Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi

We consider a following special case of Artinian ﬁnitary modules. Let D be a Dedekind domain and G is a group. The DG-module A is said to be bounded Artinian ﬁnitary, if A is Artinian ﬁnitary, and there are the numbers bF (A) = b, bd(A) = d, b, d ∈ N and a ﬁnite subset bσ(A) = τ ⊆ Spec(D) such that...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автори:	Курдаченко, Л.А., Субботiн, I.Я., Чупордя, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2007
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3157
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про обмежено артінові фінітарні модулі / Л.А. Курдаченко, І.Я. Субботін, В.А. Чупордя // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 23-26. — Бібліогр.: 12 назв. — укp.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-3157
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-31572009-07-02T12:00:41Z Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi Курдаченко, Л.А. Субботiн, I.Я. Чупордя, В.А. Математика We consider a following special case of Artinian ﬁnitary modules. Let D be a Dedekind domain and G is a group. The DG-module A is said to be bounded Artinian ﬁnitary, if A is Artinian ﬁnitary, and there are the numbers bF (A) = b, bd(A) = d, b, d ∈ N and a ﬁnite subset bσ(A) = τ ⊆ Spec(D) such that lF (A/CA(g)) 6 b, ld(A/CA(g)) 6 d and AssD(A/CA(g)) ⊆ τ for every element g ∈ G. Here, we study the bounded Artinian ﬁnitary modules under some natural restriction. 2007 Article Про обмежено артінові фінітарні модулі / Л.А. Курдаченко, І.Я. Субботін, В.А. Чупордя // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 23-26. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3157 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Курдаченко, Л.А. Субботiн, I.Я. Чупордя, В.А. Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi
description	We consider a following special case of Artinian ﬁnitary modules. Let D be a Dedekind domain and G is a group. The DG-module A is said to be bounded Artinian ﬁnitary, if A is Artinian ﬁnitary, and there are the numbers bF (A) = b, bd(A) = d, b, d ∈ N and a ﬁnite subset bσ(A) = τ ⊆ Spec(D) such that lF (A/CA(g)) 6 b, ld(A/CA(g)) 6 d and AssD(A/CA(g)) ⊆ τ for every element g ∈ G. Here, we study the bounded Artinian ﬁnitary modules under some natural restriction.
format	Article
author	Курдаченко, Л.А. Субботiн, I.Я. Чупордя, В.А.
author_facet	Курдаченко, Л.А. Субботiн, I.Я. Чупордя, В.А.
author_sort	Курдаченко, Л.А.
title	Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi
title_short	Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi
title_full	Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi
title_fullStr	Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi
title_full_unstemmed	Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi
title_sort	про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3157
citation_txt	Про обмежено артінові фінітарні модулі / Л.А. Курдаченко, І.Я. Субботін, В.А. Чупордя // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 23-26. — Бібліогр.: 12 назв. — укp.
work_keys_str_mv	AT kurdačenkola proobmeženoartinovifinitarnimoduli AT subbotiniâ proobmeženoartinovifinitarnimoduli AT čupordâva proobmeženoartinovifinitarnimoduli
first_indexed	2025-07-02T06:26:18Z
last_indexed	2025-07-02T06:26:18Z
_version_	1836515410501959680
