О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении
На основі уточненої теорії типу С.П. Тимошенка, що враховує деформації поперечного зсуву, аналітично розв'язана задача про напружений стан пологої трансверсально-ізотропної сферичної оболонки з двома круговими вирізами. Чисельно досліджені випадки досить близького розташування вирізів як однако...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2010
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31096 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении / В.П. Шевченко, С.В. Закора // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 56-62. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-31096 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-310962012-02-23T12:25:29Z О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении Шевченко, В.П. Закора, С.В. Механіка На основі уточненої теорії типу С.П. Тимошенка, що враховує деформації поперечного зсуву, аналітично розв'язана задача про напружений стан пологої трансверсально-ізотропної сферичної оболонки з двома круговими вирізами. Чисельно досліджені випадки досить близького розташування вирізів як однакових, так і нерівних радіусів в транстропній оболонці під внутрішнім тиском. Виявлено значне збільшення напружень при зменшенні перемички між вирізами та збільшенні параметра поперечних зсувів. On the basis of the improved Tymoshenko-type theory of transversely isotropic shells, the problem on the stressed state of a shallow spherical shell with two circular holes is considered. The cases of a very close location of holes of both identical and nonequal radii in a shell under internal pressure are numerically investigated. The considerable increase of stresses on a shell at the approachment of holes and on increase of the parameter of transversal shear is found. 2010 Article О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении / В.П. Шевченко, С.В. Закора // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 56-62. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31096 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Шевченко, В.П. Закора, С.В. О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении Доповіді НАН України |
| description |
На основі уточненої теорії типу С.П. Тимошенка, що враховує деформації поперечного зсуву, аналітично розв'язана задача про напружений стан пологої трансверсально-ізотропної сферичної оболонки з двома круговими вирізами. Чисельно досліджені випадки досить близького розташування вирізів як однакових, так і нерівних радіусів в транстропній оболонці під внутрішнім тиском. Виявлено значне збільшення напружень при зменшенні перемички між вирізами та збільшенні параметра поперечних зсувів. |
| format |
Article |
| author |
Шевченко, В.П. Закора, С.В. |
| author_facet |
Шевченко, В.П. Закора, С.В. |
| author_sort |
Шевченко, В.П. |
| title |
О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении |
| title_short |
О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении |
| title_full |
О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении |
| title_fullStr |
О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении |
| title_full_unstemmed |
О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении |
| title_sort |
о влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31096 |
| citation_txt |
О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное состояние в транстропной сферической оболочке c двумя круговыми отверстиями при их сближении / В.П. Шевченко, С.В. Закора // Доп. НАН України. — 2010. — № 12. — С. 56-62. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT ševčenkovp ovliâniisdvigovojžestkostinanaprâžennoesostoânievtranstropnojsferičeskojoboločkecdvumâkrugovymiotverstiâmipriihsbliženii AT zakorasv ovliâniisdvigovojžestkostinanaprâžennoesostoânievtranstropnojsferičeskojoboločkecdvumâkrugovymiotverstiâmipriihsbliženii |
| first_indexed |
2025-07-03T11:28:30Z |
| last_indexed |
2025-07-03T11:28:30Z |
| _version_ |
1836625020371075072 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2010
Академик НАН Украины В.П. Шевченко, С.В. Закора
О влиянии сдвиговой жесткости на напряженное
состояние в транстропной сферической оболочке
c двумя круговыми отверстиями при их сближении
На основi уточненої теорiї типу С.П. Тимошенка, що враховує деформацiї поперечного
зсуву, аналiтично розв’язана задача про напружений стан пологої трансверсально-iзо-
тропної сферичної оболонки з двома круговими вирiзами. Чисельно дослiдженi випадки
досить близького розташування вирiзiв як однакових, так i нерiвних радiусiв в транс-
тропнiй оболонцi пiд внутрiшнiм тиском. Виявлено значне збiльшення напружень при
зменшеннi перемички мiж вирiзами та збiльшеннi параметра поперечних зсувiв.
