Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів
Методом сингулярних інтегральних рівнянь розглянуто плоску періодичну задачу теорії пружності для площини з нескінченним рядом близько розміщених криволінійних отворів. Особливу увагу приділено єдиному підходу до розв’язування задач концентрації напружень біля отворів з гострими та закругленими верш...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31727 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів / М.П. Саврук, А. Казберук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 70-81. — Бібліогр.: 23 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-31727 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-317272012-03-16T12:09:22Z Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів Саврук, М.П. Казберук, А. Методом сингулярних інтегральних рівнянь розглянуто плоску періодичну задачу теорії пружності для площини з нескінченним рядом близько розміщених криволінійних отворів. Особливу увагу приділено єдиному підходу до розв’язування задач концентрації напружень біля отворів з гострими та закругленими вершинами. Таким способом отримано розв’язки задач про пружну взаємодію еліптичних, овальних і ромбічних отворів та фізичних щілин для довільної віддалі між отворами. За допомогою граничного переходу, коли віддаль між межовими контурами прямує до нуля, знайдено коефіцієнти концентрації та інтенсивності напружень у закруглених та гострих вершинах відповідних двобічних вирізів у пружній площині. Методом сингулярных интегральных уравнений рассмотрена плоская периодическая задача теории упругости для плоскости с бесконечным рядом близко размещенных криволинейных отверстий. Особое внимание уделено единому подходу к решению задач концентрации напряжений около отверстий с острыми и закругленными вершинами. Таким способом получены решения задач об упругом взаимодействии эллиптических, овальных и ромбических отверстий, а также физических щелей при произвольном расстоянии между отверстиями. С помощью граничного перехода, когда расстояние между граничными контурами стремится к нулю, найдены коэффициенты концентрации и интенсивности напряжений в закругленных и острых вершинах соответствующих двухсторонних вырезов в упругой плоскости. A plane periodic problem of elasticity theory for a plane with an infinite series of closely located curvilinear holes is considered by a singular integral equation method. A special attention is paid to the unified approach to solution of the problems of stress concentration near holes with sharp and rounded apexes. In such a way the solutions of problems of elastic interaction between elliptic, oval and rhombic holes, and also physical flaws were obtained for arbitrary distance between holes. Using the transition to the limit when the distance between boundary contours approached zero, the stress concentration and intensity factors were found at the rounded and sharp apexes of the corresponding two-sided notches in an elastic plane. 2009 Article Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів / М.П. Саврук, А. Казберук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 70-81. — Бібліогр.: 23 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31727 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом сингулярних інтегральних рівнянь розглянуто плоску періодичну задачу теорії пружності для площини з нескінченним рядом близько розміщених криволінійних отворів. Особливу увагу приділено єдиному підходу до розв’язування задач концентрації напружень біля отворів з гострими та закругленими вершинами. Таким способом отримано розв’язки задач про пружну взаємодію еліптичних, овальних і ромбічних отворів та фізичних щілин для довільної віддалі між отворами. За допомогою граничного переходу, коли віддаль між межовими контурами прямує до нуля, знайдено коефіцієнти концентрації та інтенсивності напружень у закруглених та гострих вершинах відповідних двобічних вирізів у пружній площині. |
| format |
Article |
| author |
Саврук, М.П. Казберук, А. |
| spellingShingle |
Саврук, М.П. Казберук, А. Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Саврук, М.П. Казберук, А. |
| author_sort |
Саврук, М.П. |
| title |
Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів |
| title_short |
Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів |
| title_full |
Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів |
| title_fullStr |
Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів |
| title_full_unstemmed |
Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів |
| title_sort |
напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31727 |
| citation_txt |
Напруження у пружній площині з періодичною системою близько розміщених отворів / М.П. Саврук, А. Казберук // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 70-81. — Бібліогр.: 23 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT savrukmp napružennâupružníjploŝinízperíodičnoûsistemoûblizʹkorozmíŝenihotvorív AT kazberuka napružennâupružníjploŝinízperíodičnoûsistemoûblizʹkorozmíŝenihotvorív |
| first_indexed |
2025-07-03T12:11:21Z |
| last_indexed |
2025-07-03T12:11:21Z |
| _version_ |
1836627716380557312 |
| fulltext |
70
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2009. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
НАПРУЖЕННЯ У ПРУЖНІЙ ПЛОЩИНІ З ПЕРІОДИЧНОЮ
СИСТЕМОЮ БЛИЗЬКО РОЗМІЩЕНИХ ОТВОРІВ
M. П. САВРУК 1, А. КАЗБЕРУК 2
1 Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, Львів;
2 Білостоцька політехніка, Польща
Методом сингулярних інтегральних рівнянь розглянуто плоску періодичну задачу
теорії пружності для площини з нескінченним рядом близько розміщених криволі-
нійних отворів. Особливу увагу приділено єдиному підходу до розв’язування задач
концентрації напружень біля отворів з гострими та закругленими вершинами. Таким
способом отримано розв’язки задач про пружну взаємодію еліптичних, овальних і
ромбічних отворів та фізичних щілин для довільної віддалі між отворами. За допо-
могою граничного переходу, коли віддаль між межовими контурами прямує до ну-
ля, знайдено коефіцієнти концентрації та інтенсивності напружень у закруглених та
гострих вершинах відповідних двобічних вирізів у пружній площині.
