Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля

Сформульовано динамічну центрально-симетричну задачу термомеханіки для суцільної електропровідної кулі за однорідної нестаціонарної електромагнетної дії і запропоновано методику її розв’язування з використанням кубічної апроксимації азимутальної компоненти вектора напруженості магнетного поля та рад...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Мусій, Р.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України 2009
Schriftenreihe:	Фізико-хімічна механіка матеріалів
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31731
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля / Р.С. Мусій // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 109-116. — Бібліогр.: 13 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-31731
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-317312012-03-16T12:09:55Z Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля Мусій, Р.С. Сформульовано динамічну центрально-симетричну задачу термомеханіки для суцільної електропровідної кулі за однорідної нестаціонарної електромагнетної дії і запропоновано методику її розв’язування з використанням кубічної апроксимації азимутальної компоненти вектора напруженості магнетного поля та радіальної компоненти тензора напружень за радіальною координатою. Одержано розв’язок задачі і числово досліджено термонапружений стан кулі за дії електромагнетного імпульсу. Сформулировано динамическую центрально-симметрическую задачу термомеханики для сплошного электропроводного шара при однородном нестационарном электромагнитном воздействии и предложено методику ее решения с использованием кубической аппроксимации азимутальной компоненты вектора напряженности магнитного поля и радиальной компоненты тензора напряжений за радиальной координатой. Получено решение задачи и численно исследовано термонапряженное состояние шара при воздействии электромагнитного импульса. The dynamic central-symmetric problem of thermomechanics is formulated for a solid electroconductive sphere under the homogeneous non-stationary electromagnetic influence and its solution method has been proposed using cubic approximation of azimuth component of magnetic field stress and a radial component of a stress tensor by a radial coordinate. The solution is obtained and the thermal stress state of a sphere under the influence of electromagnetic pulse is numerically investigated. 2009 Article Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля / Р.С. Мусій // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 109-116. — Бібліогр.: 13 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31731 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Сформульовано динамічну центрально-симетричну задачу термомеханіки для суцільної електропровідної кулі за однорідної нестаціонарної електромагнетної дії і запропоновано методику її розв’язування з використанням кубічної апроксимації азимутальної компоненти вектора напруженості магнетного поля та радіальної компоненти тензора напружень за радіальною координатою. Одержано розв’язок задачі і числово досліджено термонапружений стан кулі за дії електромагнетного імпульсу.
format	Article
author	Мусій, Р.С.
spellingShingle	Мусій, Р.С. Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля Фізико-хімічна механіка матеріалів
author_facet	Мусій, Р.С.
author_sort	Мусій, Р.С.
title	Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля
title_short	Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля
title_full	Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля
title_fullStr	Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля
title_full_unstemmed	Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля
title_sort	термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля
publisher	Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31731
citation_txt	Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля / Р.С. Мусій // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 109-116. — Бібліогр.: 13 назв. — укp.
