Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми
Запропоновано підхід до розрахунку напруженого стану пластин з крайовими тріщинами біля отворів складної форми на основі методу інтегральних рівнянь. Досліджено коефіцієнти інтенсивності напружень для тріщин біля отворів, що мають форму рівностороннього многокутника та для системи тріщин різної довж...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Series: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31738 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми / В.В. Божидарнік, О.В. Максимович // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 19-26. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-31738 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-317382012-03-18T12:08:37Z Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми Божидарнік, В.В. Максимович, О.В. Запропоновано підхід до розрахунку напруженого стану пластин з крайовими тріщинами біля отворів складної форми на основі методу інтегральних рівнянь. Досліджено коефіцієнти інтенсивності напружень для тріщин біля отворів, що мають форму рівностороннього многокутника та для системи тріщин різної довжини біля кругового отвору. Предложен подход к расчету напряженного состояния пластин с краевыми трещинами возле отверстий сложной формы на основе метода интегральных уравнений. Исследовано коэффициенты интенсивности напряжений для краевых трещин около отверстий, имеющих форму равностороннего многоугольника и для системы трещин различной длины возле кругового отверстия. The approach to the stress-state determination of plates with edge cracks at holes of complicated configuration based on the integral equations method is proposed. The stress intensity factors for edge cracks at holes of equilateral polygon configuration and a system of cracks of different length at the hole have been investigated. 2010 Article Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми / В.В. Божидарнік, О.В. Максимович // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 19-26. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31738 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Запропоновано підхід до розрахунку напруженого стану пластин з крайовими тріщинами біля отворів складної форми на основі методу інтегральних рівнянь. Досліджено коефіцієнти інтенсивності напружень для тріщин біля отворів, що мають форму рівностороннього многокутника та для системи тріщин різної довжини біля кругового отвору. |
| format |
Article |
| author |
Божидарнік, В.В. Максимович, О.В. |
| spellingShingle |
Божидарнік, В.В. Максимович, О.В. Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Божидарнік, В.В. Максимович, О.В. |
| author_sort |
Божидарнік, В.В. |
| title |
Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми |
| title_short |
Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми |
| title_full |
Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми |
| title_fullStr |
Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми |
| title_full_unstemmed |
Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми |
| title_sort |
визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31738 |
| citation_txt |
Визначення напруженого стану біля крайових тріщин у пластині з отвором складної форми / В.В. Божидарнік, О.В. Максимович // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 19-26. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT božidarníkvv viznačennânapruženogostanubílâkrajovihtríŝinuplastinízotvoromskladnoíformi AT maksimovičov viznačennânapruženogostanubílâkrajovihtríŝinuplastinízotvoromskladnoíformi |
| first_indexed |
2025-07-03T12:12:01Z |
| last_indexed |
2025-07-03T12:12:01Z |
| _version_ |
1836627757967081472 |
| fulltext |
19
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ВИЗНАЧЕННЯ НАПРУЖЕНОГО СТАНУ БІЛЯ КРАЙОВИХ ТРІЩИН
У ПЛАСТИНІ З ОТВОРОМ СКЛАДНОЇ ФОРМИ
В. В. БОЖИДАРНІК, О. В. МАКСИМОВИЧ
Луцький національний технічний університет
Запропоновано підхід до розрахунку напруженого стану пластин з крайовими трі-
щинами біля отворів складної форми на основі методу інтегральних рівнянь. Дослі-
джено коефіцієнти інтенсивності напружень для тріщин біля отворів, що мають
форму рівностороннього многокутника та для системи тріщин різної довжини біля
кругового отвору.
Ключові слова: пластина з отвором, крайова тріщина, коефіцієнт інтенсивності на-
пружень, напружений стан.
Дослідженню напруженого стану біля крайових тріщин у пластинах із
отворами складної форми присвячено значно менше праць, ніж його вивчен-
ню біля внутрішніх [1, 2]. При цьому значна кількість результатів, що наве-
дені в довідниках із визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН)
[3], отримана з використанням методу конформного відображення, який
ефективний лише за розгляду окремих класів задач.