Ключові слова: механіка руйнування, коефіцієнт інтенсивності напружень, періо-
дична система отворів, двобічний виріз, метод сингулярних інтегральних рівнянь.
Періодичні задачі теорії пружності для площини з нескінченним рядом
криволінійних отворів розглядали багато дослідників [1–8]. Числові резуль-
тати для коефіцієнтів концентрації напружень отримано, в основному, для
кругових та еліптичних отворів, коли відносна віддаль між ними не є мала.
На контурах близько розміщених отворів спостерігається велика концентра-
ція напружень. Через це виникають значні обчислювальні труднощі під час
дослідження розподілу напружень. Сучасні комп’ютери та нові числові мето-
ди розв’язування інтегральних рівнянь дають змогу розрахувати порядок осо-
бливості максимальних напружень і знайти числовий коефіцієнт при цій осо-
бливості для отворів різної конфігурації та малих віддалей між ними. Знання
особливості напружень важливе для розробки прямих числових методів роз-
в’язування подібних задач. Такі дослідження можна використати також, щоб
отримати розв’язки нових задач за допомогою граничних переходів.
Нижче методом сингулярних інтегральних рівнянь розглянуто плоску
періодичну задачу теорії пружності для площини з нескінченним рядом
близько розміщених криволінійних отворів. За єдиним підходом до розв’язу-
вання задач концентрації напружень біля отворів з гострими та закругленими
вершинами [9, 10] на основі розв’язку задачі для гладкого межового контуру
отримано коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) для гострих вершин
отворів. Граничним переходом отримано також коефіцієнти концентрації та
інтенсивності напружень у закруглених та гострих вершинах двобічних кри-
волінійних вирізів у пружній площині.
Інтегральне рівняння задачі. Розглянемо пружну площину з періодич-
ною системою криволінійних отворів, рівномірно розміщених вздовж осі Ох
основної декартової системи координат хОу (область S –). Межовий контур Lk
Контактна особа: М. П. САВРУК, e-mail: savruk@ipm.lviv.ua
71
0( )L L= кожного отвору віднесено до локальної системи координат k k kx O y ,
вісь k kO x якої напрямлена вздовж осі Ox , а початок координат kO лежить
всередині отвору в точці ( 0, 1, 2,...)x kd k= = ± ± цієї осі, де d – ширина смуги
періодів. На нескінченності площина розтягається напруженнями y p∞σ = і
x q∞σ = (рис. 1).
Рис. 1. Періодична система криволінійних отворів у пружній площині.
Fig. 1. A periodic system of curvilinear holes in an elastic plane.
Вважаючи, що на всіх контурах отворів діє одне і те ж самозрівноважене
навантаження *( )p t , матимемо напружено-деформований стан площини, що
задовольняє умови періодичності (напруження – періодичні функції коорди-
нати x з періодом d). Тоді комплексні потенціали напружень Колосова–Мус-
хелішвілі [11] можна записати у вигляді
* 0 * 0( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ,z z z z z z z x iyΦ =Φ +Φ Ψ = Ψ +Ψ = +
де відомі функції
0 0( ) ( ) 4, ( ) ( ) 2z p q z p qΦ = + Ψ = −
описують однорідний напружений стан у суцільній площині без отворів, а
для потенціалів ( )zΦ і ( )zΨ маємо [12] інтегральні зображення через неві-
дому функцію '( )g t на контурі отвору L:
2
1 1( ) '( )cot ( ) , ( ) '( )cot ( )
2 2
cot ( ) ( )cosec ( ) '( ) .
L L
z g t t z dt z g t t z dt
d d d d
t z t t z t z g t dt
d d d
π π⎧Φ = − Ψ = − −⎨
⎩
⎫π π π⎡ ⎤− − + − + − ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎭
∫ ∫
(1)
Тут за додатний вважаємо той напрям обходу контуру L, за якого внутріш-
ність отвору (область S +) залишається справа, тобто напрям руху стрілок го-
динника.
Компоненти напружень зв’язані з комплексними потенціалами залежнос-
тями [11]
2[ ( ) ( )], 2 2[ '( ) ( )]x y y x xyz z i z z zσ + σ = Φ +Φ σ − σ + τ = Φ + Ψ .
Крайові умови на контурі L для збуреної задачі подамо у вигляді
* 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,dtN t iT t p t p t t t t t t t L
dt
⎧ ⎫
⎡ ⎤+ = = − Φ +Φ + Φ + Ψ ∈⎨ ⎬⎣ ⎦
⎩ ⎭
,
72
а на нескінченності збурені напруження прямують до нуля. Тут N(t) і T(t) –
нормальна і дотична компоненти напружень.