fulltext	7. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1957. – 438 с. 8. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. – Москва: Наука, 1966. – 672 с. 9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. – Москва: Наука, 1973. – 296 с. Поступило в редакцию 16.02.2007НТУ Украины “Киевский политехнический институт” Самарский государственный экономический университет УДК 512.544 © 2007 Л.А. Курдаченко, I. Я. Субботiн, В.А. Чупордя Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi (Представлено членом-кореспондентом НАН України В. П. Моторним) We consider a following special case of Artinian finitary modules. Let D be a Dedekind domain and G is a group. The DG-module A is said to be bounded Artinian finitary, if A is Artinian finitary, and there are the numbers bF (A) = b, bd(A) = d, b,d ∈ N and a finite subset bσ(A) = τ ⊆ Spec(D) such that lF (A/CA(g)) 6 b, ld(A/CA(g)) 6 d and AssD(A/CA(g)) ⊆ ⊆ τ for every element g ∈ G. Here, we study the bounded Artinian finitary modules under some natural restriction. Нехай F — поле, G — група i A — FG-модуль. Будемо говорити, що A — фiнiтарний мо- дуль, або що G — фiнiтарна лiнiйна група, якщо для кожного елемента g ∈ G фактормодуль A/CA(g) має скiнченну вимiрнiсть над F . Вивчення фiнiтарних лiнiйних груп було першим кроком на шляху розвитку теорiї нескiнченно вимiрних лiнiйних груп. Зараз теорiя фiнi- тарних лiнiйних груп розвинута досить добре, накопичено багато цiкавих результатiв (див., напр., [1]). Цей iстотний прогрес вказує на можливiсть розширення теорiї фiнiтарних груп у рiзних напрямках. Беручи до уваги той факт, що артiновi та нетеровi модулi над кiльцями є природними узагальненнями векторних просторiв скiнченної вимiрностi, Б. Верфрiц [2] ввiв до розгляду таке узагальнення фiнiтарних груп i фiнiтарних модулiв, як скiнченно фiнi- тарнi групи. Нехай R — кiльце, G — група, A — RG-модуль. Група G називається скiнченно фiнiтарною, якщо для кожного елемента g ∈ G фактормодуль A/CA(g) є скiнченним. Важливим типом скiнченно фiнiтарних модулiв є мiнiмально нескiнченнi модулi, тобто модулi кожний власний фактормодуль яких є скiнченним. Цi модулi, детально розглядалися в книзi [3, гл. 6–8]. У роботi [4] Б. Верфрiц ввiв артiново-фiнiтарнi та нетерово-фiнiтарнi групи. Група G називається артiново-фiнiтарною (вiдповiдно, нетерово-фiнiтарною), якщо для кожного еле- мента g ∈ G фактормодуль A/CA(g) є артiновим (вiдповiдно, нетеровим) R-модулем. У сво- їх роботах [2, 4] Б. Верфрiц розглядає перший природний випадок, коли R = Z — кiльце цiлих чисел. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 23 З наведених означень випливає, що ми можемо розглядати фiнiтарнi лiнiйнi групи та скiнченно фiнiтарнi групи як лiнiйний аналог FC-груп. Аналогiчно, ми можемо розгляда- ти артiново-фiнiтарнi (вiдповiдно, нетерово-фiнiтарнi) групи як лiнiйний аналог CC-груп (вiдповiдно, PC-груп). Одним з перших важливих результатiв теорiї FC-груп була теорема Б. Неймана [5] про будову груп, у яких класи спряжених елементiв скiнченнi i їх порядки обмеженi деяким натуральним числом b. Нагадаємо, що група G називається BFC-гру- пою, якщо iснує число b ∈ N, що \|G : CG(g)\| 6 b, для кожного елемента g групи G. Б. Нейман довiв, що комутант BFC-групи буде скiнченною пiдгрупою. В роботi [6] було розглянуто лiнiйний аналог результата Б. Неймана. А саме, ця робота була присвячена обмеженим фiнiтарним лiнiйним групам. Групу G будемо називати обмежено фiнiтарною лiнiйною групою, якщо iснує таке натуральне число b, що dimF (A/CA(g)) 6 b, для кожного елемента g ∈ G. Вiдзначимо, що пiдмодуль A(ωFG) є аналогом комутанта (тут через ωFG позначається фундаментальний iдеал групового кiльця FG). Неважко побудувати приклад такої елементарної абелевої обмежено фiнiтарної p-групи G над простим полем F = Fp, щоб dimF (A(ωFG)) була нескiнченною [6]. Але за деяких природних обмежень на p-секцiї обмежено фiнiтарних груп у роботi [6] була доведена скiнченнiсть dimF (A(ωFG)), тобто отримано лiнiйний аналог наведеної вище теореми Б. Неймана. Метою даної роботи є розширення цих результатiв на артiново-фiнiтарнi модулi. Не- хай A — артiновий Z-модуль, iнакше кажучи, A — абелева чернiковська група. Тодi A має такi числовi iнварiанти. Якщо D — максимальна подiльна пiдгрупа A (подiльна частина A), тодi D = K1 ⊕ · · · ⊕ Kd, де Kj — квазiциклiчна пiдгрупа, 1 6 j 6 d. Число d = ld(A) є iн- варiантом для A. Iншим важливим iнварiантом є порядок lF (A) факторгрупи A/D. Якщо G — група, то ZG-модуль A будемо називати обмежено артiновим фiнiтарним, якщо A є артiново-фiнiтарним модулем i iснують такi натуральнi числа bF (A) = b, bd(A) = d та така скiнченна пiдмножина τ простих чисел, що lF (A/CA(g)) 6 b, ld(A/CA(g)) 6 d i Π(A/CA(g)) ⊆ τ . Це визначення може бути поширено i на DG — модулi, де D — дедекiндова область. Нагадаємо деякi поняття, якi будуть потрiбними далi. Нехай R — комутативне кiльце, A — R-модуль. Нехай tR(A) = {a ∈ A \| AnnR(a) 6= 〈0〉}. Якщо R — не має дiльникiв нуля, то пiдмножина tR(A) буде пiдмодулем A. Пiдмодуль tR(A) називається R-перiодичною частиною A, якщо A = tR(A), то модуль A називається R-перiодичним, якщо ж tR(A) = 〈0〉, то говоритимемо, що модуль A не має R-скруту. Нехай D — дедекiндова область. Покладемо Spec(D) = {P \| P є максимальним iдеалом D}. Якщо I є iдеалом D, тодi покладемо AI = {a ∈ A \| aIn = 〈0〉,для деякого натурального числа n}. Неважко бачити, що AI буде D-пiдмодулем A. Пiдмодуль AI називається I-компонентою A. Якщо A збiгається зi своєю I-компонентою, то говоритимемо, що A є I-модулем над кiль- цем D. Покладемо далi ΩI,n(A) = {a ∈ A \| aIn = 〈0〉}. 24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10 Легко бачити, що ΩI,n(A) є D-пiдмодулем i ΩI,n(A) 6 ΩI,n+1(A), для кожного n ∈ N, а також⋃ n∈N ΩI,n(A) = AI . Покладемо AssD(A) = {P ∈ Spec(D) \| AD 6= 〈0〉}. Тодi tD(A) = ⊕ P∈π AP , де π = AssD(A) (див., напр., [7]). Якщо C — простий D-модуль, то C ∼= R/P , для деякого P ∈ Spec(D). Позначимо D-iн’єктивну оболонку C через CP∞ i називатимемо цей модуль прюферовим P -модулем. Як i в теорiї абелевих груп, можна показати, що CP∞ ∼= liminj{D/Pn \| n ∈ N}. За своєю будовою CP∞ є P -модулем, бiльше того, ΩP,k(CP∞) ∼=D D/P k, та ΩP,k+1(CP∞)/ΩP,k(CP∞) ∼= (D/P k+1)/(P/P k+1) ∼= D/P , для всiх k ∈ N. Отже, якщо B є власним D-пiдмодулем CP∞, то iснує номер k, що B = ΩP,k(CP∞). Слiд також вiдзначити, що прюферiв P -модуль CP∞ є монолiтичним i його D-монолiт збiгається з C = ΩP,1(CP∞). Якщо A є артiновим D-модулем, тодi A буде D-перiодичним i A = ⊕ P∈π AP , де множина π = AssD(A) є скiнченною. Крiм того, AP = C1 ⊕ · · · ⊕ Ck ⊕ E1 ⊕ · · · ⊕ Ed, де Cj — цик- лiчний P -пiдмодуль, 1 6 j 6 k, а Ej — прюферiв P -пiдмодуль, 1 6 j 6 d (див., напр., [8, теорема 5.7]). Бiльше того, цей розклад єдиний з точнiстю до iзоморфiзму [9, теорема 1.7]. Нехай 0 6= x ∈ D. D-модуль A називається x-подiльним, якщо A = Ax. Якщо A буде x-подiльним для довiльного ненульового елемента x ∈ D, то говоритимемо, що A є D-по- дiльним. Вiдзначимо, що прюферiв P -модуль є D-подiльним (див., напр., [8, лема 5.1]). Тому кожний артiновий D-модуль A розкладається в пряму суму максимального D-подiльного пiдмодуля B (B називають D-подiльною частиною A) i скiнченно породженого D-перiоди- чного пiдмодуля C. За наведеним вище B = K1 ⊕ · · · ⊕ Kd, де Ki — прюферiв P -модуль, 1 6 i 6 d, i цей розклад буде єдиним з точнiстю до iзоморфiзму. Зокрема, число d є iнварi- антом для модуля A. Покладемо d = ld(A). Фактормодуль A/B є D-перiодичним i скiнченно породженим, тому вiн має скiнченний ряд пiдмодулiв з D-простими факторами. З теоре- ми Жордана–Гельдера випливає, що довжина цього ряду також буде iнварiантом для A. Позначимо це число через lF (A). Нехай D — дедекiндова область i G — група. Модуль A над груповим кiльцем DG нази- вається обмежено артiновим фiнiтарним модулем, якщо A є артiново-фiнiтарним i iснують такi натуральнi числа bF (A) = b, bd(A) = d i скiнченна пiдмножина bσ(A) = τ ⊆ Spec(D), що lF (A/CA(g)) 6 b, ld(A/CA(g)) 6 d i AssD(A/CA(g)) ⊆ τ , для кожного g ∈ G. Нехай π(A) = {p \| p = char(D/P ), для всiх P ∈ τ}. У роботi дослiджуються обмежено артiновi фiнiтарнi модулi A над груповим кiльцем DG, де D — дедекiндова область, а G — узагальнено розв’язна група з деякими обмежен- нями на p-секцiї для всiх p ∈ π(A). Нагадаємо, що група G має скiнченний спецiальний ранг r(G) = r, якщо кожна її скiн- ченно