Точечные косизигии системы полиномов
A point cosyzygy has a 0-dimensional support analogously to a point distribution.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3158 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Точечные косизигии системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 27-32. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-3158 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-31582009-07-02T12:00:40Z Точечные косизигии системы полиномов Сейфуллин, Т.Р. Математика A point cosyzygy has a 0-dimensional support analogously to a point distribution. 2007 Article Точечные косизигии системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 27-32. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3158 512 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Сейфуллин, Т.Р. Точечные косизигии системы полиномов |
| description |
A point cosyzygy has a 0-dimensional support analogously to a point distribution. |
| format |
Article |
| author |
Сейфуллин, Т.Р. |
| author_facet |
Сейфуллин, Т.Р. |
| author_sort |
Сейфуллин, Т.Р. |
| title |
Точечные косизигии системы полиномов |
| title_short |
Точечные косизигии системы полиномов |
| title_full |
Точечные косизигии системы полиномов |
| title_fullStr |
Точечные косизигии системы полиномов |
| title_full_unstemmed |
Точечные косизигии системы полиномов |
| title_sort |
точечные косизигии системы полиномов |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3158 |
| citation_txt |
Точечные косизигии системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 27-32. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT sejfullintr točečnyekosizigiisistemypolinomov |
| first_indexed |
2025-07-02T06:26:21Z |
| last_indexed |
2025-07-02T06:26:21Z |
| _version_ |
1836515413614133248 |
| fulltext |
УДК 512
© 2007
Т.Р. Сейфуллин
Точечные косизигии системы полиномов
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Летичевским)
A point cosyzygy has a 0-dimensional support analogously to a point distribution.
В настоящей работе будем использовать определения и обозначения [1–5].
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — переменные, f(x) =
= (f1(x), . . . , fs(x)) — полиномы из R[x]. Обозначим R[x]∗ = HomR(R[x],R) — множество
линейных над R отображений R[x] → R, такие отображения называются функционала-
ми. В работах [1, 2] было введено понятие корневого функционала, обобщающее понятие
корня на случай кратных корней. Корневым функционалом называется функционал, анну-
лирующий идеал полиномов f(x). Простому корню x ≡ λ ∈ R
n соответствует функционал
1x(λ) : H(x) 7→ H(λ), он аннулирует идеал полиномов (x − λ) = (x1 − λ1, . . . , xn − λn).
Кратному корню x ≡ λ соответствуют функционалы, аннулирующие некоторую степень
идеала полиномов (x − λ), такие функционалы назовем локальными в точке x ≡ λ. Сумма
локальных функционалов является точечным распределением. Точечное распределение ан-
нулирует идеал (F (x))x, где F (x) = (F1(x), . . . , Ft(x)) — некоторые полиномы из R[x] такие,
что R[x]/(F (x))x является конечно порожденным как модуль над R. Функционалы, удов-
летворяющие последнему условию, назовем точечными. Если R является алгебраически
замкнутым полем, то любой точечный функционал является суммой локальных функцио-
налов. Функционалы являются бесконечно компонентными объектами, но из работ [6–8]
видно, что точечный функционал полностью задается конечной его частью, т. е. действием
на полиномы ограниченной степени.
В работе [3] были обобщены результаты работ [1, 2] на весь комплекс Кошуля, при этом
элементы дуального комплекса Кошуля есть линейные функционалы на комплексе Кошуля,
т. е. линейные над R отображения его в R. Поэтому аналогично введено понятие точечного
элемента дуального комплекса Кошуля.
Лемма 1. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — пере-
менные, M — модуль над R[x] конечно порожденный как модуль над R. Пусть h(x) —
полином из R[x], h — переменная. Тогда:
1) существует унитарный полином T (h) ∈ R[h] такой, что M · T (h(x)) = {0};
2) существует система полиномов F (x) = (F1(x), . . . , Fn(x)) из R[x] такая, что имеет
место M·(F (x))x = {0} и R[x]/(F (x))x является конечно порожденным как модуль над R.