Сформульовану крайову задачу з допомогою комплексних потенціалів
(1) можна звести до сингулярного інтегрального рівняння на замкненому кон-
турі L відносно шуканої функції '( )g t [12]:
0 0
2
1 ' '( , ') '( ) ( , ') '( ) ( '), '
2 ' '( ')L
M adt dsK t t g t dt L t t g t dt p t t L
i dt R dtt
⎡ ⎤+ − + = π ∈⎣ ⎦∫ , (2)
де R – довільний параметр розмірності довжини; s' – дугова абсциса точки t'
на контурі L;
0 0'( ) '( ) , '( )
L L
M i tg t dt tg t dt a g t dt⎡ ⎤= − =⎣ ⎦∫ ∫ . (3)
Додаткові доданки у рівнянні (2) з функціоналами (3) забезпечують існу-
вання його єдиного розв’язку для довільної правої частини. Коли наванта-
ження *( )p t на контурі L задовольняє умови рівноваги, функціонали (3) рівні
нулю [12].
Ядра рівняння (2) визначають за формулами
2
'( , ') cot ( ') cot ( ') ,
2 '
' '( , ') 1 cot ( ') ( ' ' ) cosec ( ') .
2 ' '
dtK t t t t t t
d d dt d
dt d tL t t t t t t t t t t
d dt d d dt d
⎡ ⎤π π π
= − + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞π π π π
= − − − − + − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Записавши рівняння контуру L у параметричному вигляді, замінимо
змінні
( )t l= ω ξ , t L∈ , 0 2≤ ξ ≤ π ; ' ( )t l= ω η , 't L∈ , 0 2≤ η≤ π
і перепишемо інтегральне рівняння (2) в канонічному вигляді:
2
0
1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )M u N u d p
π
⎡ ⎤ξ η ξ + ξ η ξ ξ = η⎣ ⎦π ∫ , 0 2≤ η≤ π . (4)
Тут прийнято R = l і введено позначення
( ) ( )
( ) ( )
2
2
( ) '( ) | '( ) |( , ) ( ), ( ) ; ( ) ' ( ) '( );
'( ) '( )2 ( )
( ) '( ) | '( ) |( , ) ( ), ( ) ; ( ) ( ) .
'( ) '( )2 ( )
M lK u g
N lL p p
ω ξ ω η ω η
ξ η = ω ξ ω η − + ξ = ω ξ ω ξ
ω η ω ηω η
ω ξ ω η ω η
ξ η = ω ξ ω η + + η = ω η
ω η ω ηω η
Коли контур L гладкий і навантаження *( )p t є неперервна функція, то
шукана функція u(ξ) буде 2π-періодичною неперервною. Однак в околі вер-
шин отвору з малим радіусом кривини, де є велика концентрація напружень,
ця функція має квазіособливості, що утруднює отримання числового розв’яз-
ку з достатньою точністю. Для поліпшення точності розв’язування викорис-
таємо сигмоїдне нелінійне перетворення [10, 13], за яким обчислюють квазі-
сингулярні інтеграли на замкнених контурах:
1( ) sinG k
k
ξ = τ = τ − τ , 0 2≤ τ ≤ π ; ( )Gη= θ , 0 2≤ θ ≤ π , (5)
73
де k – натуральне число.
Підставивши залежності (5) у рівняння (4), отримаємо:
2
0
1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) '( ) ( )M u N u G d p
π
⎡ ⎤ξ η τ + ξ η τ τ τ = θ⎣ ⎦π ∫ , 0 2≤ θ ≤ π . (6)
де ( ) ( ( ))u u Gτ = τ , ( ) ( ( ))p p Gθ = θ .
Числовий розв’язок інтегрального рівняння (6) шукатимемо квадратур-
ним методом [12, 14]. Дискретним аналогом інтегрального рівняння (6) є сис-
тема лінійних алгебричних рівнянь [12]
4
0
1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) '( ) ( )
2
n
k m k k m k k m
k
M u N u G p
n =
⎡ ⎤ξ η τ + ξ η τ τ = θ⎣ ⎦∑ , 1,...,4m n= , (7)
де квадратурні вузли і точки колокацій визначають формули
( )k kGξ = τ , (2 1) (4 )k k nτ = π − , 1,...,4k n= ,
( )m mGη = θ , 2 ( 1) (4 )m m nθ = π − , 1,...,4m n= .
