільці поліномів та анулює ідеал поліномів. Обмежений кореневий функціонал є функціонал, що анулює d-ту компоненту ідеалу в деякому його напівградуюванні. Розглядається взаємозв'язок між безутіаном для поліномів від декількох змінних та операцією розширення обмежених кореневих функціоналів. |
| format |
Article |
| author |
Сейфуллин, Т.Р. |
| author_facet |
Сейфуллин, Т.Р. |
| author_sort |
Сейфуллин, Т.Р. |
| title |
Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов |
| title_short |
Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов |
| title_full |
Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов |
| title_fullStr |
Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов |
| title_full_unstemmed |
Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов |
| title_sort |
безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/30794 |
| citation_txt |
Безутиан и операция расширения ограниченных корневых функционалов для системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2010. — № 11. — С. 23-29. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT sejfullintr bezutianioperaciârasšireniâograničennyhkornevyhfunkcionalovdlâsistemypolinomov |
| first_indexed |
2025-07-03T11:10:19Z |
| last_indexed |
2025-07-03T11:10:19Z |
| _version_ |
1836623876766826496 |
| fulltext |
УДК 512
© 2010
Т.Р. Сейфуллин
Безутиан и операция расширения ограниченных
корневых функционалов для системы полиномов
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Летичевским)
Кореневий функцiонал (елемент iнверсної системи Маколея) є лiнiйним функцiоналом,
що визначений на кiльцi полiномiв та анулює iдеал полiномiв. Обмежений кореневий
функцiонал є функцiонал, що анулює d-ту компоненту iдеалу в деякому його напiвграду-
юваннi. Розглядається взаємозв’язок мiж безутiаном для полiномiв вiд декiлькох змiн-
них та операцiєю розширення обмежених кореневих функцiоналiв.
В работе будут использоваться определения, обозначения и соглашения работ [1–5]. Будем
писать R[x]6d вместо R[x6d].
Теорема 1. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — пере-
менные, f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) — полиномы из R[x], δf =
n
∑
i=1
deg(fi) − n; h(x) ∈ R[x]6d,
g(x) ∈ R[x]6D. Тогда:
1. Если L(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x), h(x))
6δf+δ
x ,где δ > 0, то
L(x∗)∗(h(x)·g(x)) − (L(x∗)∗h(x))·g(x) ∈ (f(x))6d+D−δ−1
x .
2. Если L(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x), h(x), g(x))
6δf+δ
x , где δ > 0, то
(L(x∗)∗h(x))·g(x) − (L(x∗)∗g(x))·h(x) ∈ (f(x))6d+D−δ−1
x .
Доказательство 1. Положим S(x) = L(x∗)∗(h(x)·g(x)) − (L(x∗)∗h(x))·g(x). Так как
имеет место h(x) ∈ R[x]6d, g(x) ∈ R[x]6D и функционал L(x∗) аннулирует (f(x))
6δf+δ
x , то
из доказательства теоремы 1 из [4] видно, что
S(x) = L(y∗).h(y)· det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y) ∇g(x, y)
f(x) 0
∥
∥
∥
∥
+ S′(x),
где S′(x) ∈ (f(x))6d+D−δ−1
x , y ≃ x. Первое слагаемое ∈ L(y∗).(f(x)·h(y))
6δf+d+D
x,y . Так как
L(y∗) аннулирует (h(y))
6δf+δ
y , то в силу 3 леммы 3 из [5] имеет место
L(y∗).(f(x)·h(y))
6δf+d+D
x,y ⊆ (f(x))
6(δf+d+D)−(δf+δ)−1
x = (f(x))6d+D−δ−1
x ,
следовательно, первое слагаемое принадлежит (f(x))6d+D−δ−1
x . Поскольку оба этих слага-
емых принадлежат (f(x))6d+D−δ−1
x , то и их сумма S(x) ∈ (f(x))6d+D−δ−1
x .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 23
Доказательство 2. Так как L(x∗) аннулирует (f(x), h(x))
6δf+δ
x , h(x) ∈ R[x]6d, g(x) ∈
∈ R[x]6D, то в силу 1 теоремы имеет место
L(x∗)∗(h(x)·g(x)) − (L(x∗)∗h(x))·g(x) ∈ (f(x))6d+D−δ−1
x .