series	Фізико-хімічна механіка матеріалів
work_keys_str_mv	AT musíjrs termonapruženijstanelektroprovídnoíkulízadííímpulʹsnogoelektromagnetnogopolâ
first_indexed	2025-07-03T12:11:36Z
last_indexed	2025-07-03T12:11:36Z
_version_	1836627732048379904
fulltext	109 Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2009. – ¹ 6. – Physicochemical Mechanics of Materials УДК 539.3 ТЕРМОНАПРУЖЕНИЙ СТАН ЕЛЕКТРОПРОВІДНОЇ КУЛІ ЗА ДІЇ ІМПУЛЬСНОГО ЕЛЕКТРОМАГНЕТНОГО ПОЛЯ Р. С. МУСІЙ Національний університет “Львівська політехніка” Сформульовано динамічну центрально-симетричну задачу термомеханіки для су- цільної електропровідної кулі за однорідної нестаціонарної електромагнетної дії і запропоновано методику її розв’язування з використанням кубічної апроксимації азимутальної компоненти вектора напруженості магнетного поля та радіальної ком- поненти тензора напружень за радіальною координатою. Одержано розв’язок задачі і числово досліджено термонапружений стан кулі за дії електромагнетного імпульсу. Ключові слова: зв’язана динамічна центрально-симетрична задача термомеханіки, електропровідна куля, нестаціонарна електромагнетна дія, електромагнетний імпульс. Конструктивним елементом багатьох технічних пристроїв, які зазнають впливу різних фізичних дій, зокрема імпульсного електромагнетного поля (ЕМП), є металева куля. Імпульсне ЕМП зумовлює виникнення в кулі джерел джоу- левого тепла Q і пондеромоторних сил F , що створюють в ній нестаціонарні температурні поля і напруження, які за відповідних параметрів ЕМП можуть досягати суттєвих значень, аж до втрати несучої здатності кулі. Відома розра- хункова схема визначення за цих умов термонапруженого стану електропро- відних тіл [1, 2], на основі якої досліджено термомеханічну поведінку елект- ропровідних пластин [3], циліндрів [4, 5] та порожнистої кулі [6]. Але не ви- вчено термонапружений стан суцільної кулі. Нижче побудовано динамічну центрально-симетричну задачу термомеха- ніки для суцільної електропровідної кулі за однорідної нестаціонарної елект- ромагнетної дії та досліджено її термомеханічну поведінку під впливом елект- ромагнетного імпульсу (ЕМІ). Постава та розрахункова схема задачі. Розглянемо електропровідну пружну кулю радіуса r = R, віднесену до сферичної системи координат (r, θ, ϕ), початок якої збігається з центром кулі. Матеріал кулі однорідний, ізотропний і неферомагнетний, а його фізичні характеристики сталі. Куля знаходиться під дією нестаціонарного ЕМП, заданого значеннями азимутальної компонен- ти Hϕ вектора напруженості магнетного поля {0; ( , );0}H H r tϕ= на її поверхні r = R. Нестаціонарне ЕМП зумовлює в кулі нестаціонарні джоулеві теплови- ділення Q і пондеромоторні сили F , які спричиняють нестаціонарні темпера- туру T і компоненти тензора напружень ( , , )jj j rσ = ϕ θ , що описують термо- напружений стан кулі. Таким чином, розрахункова схема задачі складається з двох етапів. На першому з рівнянь Максвелла визначаємо вектор напруженос- ті магнетного поля H та відповідні йому питомі густини джоулевих теплови- ділень Q і пондеромоторних сил F . На другому етапі з рівнянь динамічної Контактна особа: Р. С. МУСІЙ, e-mail: musiy@polynet.lviv.ua 110 задачі