Вважатимемо, що контур L і зовнішнє навантаження симетричні віднос-
но осей Ox і Oy. Тоді порядок системи рівнянь (7) можна зменшити у чотири
рази, використавши умови симетрії для шуканої функції
(2 ) ( )u uπ − τ = τ , ( ) ( )u uπ − τ = − τ . (8)
При цьому, однак, функціонали (3) стають тотожно рівними нулю, що пору-
шує умови розв’язності інтегрального рівняння (6) та системи (7). Врахував-
ши умови рівності нулю дотичних напружень у симетричних точках контуру
L (θ1 = 0, θn+1 = π/2), отримаємо систему 2n дійсних лінійних алгебричних рів-
нянь, що має єдиний розв’язок для довільної правої частини
*
1
* *
1
*
1
1 Re ( , ) ( ) '( ) ( ), 1,
1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) '( ) ( ), 2, ,
2
1 Re ( , ) ( ) '( ) ( ), 1,
n
k m k k mk
n
k m k k m k k mk
n
k m k k mk
M u G p m
n
M u N u G p m n
n
M u G p m n
n
=
=
=
⎧ ⎡ ⎤ξ η τ τ = θ =⎪ ⎣ ⎦
⎪
⎪ ⎡ ⎤ξ η τ + ξ η τ τ = θ =⎨ ⎣ ⎦⎪
⎪ ⎡ ⎤ξ η τ τ = θ = +⎪ ⎣ ⎦⎩
∑
∑
∑
(9)
з n невідомими значеннями комплексної функції ( )ku τ , 1,...,k n= . У співвід-
ношеннях (9) уведено позначення
*( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (2 , )k m k m k m k m k mM M N M Nξ η = ξ η − π − ξ η − π + ξ η + π − ξ η ,
*( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (2 , )k m k m k m k m k mN N M N Mξ η = ξ η − π − ξ η − π + ξ η + π − ξ η .
Зауважимо, що уявна частина функції p(θ) у точках θ1 = 0 і θn+1 = π/2 на-
буває нульових значень, оскільки на осях симетрії дотичні напруження від-
сутні.
Після розв’язання системи лінійних алгебричних рівнянь (7) або (9) мож-
на визначити комплексні потенціали напружень (1), які описують напружено-
деформований стан у всій пружній області. Обчислити нормальні напружен-
ня σs на контурі отвору можна безпосередньо через функцію u(τ), коли край
отвору вільний від навантаження ( *( ) 0p t = ) [15]:
[ ]0( ) 4 Re ( ) 4 Im ( ) / '( )s t t uσ = Φ − τ ω ξ , t L∈ .
74
Враховуючи рівність 0 0( ) | ( ) |u uξ= τ=ξ = τ , коефіцієнт концентрації напру-
жень kt у точці 0ξ = τ = (точка А на рис. 1) визначаємо за формулою
max (0)1 4 Im
'(0)t
q uk
p p
σ
= = + −
ω
,
причому значення u(0) знаходимо, користаючись інтерполяційним поліномом
на рівновіддалених вузлах (див., напр., [16]):
[ ] [ ]
4
1
1( ) ( )sin 2 ( ) cot ( ) / 2
4
n
k k k
k
u u n
n =
τ = τ τ − τ τ − τ∑ .
Беручи до уваги умови симетрії (11), отримуємо:
1
1
1(0) ( 1) cosec Re ( )
n
k
k k
k
u u
n
+
=
= − τ τ∑ .
Нижче таким методом знайдено числові розв’язки для різних форм си-
метричних отворів, вільних від зовнішнього навантаження ( *( ) 0p t = ), коли
на нескінченності задані розтягальні напруження y p∞σ = і 0x
∞σ = . Основну
увагу звернено на отримання результатів для близько розміщених отворів,
щоб на цій основі за допомогою граничного переходу, коли віддаль між су-
сідніми отворами прямує до нуля, побудувати розв’язки про розтяг пружної
площини з двобічними гострим чи закругленим вирізами.
Система еліптичних отворів. Нехай контуром L є еліпс з півосями l і b,
параметричне рівняння якого запишемо у вигляді
( )t l= ω ξ , ( ) cos siniω ξ = ξ − ε ξ , 0 2≤ ξ ≤ π ,
де параметр 2( )l b lε = ρ = характеризує відносний радіус кривини у верши-
нах контуру L, що лежать на осі Ox.
На основі числового розв’язання системи рівнянь (9), коли у функції G(τ)
(5) параметр k = 2, обчислено коефіцієнт концентрації напружень як функцію
відносних радіуса кривини ε (рис. 2a) і віддалі між отворами (1 ) 2a d− γ =
(рис. 2b) для різних значень параметра (1 )aχ = ρ = εγ − γ .
Рис. 2. Залежності коефіцієнта концентрації напружень у вершині A періодичної
системи еліптичних отворів від параметрів ε (a) і (1 – γ) (b).
Fig. 2. Dependences of stress concentration factor at point A for periodic system
of elliptic holes on parameters ε (a) and (1 – γ) (b).
Отримані числові результати порівнювали з відомими [2, 4, 5, 8]. Зокре-
ма, для кругових отворів (ε = 1) максимальна відносна різниця між цими да-
ними та обчисленими за апроксимаційною формулою Шульца (див. [8])
75
2 3max 1 (3 3,095 0,309 0,786 )
1tk
p
σ
= = − γ + γ + γ
− γ
не перевищує 3,5% для всього діапазону зміни відносної віддалі між отвора-
ми (0 1)≤ γ < , причому на кінцях інтервалу вона наближається до нуля.
