О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2
A new approach to the construction of approximate solutions of the fuzzy differential equations in the E2 space is proposed. A support function approximation of fuzzy sets by Fejer sums is supposed to the base of the approach.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3124 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2 / В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 12-17. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-3124 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-31242009-07-01T12:00:25Z О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2 Слинько, В.И. Математика A new approach to the construction of approximate solutions of the fuzzy differential equations in the E2 space is proposed. A support function approximation of fuzzy sets by Fejer sums is supposed to the base of the approach. 2007 Article О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2 / В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 12-17. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3124 531.36 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Слинько, В.И. О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2 |
| description |
A new approach to the construction of approximate solutions of the fuzzy differential equations in the E2
space is proposed. A support function approximation of fuzzy sets by Fejer sums is
supposed to the base of the approach. |
| format |
Article |
| author |
Слинько, В.И. |
| author_facet |
Слинько, В.И. |
| author_sort |
Слинько, В.И. |
| title |
О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2 |
| title_short |
О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2 |
| title_full |
О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2 |
| title_fullStr |
О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2 |
| title_full_unstemmed |
О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2 |
| title_sort |
о приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве e2 |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3124 |
| citation_txt |
О приближенных решениях нечетких дифференциальных уравнений в пространстве E2 / В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2007. — № 9. — С. 12-17. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT slinʹkovi opribližennyhrešeniâhnečetkihdifferencialʹnyhuravnenijvprostranstvee2 |
| first_indexed |
2025-07-02T06:24:39Z |
| last_indexed |
2025-07-02T06:24:39Z |
| _version_ |
1836515306808279040 |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2007
В.И. Слынько
О приближенных решениях нечетких
дифференциальных уравнений в пространстве E
2
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Мартынюком)
A new approach to the construction of approximate solutions of the fuzzy differential equations
in the E
2 space is proposed. A support function approximation of fuzzy sets by Fejer sums is
supposed to the base of the approach.
В настоящей работе рассматривается вопрос о построении приближенных решений нечет-
ких дифференциальных уравнений в пространстве E
2. Особенностью этого пространства
является то, что оно изоморфно некоторому замкнутому подмножеству пространства не-
прерывных 2π-периодических функций, что позволяет использовать хорошо разработанный
аппарат теории приближения функций тригонометрическими полиномами при построении
приближенных решений нечетких дифференциальных уравнений.
Общая теория нечетких дифференциальных уравнений изложена в работе [1]. Нечеткие
дифференциальные уравнения в цитируемой работе понимаются в обобщенном смысле, как
фазовое пространство нечеткого дифференциального уравнения принимается пространст-
во нечетких множеств. В настоящей работе в качестве фазового пространства нечетко-
го дифференциального уравнения принимается некоторое функциональное пространство
(пространство опорных функций нечетких множеств), которое изоморфно и изометрично
исходному пространству нечетких множеств. При этом изоморфные пространства обозна-
чаются одинаково. Опишем основные пространства, необходимые для дальнейшего изло-
жения.
Пусть C[0, 2π] — пространство непрерывных 2π-периодических функций. Каждый эле-
мент пространства E
2 можно интерпретировать как функцию двух переменных h(α, φ),
определенных на произведении [0, 1] × [0, 2π]. Определим пространства
Ω = {h(α, φ) | h(α, .) ∈ C[0, 2π]}
с нормой
‖h(α, φ)‖ = sup
α∈(0,1]
‖h(α, .)‖C[0,2π],
и его подпространство
Ωσ =
{
h(α, φ) | h(α, φ) ∈ Ω,
2π
∫
0
h(α, φ) cos φdφ =
2π
∫
0
h(α, φ) sin φdφ = 0
}
.