Так как L(x∗) аннулирует (f(x), g(x))
6δf+δ
x , g(x) ∈ R[x]6D, h(x) ∈ R[x]6d, то в силу 1
теоремы имеет место
L(x∗)∗(g(x)·h(x)) − (L(x∗)∗g(x))·h(x) ∈ (f(x))6d+D−δ−1
x .
Тогда имеет место
(L(x∗)∗h(x))·g(x) − (L(x∗)∗g(x))·h(x) ∈ (f(x))6d+D−δ−1
x .
Теорема 2. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные, y ≃ x, f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) — полиномы из R[x], δf =
n
∑
i=1
deg(fi)−n; h(x) ∈ R[x]6d,
δf,h =
n
∑
i=1
deg(fi) + d − n. Положим
B(x, y) = det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y) ∇h(x, y)
f(x) h(x)
∥
∥
∥
∥
= det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y) ∇h(x, y)
f(y) h(y)
∥
∥
∥
∥
,
где ∇h(x, y) = ∇x(x, y).h(x). Тогда B(x, y) является безутианом полиномов (f(x), h(x))
и имеет место δf,h = δf + d.
Пусть L(x∗) — функционал из R[x]∗, аннулирующий (f(x), h(x))
6δf+δ
x , где δ > 0. Тогда
L(x∗)∗h(x) = L(y∗).B(x, y). Кроме того:
1. L(x∗)∗h(x) ∈ R[x]6d−δ−1.
2. L(x∗)∗h(x) ∈ (f(x), h(x))
6δf+d
x .
3. L(x∗)∗h(x) определяется однозначно, с точностью до слагаемого из (f(x))6d−δ−1
x ,
независимо от выбора ∇f(x, y) и выбора ∇x(x, y).
4. L(x∗)∗h(x) определяется однозначно, с точностью до слагаемого из (f(x))6d−δ−1
x ,
независимо от действия L(x∗) вне R[x]6δf+δ.
Доказательство. Эта теорема есть следствие теоремы 2 из [5], если вместо f(x) под-
ставить (f(x), h(x)), вместо δf подставить δf,h = δf +d, вместо △ подставить δf +δ и учесть,
что L(x∗)∗h(x) = L(y∗).B(x, y). Тогда в 1, 3, 4 теорем δf −△− 1 перейдет в (δf + d)− (δf +
+ δ)− 1 = d− δ − 1, в 2 теорем δf перейдет в δf + d, в 4 теорем △ перейдет в δf + δ. Кроме
того, имеет место (f(x), h(x))6d−δ−1
x = (f(x))6d−δ−1
x , так как d− δ − 1 < d = deg(h).
Теорема 3. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — пере-
менные, f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) — полиномы из R[x], δf =
n
∑
i=1
deg(fi) − n.
Пусть Lp(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x))
6δf+δp
x , где δp > 0, здесь p = 1, 2.
Пусть L(x∗) ∈ R[x]∗ и L(x∗) ≡ L1(x∗)∗L2(x∗) на R[x]6δf+δ1+δ2+1. Тогда:
1. L(x∗) аннулирует (f(x))
6δf+δ1+δ2+1
x .
2. Если L1(x∗) аннулирует (h1(x))
6δf+δ1
x , где h1(x) ∈ R[x]6d1 , то
L(x∗)·h1(x) ≡ L2(x)·(L1(x∗)∗h1(x)) на R[x]6δf+δ1+δ2+1−d1 .
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
3. Если L2(x∗) аннулирует (h2(x))
6δf+δ2
x , где h2(x) ∈ R[x]6d2 , то
L(x∗)·h2(x) ≡ L1(x)·(L2(x∗)∗h2(x)) на R[x]6δf+δ1+δ2+1−d2 .