Система фізичних щілин. Нехай контур фізичної щілини L складається
з двох паралельних відрізків, гладко з’єднаних на кінцях півколами радіуса ρ.
Довжина щілини рівна 2l. Відносну її товщину характеризує параметр ε = ρ/l.
Параметричне рівняння контуру, симетричного відносно осей Ox і Oy, можна
записати у вигляді
0
0
0
0
( ), 0 / 2,
( ), / 2 ,
( )
( ), 3 / 2,
(2 ), 3 / 2 2 ,
t l l
ω ξ ≤ ξ < π⎧
⎪
−ω π − ξ π ≤ ξ < π⎪= ω ξ = ⎨−ω ξ − π π ≤ ξ < π⎪
⎪ω π − ξ π ≤ ξ < π⎩
(10)
де функція 0( )ω ξ описує контур L у четвертій чверті системи координат xOy.
Для фізичної щілини матимемо:
0
1 (cos sin ), 0 /(2 ),
( )
( / 2 ) , /(2 ) / 2.
c i c c
c i c
− ε + ε ξ − ξ ≤ ξ < π⎧
ω ξ = ⎨ ε π − ξ − ε π ≤ ξ ≤ π⎩
Концентрацію напружень обчислено на основі розв’язання системи рів-
нянь (9), коли у функції G(τ) (5) параметр k = 2. Значення коефіцієнтів кон-
центрації напружень у вершині A (рис. 1), помножені на відносну віддаль між
щілинами (1 ) 2a d− γ = , наведено на рис 3. Як бачимо, для 0ε→ і 1γ → кое-
фіцієнти концентрації залежать тільки від параметра aχ = ρ , що дає змогу
зробити граничний перехід до площини із зовнішньою фізичною щілиною.
Рис. 3. Залежності функції max(1 ) p− γ σ від параметрів ε (a) та (1 – γ) (b)
для періодичної системи фізичних щілин.
Fig. 3. Dependences of function max(1 ) p− γ σ on parameters ε (a) and (1 – γ) (b)
for periodic system of physical cracks.
Система ромбічних або двокутних отворів. Розглянемо одновісний
розтяг пружної площини з періодичною системою ромбічних отворів із за-
кругленими вершинами. Отвір в околі вершин, що лежать на осі Ох, є куто-
вим вирізом з кутом розхилу 2β і радіусом закруглення ρ (рис. 4a). Коли пря-
молінійні ділянки межового контуру відсутні, то отримуємо овальний отвір
(рис. 4b).
76
Рис. 4. Геометрія контурів отворів: ромбічний із закругленими вершинами (a) та овальний (b).
Fig. 4. Geometry of contours of holes: rhombic hole with rounded apexes (a) and oval hole (b).
Параметричне рівняння межових контурів можна записати у формі (10),
де функція ω0(ξ) для ромбічного отвору має вигляд
[ ]0
(1 ) cos sin ,0 ,
( ) (1 ) sin ( )cos cos ( )sin , ,
( ) ( )sin (1 ) tan cos , / 2,
B
B B B C
C C
C
c ci
c i c
c ci
⎧ ξ ξ⎛ ⎞− ε + ε − ≤ ξ ≤ ξ⎜ ⎟⎪ ε ε⎝ ⎠⎪⎪ω ξ = − ε + ε β − ξ − ξ β − ε β + ξ − ξ β ξ ≤ ξ ≤ ξ⎨
⎪ εβ − ξ − ξ εβ − ξ − ξ⎡ ⎤⎪ε − − ε β + ε ξ ≤ ξ ≤ π⎢ ⎥⎪ ε ε⎣ ⎦⎩
де 1 2ρ = ρ = ρ ; 1; 2
cos
c
l
ρ − ε
ε = = ε +
π β
; 2
2B c
π − β
ξ = ε ; 1
cosC B c
− ε
ξ = ξ +
β
.
Контур овального отвору складається із двох пар симетричних дуг кіл
радіусів ρ і R. Коли радіус ρ прямує до нуля, то отримаємо двокутний отвір,
утворений двома симетричними дугами, що перетинаються на осі Ox під ку-
том 2β. Відносні радіуси кривини контуру овального отвору позначимо через
lε = ρ і R lϑ = . Параметричне рівняння частини контуру L в четвертій чвер-
ті площини запишемо у вигляді
0
(1 ) cos sin , 0 ,
( )
( ) ( )cos cos sin , / 2,
B
B B B B
B
c ci
c ci
ξ ξ⎧ − ε + ε − ≤ ξ < ξ⎪ ε ε⎪ω ξ = ⎨ ξ − ξ + ϑθ ξ − ξ + ϑθ⎡ ⎤⎪ϑ + β − ξ ≤ ξ ≤ π⎢ ⎥⎪ ϑ ϑ⎣ ⎦⎩
де
2 1 2B Bc θ θ⎛ ⎞= ε + ϑ −⎜ ⎟π π⎝ ⎠
, 2 2
2
1 (1 2 )sin
sin
⎡ ⎤ϑ = ε + ε + − ε β⎢ ⎥⎣ ⎦β
,
cosarctg
1B
ϑ β
θ =
− ε
, B
B c
εθ
ξ = .
