Розклинювання крайової тріщини у пружному клині
Розглянуто задачу про розклинювання пружного клина вздовж крайової тріщини жорстким клином. Із застосуванням методу Вінера–Гопфа отримано аналітичний розв’язок задачі. Знайдено коефіцієнт інтенсивності напружень, розподіл напружень на продовженні тріщини, в зоні контакту, а також колові переміщення...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31730 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розклинювання крайової тріщини у пружному клині / К.М. Некислих, В.І. Острик // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 100-108. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-31730 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-317302012-03-16T12:18:07Z Розклинювання крайової тріщини у пружному клині Некислих, К.М. Острик, В.І. Розглянуто задачу про розклинювання пружного клина вздовж крайової тріщини жорстким клином. Із застосуванням методу Вінера–Гопфа отримано аналітичний розв’язок задачі. Знайдено коефіцієнт інтенсивності напружень, розподіл напружень на продовженні тріщини, в зоні контакту, а також колові переміщення берегів тріщини. Рассмотрена задача о расклинивании упругого клина вдоль краевой трещины жестким клином. С применением метода Винера–Хопфа получено аналитическое решение задачи. Найдены коэффициент интенсивности напряжений, распределение напряжений на продолжении трещины, в зоне контакта, а также окружные перемещения берегов трещины. The problem of an elastic wedge wedging along its edge crack by a hard wedge is solved. Using the Wiener–Hopf method, the analytical solution of the problem is obtained. The stress intensity factor, distribution of stresses on the crack continuation, distribution of stresses in contact domain and a jump of displacements are found. 2009 Article Розклинювання крайової тріщини у пружному клині / К.М. Некислих, В.І. Острик // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 100-108. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31730 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто задачу про розклинювання пружного клина вздовж крайової тріщини жорстким клином. Із застосуванням методу Вінера–Гопфа отримано аналітичний розв’язок задачі. Знайдено коефіцієнт інтенсивності напружень, розподіл напружень на продовженні тріщини, в зоні контакту, а також колові переміщення берегів тріщини. |
| format |
Article |
| author |
Некислих, К.М. Острик, В.І. |
| spellingShingle |
Некислих, К.М. Острик, В.І. Розклинювання крайової тріщини у пружному клині Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Некислих, К.М. Острик, В.І. |
| author_sort |
Некислих, К.М. |
| title |
Розклинювання крайової тріщини у пружному клині |
| title_short |
Розклинювання крайової тріщини у пружному клині |
| title_full |
Розклинювання крайової тріщини у пружному клині |
| title_fullStr |
Розклинювання крайової тріщини у пружному клині |
| title_full_unstemmed |
Розклинювання крайової тріщини у пружному клині |
| title_sort |
розклинювання крайової тріщини у пружному клині |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31730 |
| citation_txt |
Розклинювання крайової тріщини у пружному клині / К.М. Некислих, В.І. Острик // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 100-108. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT nekislihkm rozklinûvannâkrajovoítríŝiniupružnomukliní AT ostrikví rozklinûvannâkrajovoítríŝiniupružnomukliní |
| first_indexed |
2025-07-03T12:11:32Z |
| last_indexed |
2025-07-03T12:11:32Z |
| _version_ |
1836627728058548224 |
| fulltext |
100
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2009. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
РОЗКЛИНЮВАННЯ КРАЙОВОЇ ТРІЩИНИ У ПРУЖНОМУ КЛИНІ
К. М. НЕКИСЛИХ 1, В. І. ОСТРИК 2
1 Сумський державний педагогічний університет ім. А. С. Макаренка;
2 Інститут прикладної фізики НАН України, Суми
Розглянуто задачу про розклинювання пружного клина вздовж крайової тріщини
жорстким клином. Із застосуванням методу Вінера–Гопфа отримано аналітичний
розв’язок задачі. Знайдено коефіцієнт інтенсивності напружень, розподіл напружень
на продовженні тріщини, в зоні контакту, а також колові переміщення берегів тріщини.
Ключові слова: напруження, пружний клин, тріщина, контакт, розклинювання.