Доказательство 1. В силу 2 теоремы 3 из [1] L1(x∗)∗L2(x∗) аннулирует
(f(x))
6δf+δ1+δ2+1
x . Так как (f(x))
6δf+δ1+δ2+1
x ⊆ R[x]6δf+δ1+δ2+1 и L(x∗) ≡ L1(x∗)∗L2(x∗)
на R[x]6δf+δ1+δ2+1, то L(x∗) аннулирует (f(x))
6δf+δ1+δ2+1
x .
Доказательство 3. Положим D = δf + δ1 + δ2 + 1− d2, пусть g2(x) ∈ R[x]6D. Тогда
L(x∗)·h2(x).g
2(x) = L(x∗).h2(x)·g
2(x) = (L1(x∗)∗L2(x∗)).h2(x)·g
2(x),
так как L(x∗)≡L1(x∗)∗L2(x∗) на R[x]6δf+δ1+δ2+1,
h2(x)·g
2(x) ∈ R[x]6d2 ·R[x]6D = R[x]6d2+D = R[x]6δf+δ1+δ2+1.
Положим S(x) = L2(x∗)∗(h2(x)·g
2(x)) − (L2(x∗)∗h2(x))·g
2(x). Тогда в силу 1 теоремы 1
S(x) ∈ (f(x))6d2+D−δ2−1
x , поскольку h2(x) ∈ R[x]6d2 , g2(x) ∈ R[x]6D, L2(x∗) аннулирует
(f(x), h2(x))
6δf+δ2
x . Так как D = δf+δ1+δ2+1−d2, то d2+D−δ2−1 = δf+δ1, следовательно,
S(x) ∈ (f(x))
6δf+δ1
x . Поскольку L1(x∗) аннулирует (f(x))
6δf+δ1
x , то L1(x∗).S(x) = 0. Тогда
(L1(x∗)∗L2(x∗)).h2(x)·g
2(x) = L1(x∗).L2(x∗)∗(h2(x)·g
2(x)) =
= L1(x∗).((L2(x∗)∗h2(x))·g
2(x) + S(x)) =
= L1(x∗).(L2(x∗)∗h2(x))·g
2(x) + L1(x∗).S(x) =
= L1(x∗)·(L2(x∗)∗h2(x)).g
2(x) + 0.
Следовательно,
L(x∗)·h2(x).g
2(x) = L1(x∗)·(L2(x∗)∗h2(x)).g
2(x).
Тогда в силу произвольности g2(x) ∈ R[x]6D = R[x]6δf+δ1+δ2+1−d2 имеет место
L(x∗)·h2(x) ≡ L1(x∗)·(L2(x∗)∗h2(x)) на R[x]6δf+δ1+δ2+1−d2 .
Доказательство 2. В силу теоремы 4 из [1] имеет место L1(x∗)∗L2(x∗) ≡ L2(x∗)∗L1(x∗)
на R[x]6δf+δ1+δ2+1. Поскольку L(x∗) ≡ L1(x∗)∗L2(x∗) на R[x]6δf+δ1+δ2+1, то имеет место
L(x∗) ≡ L2(x∗)∗L1(x∗) на R[x]6δf+δ1+δ2+1. Тогда из 3 теоремы следует 2 теоремы.
Теорема 4. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — пере-
менные, f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) — полиномы из R[x], δf =
n
∑
i=1
deg(fi) − n.
Пусть hp(x) ∈ R[x]6dp , Lp(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x), hp(x))
6δf+δp
x , где δp > 0,
здесь p = 1, 2.
Пусть L(x∗) ∈ R[x]∗ и L(x∗) ≡ L1(x∗)∗L2(x∗) на R[x]6δf+δ1+δ2+1, пусть h(x) =
= h1(x)·h2(x). Тогда:
1. L(x∗) аннулирует (f(x), h(x))
6δf+δ1+δ2+1
x .