Концентрацію напружень на краю гладкого отвору обчислено на основі
розв’язання системи рівнянь (9), коли у функції G(τ) (5) параметр k = 4 – для
ромбічного отвору і k = 2 – для овального. Коли радіус кривини ρ прямує до
нуля, коефіцієнти концентрації напружень у вершинах отворів на осі Ох пря-
мують до нескінченності, подібно, як для періодичної системи еліптичних от-
ворів (див. рис. 2). На основі числових розв’язків для гладких криволінійних
отворів знайдено за допомогою граничного переходу, коли ρ → 0, КІН для
отворів з гострими вершинами. При цьому враховано відомий зв’язок між
77
коефіцієнтами концентрації та інтенсивності напружень для закруглених та
гострих кутових вирізів [9]:
V V
I max I
0I
2 limK F pl
R
λ λ
ρ→
π
= σ ρ = π ,
де V
IK – КІН у вершині гострого кутового вирізу; RI – коефіцієнт вирівню-
вання напружень [17]; σmax – максимальне напруження у вершині кутового
вирізу, закругленого по дузі кола радіуса ρ; безрозмірний КІН
V
I
0
2 lim t
I
F k
R
λ
ε→
= ε ;
показник особливості напружень у вершині кутового вирізу з кутом розхилу
2β за симетричного напруженого стану визначають як найменший додатний
корінь характеристичного рівняння [18]
(1 )sin 2 sin(2 (1 )) 0− λ α + α − λ = , α = π −β .
Для коефіцієнта RI побудовано апроксимаційну залежність від кута β [9, 19]
2 3 4 5
I
1 28,75 98,04 102,1 47,4 8,465 ,
1 20,71 2
R + α + α − α + α − α π
= α = −β
+ γ
,
відносна похибка якої не перевищує 0,1% для всіх [0, 2]β∈ π , крім діапазону
[83 180, 2]β∈ π π , де вона менша 0,4%. Для показника особливості λ також
маємо апроксимаційну залежність [19, 20]
2 3 4
I 1,247cos 1,312cos 0,8532cos 0,2882cos ,λ ≈ β − β + β − β 0 / 2≤ β ≤ π
з максимальною абсолютною похибкою, меншою за 0,001.
Числові результати для безрозмірних КІН у гострих вершинах (на осі Ox)
періодичної системи ромбічних та двокутних отворів наведено на рис. 5. Пе-
ріодичну систему ромбічних отворів розглянуто також раніше [7]. Порівнян-
ня цих даних показало їх добре узгодження для не близько розміщених отворів.
Рис. 5. Залежності безрозмірних КІН V
IF для періодичної системи ромбічних (a)
та двокутних (b) отворів від відносної віддалі між ними (1 – γ).
Fig. 5. Dependences of dimensionless stress intensity factor, V
IF , on relative distance, (1 – γ),
for periodic system of rhombic (a) and lune (b) holes.
Запропонований тут підхід дає змогу отримати числові результати за будь-
якої віддалі між отворами, на основі яких за допомогою граничного переходу
78
можна побудувати розв’язки нових задач про розтяг пружної площини з
двобічними гострими та закругленими кутовими вирізами.
Двобічний виріз у пружній площині. Дослідження розподілу напру-
жень у площині з періодичною системою криволінійних отворів свідчать, що
коефіцієнти концентрації напружень зі зближенням отворів виходять на певні
асимптотики. Це дає змогу зробити граничний перехід до двобічного вирізу в
пружній площині, яка на нескінченності розтягається силами P = pd. Введемо
коефіцієнт концентрації напружень у вершинах двобічного вирізу ktd як від-
ношення максимального напруження σmax до номінального P/(2a) [3, 21]:
max max max2 (1 )
/(2 )td
ak
P a d p p
σ σ σ
= = = − γ .
Звідси випливає, що для знаходження коефіцієнта ktd за допомогою гра-
ничного переходу доцільно мати для періодичної системи отворів залежності
функції max(1 ) p− γ σ від відносних віддалі між отворами (1 )− γ та радіуса
кривини у вершині вирізу. Такі залежності наведено для періодичної системи
фізичних щілин (рис. 3) та еліптичних отворів (рис. 6).
Рис. 6. Залежності функції max(1 ) p− γ σ у точці A для періодичної системи
еліптичних отворів від параметрів ε (a) і (1 – γ) (b).
Fig. 6. Dependences of function, max(1 ) p− γ σ , at the point A on parameters ε (a)
and (1 – γ) (b) for periodic system of elliptic holes.