Доказательство 1. Пусть M = (M1, . . . ,MD) — вектор образующих M как модуля
над R. Тогда Mp · h(x) =
∑
q
Mq · Aq
p для p = 1, D, где Aq
p ∈ R для p = 1, D и q = 1, D.
Следовательно, имеет место
∑
q
Mq ·(A
q
p−Eq
p ·h(x)) = 0; где E — единичная матрица размера
D × D, т. е. такая, что Eq
p = 1, если p = q; Eq
p = 0, если p 6= q. Тогда M · det(A − E · h(x)) =
= M ·E ·det(A−E ·h(x)) = M ·(A−E ·h(x)) ·(A−E ·h(x))⊥ = 0, так как M ·(A−E ·h(x)) = 0;
здесь для матрицы C = ‖Cq
p‖
q=1,D
p=1,D, C⊥ обозначает присоединенную матрицу ‖(C⊥)pq‖
p=1,D
q=1,D ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 27
где (C⊥)pq = (−1)p+q · det ‖Cq′
p′‖
q′=1,D&q′ 6=q
p′=1,D&p′ 6=p. Пусть T (h) = det(A − E · h), это унитарный,
т. е. с коэффициентом 1 при старшей степени переменной, полином степени D из R[h], тогда
Mp · T (h(x)) = 0, следовательно, M · T (h(x)) = {0}, поскольку {Mp|p = 1,D} порождают
M как модуль над R. (См. также [9, с. 32]).
Доказательство 2. В силу 1 леммы для полинома hj(x) = xj существует унитарный
полином Tj(hj) степени D такой, что M · Tj(hj(x)) = {0}. Положим Fj(x) = Tj(hj(x)) =
= Tj(xj), тогда M · Fj(x) = {0}, следовательно, M · (F (x))x = {0}. При этом R[x]/(F (x))x
является конечно порожденным как модуль над R, так как конечное множество {xα =
= xα1
1 · . . . · xαn
n | ∀i = 1, n : 0 6 αi 6 D − 1} порождает R[x]/(F (x))x как модуль над R.
Определение 1. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) —
переменные, M — модуль над R[x].
M′ называется точечным подмодулем модуля M, если M′ является подмодулем модуля
M и является конечно порожденным как модуль над R.
Элемент M из M назовем точечным, если M ∈ M′, где M′ является точечным под-
модулем модуля M. Обозначим M• множество всех точечных элементов из M.
Лемма 2. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные, M — модуль над R[x].
1) Пусть M′ и M′′ — точечные подмодули модуля M, тогда M′ + M′′ является
точечным подмодулем модуля M.
2) Пусть M ′ и M ′′ — точечные элементы модуля M, тогда M ′ + M ′′ и M ′ − M ′′
являются точечными элементами модуля M.
3) Пусть M — точечный элемент модуля M, F (x) ∈ R[x], тогда M · F (x) является
точечным элементом модуля M.
4) M• является подмодулем модуля M.
Доказательство 1. Так как M′ и M′′ — точечные подмодули модуля M, то явля-
ются подмодулями модуля M и являются конечно порождеными как модули над R. Из
первого утверждения следует, что M′ + M′′ является подмодулем модуля M; из второго
утверждения следует, что M′ + M′′ является конечно порожденным как модуль над R.
Следовательно, M′ + M′′ является точечным подмодулем модуля M.
Доказательство 2. Так как M ′ и M ′′ — точечные элементы модуля M, то M ′ ∈ M′
и M ′′ ∈ M′′, где M′ и M′′ — точечные подмодули модуля M. Тогда в силу 1 леммы M′+M′′
является точечным подмодулем модуля M. Так как M ′ + M ′′ и M ′ − M ′′ принадлежат
M′ + M′′, то являются точечными элементами модуля M.
Доказательство 3. Так как M — точечный элемент модуля M, то M ∈ M′, где M′ —
точечный подмодуль модуля M, тогда M · F (x) ∈ M′, так как M′ является подмодулем
модуля M, который является модулем над R[x]. Следовательно, M ·F (x) является точечным
элементом модуля M.