2. L(x∗)∗h(x) − (L1(x)∗h1(x))·(L2(x)∗h2(x)) ∈ (f(x))6(d1+d2)−(δ1+δ2+1)−1
x .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 25
Доказательство. h(x) = h1(x)·h2(x) ∈ R[x]6d1 ·R[x]6d2 = R[x]6d1+d2 . Так как L2(x∗)
аннулирует (f(x), h2(x))
6δf+δ2
x и h2(x) ∈ R[x]6d2 , то в силу 1 теоремы 2 L2(x∗)∗h2(x) ∈
∈ R[x]6d2−δ2−1.
Доказательство 1. Так как функционал Lp(x∗) аннулирует (f(x))
6δf+δp
x для p =
= 1, 2 и L(x∗) ≡ L1(x∗)∗L2(x∗) на R[x]6δf+δ1+δ2+1, то в силу 1 теоремы 3 функционал
L(x∗) аннулирует (f(x))
6δf+δ1+δ2+1
x . Так как L2(x∗) аннулирует (h2(x))
6δf+δ2
x , то в силу 3
теоремы 3 L(x∗)·h2(x) ≡ L1(x∗)·(L2(x∗)∗h2(x)) на R[x]6δf+δ1+δ2+1−d2 . Так как h1(x) ∈
∈ R[x]6d1 , то в силу 2 леммы 2 из [5] L(x∗)·h2(x)·h1(x) ≡ L1(x∗)·(L2(x∗)∗h2(x))·h1(x) на
R[x]6(δf+δ1+δ2+1−d2)−d1 = R[x]6δf+δ1+δ2+1−d1−d2 . Так как L1(x∗) аннулирует (h1(x))
6δf+δ1
x
и L2(x∗)∗h2(x) ∈ R[x]6d2−δ2−1, то в силу 1 леммы 2 из [5] L1(x∗)·(L2(x∗)∗h2(x)) анну-
лирует (h1(x))
6(δf+δ1)−(d2−δ2−1)
x = (h1(x))
6δf+δ1+δ2+1−d2
x . Тогда в силу 2 леммы 1 из [3]
L1(x∗)·(L2(x∗)∗h2(x))·h1(x) ≡ 0(x∗) на R[x]6(δf+δ1+δ2+1−d2)−d1 = R[x]6δf+δ1+δ2+1−d1−d2 ,
так как h1(x) ∈ R[x]6d1 . Следовательно, L(x∗)·h(x) = L(x∗)·h2(x)·h1(x) ≡ 0(x∗) на
R[x]6δf+δ1+δ2+1−d1−d2 . И так как h(x) ∈ R[x]6d1+d2 , то в силу 2 леммы 1 из [3] L(x∗) анну-
лирует (h(x))
6δf+δ1+δ2+1
x . Таким образом, L(x∗) аннулирует (f(x), h(x))
6δf+δ1+δ2+1
x .
Доказательство 2. Доказательство утверждения будет дано в последующих работах.
Теорема 5. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — пе-
ременные, y ≃ x, f(x) = (f1(x), . . . , fn+1(x)) — полиномы из R[x], δf =
n+1
∑
i=1
deg(fi) − n.
Положим
B(x, y) = det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(x)
∥
∥
∥
∥
= det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y)
f(y)
∥
∥
∥
∥
.
Пусть E(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x))
6δf−1
x , E(y∗).B(x, y) = 1. Тогда:
1. Если L(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x))6△
x , то L(y∗).B(x, y) ∈ R[x]6δf−△−1 и
L(x∗) ≡ E(x∗)·(L(y∗).B(x, y)) на R[x]6△,
если к тому же L(y∗).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf−△−1
x , то
L(x∗) ≡ 0(x∗) на R[x]6△.
2. Если F (x) ∈ R[x]6d, то E(x∗)·F (x) аннулирует (f(x))
6δf−d−1
x и
F (x)− (E(y∗)·F (y)).B(x, y) ∈ (f(x))6d
x ,
если к тому же E(x∗)·F (x) ≡ 0 на R[x]6δf−d−1, то
F (x) ∈ (f(x))6d
x .