Задачі про розклинювання пружної півплощини жорстким клином уз-
довж крайової тріщини, перпендикулярної до межі півплощини, вивчали ра-
ніше [1–3]. Отримано [1, 2] асимптотичний розв’язок, задачу наближено роз-
в’язано [3] в квадратурах за допомогою спеціальної апроксимації ядра сингу-
лярного інтегрального рівняння. Також одержано [4] асимптотичний розв’я-
зок задачі про розклинювання пружного клина жорсткою пластиною сталої
товщини. Огляд інших задач про розклинювання пружної площини, смуги та
півсмуги міститься у довіднику [5].
Нижче розглянуто задачу про розклинювання пружного клина жорстким
клином уздовж крайової тріщини, яка знаходиться на осі симетрії пружного
клина і виходить до його вершини. Із застосуванням методу Вінера–Гопфа
отримано аналітичний розв’язок задачі. Знайдено розмір зони контакту, кое-
фіцієнт інтенсивності напружень, розподіл напружень на продовженні тріщини
та в області контакту, колові переміщення берегів тріщини.
Постава задачі. Розглянемо пружний клин з кутом біля вершини 2α,
який має тріщину довжиною l на бісектрисі кута (рис. 1). Пружний клин роз-
клинюється жорстким з кутом при вершині 2ε, глибина занурення якого d.
Грані жорсткого клина контактують з берегами тріщини 0ϑ = ± на проміжку
0 ≤ r < l1, де l1 – невідомий розмір зони контакту. Сили тертя в зоні контакту
не враховуємо. Грані пружного клина 0 r≤ < ∞ , ϑ = ±α та береги тріщини
поза областю контакту (l1 < r < l) вільні від напружень.
Оскільки напружено-деформований стан клина симетричний відносно
його осі, обмежимося розглядом верхнього півклина 0 r≤ < ∞ , 0 ≤ ϑ ≤ α . Не-
хай під час деформації початок полярної системи координат залишається зв’я-
заним з вершиною півклина, а полярна вісь р – паралельною до осі симетрії
клина. Це обумовлено вимогою обернення в нуль нормальних переміщень у
вершині клина, необхідною для використання інтегрального перетворення
Мелліна. Мішані крайові умови на межі верхнього півклина запишемо у вигляді
0u rϑ ϑ= = −ε 1(0 )r l≤ ≤ , 0 0ϑ ϑ=σ = 1( )l r l< < , 0u dϑ ϑ= = − ε ( )l r≤ < ∞ ,
0 0rϑ ϑ=τ = , 0ϑ ϑ=ασ = , 0rϑ ϑ=ατ = (0 )r≤ < ∞ . (1)
Контактна особа: В. І. ОСТРИК, e-mail: ostrik_v@rambler.ru
101
Інтегральне рівняння задачі.
Введемо невідому функцію радіальної
похідної нормальних переміщень
верхнього берега тріщини:
0
( )
u
g r
r
ϑ
ϑ=
∂
=
∂
1( )l r l< < . (2)
Тоді, замінивши у крайових умовах (1)
перші три умови мішаного типу однією
1
1
0
, 0 ,
( ), ,
0, ,
r l
u
g r l r l
r
l r
ϑ
ϑ=
−ε ≤ ≤⎧
∂ ⎪= < <⎨∂ ⎪ ≤ < ∞⎩
(3)
перейдемо до крайової задачі з четвертою, п’ятою та шостою умовами (1) і
умовою (3). Розв’язавши останню задачу з використанням інтегрального пе-
ретворення Мелліна, отримаємо:
1
0
1 ( ) ( )
2 1 2 ( )
c i
s
c i
m s a s r ds
G m i s
+ ∞
− −ϑ
ϑ= − ∞
σ λ
= −
− π ∆∫ , 1
0
1 ( )
2
c i
s
c i
u
a s r ds
r i
+ ∞
− −ϑ
ϑ= − ∞
∂
=
∂ π ∫ ,
2 2 2( ) sin sins s sλ = α − α , ( ) sin2 sin2s s s∆ = α + α , (4)
де G – модуль зсуву; m – число Пуассона; с – будь-яке дійсне число з інтерва-
лу 1 1Re Rec− δ < < δ , де 1δ ( 1 1δ ≠ ) – найменший за модулем корінь рівняння
( ) 0=∆ s із півплощини Re 0s > ( 1Re 1δ > при 2α ≤ π ; 10 1< δ < , 1Im 0δ = при
2π <α<π ).
Застосовуючи до другої рівності (4) обернене перетворення Мелліна, з
урахуванням умови (3) знайдемо:
1
1
1( ) ( )
1
l s
s
l
l
a s g y y dy
s
+ε
= −
+∫ .
