Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана
Initial problems for a new class of systems, which unite the structures of Solonnikov-parabolic and Eidelman-parabolic systems, are considered. The theorem on a correct solvability of these problems in Holder spaces of rapidly growing functions is proved, and an estimate of the norms of solutions th...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3123 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана / С.Д. Івасишен, Г.П. Івасюк // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 7-11. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-3123 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-31232009-09-01T16:38:33Z Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П. Математика Initial problems for a new class of systems, which unite the structures of Solonnikov-parabolic and Eidelman-parabolic systems, are considered. The theorem on a correct solvability of these problems in Holder spaces of rapidly growing functions is proved, and an estimate of the norms of solutions through the corresponding norms of right-hand members of a problem is obtained. For a correctness of such an estimate, the requirement of parabolicity of a system is not only sufficient, but also necessary. 2007 Article Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана / С.Д. Івасишен, Г.П. Івасюк // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 7-11. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3123 517.956.4 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П. Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана |
| description |
Initial problems for a new class of systems, which unite the structures of Solonnikov-parabolic and Eidelman-parabolic systems, are considered. The theorem on a correct solvability of these problems in Holder spaces of rapidly growing functions is proved, and an estimate of the norms of solutions through the corresponding norms of right-hand members of a problem is obtained. For a correctness of such an estimate, the requirement of parabolicity of a system is not only sufficient, but also necessary. |
| format |
Article |
| author |
Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П. |
| author_facet |
Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П. |
| author_sort |
Івасишен, С.Д. |
| title |
Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана |
| title_short |
Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана |
| title_full |
Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана |
| title_fullStr |
Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана |
| title_full_unstemmed |
Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана |
| title_sort |
початковi задачi для параболiчних систем солонникова–ейдельмана |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3123 |
| citation_txt |
Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова–Ейдельмана / С.Д. Івасишен, Г.П. Івасюк // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 7-11. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT ívasišensd počatkovizadačidlâparaboličnihsistemsolonnikovaejdelʹmana AT ívasûkgp počatkovizadačidlâparaboličnihsistemsolonnikovaejdelʹmana |
| first_indexed |
2025-07-02T06:24:36Z |
| last_indexed |
2025-07-02T06:24:36Z |
| _version_ |
1836515303379435520 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2007
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956.4
© 2007
С.Д. Iвасишен, Г. П. Iвасюк
Початковi задачi для параболiчних систем
Солонникова–Ейдельмана
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
Initial problems for a new class of systems, which unite the structures of Solonnikov-parabolic
and Eidelman-parabolic systems, are considered. The theorem on a correct solvability of these
problems in Hölder spaces of rapidly growing functions is proved, and an estimate of the norms
of solutions through the corresponding norms of right-hand members of a problem is obtained.
For a correctness of such an estimate, the requirement of parabolicity of a system is not only
sufficient, but also necessary.
Класичне означення I. Г. Петровського [1] параболiчних систем рiвнянь iз частинними по-
хiдними узагальнено С.Д. Ейдельманом [2] на випадок систем, в яких диференцiюван-
ня за рiзними просторовими змiнними мають, взагалi кажучи, рiзну вагу вiдносно дифе-
ренцiювання за часовою змiнною, тобто системи мають векторну параболiчну вагу
−→
2b :=
= (2b1, . . . , 2bn) (такi системи називаються
−→
2b-параболiчними або параболiчними за Ейдель-
маном), та В.О. Солонниковим [3] — на випадок, коли порядок оператора, який дiє на
невiдому функцiю uj у рiвняннi з номером k, може залежати як вiд j, так i вiд k (такi
системи названi параболiчними за Солонниковим). Дослiдженню задачi Кошi для
−→
2b-пара-
болiчних систем присвяченi працi [2, 4–6], а початкових i крайових задач для параболiчних
за Солонниковим систем — [3, 7, 8].
У даному повiдомленнi розглядаються системи, якi природно узагальнюють параболiчнi
за Солонниковим системи i системи, параболiчнi в розумiннi Ейдельмана (такi системи ми
називаємо параболiчними за Солонниковим системами квазiоднорiдної структури або пара-
болiчними системами Солонникова–Ейдельмана). Вивчення таких систем, в основному для
модельного випадку, розпочато в [9, 10]. Тут наводяться результати їх подальшого дослiд-
ження. Основним iз них є теорема про коректну розв’язнiсть початкових задач у просторах
Гельдера швидко зростаючих функцiй та точнi оцiнки розв’язкiв. Цi результати є новими
для загальних
−→
2b-параболiчних i параболiчних за Солонниковим систем. Вони доповнюють
вiдповiднi результати з [3–7].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 7
1. Нехай n, N , b1, . . . , bn — заданi натуральнi числа, b — найменше спiльне кратне
чисел b1, . . . , bn; m := (m1, . . . ,mn), m0 := 2b, mj := 2b/(2bj), j ∈ {1, . . . , n}; i — уявна
одиниця; A(t, x, ∂t, ∂x) := (Akj(t, x, ∂t, ∂x))Nk,j=1; u := col(u1, . . . , uN ), f := col(f1, . . . , fN ) —
невiдома та задана вектор-функцiї; ΠH := {(t, x) ∈ R
n+1 | t ∈ H,x ∈ R
n}, якщо H ⊂ R;
T — задане додатне число.