Исследования концентрации напряжений в пластинах и оболочках с несколькими отверс-
тиями, несмотря на свою давнюю историю [1], остаются востребованными [2, 3], особенно
в случаях близкого расположения отверстий между собой [2]. Численные результаты для
трансверсально-изотропной пологой сферической оболочки под действием внутреннего дав-
ления с двумя одинаковыми круговыми отверстиями представлены в работах [3, 4]. При
этом минимальная ширина перемычки составляла 0,25 радиуса выреза [3]. Для растягива-
емой пластины с двумя отверстиями в работе [2] было отмечено, что при близком располо-
жении вырезов происходит значительное увеличение концентрации напряжений. Поэтому
в данной работе для сферической оболочки, в отличие от [3, 4], исследуются случаи бо-
лее близкого расположения двух круговых вырезов как неравных, так и, более детально,
одинаковых.
Постановка задачи. Рассмотрим пологую трансверсально-изотропную сферическую
оболочку с двумя неравными круговыми отверстиями (рис. 1). Предполагаем, что оболочка
нагружена равномерным внутренним давлением интенсивности p = const. Основное напря-
женное состояние оболочки описывается безмоментным решением сплошной оболочки:
T 0
r = p0h, T 0
θ = p0h, S0
rθ = 0, где p0h =
pR
2
. (1)
Возмущенное напряженное состояние, вносимое отверстиями, будем определять исходя
из однородной системы дифференциальных уравнений тонких трансверсально-изотропных
Рис. 1
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
оболочек, предложенной в [1, 4] и основанной на уточненной теории типа С.П. Тимошенко,
учитывающей деформации поперечного сдвига:
∇2∇2U −∇2w = 0; ∇2∇2w +∇2U − 2δ∇2∇2U = 0; (1− ν)δ∇2χ− χ = 0. (2)
Здесь U , w, χ — искомые функции усилий, прогиба и поперечного сдвига; ∇2 =
∂2
∂ρ2
+
+
1
ρ
∂
∂ρ
+
1
ρ2
∂2
∂θ2
— оператор Лапласа в полярной системе координат; δ =
Ehc
2KR
— отно-
сительный безразмерный параметр податливости поперечным сдвигам, где K = µG1h,
c = h/
√
12(1 − ν2), E — модуль Юнга, ν — коэффициент Пуассона, G1 — модуль транс-
версального сдвига, µ = 5/6 — коэффициент сдвига; R — радиус срединной поверхности
оболочки, h — толщина оболочки.
На каждом контуре Γq свободных от напряжений отверстий необходимо выполнить по
пять граничных условий:
(Tr + T 0
r )|Γq = 0; (Gr +G0
r)|Γq = 0; (Srθ + S0
rθ)|Γq = 0;
(Hrθ +H0
rθ)|Γq = 0; (Qr +Q0
r)|Γq = 0.
(3)
Здесь введены полярные координаты xq + iyq = rqe
iθq , где q = 1, 2 — номер контура отвер-
стия, на котором ставятся граничные условия.
Решения однородной системы дифференциальных уравнений (2), убывающие по абсо-
лютной величине при удалении от Γq, согласно [1, 4], имеют три различные аналитические
формы в зависимости от диапазона изменения параметра податливости поперечным сдви-
гам δ. U и w состоят из цилиндрической и полигармонической (степенной) частей U = Uc+
+ Up, w = wc + wp. Удовлетворяющие условиям симметричного расположения контуров