Доказательство 4. Утверждение следует из 2 и 3 леммы.
Лемма 3. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные, M — модуль над R[x].
Элемент M ∈ M является точечным тогда и только тогда, когда существуют по-
линомы F (x) = (F1(x), . . . , Ft(x)) из R[x] такие, что R[x]/(F (x))x является конечно по-
рожденным как модуль над R и имеет место M · (F (x))x = {0}.
Доказательство 1. Пусть M · (F (x))x = {0}, и R[x]/(F (x))x является конечно по-
рожденным как модуль над R. Пусть {ω1(x), . . . , ωD(x)} — образующие R[x]/(F (x))x как
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
модуля над R. Тогда M ∈ M · R[x], M · R[x] является подмодулем модуля M, кроме того,
{M ·ω1(x), . . . ,M ·ωD(x)} являются образующими M ·R[x] как модуля над R, т. е. M ·R[x]
является конечно порожденным как модуль над R. Следовательно, M является точечным.
Пусть M является точечным, тогда M ∈ N , где N является подмодулем модуля M над
R[x] и конечно порожденным как модуль над R. Тогда в силу 2 леммы 1 существует система
полиномов F (x) = (F1(x), . . . , Ft(x)) из R[x] такая, что N · (F (x))x = {0}, и R[x]/(F (x))x
является конечно порожденным как модуль над R. Поскольку M ∈ N , то M ·(F (x))x = {0}.
Лемма 4. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные. Пусть M, N — модули над R[x], τ : M → N линейное над R[x] отображение.
1) Если M′ является точечным подмодулем модуля M, то τ.M′ является точечным
подмодулем модуля N .
2) Если M ′ является точечным элементом модуля M, то τ.M ′ является точечным
элементом модуля N .
Доказательство 1. Так как M′ является точечным подмодулем модуля M, то являет-
ся подмодулем модуля M и является конечно порожденным как модуль над R. Из первого
утверждения следует, что τ.M′ является подмодулем модуля N , так как отображение τ
является линейным над R[x]. Из второго утверждения следует, что τ.M′ является конечно
порожденным как модуль над R, так как отображение τ является линейным над R; ли-
нейность отображения τ над R следует из его линейности над R[x]. Следовательно, τ.M′
является точечным подмодулем модуля N .
Доказательство 2. Так как M ′ является точечным элементом модуля M, то M ′ ∈
∈ M′, где M′ — точечный подмодуль модуля M. Тогда τ.M ′ ∈ τ.M′ и в силу 1 леммы
τ.M′ является точечным подмодулем модуля N . Следовательно, τ.M′ является точечным
элементом модуля N .
Лемма 5. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные, (C, ∂) — комплекс над R[x].
Тогда (C•, ∂) является подкомплексом комплекса (C, ∂) над R[x].
Доказательство. Пусть c ∈ C•, т. е. c является точечным, тогда в силу 2 леммы 4 ∂[c]
является точечным, т. е. ∂[c] ∈ C•, так как ∂ является линейным над R[x] отображением
C → C. В силу 4 леммы 2 C• является подмодулем модуля C над R[x]. Следовательно,
(C•, ∂) является подкомплексом комплекса (C, ∂) над R[x].
Определение 2. При условиях леммы 5, если c1, c2 ∈ C и c1 − c2 = ∂[c], где c ∈ C•, то
будем писать c1
∂•
≃ c2. Понятно, что в этом случае если c2 ∈ C•, то и c1 ∈ C•.
Определение 3. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) —
переменные.
Пусть f(x) = (f1(x), . . . , fs(x)) — полиномы из R[x], ∂ : f̂x 7→ f(x). Обозначим C
•(x∗, f̂
x
∗ )
множество точечных элементов C(x∗, f̂
x
∗ ) как модуля над R[x]. Заметим, что C
•(x∗, f̂
x
∗ )
является подкомплексом комплекса C(x∗, f̂
x
∗ ) над R[x]. Обозначим
Z
•(x∗, f̂
x
∗ ) = Z(C•(x∗, f̂
x
∗ )),
B
•(x∗, f̂
x
∗ ) = B(C•(x∗, f̂
x
∗ )),
H
•(x∗, f̂
x
∗ ) = H(C•(x∗, f̂
x
∗ )).