Підставивши останній вираз у перше співвідношення (4) і виконавши заміни
s i= − τ ; r le−ξ= , y le−η= ; ( ) ( )g le e−η −η = ϕ η (0 )a< η < , 1ln( / )a l l= , (5)
матимемо:
( )
0 0
( )( ) ( )
2 1 2
a a
i am e Ke k d e d
G m i i
∞−
ξ − τ ξ−ϑ
ϑ= −∞
⎛ ⎞σ ε τ
= − ξ − η ϕ η η+ τ⎜ ⎟⎜ ⎟− π τ +⎝ ⎠
∫ ∫ ,
( )1( ) ( )
2
ik K e d
∞
− τ ξ−η
−∞
ξ − η = τ τ
π ∫ , ( )( )
( )
iK
i
λ − τ
τ =
∆ − τ
. (6)
Зважаючи на відсутність полюсів функції ( )K τ у смузі | Im | 1τ < , контур інте-
грування ic ic−∞ + < τ < ∞ + змістили на дійсну вісь ( 0)c = . Задовольнивши
другу крайову умову (1) за допомогою подання (6), отримуємо інтегральне
рівняння задачі відносно функції ( )ϕ η :
0
( ) ( ) ( )
a
k d fξ − η ϕ η η = ξ∫ (0 )a< ξ < , ( )( )( )
2
a
i ae Kf e d
i i
∞−
− τ ξ−
−∞
ε τ
ξ = − τ
π τ +∫ . (7)
Після перетворення інтеграла (7) за теорією лишків праву частину інтеграль-
ного рівняння запишемо у вигляді
Рис. 1. Розклинювання пружного клина.
Fig. 1. Wedging of an elastic wedge.
102
( )
1
( )
( )
( 1) '( )
k aa k
k kk
f e e
∞
δ ξ−−
=
λ δ
ξ = −ε
δ + ∆ δ∑ ,
де kδ ( 1, 2,...)k = – корені рівняння ( ) 0s∆ = із півплощини Re 0s > .
Розв’язання інтегрального рівняння. Інтегральне рівняння (7) розв’я-
жемо зведенням його до нескінченної системи алгебричних рівнянь, викорис-
товуючи підхід [6].
Розповсюдимо інтегральне рівняння (7) на всю числову вісь, вважаючи
( ) 0ϕ η = для 0η < , aη > . Застосувавши до нього інтегральне перетворення
Фур’є, а також теорему про згортку, отримаємо систему функціональних рів-
нянь Вінера–Гопфа [7]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )izaK z z e z z F z+ + −Φ + Ψ −Ψ = ,
( ) ( )izaz e z+ −Φ = Φ ( Im )c z c+ −< < (8)
з правою частиною
1 2
0
1( ) ( ) ( ) ( )
2
a
iz izaF z f e d F z F z eξ − −= ξ ξ = +
π ∫
,
1
1
( )
( )
( 1) '( )2
kaa
k
k k kk
e eF z
iz
−δ− ∞
−
=
λ δε
=
δ + ∆ δ δ +π
∑ , 2
1
( ) 1( )
( 1) '( )2
a
k
k k kk
eF z
iz
− ∞
−
=
λ δε
= −
δ + ∆ δ δ +π
∑ (9)
відносно невідомих функцій
0
1( ) ( )
2
a
izz e d+ ξΦ = ϕ ξ ξ
π ∫
,
01( ) ( )
2
iz
a
z a e d− ξ
−
Φ = ϕ ξ + ξ
π ∫ ,
0
( ) ( ) ( )
2
aiza
iz
a
ez e d k d
∞−
+ ξΨ = − ξ ξ − η ϕ η η
π ∫ ∫ ,
0
0
1( ) ( ) ( )
2
a
izz e d k d− ξ
−∞
Ψ = ξ ξ − η ϕ η η
π ∫ ∫ , (10)
аналітичних, відповідно, у півплощинах Im z c+> , Im z c−< ( 0, 0)c c+ −< >
комплексної площини.