Функция h(α, φ) ∈ E
2 тогда и только тогда, когда выполняются условия:
а) при любом фиксированном α ∈ [0, 1] для всех φ, ψ, |φ−ψ| 6 π справедливо неравенство
2 cos
φ− ψ
2
h
(
α,
φ+ ψ
2
)
6 h(α, φ) + h(α,ψ); (1)
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
б) при всех φ ∈ [0, 2π] выполняется неравенство
h(α1, φ) 6 h(α2, φ),
если только 0 6 α1 6 α2 6 1;
в) для любой неубывающей последовательности чисел {αk}
∞
k=1, αk ∈ [0, 1] и такой, что
αk → α при k → ∞ выполняется предельное соотношение
h(α, φ) = lim
k→∞
h(αk, φ);
г) для любой невозрастающей последовательности чисел {αk}
∞
k=1, αk ∈ [0, 1] и такой,
что αk → 0 при k → ∞ выполняется предельное соотношение
h(0, φ) = lim
k→∞
h(αk, φ).
Лемма 1. Пусть функция h(α, φ) ∈ Ω удовлетворяет условиям:
(1) при любом фиксированном α ∈ [0, 1] функция h(α, .) ∈ C2[0, 2π];
(2) при всех φ ∈ R
n выполняется неравенство
h(α1, φ) 6 h(α2, φ),
если только 0 6 α1 6 α2 6 1;
(3) для любой неубывающей последовательности чисел {αk}
∞
k=1, αk ∈ [0, 1] и такой,
что αk → α при k → ∞ выполняется предельное соотношение
h(α, φ) = lim
k→∞
h(αk, φ);
(4) для любой невозрастающей последовательности чисел {αk}
∞
k=1, αk ∈ [0, 1] и такой,
что αk → 0 при k → ∞ выполняется предельное соотношение
h(0, φ) = lim
k→∞
h(αk, φ)
и при любом фиксированном α ∈ [0, 1] функция h(α, .) ∈ C2[0, 2π]. Тогда для того чтобы
h(α, φ) ∈ E
2, необходимо и достаточно, чтобы при всех α ∈ [0, 1] и φ ∈ [0, 2π] выполнялось
неравенство
∂2h(α, φ)
∂φ2
+ h(α, φ) > 0. (2)
Следствие. Пусть h ∈ C2[0, 2π], тогда функция h(φ) ∈ K2
C тогда и только тогда,
когда
d2h(φ)
dφ2
+ h(φ) > 0.
Обозначим J(τ) неотрицательную непрерывную 2π-периодическую функцию. Имеет ме-
сто следующий результат.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 13
Лемма 2. Пусть h(α, φ) ∈ E
2, тогда функция g(α, φ) ∈ E
2, где
g(α, φ) =
2π
∫
0
J(φ− τ)h(α, τ) dτ.
Следствие. Множество элементов пространства E
2, для которых при любом фикси-
рованном α ∈ [0, 1] функция h(α, φ) ∈ C∞[0, 2π], всюду плотно в E
2.
Для доказательства необходимо выбрать в качестве функции J(φ) ядро Фейера
J(φ) = ΦN (φ) =
1
2(N + 1)
sin
N + 1
2
φ
sin
φ
2
2
и воспользоваться теоремой Фейера (см. [2]).
Установим условия принадлежности элемента h(α, φ) ∈ Ω пространству E
2. Для любого
α ∈ [0, 1] обозначим
ak(α) =
1
π
2π
∫
0
h(α, φ) cos kφ dφ, k = 0, 1, . . . ,
bk(α) =
1
π
2π
∫
0
h(α, φ) sin kφ dφ, k = 1, 2, . . . .
Теорема 1. Предположим, что функция h(α, φ) ∈ Ω удовлетворяет условиям 2–4
и при любом фиксированном α ∈ [0, 1] и при любом N = 0, 2, . . . тригонометрические
полиномы
a0(α)
2
+
N
∑
k=2
(1 − k2)
(
1 −
k
N + 1
)
(ak(α) cos kφ+ bk(α) sin kφ)
являются неотрицательными, тогда h(α, φ) ∈ E
2, и наоборот.
Приведем определение нечеткого дифференциального уравнения и его решения. Рас-
смотрим в банаховом пространстве Ω дифференциальное уравнение
dh(t)
dt
= F(t, h(t)), h(t0) = h0, (3)
где h(t) ∈ Ω, F ∈ Lip(R+ × E
n,Ω).