Элементы Z
•(x∗, f̂
x
∗ ) назовем точечными косизигиями.
Лемма 6. Пусть R коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — переменные,
f(x) = (f1(x), . . . , fs(x)) — полиномы из R[x], ∂ : f̂x 7→ f(x).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 29
Если c(x∗, f̂
x
∗ ) ∈ C
•(x∗, f̂
x
∗ ), a(x, f̂x) ∈ C(x, f̂x), то a(x, f̂x) · c(x∗, f̂
x
∗ ) ∈ C
•(x∗, f̂
x
∗ ).
Доказательство. Так как отображение
C(x∗, f̂
x
∗ ) ∋ c(x∗, f̂
x
∗ ) 7→ a(x, f̂x) · c(x∗, f̂
x
∗ ) ∈ C(x∗, f̂
x
∗ )
является линейным над R[x], и c(x∗, f̂
x
∗ ) ∈ C
•(x∗, f̂
x
∗ ), т. е. является точечным, то в силу 2
леммы 4 a(x, f̂x) · c(x∗, f̂
x
∗ ) является точечным, т. е. ∈ C
•(x∗, f̂
x
∗ ).
В дополнение к теореме 1 из [5] сформулируем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть R коммутативное кольцо с единицей; x = (x1, . . . , xn) — перемен-
ные; f(x) = (f1(x), . . . , fs(x)), F (x) = (F1(x), . . . , Ft(x)) — полиномы из R[x]; ∂ : f̂x, f̂
′
x 7→
7→ f(x), F̂x, F̂ ′
x 7→ F (x). Тогда:
1) если c(x∗, f̂
x
∗ ) ∈ C(x∗, f̂
x
∗ ) является точечным, то его образ при отображении
C(x∗, f̂
x
∗ ) ∋ c(x∗, f̂
x
∗ ) 7→ ⊥
x
⊤
f̂ ′
x
x0 · det ‖F̂ x
∗ ‖ · exp(f̂ ′
xf̂x
∗ ) · c(x∗, f̂
′x
∗ ) =
= det ‖F̂ x
∗ ‖ · c(x∗, f̂
x
∗ ) ∈ C(x∗, f̂
x
∗ , F̂ x
∗ )
является точечным;
2) если c(x∗, f̂
x
∗ , F̂ x
∗ ) ∈ C(x∗, f̂
x
∗ , F̂ x
∗ ) является точечным, то его образ при отображении
C(x∗, f̂
x
∗ , F̂ x
∗ ) ∋ c(x∗, f̂
x
∗ , F̂ x
∗ ) 7→ ⊥
x
⊤
f̂ ′
x
⊤
F̂ ′
x
x0 · (F̂ ′
x)0 · exp(f̂ ′
xf̂x
∗ ) · c(x∗, f̂
′x
∗ , F̂ ′x
∗ ) =
= ⊤
F̂x
(F̂x)0 · c(x∗, f̂
x
∗ , F̂ x
∗ ) ∈ C(x∗, f̂
x
∗ )
является точечным.
Доказательство 1, 2. Поскольку оба отображения являются линейными над R[x], то
утверждения имеют место в силу леммы 4.