относительно оси x для случая δ > 1 решения имеют вид:
Uc(ρq, θq) =
2
∑
q=1
∞
∑
n=0
[AqnKn(αρqk) +BqnKn(βρqk)] cosnθqk; (4)
Up(ρq, θq) =
2
∑
q=1
∞
∑
n=1
Dqn
1
ρn
qk
cosnθqk; (5)
wc(ρq, θq) =
2
∑
q=1
∞
∑
n=0
[α2AqnKn(αρqk) + β2BqnKn(βρqk)] cos nθqk; (6)
wp(ρq, θq) =
2
∑
q=1
∞
∑
n=1
Cqn
1
ρn
qk
cosnθqk; (7)
χ(ρq, θq) =
2
∑
q=1
∞
∑
n=1
MqnKn(λρqk) sinnθqk. (8)
Для разделения переменных в искомых функциях в q-й системе координат применяется
методика, предложенная А.Н. Гузем в [1] и основанная на использовании теоремы Графа
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 57
для цилиндрических функций в (4), (6), (8) и разложений в ряд Лорана каждого из членов
степенной части решения (5), (7). В результате получаем:
Uc(ρq, θq) =
2
∑
q=1
∞
∑
n=0
{
AqnKn(αρ0q) +
+ In(αρ0q)en
∞
∑
p=0
enpA3−qp(−1)p[Kn−p(αl) +Kn+p(αl)] +BqnKn(βρ0q) +
+ In(βρ0q)en
∞
∑
p=0
enpB3−qp(−1)p[Kn−p(βl) +Kn+p(βl)]
}
cosnθq, (9)
Up(ρq, θq) =
2
∑
q=1
∞
∑
n=1
[
∞
∑
p=1
enp(−1)p(p+ n− 1)!ρn0q cosnθq
(p− 1)!n!lp+n
D3−qp +Dqn
1
ρn0q
]
cosnθq. (10)
Аналогично для wc и wp
χ(ρq, θq) =
2
∑
q=1
∞
∑
n=1
{
In(λρ0q)en
∞
∑
p=0
enpM3−qp(−1)p[Kn−p(λl) +Kn+p(λl)] +
+MqnKn(λρ0q)
}
sinnθq. (11)
Здесь Aq,n, Bq,n, Cq,n, Dq,n, Mq,n — вещественные неизвестные; Im, Km — модифицирован-
ные функции Бесселя первого и второго рода (Km также называют функциями Макдо-
нальда); α =
√
δ +
√
δ2 − 1, β = 1/α, λ = 1/
√
(1− ν)δ; ρqk = rqk/
√
cR — безразмерный
радиус-вектор, где rqk — радиус-вектор с началом в центре Ok контура Γk и концом на
контуре Γq (см. рис. 1); θqk — угол между осью Ox и радиусом-вектором rqk, k = 1, 2; при
k = q ρqk = ρ0q, θqk = θk; l = L/r01 — относительная безразмерная величина расстояния
между центрами отверстий; en =
{
1/2 при n = 0,
1 при n 6= 0,
enp =
{
1 при q = 1,
(−1)n+p при q = 2.
Выражения для усилий и моментов, отвечающих однородным решениям (4)–(11), имеют
вид:
Tθ =
∂2U
∂ρ2
, Tr = ∇2U − Tθ, Hrθ = (1− ν)c
[
δ
(
∇2χ− 2
∂2χ
∂ρ2
)
− ∂
∂ρ
(
1
ρ
∂g
∂θ
)]
,
Gr = c
[
2
λ2
∂
∂ρ
(
1
ρ
∂χ
∂θ
)
− ∂2g
∂ρ2
− ν
(
1
ρ
∂g
∂ρ
+
1
ρ2
∂2g
∂θ2
)]
, Gθ = −(1 + ν)c∇2g −Gr,
Qr =
√
c
R
∂
∂ρ
(
1
ρ
∂χ
∂θ
− ∂
∂ρ
∇2g
)
, Qθ = −
√
c
R
(
∂χ
∂ρ
+
1
ρ
∂
∂θ
∇2g
)
,
Srθ = − ∂
∂ρ
(
1
ρ
∂U
∂θ
)
,
(12)
где g = w + 2δ∇2w − 4δ2∇2U .
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
Рис. 2
Подставляя усилия и моменты из (12) с учетом (9)–(11) в граничные условия (3) и при-
равнивая члены при одинаковых гармониках, получаем бесконечную систему линейных ал-
гебраических уравнений относительно действительных неизвестных Aq,n, Bq,n, Cq,n, Dq,n,
Mq,n. К этой системе, согласно [4], необходимо добавить еще условия однозначности пере-
мещений, которые будут иметь вид: Cq,1 = 0, Dq,1 = 0. Кроме того, при построении системы
в 0-й и 1-й гармониках опускаем зависимые уравнения для Srθ и Qr в соответствии с то-
ждествами [4]. Полученная система решается методом редукции.