Для розв’язання системи функціональних рівнянь (8) факторизуємо її
коефіцієнт ( )K z , тобто подаємо його у вигляді
( ) / ( ) ( )K z z K z K z+ −= , (11)
де ( )K z± – відмінні від нуля функції, аналітичні у верхній (Im )z c+> та ниж-
ній (Im )z c−< півплощинах відповідно. Факторизацію (11) здійснюємо у не-
скінченних добутках:
1
1
( ) (0) 1 1
n nn
z zK z K
is i
−∞
+
=
⎛ ⎞⎛ ⎞
′= + +⎜ ⎟⎜ ⎟
δ⎝ ⎠⎝ ⎠
∏ , ( )( )
(0)
K zK z
K
+
− −
≡
′
,
2 2sin(0)
2 sin2
K i α − α′ = −
α + α
,
де ns 1( 1,2,...; 1, якщо / 2)n s= = α ≠ π – корені рівняння ( ) 0sλ = із півплощини
Res 0> .
Систему функціональних рівнянь (8) з урахуванням рівностей (9), (11) пере-
пишемо у вигляді
1
2
( )( )( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
iza F ze zzK z z z F z
K z K z K z
−−
+ + + −
− − −
Ψ
Φ + Ψ − − = ,
103
2
1
( )( )( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
iza F ze zzK z z z F z
K z K z K z
−− +
− − − −
+ + +
Ψ
Φ − Ψ + + = . (12)
Другі доданки лівої частини системи рівнянь (12) подамо у вигляді різ-
ниці аналітичних функцій:
2 1 1( ( ) ( )) ( ) ( )
( )
izae z F z z z
K z
+ − + −
−
Ψ − = χ − χ , 1 2 2( ( ) ( )) ( ) ( )
( )
izae z F z z z
K z
−
− − + −
+
Ψ + = χ − χ . (13)
Розвиваючи відповідні інтеграли типу Коші в ряд за теорією лишків, отри-
муємо:
1 2
1
( ) ( ( ) ( )) ks ak
k k
kk
z is F is e
s iz
∞
−− + −
=
α
χ = Ψ −
+∑ , ( ) ( )
( )
k k k
k
k
is s K is
s
+∆
α =
′λ
( 1,2,...)k = ,
2 1
1
(0) ( ) ( ( ) ( )) ks ak
k k
kk
K z is F is e
s iz
∞
−+ − −
=
α′ χ = − Ψ − + −
−∑ . (14)
Аналогічно для правої частини системи рівнянь (12) маємо:
1
1
( )( )
( )
F zf z
K z
−
−
−
= − , 2
2 2
( ) ( ) ( )
( )
F z f z f z
K z
−
+ −
+
= − ,
2 2
2
( ) ( )1 1( ) ( ( ) ( ))
2 2( ) ( )
aF F zd ef z K i izK z
i z z iK K z
+∞ − − −
+ − −
+ +
−∞
ζ ζ ε
= = + − −
π ζ − +πζ
∫ . (15)
Тут права частина першого рівняння (12) є функція, аналітична у півплощині
Im z c−< . Тепер система функціональних рівнянь (8) набуває вигляду
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( )zK z z z z K z z f z+ + + − − − −Φ + χ = Ψ + χ − ,
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( )zK z z z f z z K z z f z− − − − + + + +Φ + χ + = −Ψ + χ + . (16)
Обидві частини кожного рівняння (16) аналітично продовжують одна одну на
всю комплексну площину, а отже, є довільною цілою функцією. З умов на
нескінченності
( )K z+ ~ (0)
2
Ki
z
′
− − , ( )K z− ~ 1
2 (0)K z′−
, ( ) (1)z o+Φ = ,
1
1 ( ) ( )z O z− −χ = , 1
2 ( ) ( )z O z+ −χ = , 1
2 ( ) ( )f z O z± −= , | |z →∞ (17)
робимо висновок, що обидві частини першого рівняння (16) є константа, яку
позначимо C , а обидві частини другого рівняння (через обмеженість напру-
жень 0ϑ ϑ=σ у точці 1r l= : 3 2( ) ( )z O z− −Φ = ) рівні нулю.