В дополнение к теоремам 2, 3 из [4], теореме 3 из [5] сформулируем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей 1; x = (x1, . . . , xn) —
переменные; f(x) = (f1(x), . . . , fs(x)) и F (x) = (F1(x), . . . , Ft(x)) — полиномы из R[x];
Fj(x) =
∑
i
fi(x)Gi
j(x) для j = 1, t, где Gi
j(x) ∈ R[x] для i = 1, s и j = 1, t; ∂ : f̂x 7→ f(x),
F̂x 7→ F (x). Тогда:
1) если c(x∗, f̂
x
∗ ) ∈ C(x∗, f̂
x
∗ ) является точечным, то его образ при отображении
C(x∗, F̂
x
∗ ) ∋ c(x∗, F̂
x
∗ ) 7→ c′(x∗, f̂
x
∗ ) = ⊤
F̂x
⊥
x
det
∥∥∥∥∥
G(x) −f̂x
∗
F̂x 0
∥∥∥∥∥ · c(x∗, F̂
x
∗ ) ∈ C(x∗, f̂
x
∗ )
является точечным;
2) если c(x∗, f̂
x
∗ ) ∈ C(x∗, f̂
x
∗ ) является точечным, то его образ при отображении
C(x∗, f̂
x
∗ ) ∋ c(x∗, f̂
x
∗ ) 7→ ⊤
f̂x
⊥
x
c(x∗, f̂
x
∗ ) · det ‖f̂xG(x)F̂ x
∗ ‖ ∈ C(x∗, F̂
x
∗ )
является точечным.
Доказательство 1, 2. Поскольку оба отображения являются линейными над R[x], то
утверждения имеют место в силу 2 леммы 4.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
Уточним теорему 4 из [3] (теорему 5 из [4], теорему 4 из [5]).
Теорема 3. Пусть R коммутативное кольцо с единицей; y ≃ x = (x1, . . . , xn) — наборы
переменных; f(x) = (f1(x), . . . , fs(x)) — полиномы из R[x]; ∂ : f̂x 7→ f(x), f̂y 7→ f(y).
Если R[x]/(f(x))x является конечно порожденным как модуль над R, то существует
точечный e(x∗, f̂
x
∗ ) ∈ Z(x∗, f̂
x
∗ ) такой, что
⊤
y
⊤
f̂y
det
∥∥∥∥∥
∇f(x, y)
f̂x − f̂y
∥∥∥∥∥ · e(y∗, f̂
y
∗ )
∂
≃ x0 · (f̂x)
0 = 1.
Доказательство. Из теоремы 4 из [4] и из доказательства теоремы 4 из [5] следует,
что существует система полиномов F (x) = (F1(x), . . . , Fn(x)) из R[x] такая, что Fj(x) =
=
∑
i
fi(x) · Gi
j(x) для j = 1, n, где Gi
j(x) ∈ R[x] для i = 1, s и j = 1, n, и для которой при
∂ : F̂x 7→ F (x), F̂y 7→ F (y) существует E(x∗, F̂
x
∗ ) ∈ Z
0(x∗, F̂
x
∗ ) такой, что
⊤
y
⊤
F̂y
det
∥∥∥∥∥
∇f(x, y)
F̂x − F̂y
∥∥∥∥∥ · E(y∗, F̂
y
∗ ) = x0 · (F̂x)0 = 1.
Тогда E(x∗, F̂
x
∗ ) = l(x∗) · 1F̂x
(0̂) и ∂[E(x∗, F̂
x
∗ )] =
∑
j
⊥
x
Fj(x)F̂ j,x
∗ · (l(x∗) · 1F̂x
(0̂)) = 0̂∗, где
l(x∗) ∈ R[x]∗. Последнее равенство означает, что l(x∗) · Fj(x) = 0∗ для любого j = 1, n,
т. е. l(x∗) аннулирует (F (x))x. Тогда следуя теореме 3 из [4] (там имеется ошибка при опи-
сании e(x∗, f̂
x
∗ )) или продолжению доказательства теоремы 4 из [5] получаем, что для
e(x∗, f̂
x
∗ ) = ⊤
F̂x
⊥
x
det
∥∥∥∥∥
G(x) f̂x
∗
−F̂x 0
∥∥∥∥∥ · E(x∗, F̂
x
∗ )
имеет место ∂[e(x∗, f̂
x
∗ )] = 0 и
⊤
y
⊤
f̂y
det
∥∥∥∥
∇f(x, y)
f̂x − f̂y
∥∥∥∥ · e(y∗, f̂
y
∗ )
∂
≃ x0 · (f̂x)
0 = 1.