термопружності за отриманим розподілом джерел джоулевого тепла Q знаходимо температуру T та за відомими температурою і розподілом об’єм- них пондеромоторних сил – термонапружений стан кулі. Якщо ключові функції задачі залежать лише від радіальної координати r і ча- су t, за вихідну вибираємо систему рівнянь центрально-симетричної задачі термо- механіки для електропровідних куль [7, 8]. Тоді функцію Hϕ визначає рівняння 2 2 2 0 H H H r r tr ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ + − σµ = ∂ ∂∂ (1) за нульової початкової Hϕ(r, 0) = 0 та крайової 0( , ) ( )H R t H tϕ ϕ= (2) умов, де H0ϕ(t) – відома функція. Тут σ – коефіцієнт електропровідності; µ – магнетна проникливість матеріалу кулі. В центрі кулі r = 0 функції Hϕ і Eθ = 0 1 H H r r ϕ ϕ∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ σ ∂⎝ ⎠ , де Eθ – меридіанна компонента вектора напруженості елект- ричного поля, задовольняють умови центральної симетрії електромагнетного по- ля (Hϕ(0, t) = 0, Eθ(0, t) = 0). Звідси отримуємо умови на функцію Hϕ в центрі кулі: (0, ) 0H tϕ = , (0, ) 0 H t r ϕ∂ = ∂ . (3) Питомі густини джоулевих тепловиділень Q(r, t) і пондеромоторної сили F через функцію Hϕ(r, t) виразимо формулами [7] 2 1 , H H Q r r ϕ ϕ∂⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ σ ∂⎝ ⎠ ( , ) ;0;0 .r H H F F r t H r r ϕ ϕ ϕ ⎧ ⎫∂⎛ ⎞⎪ ⎪= = −µ +⎜ ⎟⎨ ⎬ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ (4) Відповідно до чинників Q і F температуру Т і компоненти σjj (j = r, ϕ, θ) тензора динамічних напружень подаємо у вигляді суми двох складників Q FT T T= + , Q F jj jjjjσ = σ + σ , де QT , Q jjσ і FT , F jjσ – складники, зумовлені від- повідно джоулевим теплом і пондеромоторними силами. Складники температури TQ з урахуванням відомих експериментальних результатів про адіабатичність нагрівання електропровідного тіла імпульсним ЕМП [9–11] та напружень Q jjσ ( , , )j r= ϕ θ визначимо з рівнянь [8] 0 0 0 ( , ) t QT Q r t dtκ = λ ∫ , 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 2 1 1 1 Q Q Q rr E T v T r r v r r vr c t t ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ α ∂ + ∂ + − σ = − + αρ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ − ∂ −∂ ∂ ∂⎝ ⎠ , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ( )1 1 , 1 1 1 1 Q Q Q Q Q rr rrc c r v E T v v r v vt r r t t ϕϕ ϕϕ ∂ σ ∂ σ ∂ σ α ∂ + ⋅ σ = ⋅ + − − − ∂ − −∂ ∂ ∂ Q Q ϕϕθθσ = σ (5) за початкових при t = 0 ( ,0) ( ,0) 0, ( , ) 1 2 Q Q jjQ jj r E Tr j r t v t ∂σ α ∂ σ = = − = ϕ ∂ − ∂ (6) (індекси, що повторюються, не є індексами підсумовування) і крайових (0, ) 0, ( , ) 0 Q Qrr rr t R t r ∂σ = σ = ∂ (7) умов. Тут с1, с2 – швидкості пружних хвиль розширення і формозміни; ,α ν – коефіцієнти лінійного теплового розширення і Пуассона; E – модуль Юнґа; ρ – густина матеріалу кулі. 111 Компоненти F jjσ ( , , )j r= ϕ θ тензора динамічних напружень і температу- ру TF у припущенні адіабатичності деформування електропровідного тіла імпульсним ЕМП [9–11] визначають співвідношення [7, 8] ( ) 2 2 2 2 2 1 * 4 1 2 11 F r r rr F F r r v r rr c t ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ − σ = − − ⎜ ⎟∂ − ∂∂ + ε ∂⎝ ⎠ , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 ( )1 2 1 1 1 F F F F rr r rrc c r F v v v r r vt r r t ϕϕ ϕϕ ⎛ ⎞∂ σ ∂ σ ∂ σ + ⋅ σ = ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟− − ∂ −∂ ∂⎝ ⎠ , F F θθ ϕϕσ = σ , 0 * * 21 2 1 1 1 3 (1 ) /(1 ) F F rrF v vT T E v v v ϕϕσ + σ− − = − ε ⋅ ⋅ α + + ε − + (8) за початкових ( ,0)( ,0)( ,0) 0, ( ,0) 0, 0, 0 FF F F rr rr rrr r t t ϕϕ ϕϕ ∂σ∂σ σ = σ = = = ∂ ∂ (9) і крайових (0, ) 0, ( , ) 0 F Frr rr t R t r ∂σ = σ = ∂ (10) умов. Методика розв’язування крайових задач. Для побудови розв’язків крайових задач, які описують електромагнетне та температурне поля, а також компоненти напружень, ключові функції ( , ) { , , }Q F rr rrr t HϕΦ = σ σ шукаємо у ви- гляді кубічних поліномів [1, 2] 4 1 1 1 Ф( , ) ( ) i i i r t a t r − − = = ∑ , (11) що є апроксимаційними поліномами найменшого степеня, які дають можли- вість точно задовольнити задані граничні значення функцій Ф( , )r t . Коефіцієнти апроксимаційних поліномів (11) визначаємо через задані граничні значення функцій Φ(r, t) на поверхні кулі r = R та інтегральні харак- теристики Φs(t) 1 1 0 1Ф ( ) Ф( , ) , 1,2 R s s s st r t r dr s R + + + = =∫ (12) цих функцій. В результаті отримуємо такі подання: – азимутальної компоненти ( , )H r tϕ вектора H 2 3 4 2 1 * * * 2 * 3 4 2 3 4 * * 0 * * * ( , ) ( )(630 1470 840 ) ( )( 840 2016 1176 ) ( )(15 42 28 ) ; H r t H t r r r H t r r r H t r r r ϕ ϕ ϕ ϕ = − + + − + + − + − + (13) – радіальної компоненти ( , )Q rr r tσ тензора напружень, викликаних джоу- левим теплом 2 3 2 3 * * * 1 2( , ) ( )(20 100 80 ) ( )( 30 180 150 )Q QQ rr rr rrr t t r r t r rσ = σ − + + σ − + − ; (14) – радіальної компоненти ( , )F rr r tσ тензора напружень, зумовлених понде- ромоторною силою 2 3 2 3 * 1 * * 2 * ( , ) ( )(20 100 80 ) ( )( 30 180 150 )F F F rr rr rrr t t r r t r rσ = σ − + + σ − + − . (15) 112 Тут r r R= – безрозмірна радіальна координата. Для отримання рівнянь на інтегральні за радіальною координатою харак- теристики Φs(t) шуканих функцій Φ(r, t) рівняння (1), (5), (8) інтегруємо за ра- діальною координатою згідно з формулою (12), використовуючи під час пе- ретворень подання (13)–(15). Тоді дістанемо такі системи співвідношень: – для інтегральних характеристик Hϕs(t) функції Hϕ(r, t) 1 1 2 0 0 0 0 210 392 11dH H H H dt m m m ϕ ϕ ϕ ϕ − − + = , 2 1 2 0 0 0 0 5924 217 451 15 30 dH H H H dt m m m ϕ ϕ ϕ ϕ+ − = ; (16) – для інтегральних характеристик ( )Q rrs tσ функції ( , )Q rr r tσ 2 2 2 1 1 1 112 2 220 ( ) Q Q Q Trr rr d c c W t dt R R σ + σ = − , 2 2 2 2 2 1 1 1 21 22 2 2 2 160 105 ( ) 3 Q Q Q Q Trr rr rr d c c c W t dt R R R σ − σ + σ = − ; (17) – для інтегральних характеристик ( )F rrs tσ функції ( , )F rr r tσ 2 2 2 1 1 1 1 12 2 220 ( ) F F Frr rr d c c W t dt R R σ + σ = − , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 22 2 2 2 160 105 ( ) 3 F F F Frr rr rr d c c c W t dt R R R σ − σ + σ = − ; (18) – для інтегральних характеристик ( )T rrs tσ радіальних напружень * ( , )T rr r tσ . Задачі, що описують системи рівнянь (16)–(18), розв’язуємо за допомогою перетворення Лапласа, використовуючи задані початкові умови на функції ( , )H r tϕ , ( , )Q rr r tσ , ( , )F rr r tσ , які усереднюємо за радіальною координатою r згідно з формулою (12). Отримуємо такі вирази для інтегральних характеристик: – азимутальної компоненти ( , )H r tϕ напруженості магнетного поля 22 0 0 0 1 0 010 11/ [ 5926 /(15 )] 88396 /(15 ) ( ) ( ) 2 2774 /(15 ) k t pk kk m p m m H t H t e d p m τ ϕ ϕ = + + = − − τ τ + ∑ ∫ , 22 0 0 0 2 0 010 451/(30 )[ 210 / ] 2387 / ( ) ( ) 2 2774 /(15 ) k t pk kk m p m m H t H t e d p m τ ϕ ϕ = − − = − τ τ + ∑ ∫ ; (19) – радіальних напружень ( , )Q rr r tσ , зумовлених джоулевим теплом 3 1 1 11 3 0 4 2 1 12 4 3 * 2 2 10 1 3 1 2 23 0 1( ) ( )sin( ) , 20 sin( )160( ) ( ) 3 2 125 / 1 ( )sin( ) ; 105 Q Q Q t Q T rr t Q T к rr k k k t T ct W t d R ct W t d R c R c W t d R = σ = − − τ ω τ τ ω τ σ = − − τ τ − ω − ω − − τ ω τ τ ∫ ∑ ∫ ∫ (20) – радіальних напружень ( , )F rr r tσ , спричинених пондеромоторною силою 3 1 1 1 13 0 1( ) [ ( )]sin( ) , 20 t F F rr ct W t d R σ = − − τ ω τ τ∫ 113 4 2 1 2 14 3 2 2 10 1 3 1 2 23 0 sin( )160( ) [ ( )] 3 2 125 1 [ ( )]sin( ) . 105 t F F k rr k k k t F ct W t d R c R c W t d R = ω τ σ = − − τ τ + ω − ω + − τ ω τ τ ∑ ∫ ∫ (21) Тут кp – корені рівняння 2 02774 /(15 ) 2128 0p m p+ + = ; 1 1( 20 ) /c Rω = , * 2 1105 /c Rω = – власні частоти товщинних коливань суцільної кулі. Підставляючи у вирази (13)–(15) для ключових функцій подання (19)– (21) інтегральних характеристик цих функцій і використовуючи формули для азимутальних напружень ( , )Q r tϕϕσ , зумовлених джоулевим теплом 0 (1 ) 1 2( , ) ( , )sin 2 (1 ) t Q Q Er t r R r t d E r rϕϕ ⎛ ⎞ρ − ν τ σ = − τ τ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ − ν⎝ ⎠ ∫ , (22) і для азимутальних напружень ( , )F r tϕϕσ , викликаних пондеромоторною силою 0 (1 ) 1 2( , ) ( , )sin 2 (1 ) t F F Er t r R r t d E r rϕϕ ⎛ ⎞ρ − ν τ σ = − τ τ⎜ ⎟⎜ ⎟ρ − ν⎝ ⎠ ∫ , (23) де 2 2 2 2 2 2 2( , ) (1 ) 1 1 Q Q Q Q Qrr rr rr E E TR r t r r r t t ⎛ ⎞∂σ ∂ σν α ∂ = + σ + −⎜ ⎟⎜ ⎟ρ − ν ∂ − ν − ν∂ ∂⎝ ⎠ , 2 2 2 2 2( , ) (1 ) 1 F F F Frr r rr rr FER r t r r rr t ⎛ ⎞∂σ ∂ σν = + σ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ρ − ν ∂ − ν ∂⎝ ⎠ , отримуємо загальні розв’язки задачі для суцільної кулі. Термонапружений стан електропровідної кулі за дії електромагнет- ного імпульсу. Нехай куля знаходиться під дією одиночного ЕМІ, який мате- матично моделюємо функцією 1 2 0 0( ) ( )t tH t kH e e−β −β= − . (24) Тут k – нормувальний множник; H0 – максимальне значення напруженості маг- нетного поля в імпульсі; β1 і β2 – параметри, що характеризують часи фронтів наростання і спадання імпульсу тривалістю ti. В цьому випадку в умові (2) функція H0ϕ(t) дорівнює виразу (24). Тепер на основі загального розв’язку запи- шемо розв’язок задачі термомеханіки для електропровідної кулі за дії ЕМІ. Азимутальна компонента Hϕ(r, t) вектора H у суцільній кулі набуде вигляду 1 2 2 2 3 4 2 3 4 0 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 1 ( , ) [ ( ) ( )]t t k k k k k k k H r t kH e N r N r N r e N r N r N r−β −β ϕ = = + + − + +∑ . (25) Тут 1 1 2 1(630Ф 840Ф ) /( ) 15k k k kN р= − β + + ; 2 2 1 1(2016Ф 1470Ф ) /( ) 42k k k kN р= − β + − ; 3 1 2 1(840Ф 1176Ф ) /( ) 28k k k kN р= − β + + ; 4 1 2 2(630Ф 840Ф ) /( ) 15k k k kN р= − β + + ; 5 2 1 2(2016Ф 1470Ф ) /( ) 42k k k kN р= − β + − ; 6 1 2 2(840Ф 1176Ф ) /( ) 28k k k kN р= − β + + ; 2 0 0 0 1 0 11[ 5924 /(156 )]/ 88396 /[(15 ) ] Ф 2 2774 /(15 ) k k k р m m m р m + + = + ; 2 0 0 0 2 0 451/(30 )[ 210 / ] 2387 / Ф 2 2774 /(15 ) к k k m р m m р m − − = + . 