Подставляя полученные в результате решения системы значения Aq,n, Bq,n, Cq,n, Dq,n,
Mq,n в формулы (4)–(8), находим функции U , w и χ. Далее по формулам (12) находим в за-
даваемых точках усилия и моменты, которые при переходе к направлениям ~σ, ~τ преобра-
зуются по известным формулам поворота [4] и будут зависеть еще от углов ϕq (см. рис. 1).
Численные исследования были проведены для транстропной сферической оболочки
с коэффициентом Пуассона ν = 0,3 под действием внутреннего давления, ослабленной дву-
мя отверстиями при различных значениях параметра δ, радиусов отверстий и ширины пе-
ремычки между ними. Были вычислены коэффициенты концентрации мембранных kT
r , kT
θ ,
изгибных kИ
r , kИ
θ напряжений и, по энергетической теории прочности [4, 5], относительных
эквивалентных напряжений на наружной поверхности оболочки kН
э и — на внутренней kВ
э .
На рис. 2, 3 и в табл. 1, 2 введены следующие обозначения относительных безразмер-
ных величин: ρ0q = r0q/
√
cR — радиусы отверстий, s = Sr01 — ширина перемычки между
отверстиями. По вертикальной оси рис. 2, а и 3, а откладывались значения относительных
эквивалентных напряжений kН
э , а на рис. 2, б и 3, б — kT
θ , kИ
θ . Возле каждой кривой указано
соответствующее ей значение параметра δ. Параметр η, откладываемый по горизонтальной
оси графиков, принимает следующие значения:
η = 2(q − 1)+
θ∗q
π
при 2(q − 1) 6 η 6 2q−1 — описывает половину контура Γq отверстия,
т. е. в случае симметрии относительно оси Ox 0 6 θ∗q 6 π, где θ∗q = π − θq;
η = 1 +
x1 − r01
S
при 1 6 η 6 2 — по перемычке s, т. е. когда r01 6 x1 6 r01 + S.
В случае двух одинаковых отверстий и симметрии относительно осей Ox и Oy эпюры
напряжений kН
э приводятся только на контуре первого отверстия Γ1 и далее по перемычке
до ее середины, т. е. соответственно 1 6 η 6 1,5.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 59
В табл. 1 приведены результаты расчетов коэффициентов концентрации напряжений
kT
θ , kИ
θ , kН
э для оболочки с двумя одинаковыми круговыми отверстиями в зависимости от
параметра поперечной податливости δ в точках контура Γ1 θ = 0, π/2, π и посредине пере-
мычки s/2 при значениях ее ширины s = 0,25; 0,1 и 0,05. Для сравнения в скобках указаны
значения величин kT
θ , kИ
θ , kН
э , приведенные в [4] для варианта с параметрами r/R = 0,1;
h/R = 0,08; E/G = 200; l/r = 2,25, которым здесь соответствуют ρ01 = ρ02 ≈ 0,643, δ ≈ 2,9
и s = 0,25. В этом случае наблюдается удовлетворительное совпадение результатов: отличие
от работы [3] составляет 0,55–2,9% для kT
θ и 2,8–7,8% для kИ
θ . Однако в некоторых других
случаях, которые здесь не приводятся, отличие может увеличиваться до 4,4% для kTθ и еще
более — до 45% для изгибных напряжений kИ
θ , но значительно меньших, чем kT
θ . Из табл. 1
видно, что наибольшие значения напряжений достигаются в общей точке B (θ∗1 = π) кон-
тура отверстия и края перемычки. Для s = 0,25 при изменении параметра податливости
от δ = 0 до δ = 10, хотя kT
θ и увеличивается на 43%, но при этом уменьшается kИ
θ на 57%
и поэтому суммарное напряжение kН
э увеличивается лишь на 18%. Как видно из табл. 1,
уменьшение ширины перемычки ведет к значительному увеличению напряжений kT
θ , kН
э .