Загальний метод дослідження таких задач на основі методу граничних
інтегральних рівнянь (МГІР) запропоновано раніше [1]. Відомо, що найефек-
тивніші підходи для визначення КІН в МГІР ґрунтуються на модифікованих
інтегральних рівняннях, побудованих так, що умови на межі отвору задо-
вольняються тотожно [1]. Так досліджували КІН для крайових тріщин біля
отворів кругової форми у нескінченних та кільцевих пластинах, у пластинах,
що містять тріщини з відгалуженнями [1], тощо.
Нижче розроблено методику розрахунку напруженого стану пластин з
крайовими тріщинами для отворів практично довільної форми на основі мо-
дифікованих інтегральних рівнянь, які побудовані з допомогою методу кон-
формного відображення.
Постава задачі та основні співвідношення. Розглянемо нескінченну
пластину з отвором, послаблену системою крайових тріщин, що розміщені
вздовж кривих Lj (j = 1, …, J). Приймемо, що пластина перебуває під дією зо-
середжених сил, двостороннього розтягу на нескінченності та прикладених
до тріщини зусиль qT, які вважаємо однаковими на її протилежних берегах.
Тут qT = Nq + iTq, де Nq і Tq – нормальна та дотична проекції вектора зусиль,
що прикладені до тріщини. Загальний розв’язок задачі теорії пружності для
нескінченної пластини з внутрішніми тріщинами записано через комплексні
потенціали Колосова–Мусхелішвілі Φ(z), Ψ(z) [1]:
2
( )1( ) ( ), ( ) ( ),
2 ( )
S S S
c c
L L
Q t dt Q dt tQ dt
z z z z
t z t z t z
⎡ ⎤
Φ = + Φ Ψ = − + Ψ⎢ ⎥
π − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ (1)
Контактна особа: О. В. МАКСИМОВИЧ, e-mail: olesyamax@fromru.com
20
де 2 ([ ] [ ])
1S
Gi dQ u i v
dt
= − +
χ +
, 1 2 ... JL L L L= + + + , [ ]u і [ ]v – стрибки перемі-
щень на контурі L, G – модуль зсуву, (3 ) /(1 )χ = − ν + ν , ν – коефіцієнт Пуас-
сона; Φс(z) і Ψс(z) – потенціали для суцільної пластини, що навантажена на
нескінченності та зосередженими силами.
Вектор напружень q N iTΓ Γ Γ= + у довільній точці z кривої Γ на дотичній
до неї площині знаходимо через комплексні потенціали [1, 3]:
( ) ( ) ( ) / [ '( ) ( )]q z z z dz dz z z zΓ = Φ +Φ + Φ + Ψ , (2)
де dz – диференціал змінної z на кривій.
Щоб отримати інтегральні рівняння для знаходження функції Q(t), під-
ставимо потенціали (1) в формулу (2), спрямуємо z → L та врахуємо, що на
тріщині L Tq q= [1]. Для інтегрального запису для пластини з отвором і трі-
щинами перепишемо формулу (1) у вигляді
0 0( ) ( , ( ), ) ( ), ( ) ( , ( ), ) ( )c c
L L
z z Q t t ds z z z Q t t ds zΦ = Φ +Φ Ψ = Ψ +Ψ∫ ∫ , (3)
де ds – диференціал дуги;
0 0 2( , , ) ; ( , , )
( )
P P aPz P a z P a
a z a z a z
Φ = Ψ = −
− − −
; (4)
([ ] [ ])dQ G i u i v
ds
′= − + , (5)
( 1)
GG′ =
π χ +
. Зазначимо, що 0 0,Φ Ψ є аналітичні функції від змінної z та
1 /
2 SQ Q dt ds=
π
.
Розглянемо напружено-деформований стан, який відповідає потенціалам
Φ0 (z, P, a), Ψ0 (z, P, a) за довільних значень комплексної величини Р та розмі-
щення точки а. Відповідні їм головний вектор (X, Y) і момент Ма на довільно-
му контурі, який обмежує точку а, рівні нулю. За повного обходу навколо точ-
ки а вздовж довільного контуру Γ переміщення терплять стрибок (u+iv)Γ=
=Pi/G′. Тобто потенціали Φ0, Ψ0 належать до класу дислокаційних розв’язків,
які детально розглянуті в праці [3] з відповідною механічною інтерпретацією.