Определение 1. Дифференциальное уравнение (3) называется нечетким дифферен-
циальным уравнением, если для любого h0 ∈ E
2 существует дифференцируемая функция
h(t), t > t0, определенная на некотором интервале [t0, t0 + a), 0 < a 6 ∞, со значения-
ми в пространстве E
2 удовлетворяющая дифференциальному уравнению (3) и начальному
условию h(t0) = h0.
Функция h(t), удовлетворяющая условиям определения 1, называется решением нечет-
кого дифференциального уравнения (3).
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
Обозначим Kn
C пространство опорных функций непустых выпуклых компактов на пло-
скости. Далее рассматриваются нечеткие дифференциальные уравнения, правые части ко-
торых удовлетворяют следующему условию: существуют операторы Fα : K2
C → C[0, 2π] та-
кие, что
[F(t, h(t))]α = Fα(t, hα(t)), α ∈ [0, 1],
где hα(t) = h(t, α, .) ∈ C[0, 2π].
Нечеткое дифференциальное уравнение в пространстве E
2
dh(t)
dt
= Fα(t, hα(t)), h(t0) = h0(α, φ) ∈ E
2, (4)
где h(t) ∈ E
2, можно привести к гибридной системе на произведении пространств R
2 ×
× K2
C/R
2 следующим образом:
dx1(t, α)
dt
=
1
π
2π
∫
0
F(t, α, x1(t, α) cos φ+ x2(t, α) sin φ+ y(t, α, φ)) cos φdφ,
dx2(t, α)
dt
=
1
π
2π
∫
0
F(t, α, x1(t, α) cos φ+ x2(t, α) sin φ+ y(t, α, φ)) sin φdφ,
(5)
dy(t, α, φ)
dt
= F(t, α, x1(t, α) cos φ+ x2(t, α) sin φ+ y(t, α, φ)) −
−
1
π
2π
∫
0
cos(φ− s)F(t, α, x1(t, α) cos s+ x2(t, α) sin s+ y(t, α, s)) ds (6)
с начальными условиями
x1(t0, α) =
1
π
2π
∫
0
h0(α, φ) cos φdφ, x2(t0, α) =
1
π
2π
∫
0
h0(α, φ) sin φdφ,
y(t0, α, φ) = h0(α, φ) −
1
π
2π
∫
0
cos(φ− s)h(α, s) ds ∈ E
2 ⋂
Ωσ.
(7)
Наряду с задачей (5)–(7) рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, которую в дальнейшем будем называть системой N -го приближения
для нечеткого дифференциального уравнения (3).
dx
(N)
1 (t, α)
dt
=
1
π
2π
∫
0
F(t, α, x
(N)
1 (t, α) cos φ+ x
(N)
2 (t, α) sin φ+ y(N)(t, α, φ)) cos φdφ,
dx
(N)
2 (t, α)
dt
=
1
π
2π
∫
0
F(t, α, x
(N)
1 (t, α) cos φ+ x
(N)
2 (t, α) sin φ+ y(N)(t, α, φ)) sin φdφ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 15
da
(N)
k (t, α)
dt
=
1
π
2π
∫
0
F(t, α, x
(N)
1 (t, α) cos φ+ x
(N)
2 (t, α) sin φ+ y(N)(t, α, φ)) cos kφ dφ,
k = 0, 2, . . . , N, (8)
db
(N)
k (t, α)
dt
=
1
π
2π
∫
0
F(t, α, x
(N)
1 (t, α) cos φ+ x
(N)
2 (t, α) sin φ+ y(N)(t, α, φ)) sin kφ dφ,
k = 2, . . . , N,
где
y(N)(t, α, φ) =
a0(t, α)
2
+
N
∑
k=2
1 −
k
N + 1
(ak(t, α) cos kφ+ bk(t, α) sin kφ),
с начальными условиями
x
(N)
1 (t0, α) =
1
π
2π
∫
0
h0(α, φ) cos φdφ, x
(N)
2 (t0, α) =
1
π
2π
∫
0
h0(α, φ) cos φdφ,
a
(N)
k (t0, α) =
1
π
2π
∫
0
h0(α, φ) cos kφ dφ, k = 0, 2, . . . , N,
b
(N)
k (t0, α) =
1
π
2π
∫
0
h0(α, φ) sin kφ dφ, k = 2, . . . , N.