114 Вирази для питомих густин джоулевих тепловиділень Q(r, t) і радіальної компоненти Fr(r, t) пондеромоторної сили будуть: 1 1 2 2 2 2 2 2 ( )* 1 * 2 * 3 2 2 1 10 0 ( , ) [ ( ) ( ) ( )]t t t kn kn kn k n Q r t k e R r e R r e R r H R − β − β +β −β = = = − + σ ∑ ∑ , (26) 1 1 2 2 2 2 2 ( )2 4 * 5 * 6 2 2 1 10 ( , ) [ ( ) ( ) ( )]t t tr kn kn kn k n F r t k e R r e R r e R r H R − β − β +β −β = = µ = − +∑ ∑ . (27) Тут 1 1 * 1 ( ) ( ) ( )kn k nR r Z r Z r= ; 2 1 * 2 * 2 * 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kn k n k nR r Z r Z r Z r Z r= + ; 3 2 * 2 ( ) ( ) ( )kn k nR r Z r Z r= ; 4 1 * 3 ( ) ( ) ( )kn k nR r Z r Z r= ; 5 2 * 3 * 1 * 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kn k n k nR r Z r Z r Z r Z r= + ; 6 2 * 4 ( ) ( ) ( )kn k nR r Z r Z r= ; 2 3 1 1 * 2 * 3 ( ) 3 4 5k k k kZ r N r N r N r= + + ; 2 3 2 4 * 5 * 6 ( ) 3 4 5k k k kZ r N r N r N r= + + ; 2 3 4 3 1 * 2 * 3 ( )k k k kZ r N r N r N r= + + ; 2 3 4 4 4 * 5 * 6 ( )k k k kZ r N r N r N r= + + . Вирази Z1n(r)÷ Z4n(r) отримуємо з виразів Z1k(r)÷ Z4k(r) заміною k на n. Складник температури TQ(r, t) запишемо так: 21 1 2 2 ( )2 2 2* 1 * 2 2 2 1 1 21 10 0 2 3 2 ( , ) 1 1( ) ( ) 2 1 ( ) . 2 t tQ kn kn k n t kn T r t e ek R r R r H R e R r − β − β +β = = − β ⎡κ − − ⎢= − + β β +βσ µ ⎢⎣ ⎤− + ⎥ β ⎥⎦ ∑ ∑ (28) Радіальні напруження ( , )Q rr r tσ у суцільній кулі визначають формули (14) і (20) за таких виразів функцій ( ) QT sW t у (20): { 1 1 2 2 2 2 ( )2 1 1 1 2 22 2 1 10 0 ( ) (1 ) 2 2( ) 1 QT t ts kns kns k n W t Ek e M e M H R − β − β +β = = κ α ⎡= ⋅ + ν − β + β + β −⎢⎣− νσ µ ∑ ∑ 21 1 2 2 2 ( ) 2 2 2 3 4 5 6 1 1 2 2 1 1 12 2 2 t t t t kns kns kns kns e e ee M M M M − β − β +β − β − β ⎫⎡ ⎤− − − ⎪⎤ ⎢ ⎥− β − − + ⎬⎦ β β + β β⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦ ⎭ ,(29) де 1 1 * * 0 ( ) s рkns рknM R r r dr+= ∫ ; 1 * ( 3) * * 0 ( ) 2 рkn s p kns R r M r dr r+ ∂ = ∂∫ , 1,3p = ; 1,2s = . Азимутальні динамічні напруження ( , )Q r tϕϕσ , за знайдених радіальних напружень ( , )Q rr r tσ і температури ( , )QT r t , визначає формула (22). Вирази для радіальних динамічних напружень ( , )F rr r tσ отримуємо на ос- нові співвідношень (15) і (21) за таких подань функцій ( )F sW t у (21): 1 1 2 2 2 2 22 7 102 1 10 ( ) 2 8 11 9 12 ( ) 2 1 2 2 , 1 1 F ts kns kns k n t t kns kns kns kns W t k e M M RH e M M e M M − β = = − β +β − β ⎡µ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎢ − ν⎝ ⎠⎣ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥− ν − ν⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ∑ ∑ де 1 ( 6) ( 3) * * 0 ( ) s р kns р knM R r r dr+ += ∫ ; 1 ( 3) * 1 ( 9) * * 0 ( )р kn s p kns R r M r dr r + + + ∂ = ∂∫ , 1,3p = ; 1,2s = . Азимутальні динамічні напруження ( , )F r tϕϕσ за відомих радіальних *( , )F rr r tσ визначає формула (23). 