Припустимо, що iснують такi числа sk i tj iз Z, що степiнь вiдносно λ многочлена
Akj(t, x, pλm0 , iσλm), σλm := (σ1λ
m1 , . . . , σnλmn), не перевищує sk + tj (якщо sk + tj < 0,
то Akj := 0) i
N∑
k=1
(sk + tk) = 2br, де r — степiнь det A(t, x, p, iσ) як многочлена вiд p.
Нехай A0 := (A0
kj)
N
k,j=1 — головна частина A, тобто A0
kj(t, x, pλm0 , iσλm) =
= λsk+tjA0
kj(t, x, p, iσ).
Означення. Система рiвнянь
A(t, x, ∂t, ∂x)u(t, x) = f(t, x), (t, x) ∈ Π[0,T ], (1)
називається рiвномiрно параболiчною системою Солонникова–Ейдельмана на множинi
Π[0,T ], якщо iснує така стала δ > 0, що для будь-яких (t, x) ∈ Π[0,T ] i σ ∈ R
n p-коренi
рiвняння detA0(t, x, p, iσ) = 0 задовольняють нерiвнiсть
Re p(t, x, σ) 6 −δ(σ2b1
1 + · · · + σ2bn
n ).
Числа tj i sk визначаються неоднозначно. Їхнiй вибiр фiксуватимемо умовою
max
k∈{1,...,N}
sk = 0.
Частинними випадками вищеозначених систем є системи, параболiчнi за Петровським
(mk = 1, k ∈ {1, . . . , n}, sj = 0 i tj = 2bnj , nj ∈ N, j ∈ {1, . . . , N}),
−→
2b-параболiчнi за
Ейдельманом (mk > 1 для принаймнi одного k ∈ {1, . . . , n}, sj = 0 i tj = 2bnj , j ∈ {1, . . . , N})
i параболiчнi за Солонниковим однорiдної структури (mk = 1, k ∈ {1, . . . , n}).
Вважатимемо, що виконується умова:
A) система (1) є рiвномiрно параболiчною в Π[0,T ] зi сталою δ > 0 згiдно з вищенаве-
деним означенням.
2. Для систем (1) задавати початковi умови так, як для систем Петровського, взагалi
кажучи, не можна. Задаватимемо їх так само, як для систем Солонникова з однорiдною
структурою [7].
Нехай B(x, ∂t, ∂x) := (Bkj(x, ∂t, ∂x))r,N
k=1,j=1 — матричний диференцiальний вираз, ϕ =
= col(ϕ1, . . . , ϕr) — задана вектор-функцiя. Припустимо, що iснують такi цiлi числа pk, що
степiнь вiдносно λ многочлена Bkj(x, pλm0 , iσλm) не перевищує pk + tj, а якщо pk + tj < 0,
то Bkj := 0. Тут tj — тi самi, що й у системi (1). Головною частиною виразу B назвемо
вираз B0 := (B0
kj)
r,N
k=1,j=1, де B0
kj(x, pλm0 , iσλm) = λpk+tj B0
kj(x, p, iσ).
Початковi умови для системи (1) задамо у виглядi
B(x, ∂t, ∂x)u(t, x)
∣∣
t=0
= ϕ(x), x ∈ R
n. (2)
Для забезпечення коректностi задачi з умовою (2) матричний вираз B повинен задоволь-
няти вiдповiдну умову доповняльностi, рiвномiрним варiантом якої є умова:
B) iснує така стала δ1 > 0, що для всiх матриць H(p′) (їх означення див. у [7, 10])
i точок x ∈ R
n справджується нерiвнiсть
|det H(p′)(x)| > δ1.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
Зауважимо (див. [7]), що з умови B випливає вiд’ємнiсть чисел pk, k ∈ {1, . . . , r}.