Таким чином, розв’язок системи функціональних рівнянь (8) має вигляд
1 ( )( )
( )
C zz
zK z
+
+
+
− χ
Φ = , 1 1( ) ( )[ ( ) ( ) ]z K z f z z C− − − −Ψ = − χ + ,
2 2( ) ( )
( )
( )
z f z
z
zK z
− −
−
−
χ +
Φ = − , 2 2( ) ( )[ ( ) ( )]z K z z f z+ + + +Ψ = χ + . (18)
Сталу C визначаємо з умови аналітичності функції ( )z+Φ у точці
10 : (0) 0z C += − χ = . Враховуючи (13), (18), знаходимо:
2 2 2 1(0) (0) (0) (0) (0) (0)C K K f F+ + − −′ ′= χ + − + χ . (19)
104
Співвідношення (18), (19) не повністю визначають функції Φ±(z), Ψ±(z), а
виражають їх через невідомі значення Ψ+(isk), Ψ–(–isk) (k = 1, 2, ...) із (14). Для
обчислення останніх у четвертій рівності (18) візьмемо z = isn, а у другій покла-
демо z = –isn (n = 1, 2, ...). Отримаємо нескінченну систему алгебричних рівнянь
1
kk
n n k n
k nk
z z g
s s
∞
+ − +
=
α
+ β λ =
+∑ ,
1
kk
n n k n
k nk
z z g
s s
∞
− + −
=
α
+ β λ =
+∑ ( 1,2,...)n = (20)
відносно невідомих
2 1
2 2[ ( ) ( )], [ ( ) ( )]k k k k k ka az is F is z is F is
e e
+ + − − − −
− −
π π
= Ψ − = Ψ − + −
ε ε
( 1,2,...)k = , (21)
в якій
/(2 ) /(2 )
1( / )ae l l−π α π αλ = = , ( /(2 ) )kk s a
k ke π α −α = α ( 1,2,...)k = , ( )n nK is−β = − ,
( ) ( )
1
n
n
n
iK i K is
g
s
− +
+ − −
=
+
, ( )n ng K is C− −= − ( 1,2,...)n = , 2
aC C
e−
π
=
ε
.
Розв’язок системи рівнянь (20) шукаємо у вигляді
0
m
k km
m
z
∞
± ±
=
= ξ λ∑ ( 1,2,...)k = . (22)
Підставляючи вираз (22) у систему (20), методом невизначених коефіцієнтів
знаходимо
0n ng+ +ξ = , 0n ng− −ξ = ( 1,2,...)n =
і отримуємо рекурентні співвідношення
,
1
m
k
nm n k m k
k nk s s
+ −
−
=
α
ξ = −β ξ
+∑ , ,
1
m
k
nm n k m k
k nk s s
− +
−
=
α
ξ = −β ξ
+∑ ( , 1,2,...)n m =
для визначення коефіцієнтів nm
±ξ розвинень (22).
Права частина системи рівнянь (20) лінійна відносно C . Подавши її роз-
в’язок у вигляді
k k kz z Cz± ± ±= + ,
із рівності (19) знаходимо:
1
1 1
( ) ( ) 1 ( )
2
a
k kk k
k k k k
k kk k
eC z z iK i z z
s s
−− ∞ ∞
+ − + + −
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞α αε
= − λ − − − λ⎜ ⎟⎜ ⎟
π ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑ ,
де kz± , kz± – розв’язки системи рівнянь (20) з правими частинами
( ) ( )
1
n
n
n
iK i K is
g
s
− +
+ − −
=
+
, 0ng− = , 0ng+ = , ( )n ng K is− −= − ( 1,2,...)n = .
Для визначення розміру ділянки контакту l1 (або λ) скористаємося умовою
відсутності стрибка переміщень у вершині тріщини (r = l) і заданого стрибка
у точці r = l1
1
1
0
( )
l
l
u
dr d l
r
ϑ
ϑ=
∂
= − − ε
∂∫ ,
яка завдяки співвідношенням (2), (5), (10) еквівалентна рівності Φ+(0) =
1( ) ( 2 )d l l= − − ε π . Звідси, враховуючи перше співвідношення (18) і умову
1 (0) 0C +− χ = , отримуємо
105
1 10
(0)( ) ( )
2z
d Kz d l
dz l
+
=
′
χ = − ε
π
,
що еквівалентно рівності
2 /
2
1
1 (0) ( )[ (0)]
(0)
kk k
k k
k k
i s dz z iK K i iK
K ls
∞
+ − − α π −
=
⎛ ⎞⎛ ⎞α γ ′ ′+ − λ = λ − − γ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ,
0(0) ( 2 )iK a′γ = + γ , 1 1
0
1
( )n n
n
s
∞
− −
=
γ = δ −∑ .
Розподіл напружень та переміщення верхнього берега тріщини. Ви-
значимо нормальні напруження на лінії продовження тріщини (l < r < ∞, 0)ϑ = .