Сформулируем основной результат работы.
Теорема 2. Предположим, что оператор F(t, .) определяет нечеткое дифференциаль-
ное уравнение и в области DT,r = {(t, h) | 0 6 t − t0 6 T, ‖h − h0‖Ω 6 r, т. е. существует
постоянная L такая, что
‖F(t, α, h′) −F(t, α, p, h′′)‖Ω 6 L‖h′ − h′′‖Ω
при всех (t, h′) ∈ DT,r, (t, h′′) ∈ DT,r. Тогда
x
(N)
i (t, α) → xi(t, α), i = 1, 2, при N → ∞,
y(N)(t, α, φ) → y(t, α, φ) при N → ∞
при всех (t, α, φ) ∈ R+ × [0, 1] × [0, 2π] равномерно по (t, α) ∈ [t0, t0 + T ] × [0, 1], T > 0.
Теорема 1 позволяет построить приближенные решения нечеткого дифференциального
уравнения (3), взяв в качестве приближенного решения функции
h(N)(t) =
(
1 −
1
N + 1
)
(x1(t, α) cos φ+ x2(t, α) sin φ) + y(N)(t, α, φ).
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №9
1. Lakshmikantham V., Ram Mohapatra. Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions. – Melbourne:
Florida Institute of Technology, 2003. – 178 p. (Manuscript).
2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. – Москва; Ленинград: ОГИЗ, 1947. – 324 с.
Поступило в редакцию 18.12.2006Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 517.912
© 2007
Р.М. Тацiй, О. О. Власiй
Еквiвалентна рекурентна формула для узагальненого
квазiдиференцiального рiвняння та її застосування
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
The equivalence of an (n+m)-order generalized quasi-differential equation and an (n+m)-order
difference equation which will be named by the equivalent recurrent formula is established.
Applications of the equivalent recurrent formula are considered.
Вперше iснування точної рiзницевої схеми для диференцiальних рiвнянь другого порядку
з сумовними коефiцiєнтами було доведене А.А. Самарським в [1]. У даному повiдомлен-
нi пропонується дещо iнший пiдхiд до побудови точних рiзницевих схем, який дає змогу
одержати такi схеми для квазiдиференцiальних рiвнянь (КДР)довiльного порядку з уза-
гальненими коефiцiєнтами. У роботi [2] було одержано еквiвалентне рекурентне спiввiдно-
шення (точну рiзницеву схему) для узагальненого КДР другого порядку способом, який не
вдалося поширити для КДР вищих порядкiв.
У роботi використовуватимемо такi позначення: I — вiдкритий iнтервал дiйсної осi R;
BV +
loc(I) — простiр неперервних справа функцiй локально обмеженої на I варiацiї; L2(I) —
простiр квадратично сумовних за Лебегом на I функцiй; δ(x−xs) — функцiя Дiрака з носiєм
у точцi xs; ∆C(x) = C(x)−C(x−0) — стрибок матрицi-функцiї C(x), елементи якої належать
класу BV +
loc(I), у точцi x ∈ I; ωN — довiльне розбиття вiдрiзка [a; b] ⊂ I: ωN = {xi : a ≡
≡ x0 < x1 < · · · < xk < xk+1 < · · · < xN ≡ b}.
Розглянемо КДР
n
∑
i=0
m
∑
j=0
(−1)m−j(aij(x)y
(n−i)(x))(m−j) = 0. (1)
На коефiцiєнти aij(x) накладемо такi умови:
A) a−1
00 (x) — обмежена i вимiрна на I функцiя;
B) ai0(x), a0j(x) ∈ L2(I), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m;
C) aij(x) = b′ij(x), bij(x) ∈ BV +
loc(I), i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №9 17
|