3. При формулюваннi основних результатiв цього повiдомлення користуватимемось та-
кими просторами Гельдера, означеними в [10]:
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ] := H
−→
k (·,−→a )
l+λ i C
−→a
l+λ — простори функцiй, якi визначенi вiдповiдно в Π[0,T ] i R
n,
разом зi своїми похiдними узагальненого порядку не вище l ∈ Z+ можуть певним способом
(який характеризується вектором −→a з невiд’ємними координатами) зростати при |x| →
→ ∞, а старшi похiднi ще задовольняють вiдповiдну вагову умову Гельдера з показником
λ ∈ (0, 1);
Hl+λ,[0,T ] := H
−→
k (·,0)
l+λ,[0,T ] i Cl+λ := C
−→
0
l+λ (
−→
0 := (0, . . . , 0)) — вiдповiднi простори Гельдера
обмежених функцiй;
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ] — пiдпростiр простору H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ], елементи якого разом з усiма своїми похiдни-
ми дорiвнюють нулю при t = 0;
N∏
j=1
H
−→
k (·,−→a )
lj+λ,[0,T ],
N∏
j=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
lj+λ,[0,T ] i
r∏
j=1
C
−→a
lj+λ — декартовi добутки вiдповiдних просторiв з iн-
дексами lj ∈ Z+.
Через ‖ · ‖
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ], ‖ · ‖l+λ,[0,T ] i | · |
−→a
l+λ позначимо норми вiдповiдно в просторах H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ],
Hl+λ,[0,T ] i C
−→a
l+λ.
4. Основним результатом цiєї роботи є теорема про коректну розв’язнiсть початкової
задачi (1), (2).
Теорема 1. Нехай l i λ — заданi числа iз множин Z+ i (0, 1). Якщо виконуються
умови A, B та умова:
C) коефiцiєнти диференцiальних виразiв Akj i Bsj належать вiдповiдно до просто-
рiв Hl−sk+λ,[0,T ] i Cl−ps+λ, {k, j} ⊂ {1, . . . , N}, s ∈ {1, . . . , r}, то для будь-яких f ∈
∈
N∏
j=1
H
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[0,T ] i ϕ ∈
r∏
s=1
C
−→a
l−ps+λ iснує єдиний розв’язок u ∈
N∏
j=1
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ] задачi (1), (2),
для якого справджується оцiнка
N∑
j=1
‖uj‖
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ] 6 C
(
N∑
j=1
‖fj‖
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[0,T ] +
r∑
s=1
|ϕs|
−→a
l−ps+λ
)
, (3)
де стала C залежить тiльки вiд вiдповiдних норм коефiцiєнтiв задачi, сталих δ i δ1
з умов А i B та чисел n, N , bj, tk, sk, ps, l, λ i T .
Доведення теореми 1 проводиться за схемою доведення в [7] вiдповiдної теореми для кра-
йових задач для параболiчних за Солонниковим систем. Центральним моментом доведення
є вивчення такої задачi з нульовими початковими даними в шарi Π[t0,t0+τ ], 0 6 t0 < t0 +
+ τ 6 T :
A(t, x, ∂t, ∂x)v(t, x) = g(t, x), (t, x) ∈ Π[t0,t0+τ ], v ∈
N∏
j=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[t0,t0+τ ], (4)
де g ∈
N∏
j=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[t0,t0+τ ]. Для цiєї задачi доводиться така теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови A, B i C. Тодi iснує таке число τ0, що для
будь-якого числа τ 6 τ0 задача (4) однозначно розв’язна i для її розв’язку справджується
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 9
нерiвнiсть
N∑
j=1
‖vj‖
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[t0,t0+τ ] 6 C
N∑
j=1
‖gj‖
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[t0,t0+τ ],
в якiй стала C залишається обмеженою при τ → 0.
За допомогою цiєї теореми та теореми 1 iз [10] про зведення задачi (1), (2) до задачi
з нульовими початковими даними вже легко доводиться теорема 1.
Щоб довести теорему 2, треба побудувати так званий регуляризатор задачi та дослiдити
його властивостi. Для задачi (4) регуляризатор будується за допомогою операторiв, якi
розв’язують вiдповiднi модельнi задачi. Останнi детально дослiдженi в [10].
5. З теореми 1 випливає, що умова параболiчностi системи (1) є достатньою, щоб справд-
жувалась оцiнка (3) для будь-якого розв’язку u ∈
N∏
j=1
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ] задачi (1), (2). Виявля-
ється, що ця умова є необхiдною, так що правильною є така теорема.