Із першого співвідношення (6), враховуючи першу рівність (10), знаходимо:
( )
0
1 ( )( ) ( )
2 1 22
a
i i am e Ke K e d e d
G m i i
∞ ∞−
ξ + − τξ − τ ξ−ϑ
ϑ= −∞ −∞
⎛ ⎞σ ε τ
= − τ Φ τ τ + τ⎜ ⎟⎜ ⎟− π τ +π⎝ ⎠
∫ ∫ . (23)
Перетворивши інтеграли із (23) в ряд за теорією лишків, якщо 0ξ < , і вико-
ристовуючи рівності (18), (13), (21) та заміни (5), отримуємо:
1
1
1 10
( )
2 1 ( ) ( )
n
kn k
k
k nn kn n n
lm rz C
G m l s li K i
−δ −∞ ∞
+ϑ
+
= =ϑ=
⎛ ⎞σ λ δ α ⎛ ⎞= − λ −⎜ ⎟⎜ ⎟ε − − δ′ ⎝ ⎠δ ∆ δ δ ⎝ ⎠
∑ ∑ ( )l r< < ∞ .
Застосовуючи до рівності (23) обернене перетворення Фур’є та врахо-
вуючи другу крайову умову (1), знаходимо:
0
0
( ) 1 1( ) ( )
22 2
a
iza iz
a
i e K z mK z z e e e d
z i m G
∞−
+ −ξ ξϑ
ϑ=−∞
⎡ ⎤⎛ ⎞ σε −
⎢ ⎥Φ = − + ξ⎜ ⎟⎜ ⎟+π π ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ .
Звідси, з використанням розв’язку (18), оцінок (17), а також леми Ватсона [8],
отримуємо асимптотичну поведінку нормальних напружень поблизу верши-
ни тріщини:
0ϑ ϑ=σ ~ 12
1 2 (0)( )
lG m C l
m l iK r l
ε
−
− ′π −
, 0r l→ + . (24)
Із асимптотичної формули (24) визначаємо коефіцієнт інтенсивності напружень:
1
I 00
2lim 2 ( )
1 (0)r l
lG m CK r l
m l iKϑ ϑ=→ +
ε
= π − σ = −
− ′
, 2
aC C
e−
π
=
ε
.
Нормальні напруження в зоні контакту 1(0 , 0)r l< < ϑ = знаходимо із рів-
ності (23). Після обчислення інтегралів за теорією лишків, якщо a < ξ < ∞ ,
отримуємо:
1
1
11 10
( )
( ) (0 ) .
2 1 1( ) ( )
n
kn k
k
k n nn kn n n
m i rz K i r l
G m s li K i
δ −∞ ∞
− +ϑ
+
= =ϑ=
⎡ ⎤⎛ ⎞σ λ δ α
= λ − < <⎜ ⎟⎢ ⎥ε − − δ δ −′δ ∆ δ δ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑
Знайдемо нормальні переміщення верхнього берега тріщини поза ділян-
кою контакту (l1 < r < l), виходячи з виразу
0
0 0
( )
l
r
u
u d dr d l d
r
ξ
ϑ
ϑ ϑ=
ϑ=
∂
= − ε − = − ε − ϕ ξ ξ
∂∫ ∫ (0 )a< ξ < . (25)
Застосовуючи до першої рівності (10) обернене перетворення Фур’є, одержимо:
1( ) ( )
2
ie d
∞
+ − ξτ
−∞
ϕ ξ = Φ τ τ
π ∫ . (26)
106
Враховуючи співвідношення (18), (13), (21), після обчислення інтеграла із
(26) за теорією лишків маємо:
( )
1 1
( )
( ) ( ) ( )
( ) (0)
k k ks a s s aa k k
k k k
k kk k
s ie z e z e z e K i
s K s
∞ ∞
− −ξ − ξ −− + − − −
= =
⎡ ⎤∆ α
ϕ ξ = ε + + − −⎢ ⎥′ ′λ⎣ ⎦
∑ ∑ .
Підставивши цей вираз у співвідношення (25) і використовуючи заміни (5),
після перетворень матимемо:
1
00 2
1 1
1
11
ln
(0)
( )
( ) .