115 Числово аналізували неферомагнетну (мідну) кулю радіуса R = 0,01 m. Тривалість ЕМІ приймали рівною ti =100 µs [13], що відповідає значенням β1 = 69000; β2 = 2β1; κ = 4. Рис. 1. Зміна в часі радіальної компоненти Fr пондеромоторної сили (a) та сумарної температури T = TQ + TF (b) за дії електромагнетного імпульсу тривалістю ti = 100 µs. Криві 1–3 відповідають значенням r = R; 0,75 R; 0,5 R. Fig. 1. Change in time of the radial component, Fr, of ponderomotive force (a) and of summed up temperature, T = TQ + TF, (b) under influence of electromagnetic pulse of duration ti = 100 µs. Curves 1–3 corresponds to values r = R; 0.75 R; 0.5 R. Показано (рис. 1 і 2) зміну в часі компоненти Fr пондеромоторної сили F , сумарної температури T = TQ + TF, компонент напружень σrr і σϕϕ у мідній кулі. Пондеромоторна сила Fr має стискальний характер і досягає максималь- ного значення на поверхні кулі за час t = 0,1ti, а температура T – за час t ≥ 0,4ti. Максимальні значення складників TF є нехтовні порівняно з такими для TQ. Відповідно радіальні напруження F rrσ і Q rrσ є стискальні і однакового порядку величини. Азимутальні напруження F ϕϕσ є розтягальні, а напруження Q ϕϕσ стискальні. Відповідно сумарні напруження Q F ϕϕ ϕϕ ϕϕσ = σ + σ у початкові мо- менти часу t < 0,2ti розтягальні, а при t > 0,2ti стискальні. Рис. 2. Зміна в часі радіальних σrr (a) і азимутальних σϕϕ (b) напружень за дії електромаг- нетного імпульсу тривалістю ti = 100 µs: 1 – напруження σF rr ; 2 – напруження Q rrσ ; 3 – сумарні напруження F Q ϕϕ ϕϕ ϕϕσ = σ + σ , обчислені при r = R/2, де вони максимальні. Fig. 2. Change in time of radial, σrr, (a) and azimuth, σϕϕ, (b) stresses under influence of electromagnetic pulse of duration ti = 100 µs: 1 – stresses σF rr ; 2 –stresses Q rrσ ; 3 – total stresses F Q ϕϕ ϕϕ ϕϕσ = σ + σ , calculated at r = R/2, where they are maximum. Максимальні розтягальні азимутальні напруження приблизно в 4 рази перевищують максимальні стискальні радіальні. За значеннями сумарних ази- 116 мутальних напружень можна оцінити інтенсивність напружень [12] в мідній кулі, яка досягає за вказаних параметрів ЕМІ межі пружної деформації, якщо H0 ≥ 2⋅106 A/m, тобто коли мідна куля втрачає несучу здатність. ВИСНОВКИ Кубічною апроксимацією розподілів ключових функцій – азимутальної ком- поненти вектора напруженості магнетного поля та радіальної компоненти тензо- ра динамічних напружень – вдалося початково-крайову центрально-симетричну задачу термомеханіки для електропровідної кулі звести до відповідних задач Ко- ші на інтегральні характеристики цих функцій. З допомогою інтегрального пере- творення Лапласа отримано розв’язок для довільної однорідної нестаціонарної електромагнетної дії. Записано розв’язок задачі за дії ЕМІ і проаналізовано тер- момеханічну поведінку мідної кулі та її несучу здатність за такого впливу. РЕЗЮМЕ. Сформулировано динамическую центрально-симметрическую задачу тер- момеханики для сплошного электропроводного шара при однородном нестационарном электромагнитном воздействии и предложено методику ее решения с использованием ку- бической аппроксимации азимутальной компоненты вектора напряженности магнитного поля и радиальной компоненты тензора напряжений за радиальной координатой. Получе- но решение задачи и численно исследовано термонапряженное состояние шара при воз- действии электромагнитного