Теорема 3. Нехай система (1) має структуру параболiчної системи Солонникова–
Ейдельмана з параметрами bj, tk, sk, ps i r, число початкових умов (2) дорiвнює r i ди-
ференцiальний вираз B(x, ∂t, ∂x) задовольняє умову B, коефiцiєнти диференцiальних ви-
разiв A i B задовольняють умову C з деякими числами l ∈ Z+ i λ ∈ (0, 1). Для того
щоб система (1) задовольняла умову A, необхiдно i достатньо, щоб iснувала така стала
C > 0, що для всiх вектор-функцiй u ∈
N∏
j=1
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ] справджується нерiвнiсть
N∑
j=1
‖uj‖
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ] 6 C
(
N∑
k,j=1
‖Akjuj‖
−→
k (·,−→a )
l−sk+λ,[0,T ] +
r∑
k=1
N∑
j=1
|Bkjuj |t=0|
−→a
l−pk+λ
)
. (5)
Покажемо, як можна довести необхiднiсть умови параболiчностi для правильностi оцiн-
ки (5) у випадку модельної системи
A0(∂t, ∂x)u(t, x) = f(t, x), (t, x) ∈ Π[0,T ]. (6)
Припустимо, що система (6) не є параболiчною. Тодi iснують такi p0 ∈ C i σ0 :=
= (σ0
1 , . . . , σ
0
n) ∈ R
n, що |p0| + |σ0| 6= 0, Re p0
> 0 i
detA0(p0, σ0) = 0. (7)
При довiльно фiксованому ν > 0 розглянемо матрицю-стовпчик висоти N vν(t, x), всi
елементи якої дорiвнюють exp
{
νm0p0t + i
n∑
j=1
νmjσ0
j xj
}
. Нехай ζ — нескiнченно диферен-
цiйовна i фiнiтна в Π[0,T ] функцiя. Вiзьмемо матрицю-стовпчик
uν(t, x) := [Â0(∂t, ∂x)vν(t, x)]ζ(t, x), (t, x) ∈ Π[0,T ],
де Â0 := detA0(A0)−1 — матриця, взаємна для A0. Оскiльки елементи uνj , j ∈ {1, . . . , N},
матрицi uν є фiнiтними в Π[0,T ], то оцiнка (5) для них має вигляд
N∑
j=1
‖uνj‖l+tj+λ,[0,T ] 6 C
N∑
k,j=1
‖A0
kjuνj‖l−sk+λ,[0,T ]. (8)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
Але ця нерiвнiсть не може виконуватися для досить великих ν > 0. Справдi, найшвидше
зростаючий при ν → ∞ член у лiвiй частинi нерiвностi (8) дорiвнює
Cν2br−s0+l+λ exp{νm0τ Re p0}, τ ∈ (0, T ],
де s0 := min
j∈{1,...,N}
sj. Але оскiльки на пiдставi (7)
A0(∂t, ∂x)[Â0(∂t, ∂x)vν ] = ν2br detA0(p0, iσ0)vν = 0,
то аналогiчний член у правiй частинi зазначеної нерiвностi дорiвнює
Cν2br−s0+l+λ−1 exp{νm0τ Re p0}.
Отже, нерiвнiсть (8) порушується при великих ν.
1. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в
области неаналитических функций // Бюл. Моск. ун-та. Математика и механика. – 1938. – 1, № 7. –
С. 1–72.
2. Эйдельман С.Д. Об одном классе параболических систем // Докл. АН СССР. – 1960. – 133, № 1. –
С. 40–43.
3. Солонников В.А. О краевых задачах для общих параболических систем // Там же. – 1964. – 157,
№ 1. – С. 56–59.
4. Ивасишен С.Д., Эйдельман С.Д.
−→
2b-параболические системи // Тр. сем. по функц. анализу. – Киев:
Ин-т математики АН УССР, 1968. – Вып. 1. – С. 3–175, 271–273.
5. Iвасишен С.Д., Кондур О.С. Про матрицю Грiна задачi Кошi та характеризацiю деяких класiв
розв’язкiв для
−→
2b-параболiчних систем довiльного порядку // Мат. студiї. – 2000. – 14, № 1. – С. 73–84.
6. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-
differential equations of parabolic type. – Basel: Birkhäuser, 2004. – 390 p. – (Operator Theory: Adv. and
Appl. Vol. 152).
7. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных урав-
нений общего вида // Тр. Мат. ин-та. АН СССР. – 1965. – 83. – С. 3–163.
8. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара-
болического типа. – Москва: Наука, 1967. – 736 с.
9. Iвасюк Г.П. Початкова задача для модельних параболiчних за Солонниковим систем неоднорiдної
структури // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. – 2005. – Вип. 269. – С. 49–52.
10. Iвасишен С.Д., Iвасюк Г.П. Параболiчнi за Солонниковим системи квазiоднорiдної структури //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 11. – С. 1501–1510.
Надiйшло до редакцiї 22.02.2007НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 11
|