( )
k k
k kk k
k k
kk k k
s s
k
k k
k kk
l ru d C z z
iK s l s
s r rz z l r l
s s l l
∞ ∞
+ +
ϑ ϑ=
= =
−∞
+ −
=
⎡ ⎤⎛ ⎞α αε ⎛ ⎞= − ε + − λ − γ + λ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟′ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − < <⎜ ⎟ ⎜ ⎟′λ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑
∑
Силу P, що діє на жорсткий клин, визначимо з умови рівноваги:
1
0
0
2
l
P drϑ ϑ== − ε σ∫ .
Замінивши змінну r = le–ξ та врахувавши першу рівність (6) і треті рівності із
співвідношень (10), (6), отримаємо:
( )( )4 2 (0)
1 2 ( )
a i a
a
m e i eP lG d d
m i i i
∞ ∞− − τ ξ−
+
−∞
⎛ ⎞ε λ − τ
= ε − πΨ + ξ τ⎜ ⎟⎜ ⎟− π ∆ − τ τ +⎝ ⎠
∫ ∫ . (27)
Обчисливши інтеграл із (27) за теорією лишків і використовуючи рівності
(18), (14), (15) та (21), дістанемо:
2
1
1
4 ( )
1
kk
k
kk
mP l G iK i z
m s
∞
+ −
=
⎛ ⎞α
= ε + λ⎜ ⎟
− ⎝ ⎠
∑ .
Результати обчислень. Безрозмірні напруження 0 (2 )Gϑ ϑ=σ = σ ε і пере-
міщення 0( ) ( )u u d lϑ ϑ== + ε ε (m = 10/3) обчислені тоді, коли клин є чверть-
площиною (α = π/4) або півплощиною (α = π/2), а глибина занурення жорст-
кого клина d = l/2. Знайдено (рис. 2) розподіл нормальних напружень на лінії
симетрії пружного клина та нормальні переміщення верхнього берега тріщи-
ни (рис. 3) (ρ = (r–l1)/(l–l1) – відносна координата області l1 < r < l). Криві 1
відповідають чвертьплощині, криві 2 – півплощині.
Рис. 2. Розподіл нормальних напружень на лінії симетрії пружного клина: а – на продов-
женні тріщини; b – у зоні контакту; 1 – α = π/4; 2 – α = π/2; m = 10/3, d = l/2.
Fig. 2. Distribution of normal stresses on the elastic wedge symmetric line: а – on the crack
continuation; b – in contact domain; 1 – α = π/4; 2 – α = π/2; m = 10/3, d = l/2.
107
Рис. 3. Нормальні переміщення верхнього
берега тріщини: 1 – α = π/4; 2 – α = π/2;
m = 10/3, d = l/2; ρ = (r – l1)/(l – l1).
Fig. 3. Normal displacements of the crack
upper edge: 1 – α = π/4; 2 – α = π/2;
m = 10/3, d = l/2; ρ = (r – l1)/(l – l1).
Напруження розтягу, які необ-
межені у вершині тріщини, з відда-
ленням від неї змінюються напру-
женнями стиску, якщо α = π/4, і спа-
дають до нуля, якщо α = π/2. Напру-
ження в зоні контакту 0 < r < l1 є напруженнями стиску ( 0σ < ). Але, якщо
α = π/4, у достатньо малій зоні 0 < r < δ (δ = 0,06 l1) вони стають додатними,
що вказує на часткове відставання берегів тріщини від поверхні жорсткого
клина поблизу вершини пружного клина. Як видно з табл. 1, зона відставання
зменшується із збільшенням кута α і взагалі зникає для α > 60°. За наявності
зони відставання (при 0 < α < 60°) необхідно переглянути поставу задачі, але
через малість цієї зони при 45° ≤ α ≤ 60° її вплив на напружено-деформова-
ний стан пружного клина поза малим околом його вершини незначний. Якщо
α < 45°, задачу слід розглядати в уточненій поставі, коли друга крайова умова
(1) розповсюджується і на зону відставання 0 < r < δ (0 < δ < l1). Розмір ділян-
ки контакту майже не залежить від кута α.