Відомий аналітичний розв’язок Нойбера [21, 22] для двобічного гіпербо-
лічного вирізу в пружній площині під дією розтягальних сил P на нескінчен-
ності:
max 2(1 )
/(2 ) (1 ) arctg 1/thk
P a
σ + χ
= =
χ + + χ χ χ
, aχ = ρ . (11)
Порівняно коефіцієнти концентрації напружень у вершині двобічного
вирізу для різних його форм з однаковим відносним радіусом закруглення
вершини: фізична щілина, параболічний та гіперболічний (рис. 7a) і кутовий
закруглений та гіперболічний (рис. 7b) вирізи. З наведених даних випливає,
що формула (11) досить добре описує параболічний виріз, коли відносна різ-
ниця між відповідними коефіцієнтами концентрації напружень не перевищує
1%. Для двобічної фізичної щілини ця різниця досягає 6% для χ < 0,1. Для
кутових закруглених вирізів маємо значне відхилення від розв’язку (11) для
χ < 1 і 2β > 60°. Коли відносний радіус кривини χ прямує до нуля, то це від-
хилення необмежено зростає для всіх кутів β > 0. Це можна пояснити тим, що
гіперболічний виріз наближається до тріщини, а закруглений кутовий виріз –
79
до гострого кутового вирізу, тобто у граничному випадку маємо якісно різні
концентратори напружень, у вершинах яких напруження мають різні особли-
вості. Як і для однобічних вирізів [9], тут також на концентрацію напружень
значно впливає форма околу вершин двобічного вирізу.
Рис. 7. Порівняння коефіцієнтів концентрації напружень для двобічних вирізів
у формі фізичної щілини, параболічного та гіперболічного вирізів (a)
і кутового закругленого та гіперболічного вирізів (b).
Fig. 7. Comparison of stress concentration factors for two-sided notches
in the form of a physical flaw, parabolic and hyperbolic notches (a)
as well as rounded V-shaped and hyperbolic notches (b).
Для отримання КІН у вершинах двобічного гострого кутового вирізу по-
будовано залежності функції tnk λχ від відносного радіуса кривини контуру χ
(рис. 8a). Коли параметр χ прямує до нуля, добуток tnk λχ швидко виходить
на асимптотичне значення, яке досягається швидше для менших кутів розхи-
лу 2β. Так отримано залежність безрозмірного КІН V V 1
I I π /F K a P−λ= у вер-
шинах гострих вирізів від кута розхилу 2β (рис. 8b). Для зовнішньої тріщини
(β = 0) параметр V
I 1F = , що відповідає відомому точному розв’язку (див.,
напр. [23]). У другому граничному випадку (2β = π) маємо kt =1, λ = 0, RI = 1,
звідки отримуємо V
I / 2F = π .
Рис. 8. Залежності функції ktnχ
λ від відносної кривини χ = ρ/a для різних кутів
розхилу вирізів 2β (a) та безрозмірного КІН V V 1
I I /F K a P−λ= π
у вершинах гострих кутових вирізів від кута 2β (b).
Fig. 8. Dependences of function, ktnχ
λ, on relative curvature, χ = ρ/a, for different notch
apex angles 2β (a) and dimensionless stress intensity factor, V V 1
I I /F K a P−λ= π ,
at sharp corner tips on angle 2β (b).
80
Залежність безрозмірного КІН V
IF від показника особливості λ можна
апроксимувати функцією [19]
V
I
1 0,9134
1 0,4138 2
F − λ π⎛ ⎞
= ⎜ ⎟+ λ ⎝ ⎠
, 0 0,5≤ λ ≤ ,
відносна похибка якої не перевищує 0,5% для всього інтервалу зміни пара-
метра λ.
ВИСНОВКИ
На основі відомих сингулярних інтегральних рівнянь періодичної задачі
теорії пружності для пружної площини з криволінійними розрізами записано
відповідні інтегральні рівняння для періодичної системи криволінійних отво-
рів довільної конфігурації. Числові результати отримано квадратурним мето-
дом, коли контури отворів вільні від напружень, а на нескінченності задані
розтягальні зусилля. Особливу увагу приділено єдиному підходу до розв’язу-
вання задач концентрації напружень біля отворів з гострими та закругленими
вершинами, коли КІН у гострих вершинах отримують на основі розв’язку за-
дачі для гладкого межового контуру. З допомогою сучасних комп’ютерів та
нових методів обчислення квазісингулярних інтегралів знайдено розв’язки
задач для досить малих радіусів кривини контурів у вершині вирізів та малих
відносних віддалей між отворами. На основі цих результатів граничним пере-
ходом отримано КІН у вершинах гострих вирізів і коефіцієнти концентрації
та інтенсивності напружень у закруглених та гострих вершинах двобічних
криволінійних вирізів у пружній площині. Показано, що ці величини істотно
залежать не тільки від відносної кривини у вершині вирізу та кута розхилу
кутового вирізу, але й від форми межового контуру в околі цієї вершини.