В доказательстве теоремы 4 из [4] и в доказательстве теоремы 4 из [5] Fj(x) = Tj(xj) ·x
0, где
Tj(xj) — унитарный полином. Как было показано в доказательстве 2 леммы 1, R[x]/(F (x))x
является конечно порожденным как модуль над R. Поскольку l(x∗) · (F (x))x = {0∗}, то
E(x∗, F̂
x
∗ ) · (F (x))x = l(x∗) · 1F̂x
(0̂) · (F (x))x = {0̂∗}, тогда в силу леммы 3 E(x∗, F̂
x
∗ ) явля-
ется точечным. Поскольку E(x∗, F̂
x
∗ ) является точечным, то в силу 1 теоремы 2 e(x∗, f̂
x
∗ )
является точечным.
1. Сейфуллин Т. Р. Корневые функционалы и корневые полиномы системы полиномов // Доп. НАН
України. – 1995. – № 5. – С. 5–8.
2. Сейфуллин Т.Р. Корневые функционалы и корневые соотношения полиномов системы полиномов //
Там само. – 1995. – № 6. – С. 7–10.
3. Сейфуллин Т.Р. Гомологии комплекса Кошуля системы полиномиальных уравнений // Там само. –
1997. – № 9. – С. 43–49.
4. Сейфуллин Т. Р. Комплексы Кошуля систем полиномов, связанных линейной зависимостью // Неко-
торые вопросы современной математики. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1998. – С. 326–349.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 31
5. Сейфуллин Т. Р. Комплексы Кошуля вложенных систем полиномов и двойственность // Доп. НАН
України. – 2000. – № 6. – С. 26–34.
6. Seifullin T.R. Extension of bounded root functionals of a system of polynomial equations // Там само. –
2002. – No 7. – С. 35–42.
7. Сейфуллин Т.Р. Продолжение корневых функционалов системы полиномиальных уравнений и ре-
дукция полиномов по модулю ее идеала // Там само. – 2003. – № 7. – С. 19–27.
8. Сейфуллин Т. Р. Расширение ограниченных корневых функционалов переопределенной системы по-
линомиальных уравнений // Там само. – 2005. – № 8. – С. 25–30.
9. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. – Москва: Мир, 1972. – 160 с.
Поступило в редакцию 19.10.2006Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
УДК 531.36
© 2007
В.И. Слынько
Об устойчивости приближенных решений нечетких
дифференциальных уравнений в пространстве E
2
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Мартынюком)
The stability of solutions of differential equations in the E
2 space is investigated. The Lyapunov
function is constructed by using the classical isoperimetric Brunn-Minkowski inequality.
В работе [1, 2] изложен подход к построению приближенных решений нечетких диффе-
ренциальных уравнений в пространстве E
2. В рамках этого подхода естественной является
постановка задачи об устойчивости приближенных решений данного класса уравнений.
Рассмотрим нечеткое дифференциальное уравнение в пространстве E
2
dh(t)
dt
= F(t, h(t)), h(t0) = h0, (1)
где h(t) ∈ Ω, F : R+ × E
n → Ω.
Относительно этого уравнения сделаем следующие предположения.
Предположение. Нечеткое дифференциальное уравнение (1) такое, что:
1) оператор F в области DT,r = {(t, h) | 0 6 t − t0 6 T, ‖h − h0‖Ω 6 r} удовлетворяет
условию Липшица, т. е. существует постоянная L такая, что
‖F(t, α, h′) −F(t, α, h′′)‖Ω 6 L‖h′ − h′′‖Ω
при всех (t, h′) ∈ DT,r, (t, h′′) ∈ DT,r;
2) существуют операторы Fα : K2
C → C[0, 2π], где K2
C — пространство опорных функ-
ций непустых выпуклых компактов на плоскости, такие, что
[F(t, h(t))]α = Fα(t, hα(t)), α ∈ [0, 1],
где hα(t) = h(t, α, .) ∈ C[0, 2π].
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
|