породжена пiдгрупа може бути породжена не бiльш нiж r елементами i r — найменше число, що має таку властивiсть. Це поняття було введено А. I. Мальцевим у роботi [10]. Нехай p — просте число. Будемо говорити, що група G має скiнченний секцiйний p-ранг rp(G) = r, якщо кожна елементарна абелева p-секцiя групи G є скiнченною та має порядок, що не перевищує pr i при цьому iснує така елементарна абелева p-секцiя K/L, що \|K/L\| = pr. Будемо говорити, що група G має скiнченний секцiйний 0-ранг, r0(G) = r0, якщо спецi- альний ранг кожної абелевої секцiї без скруту не перевищує r0 i iснує така абелева секцiя ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 25 A/B, що r(A/B) = r0. Для розв’язних груп цi поняття були введенi А. I. Мальцевим [11] i Д. Робiнсоном [12, 6.1]. Основними результатами роботи є Теорема 1. Нехай D — дедекiндова область, G — локально розв’язна група i A — DG-модуль. Припустимо, що А — обмежено артiновий фiнiтарний модуль i bF (A) = b, bd(A) = d, bσ(A) = τ i \|τ \| = t. Нехай ще iснує таке натуральне число r, rp(G) 6 r, для всiх p ∈ π(A). Тодi: (a) пiдмодуль A(ωDG) буде артiновим, бiльше того, lF (A(ωDG)) 6 f1(b,d, r), ld(A(ωDG)) 6 f2(b,d, r) i AssD(A(ωDG)) ⊆ τ для деяких цiлочислових функцiй f1, f2; (b) фактор-група G/CG(A) має скiнченний спецiальний ранг, бiльше того, r(G/CG(A)) 6 f3(b,d, r) для деякої цiлочислової функцiї f3. Група G називається узагальнено радикальною, якщо G має зростаючий ряд, кожний фактор якого є або локально нiльпотентним, або локально скiнченним. Теорема 2. Нехай D — дедекiндова область, G — локально узагальнено радикальна група i A — DG-модуль. Припустимо, що A — обмежено артiновий фiнiтарний модуль i bF (A) = b, bd(A) = d, bσ(A) = τ i \|τ \| = t. Нехай ще iснує натуральне число r таке, що rp(G) 6 r, для всiх p ∈ π(A). Тодi: (a) пiдмодуль A(ωDG) буде артiновим, бiльше того, lF (A(ωDG)) 6 f4(b,d, r), ld(A(ωDG)) 6 f5(b,d, r) i AssD(A(ωDG)) ⊆ τ для деяких цiлочислових функцiй f4, f5; (b) факторгрупа G/CG(A) має скiнченний спецiальний ранг, бiльше того, r(G/CG(A)) 6 6 f6(b,d, r) для деякої цiлочислової функцiї f6. 1. Phillips R. Finitary linear groups: a survey “Finite and locally finite groups” / NATO ASI ser. C 471. – Dordrecht: Kluwer, 1995. – P. 111–146. 2. Wehrfritz B. A.F. Finite – finitary groups of automorphisms // J. Algebra and Its Applications. – 2002. – 1, No 4. – P. 375–389. 3. Kurdachenko L.A., Otal J., Subbotin I.Ya. Groups with prescribed quotient groups and associated module theory. – Singapore: World Scientific, 2002. – 227 p. 4. Wehrfritz B.A. F. Finitary and artinian – finitary groups over the integers Z // Ukrain. Math. J. – 2002. – 54, No 6. – P. 753–763. 5. Neumann B.H. Groups covered by permutable subsets // J. London Math. Soc. – 1954. – 29. – P. 236–248. 6. Kirichenko V.V., Kurdachenko L.A., Polyakov N.V. On certain finitary modules // Ukrain. Math. Congr., 2001; Third Intern. Algebraic Conf. in Ukraine “Algebraic structures and their applications”: Proceedings. – Kiev, 2002. – P. 283–296. 7. Matlis E. Cotorsion modules. – Providence: Memoirs Amer. Math. Soc., 1964. – Vol. 49. – P. 66. 8. Kurdachenko L.A., Otal J., Subbotin I.Ya. Groups with prescribed quotient groups and associated module theory. – Singapore: World Scientific, 2002. – 227 p. 9. Kurdachenko L.A., Otal J., Subbotin I.Ya. Artinian modules over group rings. – Basel: Birkhauser, 2006. – 259 p. 10. Maltsev A. I. On the groups of finite rank // Mat. Sbornik. – 1948. – 22, No 2. – P. 351–352. 11. Maltsev A. I. On certain classes of infinite soluble groups // Ibid. – 1951. – 28, No 3. – P. 567–588. 12. Robinson D. J. S. Infinite soluble and nilpotent groups. – London: Queen Mary Colledge, Mathematics Notes, 1968. – 210 p. Надiйшло до редакцiї 05.03.2007Днiпропетровський нацiональний унiверситет 26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10

Про обмежено артiновi фiнiтарнi модулi

Репозитарії

Схожі ресурси