При s = 0,1 и δ = 0; 2,9; 5; 10 максимальные напряжения kН
э в точке B увеличиваются со-
ответственно на 70, 99,5, 104 и 107%, а при s = 0,05 — на 158, 244, 260 и 275% по сравнению
Таблица 1
ρ01 = ρ02 ≈ 0,643
s δ
θ∗1 = 0; т. A θ∗1 = π/2 θ∗1 = π; т. B s/2; т. C
kТ
θ kИ
θ kТ
θ kИ
θ kТ
θ kИ
θ kН
э kН
э
0,25 0 3,107 0,541 2,130 0,709 6,809 2,289 9,098 8,140
2,9 3,638 0,487 3,164 0,300 8,998 1,600 10,598 9,063
(3,62) (0,45) (3,07) (0,29) (9,17) (1,67) (10,84) –
5 3,986 0,433 3,629 0,242 9,360 1,308 10,668 9,030
10 4,681 0,353 4,456 0,184 9,780 0,978 10,758 8,883
0,1 0 3,438 0,495 2,077 0,827 11,462 4,068 15,532 14,847
2,9 3,971 0,503 3,103 0,317 18,013 3,134 21,147 19,804
5 4,285 0,456 3,573 0,244 19,212 2,536 21,748 20,391
10 4,925 0,378 4,415 0,177 20,391 1,846 22,237 20,769
0,05 0 3,659 0,462 2,046 0,905 17,223 6,266 23,489 22,953
2,9 4,279 0,517 3,053 0,336 31,127 5,352 36,479 35,358
5 4,580 0,477 3,523 0,249 34,149 4,345 38,494 37,292
10 5,176 0,399 4,370 0,172 37,280 3,139 40,420 39,110
Таблица 2
ρ01 = 4, ρ02 = 2, δ = 10
s k θ1 = 0; т. A т. B′ s/2; т. C т. D т. E
0,1 kТ
θ 19,958 21,876 13,927 17,564 10,691
kИ
θ 1,113 3,020 2,122 6,410 0,996
kН
э 21,071 24,896 15,923 23,974 11,687
0,07 kТ
θ 19,957 24,605 20,806 25,958 10,769
kИ
θ 1,120 3,576 2,645 8,002 0,990
kН
э 21,077 28,181 23,270 33,960 11,759
0,05 kТ
θ 19,948 29,483 29,688 37,840 10,867
kИ
θ 1,113 3,947 3,328 9,560 0,973
kН
э 21,061 33,421 32,779 47,400 11,840
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
Рис. 3
с вариантом s = 0,25 при тех же значениях δ. При этом также увеличилась роль параме-
тра податливости δ. Так, при s = 0,25 и δ = 10 kН
э увеличилось на 18,3% по сравнению
с вариантом δ = 0, при s = 0,1 — на 43%, а при s = 0,05 — на 72% соответственно.
При δ = 0 использовалась классическая теория пологих изотропных оболочек, основан-
ная на гипотезе Кирхгофа–Лява [1, 4].
На рис. 2, а для двух одинаковых отверстий приведены графики распределения напря-
жений kН
э , а на рис. 2, б — kT
θ , kИ
θ по контуру отверстия ρ01 = ρ02 = 6 (0 6 η 6 1) и до
середины перемычки (1 6 η 6 1,5) при значениях параметра δ = 0; 2; 5; 10. Из сопоставле-
ния рис. 2, а и табл. 1 видно, что с увеличением радиуса отверстий увеличиваются kН
э . Так,
при ρ01 = ρ02 = 6, s = 0,1 и δ = 10 в точке B (см. рис. 2, а) значение kН
э = 36,6 возросло
на 64% по сравнению с kН
э = 22,24 для ρ01 = ρ02 ≈ 0,643 и тех же s и δ (см. табл. 1). Из
рис. 2, б видно, что при увеличении δ увеличение kН
э в опасной точке B (θ∗1 = π) происходит
за счет возрастания kT
θ ; kИ
θ при этом уменьшаются.