РЕЗЮМЕ. Методом сингулярных интегральных уравнений рассмотрена плоская пе-
риодическая задача теории упругости для плоскости с бесконечным рядом близко разме-
щенных криволинейных отверстий. Особое внимание уделено единому подходу к реше-
нию задач концентрации напряжений около отверстий с острыми и закругленными вер-
шинами. Таким способом получены решения задач об упругом взаимодействии эллипти-
ческих, овальных и ромбических отверстий, а также физических щелей при произвольном
расстоянии между отверстиями. С помощью граничного перехода, когда расстояние меж-
ду граничными контурами стремится к нулю, найдены коэффициенты концентрации и
интенсивности напряжений в закругленных и острых вершинах соответствующих двух-
сторонних вырезов в упругой плоскости.
SUMMARY. A plane periodic problem of elasticity theory for a plane with an infinite
series of closely located curvilinear holes is considered by a singular integral equation method.
A special attention is paid to the unified approach to solution of the problems of stress concen-
tration near holes with sharp and rounded apexes. In such a way the solutions of problems of
elastic interaction between elliptic, oval and rhombic holes, and also physical flaws were obtained
for arbitrary distance between holes. Using the transition to the limit when the distance between
boundary contours approached zero, the stress concentration and intensity factors were found at
the rounded and sharp apexes of the corresponding two-sided notches in an elastic plane.
1. Шерман Д. И. Весомая среда, ослабленная периодически расположенными отверстия-
ми круговой и некруговой формы // Инж. журн. – 1961. – 1, № 1. – С. 92–103.
2. Nisitani H. Method of approximate calculation for interference of notch effects and its appli-
cation // Bull. JSME. – 1968. – 11, № 47. – P. 725–738.
3. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. – М.: Мир, 1977. – 304 с.
4. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. – К.: Наук. думка, 1968. – 888 с.
5. Космодамианский А. С. Распределение напряжений в изотропных многосвязных сре-
дах. – Донецк: ДонГУ, 1972. – 266 с.
81
6. Мироненко Н. И. Периодические и двоякопериодические плоские задачи теории упру-
гости для областей с криволинейными отверстиями // Прикл. механика. – 1988. – 24,
№ 6. – С. 91–97.
7. Noda N.-A., Oda K., and Inoue T. Analysis of newly-defined stress intensity factors for
angular corners using singular integral equations of the body force method // Int. J. Fract. –
1996. – 76. – P. 243–261.
8. Pilkey W. D. Peterson’s Stress Concentration Factors. – New York: Wiley, 1997. – 524 p.
9. Саврук М. П., Казберук А. Зв’язок між коефіцієнтами інтенсивності та концентрації
напружень для гострих і закруглених кутових вирізів // Фіз.-хім. механіка матеріалів.
– 2006. – 42, № 6. – С. 17–26.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. Relationship between the stress intensity and stress con-
centration factors for sharp and rounded notches // Materials Science. – 2006. – 42, № 6.
– P. 725–738.)
10. Саврук М. П., Казберук А. Единый подход к решению задач о концентрации напряже-
ний около острых и закругленных угловых вырезов // Прикл. механика. – 2007. – 43,
№ 2. – С. 70–87.
(Savruk M. P. and Kazberuk A. A unified approach to problems of stress concentration near
V-shaped notches with sharp and rounded tip // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, № 2. –
P. 182–196.)
11. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.
– М.: Наука, 1966. – 708 с.
12. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. думка,
1981. – 324 с.
13. Sidi A. A new variable transformation for numerical integration / Eds. H. Brass, G. Hämmer-
lin // Numerical Integration IV. – Basel: Birkhäuser, 1993. – P. 359–373.
14. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных
уравнениях. – М.: Наука, 1985. – 256 с.
15. Саврук М. П., Осив П. Н., Прокопчук И. В. Численный анализ в плоских задачах тео-
рии трещин. – К.: Наук. думка, 1989. – 248 с.
16. Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук З. Т. Метод сингулярных интегральных уравне-
ний в двумерных задачах дифракции. – К.: Наук. думка, 1984. – 344 с.
17. Benthem J. P. Stresses in the region of rounded corners // Int. J. Solids Struct. – 1987. – 23,
№ 2. – P. 239–252.
18. Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular
corners of plates in extension // J. Appl. Mech. – 1952. – 19, № 4. – P. 526–530.
19. Саврук М. П., Казберук А. Проблеми механіки руйнування твердих тіл з кутовими ви-
різами // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2009. – 45, № 2. – С. 23–39.
20. Kazberuk A. Koncentracja naprężeń wokół owalnego otworu // Acta Mech. Autom. – 2007.
– 1, № 2. – S. 25–30.
21. Нейбер Г. Концентрация напряжений. – М.; Л.: Гостехиздат, 1947. – 204 с.
22. Neuber H. Kerbspannungslehre: Theorie der Spannungskonzetration; genaue Berechnung
der Festigkeit. – Berlin: Springer, 1985. – 326 s.
23. Саврук М. П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Меха-
ника разрушения и прочность материалов: Справ. пос. под ред. В. В. Панасюка. – К.:
Наук. думка, 1988. – 2. – 620 с.
Одержано 03.08.2009
|