Доказательство 1. Так как L(x∗) аннулирует (f(x))6△
x , то в силу 1 теоремы 2 из [5]
имеет место L(y∗).B(x, y) ∈ R[x]6δf−△−1. Так как L(x∗) аннулирует (f(x))6△
x , E(x∗) анну-
лирует (f(x))
6δf−1
x , то в силу 4 теоремы 4 из [5]
L(x∗)·(E(y∗).B(x, y)) ≡ E(x∗)·(L(y∗).B(x, y)) на R[x]6△+(δf−1)−(δf−1) = R[x]6△.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
Так как E(y∗).B(x, y) = 1, то L(x∗)·(E(y∗).B(x, y)) = L(x∗)·1 = L(x∗), следовательно,
L(x∗) ≡ E(x∗)·(L(y∗).B(x, y)) на R[x]6△.
Если L(y∗).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf−△−1
x , то в силу 3 леммы 2 из [5] E(x∗)·(L(y∗).B(x, y)) аннули-
рует R[x]6(δf−1)−(δf−△−1) = R[x]6△, так как E(x∗) аннулирует (f(x))
6δf−1
x . Следовательно,
E(x∗)·(L(y∗).B(x, y)) ≡ 0(x∗) на R[x]6△. Тогда L(x∗) ≡ 0(x∗) на R[x]6△.
Доказательство 2. Так как F (x) ∈ R[x]6d, E(x∗) аннулирует (f(x))
6δf−1
x , то в силу 1
леммы 2 из [5] E(x∗)·F (x) аннулирует (f(x))
6(δf−1)−d
x = (f(x))
6δf−d−1
x , и в силу 5 теоремы 3
из [5]
(E(y∗).B(x, y))·F (x)− (E(y∗)·F (y)).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf+d−(δf−1)−1
x = (f(x))6d
x .
Так как E(y∗).B(x, y) = 1, то (E(y∗).B(x, y))·F (x) = 1·F (x) = F (x), следовательно,
F (x)− (E(y∗)·F (y)).B(x, y) ∈ (f(x))6d
x .
Если E(x∗)·F (x)≡0(x∗) на R[x]6δf−d−1, то в силу 4 теоремы 2 из [5]
(E(y∗)·F (y)).B(x, y) − 0(y∗).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf−(δf−d−1)−1
x = (f(x))6d
x ,
поскольку E(x∗)·F (x) аннулирует (f(x))
6δf−d−1
x . И так как 0(y∗).B(x, y) = 0(x), то имеет
место F (x) ∈ (f(x))6d
x .
Следствие 1. Пусть имеют место условия теоремы 5. Тогда:
1. Если L(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x))6△
x , и △ > δf , то L(x∗) ≡ 0(x∗) на R[x]6△.
2. Если F (x) ∈ R[x]6d и d > δf , то F (x) ∈ (f(x))6d
x .
Доказательство. Пусть D<0, тогда R[x]6D = {0}, и (f(x))6D
x = {0}. Следовательно,
если D<0, то R[x]6D = (f(x))6D
x .
Доказательство 1. Так как △ > δf , то δf−△−1 < 0. В силу 1 теоремы 5 L(y∗).B(x, y) ∈
∈ R[x]6δf−△−1 = (f(x))
6δf−△−1
x . Последнее равенство имеет место, так как δf −△− 1 < 0.
Следовательно, L(y∗).B(x, y) ∈ (f(x))
6δf−△−1
x . Тогда в силу 1 теоремы 5 L(x∗) ≡ 0(x∗)
на R[x]6△.
Доказательство 2. Так как d > δf , то δf − d − 1 < 0. В силу 2 теоремы 5 E(x∗)·F (x)
аннулирует (f(x))
6δf−d−1
x = R[x]6δf−d−1. Последнее равенство имеет место, так как
δf − d− 1 < 0. Следовательно, E(x∗)·F (x) ≡ 0(x∗) на R[x]6δf−d−1. Тогда в силу 2 теоре-
мы 5 имеет место F (x) ∈ (f(x))6d
x .