Вариант двух неравных отверстий ρ01 = 4 и ρ02 = 2 представлен на рис. 3, а, 3, б
и в табл. 2. Из табл. 2 видно, что при δ = 10 и s = 0,1 напряжения kН
э на контуре Γ1
в точке B′ (θ∗1 ≈ 0,94π), близкой к точке B (θ∗1 = π), практически совпадают по величине
с напряжениями kН
э в точке D (θ∗2 = π) (отличие в 3,8%). Однако при дальнейшем сбли-
жении отверстий (уменьшении перемычки) наблюдается интересный эффект: при том же
параметре δ = 10 максимальные напряжения kН
э смещаются в точку D (θ∗2 = π), общую
для контура меньшего отверстия и края перемычки. Так, при s = 0,07 kН
э в точке D
на 20,5% превышают kН
э в точке B′(θ∗1 ≈ 0,95π), а при s = 0,05 — соответственно на 41,8%
(θ∗1 ≈ 0,96π). Из рис. 3, а и 3, б видно, что так же, как и в случае двух одинаковых отверс-
тий, здесь при увеличении параметра δ происходит увеличение напряжений kН
э на обоих
контурах и в большей степени за счет возрастания kT
θ .
Достоверность полученных результатов.
1. Как уже было отмечено выше, наблюдается удовлетворительное совпадение с резуль-
татами работы [4].
2. Проверялось удовлетворение граничных условий путем непосредственного вычисле-
ния заданных усилий и моментов в точках контуров Γ1 и Γ2 с использованием рядов (4)–(8),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2010, №12 61
т. е. без применения теоремы Графа и ряда Лорана. Вычисления проводились на PC в среде
пакета Maple 10. Точность вычислений можно регулировать, задавая значение системной
переменной Digits, а также число гармоник n в решениях (4)–(8). Так, при задании n = 40
и Digits= 77 погрешность выполнения граничных условий при численной реализации не
превышала 0,0005% от наибольших напряжений в оболочке без отверстия (т. е. от 1,0).
3. Для сравнения с результатами для оболочки с одним отверстием [5] были проведены
расчеты при s = 20, т. е. когда взаимовлияние отверстий отсутствует. Получено полное
совпадение результатов с [5].
4. Проверялась точность выполнения дифференциальных уравнений (2) функциями
с коэффициентами, вычисленными в результате решения системы. Абсолютная погрешность
не превышала 10−41 при Digits = 47.
Таким образом, приведенные в данной работе численные исследования для транстроп-
ной сферической оболочки показали, что при увеличении параметра податливости попе-
речным сдвигам δ и уменьшении ширины перемычки между вырезами напряжения на
ней возрастают и могут увеличиться в несколько раз (в рассмотренных выше примерах
в 2–3,7 раза). Проведенный анализ численных результатов позволяет определить, в каком
месте сферической оболочки возникают зоны большой концентрации напряжений и оценить
их величину. Результаты вместе с разработанной в среде Maple-10 программой расчетов мо-
гут быть использованы в инженерной практике.
1. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Шнеренко К.И. Сферические днища, ослабленные отверстиями. –
Киев: Наук. думка, 1970. – 324 с.
2. Panasyuk V.V., Savruk M.P. On the problem of determination of stress concentration in a stretched plate
with two holes // J. Math. Sci. – 2009. – 162, No 1. – P. 132–148.
3. Шнеренко К. I., Богатирчук А.С., Нещадим О.М. Концентрацiя напружень у сферичних компо-
зитних днищах з отворами // Наук працi Укр. держ. ун-ту харчових технологiй. – 2000. – № 6. –
С. 52–53.
4. Гузь А.Н., Чернышенко И.С., Чехов Вал. Н. и др. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстия-
ми. – Киев: Наук. думка, 1980. – 636 с. – (Методы расчета оболочек: В 5 т. Т. 1.).
5. Zakora S. V., Chekhov V.N., Shnerenko K. I. Stress concentration around a circular hole in a transversely
isotropic spherical shell // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, No 12. – P. 1391–1397.
Поступило в редакцию 17.03.2010Донецкий национальный университет
Academician of the NAS of Ukraine V.P. Shevchenko, S.V. Zakora
On the influence of shear rigidity on the stressed state of a transversely
isotropic shell with two circular holes at their approachment
On the basis of the improved Tymoshenko-type theory of transversely isotropic shells, the problem
on the stressed state of a shallow spherical shell with two circular holes is considered. The cases of
a very close location of holes of both identical and nonequal radii in a shell under internal pressure
are numerically investigated. The considerable increase of stresses on a shell at the approachment
of holes and on increase of the parameter of transversal shear is found.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2010, №12
|