Подання (1) і (3) справедливі, коли стрибки переміщень на кінцях кривої
L рівні нулю. В іншому випадку (під час розгляду крайових тріщин) диферен-
ціювання в (5) розглядаємо в сенсі узагальнених функцій. Тоді до функції Q у
виразі (5) справа необхідно додати компоненту Q∆:
( ) ( )A A B BQ C s s C s s∆ = − δ − + δ − , (6)
де ( ); ( )A A A B B BC G i U iV C G i U iV′ ′= + = + , ( , )A AU V і ( , )B BU V – стрибки пере-
міщень у вершинах A і B тріщини; δ(х) – дельта-функція Дірака; sA, sB – дугові
координати вершин A і B. Тут розглянуто одну тріщину. Тоді потенціали (3) з
урахуванням (6) такі:
0 0 0( ) ( , ( ), ) ( , , ) ( , , ) ( ),A A B B c
L
z z Q t t ds z C c z C c zΦ = Φ −Φ +Φ +Φ∫ (7)
0 0 0( ) ( , ( ), ) ( , , ) ( , , ) ( )A A B B c
L
z z Q t t ds z C c z C c zΨ = Ψ −Ψ +Ψ +Ψ∫ .
21
Зазначимо, що зображення (7) можна отримати і іншим шляхом. Для цьо-
го спочатку необхідно записати первісні від потенціалів (1), які містять без-
посередньо стрибки переміщень (а не похідні від них) [4], а далі інтегрувати
за частинами та врахувати ненульові стрибки переміщень на кінцях кривої L.
Модифіковані інтегральні рівняння для пластини з отвором і тріщи-
нами. Розглянемо тепер пластину з отвором. Позначимо через D область, яку
займає серединна її площина. Побудуємо спочатку для області D дислокацій-
ний розв’язок ΦG(z, P, a), ΨG(z, P, a) при a, z ∈ D, який задовольняє умову
відсутності напружень на межі отвору. Будуємо розв’язок так, щоб потенціа-
ли ΦG(z, P, a), ΨG(z, P, a) мали такі ж полюси в точці a ∈ D, як і функції Φ0,
Ψ0 у формулах (4).
За побудованих дислокаційних потенціалів інтегральне подання для пла-
стини з отвором і внутрішніми розрізами з ненульовими стрибками перемі-
щень на кінцях запишемо у вигляді
( ) ( , ( ), ) ( , , ) ( , , ) ( ),G G A A G B B D
L
z z Q t t ds z C c z C c zΦ = Φ −Φ +Φ +Φ∫ (8)
( ) ( , ( ), ) ( , , ) ( , , ) ( )G G A A G B B D
L
z z Q t t ds z C c z C c zΨ = Ψ −Ψ +Ψ +Ψ∫ ,
де ΦD(z), ΨD(z) – комплексні потенціали для пластини з вільним від наван-
таження отвором, які відповідають прикладеному зовнішньому навантажен-
ню (без урахування зусиль, що діють на берегах тріщини).
За побудовою в поданні (8) підінтегральні функції мають такі ж особли-
вості, як і в (1). Тому вирази (8) і (1) визначають однакові стрибки перемі-
щень на контурі L. Також за побудовою потенціали (8) автоматично задо-
вольняють умову відсутності напружень на межі отвору.
Розглянемо тепер крайову тріщину. Тоді на основі подання (8) після гра-
ничного переходу точки сА до точки с, яка лежить на межі отвору, та з ураху-
ванням того, що у вершині с стрибки переміщень рівні (Uc, Vc), а у внутріш-
ній – нульові, отримаємо:
( ) ( , ( ), ) ( , , ) ( ),G G D
L
z z Q t t ds z C c zΦ = Φ +Φ +Φ∫
( ) ( , ( ), ) ( , , ) ( )G G D
L
z z Q t t ds z C c zΨ = Ψ +Ψ +Ψ∫ , (9)
де ' ( )c cC G i U iV= − + . Інтегруючи формулу (5) вздовж контуру L, визначимо
взаємозв’язок між функцією Q і сталою С:
L
Qds C= −∫ . (10)
Розглянемо довільний контур Γ, що охоплює отвір із крайовою тріщи-
ною. За повного обходу вздовж нього переміщення, що визначають потенціа-
ли (9), мають стрибок. Прирівнюючи цей стрибок до нуля, отримуємо умову
однозначності переміщень, яка збігається із формулою (10).