Следствие 2. Пусть имеют место условия теоремы 5. Тогда:
1. Отображение R[x]∗ ∋ L(x∗) 7→ L(y∗).B(x, y) ∈ R[x] индуцирует отображение
((f(x))6△
x )⊥
(R[x]6△)⊥
→
R[x]6δf−△−1
(f(x))
6δf−△−1
x
.
2. Отображение R[x] ∋ F (x) 7→ E(x∗)·F (x) ∈ R[x]∗ индуцирует отображение
R[x]6d
(f(x))6d
x
→
((f(x))
6δf−d−1
x )⊥
(R[x]6δf−d−1)⊥
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 27
3. Если d+△ = δf − 1, то индуцированные отображения в 1 и 2 взаимно обратны.
Доказательство 1. В силу 1 теоремы 2 из [5] образ ((f(x))6△)⊥ при отображении
лежит в R[x]6δf−△−1, в силу 4 той же теоремы образ (R[x]6△)⊥ при отображении лежит
в (f(x))
6δf−△−1
x . Следовательно, имеет место доказываемое утверждение.
Доказательство 2. Так как E(x∗) ∈ ((f(x))
6δf−1
x )⊥, то в силу 1 леммы 2 из [5] образ
R[x]6d при отображении лежит в ((f(x))6δf−d−1)⊥, в силу 3 той же леммы образ (f(x))6d
x
при отображении лежит в (R[x]6δf−d−1)⊥. Следовательно, имеет место доказываемое утвер-
ждение.
Доказательство 3. Композиция индуцированных отображений в 1 и 2 есть отобра-
жение
((f(x))6△
x )⊥
(R[x]6△)⊥
→
((f(x))6△
x )⊥
(R[x]6△)⊥
,
индуцированное отображением R[x]∗ ∋ L(x∗) 7→ E(x∗)·(L(y∗).B(x, y)) ∈ R[x]∗. Это отобра-
жение является тождественным, так как в силу 1 теоремы 5 для любого L(x∗) ∈ ((f(x))6△)⊥
имеет место L(x∗) ≡ E(x∗)·(L(y∗).B(x, y)) на R[x]6△, т. е. L(x∗) − E(x∗)·(L(y∗).B(x, y)) ∈
∈ (R[x]6△)⊥. Композиция индуцированных отображений в 2 и 1 есть отображение
R[x]6d
(f(x))6d
x
→
R[x]6d
(f(x))6d
x
,
индуцированное отображением R[x] ∋ F (x) 7→ (E(y∗)·F (y)).B(x, y) ∈ R[x]. Это отображе-
ние является тождественным, так как в силу 2 теоремы 5 для любого F (x) ∈ R[x]6d имеет
место F (x) − (E(y∗)·F (y)).B(x, y) ∈ (f(x))6d
x . Следовательно, индуцированные отображе-
ния в 1 и 2 являются взаимно обратными.
Теорема 6. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — пере-
менные, f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) — полиномы из R[x], δf =
n
∑
i=1
deg(fi) − n; h(x) ∈ R[x]6d,
δf,h =
n
∑
i=1
deg(fi) + deg(h) − n. Положим
B(x, y) = det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y) ∇h(x, y)
f(x) h(x)
∥
∥
∥
∥
= det
∥
∥
∥
∥
∇f(x, y) ∇h(x, y)
f(y) h(y)
∥
∥
∥
∥
,
где ∇h(x, y) = ∇x(x, y).h(x). Тогда B(x, y) является безутианом полиномов (f(x), h(x)),
и имеет место δf,h = δf + d.
Пусть E(x∗) ∈ R[x]∗ и аннулирует (f(x), h(x))
6δf,h−1
x , E(y∗).B(x, y) = 1. Тогда E(x∗)
аннулирует (f(x), h(x))
6δf+d−1
x и E(x∗)∗h(x) = 1. Кроме того:
1. Если F (x) ∈ R[x]6△, где △ > δf + d, то
F (x)− (E(x∗)∗F (x))·h(x) ∈ (f(x))6△
x , E(x∗)∗F (x) ∈ R[x]6△−d.