импульса. SUMMARY. The dynamic central-symmetric problem of thermomechanics is formulated for a solid electroconductive sphere under the homogeneous non-stationary electromagnetic influence and its solution method has been proposed using cubic approximation of azimuth com- ponent of magnetic field stress and a radial component of a stress tensor by a radial coordinate. The solution is obtained and the thermal stress state of a sphere under the influence of electro- magnetic pulse is numerically investigated. 1. Бурак Я. Й., Гачкевич О. Р., Мусій Р. С. Задачі термомеханіки електропровідних обо- лонок за умов дії неусталених електромагнітних полів імпульсного типу // Вісн. До- нецьк. ун-ту. Сер. А. Природничі науки. – 2002. – Вип. 2. – С. 70–75. 2. Бурак Я. Й., Гачкевич О. Р., Мусій Р. С. Термопружність неферомагнітних електропро- відних тіл за умов дії імпульсних електромагнітних полів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2006. – 49, № 1. – С. 75–84. 3. Мусій Р. С. Термопружний стан електропровідної пластини під електромагнітними імпульсами // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2001. – 37, № 6. – С. 7–14. (Musii R. S. Thermal Stressed State of a Conducting Plate under the Action of Electromag- netic Pulses // Materials Science. – 2001. – 37, № 6. – P. 845–856.) 4. Гачкевич О. Р., Мусій Р. С., Мельник Н. Б. Термомеханічна поведінка порожнистого електропровідного циліндра при імпульсній електромагнітній дії // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2001. – 44, № 1. – С. 146–154. 5. Мусій Р. С. Термопружний стан електропровідного циліндра під дією поверхневих електромагнетних імпульсів // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2004. – 40, № 2. – С. 45–52. (Musii R. S. Thermoelastic State of a Conducting Cylinder under the Action of Surface Electromagnetic Pulses // Materials Science. – 2004. – 40, № 2. – P. 204–213.) 6. Гачкевич А. Р., Мусий Р. С., Стасюк Г. Б. Термомеханическое состояние полей элект- ропроводной сферы при импульсном электромеханическом воздействии // Теорет. и прикл. механика. – 2005. – Вып. 40. – С. 9–17. 7. Мусій Р. С. Динамічна центрально-симетрична задача електромагнітопружності для електропровідної сфери // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2002. – Вип. 36. – С. 91–100. 8. Мусій Р. С. Формулювання крайових задач термомеханіки електропровідних тіл кано- нічної форми // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2008. – № 5. – С. 126–127. 9. Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля. – М.: Мир, 1972. – 392 с. 10. Сильные и сверхсильные магнитные поля и их применение / Под ред. Ф. Херлаха. – М: Мир, 1988. – 456 с. 11. Moon F. O. Problem in magneto-solid mechanics // Mechanics Today. – 1978. – 4. – P. 307–289. 12. Ионов В. Н., Огибалов П. М. Напряжение в телах при импульсивном нагружении. – М.: Высш. шк., 1975. – 463 с. 13. Белый И. В., Фертик С. М., Хименко Л. Т. Справочник по магнито-импульсной обра- ботке металлов. – Харьков: Высш. шк., 1977. – 168 с. Одержано 12.10.2008

Термонапружений стан електропровідної кулі за дії імпульсного електромагнетного поля

Institution

Ähnliche Einträge