Таблиця 1. Відносні розміри ділянки контакту l1/l та зони відставання δ/l1 (d = l/2)
α 36° 45° 54° 60° 72° 90°
l1/l 0,1989 0,1993 0,19952 0,19955 0,19932 0,19855
δ/l1 0,1314 0,0599 0,0189 0,0054 0 0
Таблиця 2. Відносні розміри ділянки контакту l1/l, безрозмірні коефіцієнти
інтенсивності напружень IK і безрозмірні сили P
α = π/4 α = π/2
d/l
l1/l IK P l1/l IK P
0,1 0,0201 0,0075 0,0032 0,0247 0,0177 (0,0177) 0,0242
0,2 0,0509 0,0191 0,0083 0,0586 0,0421 (0,0419) 0,0575
0,3 0,0909 0,0345 0,0151 0,0990 0,0712 (0,0709) 0,0973
0,4 0,1401 0,0540 0,0241 0,1457 0,1047 (0,1043) 0,1431
0,5 0,1993 0,0784 0,0356 0,1986 0,1427 (0,1421) 0,1951
0,6 0,2696 0,1086 0,0505 0,2581 0,1854 (0,1845) 0,2535
0,7 0,3523 0,1460 0,0699 0,3254 0,2333 (0,2320) 0,3189
0,8 0,4493 0,1928 0,0956 0,4024 0,2872 (0,2855) 0,3924
0,9 0,5643 0,2522 0,1304 0,4932 0,3487 (0,3465) 0,4754
1 0,7108 0,3306 0,1801 0,6088 0,4210 (0,4184) 0,5712
108
У табл. 2 для α = π/4 і α = π/2 наведено значення відносних розмірів ді-
лянки контакту 1l l , безрозмірних коефіцієнтів інтенсивності напружень
I I (2 )K K G l= ε і безрозмірних сил 2/(2 )P P G l= ε для різних значень віднос-
ного занурення d/l жорсткого клина. У дужках подані результати наближено-
го розв’язку [3, 5], точність якого виявилась достатньо високою.
ВИСНОВКИ
Із застосуванням метода Вінера–Гопфа отримано аналітичний розв’язок
задачі про розклинювання пружного клина жорстким уздовж крайової тріщи-
ни на осі симетрії пружного клина. Показано, що під час розклинювання пруж-
ного клина, кут α піврозхилу якого перевищує 60°, береги тріщини щільно
прилягають до граней жорсткого клина. Для кута 45° ≤ α ≤ 60° виявлено част-
кове відставання берегів тріщини від поверхні жорсткого клина в малому
околі вершини пружного клина, впливом якого на напружено-деформований
стан пружного клина можна знехтувати. Нарешті, для кута α, меншого за 45°,
зона відставання стає значною. В останньому випадку побудований розв’язок
втрачає зміст і постава задачі потребує перегляду.
РЕЗЮМЕ. Рассмотрена задача о расклинивании упругого клина вдоль краевой тре-
щины жестким клином. С применением метода Винера–Хопфа получено аналитическое
решение задачи. Найдены коэффициент интенсивности напряжений, распределение на-
пряжений на продолжении трещины, в зоне контакта, а также окружные перемещения бе-
регов трещины.
SUMMARY. The problem of an elastic wedge wedging along its edge crack by a hard
wedge is solved. Using the Wiener–Hopf method, the analytical solution of the problem is ob-
tained. The stress intensity factor, distribution of stresses on the crack continuation, distribution
of stresses in contact domain and a jump of displacements are found.
1. Галаджева М. Р., Сирунян В. Х., Сметанин Б. И. О расклинивании упругой полуплос-
кости // Изв. АН АрмССР. Механика. – 1974. – 27, № 2. – С. 38–45.
2. Александров В. М., Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Тонкие концентраторы напряжений в
упругих телах. – М.: Физматлит, 1993. – 224 с.
3. Луцышин Р. М. О расклинивании трещины в упругой полуплоскости // Мат. методы и
физ.-мех. поля. – 1979. – № 10. – С. 58–62.
4. Сметанин Б. И. О расклинивании упругого бесконечного клина // Прикл. математика
и механика. – 1969. – 33, вып. 5. – С. 935–940.
5. Саврук М. П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Меха-
ника разрушения и прочность материалов: Справ. пос. под ред. В. В. Панасюка. – К.:
Наук. думка, 1988. – 2. – 620 с.
6. Антипов Ю. А. Точное решение задачи о вдавливании кольцевого штампа в полупрос-
транство // Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. − 1987. − № 7. − С. 29–33.
7. Нобл Б. Метод Винера−Хопфа. − М.: Изд-во иностр. лит., 1962. − 280 с.
8. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1987. – 544 с.
Одержано 06.02.2009
|