2. Если F (x) ∈ R[x]6△
⋂
(f(x))6D
x , где △ > δf + d, то
F (x)− (E(x∗)∗F (x))·h(x) ∈ (f(x))6△
x , E(x∗)∗F (x) ∈ R[x]6△−d ⋂(f(x))6D−d
x .
Доказательство. Из первой части теоремы 2 следует, что B(x, y) является безутианом
полиномов (f(x), h(x)), δf,h = δf + d, E(x∗)∗h(x) = E(y∗).B(x, y) = 1.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №11
Так как △ > δf+d, то △>δf+d−1. Тогда (f(x), h(x))
6δf+d−1
x = (f(x), h(x), F (x))
6δf+d−1
x ,
поскольку F (x) ∈ R[x]6△. Так как E(x∗) аннулирует (f(x), h(x))
6δf+d−1
x , то E(x∗) аннули-
рует (f(x), h(x), F (x))
6δf+d−1
x . Тогда в силу 2 теоремы 1
(E(x∗)∗h(x))·F (x)− (E(x∗)∗F (x))·h(x) ∈ (f(x))6d+△−δ−1
x ,
так как h(x) ∈ R[x]6d, F (x) ∈ R[x]6△. Так как E(x∗)∗h(x) = 1, то (E(x∗)∗h(x))·F (x) =
= 1·F (x) = F (x). Следовательно,
F (x)− (E(x∗)∗F (x))·h(x) ∈ (f(x))6d+△−δ−1
x .
Доказательство 1. Так как E(x∗) аннулирует (f(x), F (x))
6δf+d−1
x и F (x) ∈ R[x]6△, то
в силу 1 теоремы 2 E(x∗)∗F (x) ∈ R[x]6△−(d−1)−1 = R[x]6△−d.
Доказательство 2. Так как E(x∗) аннулирует (f(x), F (x))
6δf+d−1
x и F (x) ∈ (f(x))6D
x ,
то в силу 3 теоремы 2 из [1] E(x∗)∗F (x) ∈ (f(x))6D−(d−1)−1
x = (f(x))6D−d
x . Так как F (x) ∈
∈ R[x]6△, то в силу 1 теоремы E(x∗)∗F (x) ∈ R[x]6△−d. Следовательно, E(x∗)∗F (x) ∈
∈ R[x]6△−d
⋂
(f(x))6D−d
x .
1. Seifullin T.R. Extension of bounded root functionals of a system of polynomial equations // Доп. НАН
України. – 2002. – № 7. – С. 35–42.
2. Сейфуллин Т. Р. Продолжение корневых функционалов системы полиномиальных уравнений и реду-
кция полиномов по модулю ее идеала // Там само. – 2003. – № 7. – С. 19–27.
3. Сейфуллин Т. Р. Нахождение базиса пространства всех корневых функционалов системы полиноми-
альных уравнений и базиса ее идеала путем операции расширения ограниченных корневых функцио-
налов // Там само. – 2003. – № 8. – С. 29–36.
4. Сейфуллин Т. Р. Расширение ограниченных корневых функционалов переопределенной системы по-
линомиальных уравнений // Там само. – 2005. – № 8. – С. 25–30.
5. Сейфуллин Т. Р. Безутиан и ограниченные корневые функционалы системы полиномов // Там само. –
2010. – № 10. – С. 22–28.
Поступило в редакцию 14.01.2010Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
T.R. Seifullin
A Bezoutian and the extension operation of bounded root functionals
A root functional (element of Macaulay’s inverse system) is a linear functional that is defined on a
polynomial ring and annuls the ideal of polynomials. A bounded root functional is a functional that
annuls the d-th component of the ideal in its some semigrading. We consider the interconnection
between the action of bounded root functionals on a multivariate Bezoutian and the extension
operation of bounded root functionals.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №11 29
|