Розглянемо тепер систему крайових тріщин. Тоді на основі (9) дістанемо:
1
( ) ( , ( ), ) ( , , ) ( ) ,
j
J
G G j j D
j L
z z Q t t ds z C c z
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟Φ = Φ +Φ +Φ
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫
1
( ) ( , ( ), ) ( , , ) ( ) ,
j
J
G G j j D
j L
z z Q t t ds z C c z
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟Ψ = Ψ + Ψ + Ψ
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫ (11)
22
де cj – координати вершини j-ої тріщини, яка виходить на межу отвору; Cj =
= –G′i(Ucj + iVcj), Ucj і Vcj – стрибки переміщень у цих вершинах. На підставі
(10) маємо:
0
j
j
L
Qds C+ =∫ , 1,...,j J= . (12)
Отже, за виконання рівностей (12) умови однозначності переміщень для
подань (11) задовольняються тотожно. Інтегральні подання (11) з урахуван-
ням умов (12) можна записати також у вигляді
1
( ) ( , ( ), ) ( , ( ), ) ( ) ,
j
I
G G j D
j L
z z Q t t z Q t c ds z
=
⎡ ⎤Φ = Φ −Φ +Φ⎣ ⎦∑ ∫
1
( ) ( , ( ), ) ( , ( ), ) ( ).
j
I
G G j D
j L
z z Q t t z Q t c ds z
=
⎡ ⎤Ψ = Ψ −Ψ +Ψ⎣ ⎦∑ ∫ (13)
Зазначимо, що за використання виразів (13) умови однозначності перемі-
щень виконуються тотожно. Для запису наведених подань у явному вигляді
врахуємо, що дислокаційні потенціали, які є лінійні відносно параметра Р,
можна зобразити так:
1 2 1 2( , , ) ( , ) ( , ), ( , , ) ( , ) ( , ),G Gz P a PF z a PF z a z P a Pf z a P f z aΦ = + Ψ = + (14)
де Fj, fj – відомі функції. Тоді
1 2 1 2
1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ,
j
J
j j j j D
j L
z Q t F z t Q t F z t ds C F z c C F z c z
=
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤Φ = + + + +Φ⎨ ⎬⎣ ⎦
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∫
1 2 1 2
1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )
j
J
j j j j D
j L
z Q t f z t Q t f z t ds C f z c C f z c z
=
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤Ψ = + + + + Ψ⎨ ⎬⎣ ⎦
⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∫ . (15)
Зображення (13) будуть:
1 2
1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
j
J
j j D
j L
z Q t F z t Q t F z t ds z
=
⎡ ⎤Φ = + +Φ⎣ ⎦∑ ∫ ,
1 2
1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
j
J
j j D
j L
z Q t f z t Q t f z t ds z
=
⎡ ⎤Ψ = + + Ψ⎣ ⎦∑ ∫ , (16)
де ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ), 1,2kj k k j kj k k jF z t F z t F z c f z t f z t f z c k= − = − = .
Під час розрахунків зручно перейти до дійсних невідомих. Для цього
подамо R IQ Q iQ= + та j Rj IjC C iC= + . Тоді (13) перепишемо так:
{ }
1
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ),
j
J
R R R j I I I j D
j L
z Q t z t z c Q t z t z c ds z
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ = Φ −Φ + Φ −Φ +Φ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∫
{ }
1
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
j
J
R R R j I I I j D
j L
z Q t z t z c Q t z t z c ds z
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ = Ψ −Ψ + Ψ −Ψ +Ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∫ ,(17)
де ( , ) ( ,1, );R Gz t z tΦ =Φ ( , ) ( ,1, )R Gz t z tΨ = Ψ ; ( , ) ( , , );I Gz t z i tΦ =Φ ( , )I z tΨ =
( , , )G z i t= Ψ .
Інтегральні рівняння для знаходження невідомої функції Q отримуємо
після підстановки інтегральних зображень у формулу (2) та врахування, що
23
на тріщині L Tq q= . За граничного переходу z → L використовуємо формулу
Племеля–Сохоцького. В результаті отримуємо систему інтегральних рівнянь
{ }
1
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
( ) ( ), ,
j
J
R R R j I I I j
j L
T D
Q t q z t q z c Q t q z t q z c ds
q z q z z L
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − ∈
∑ ∫ (18)
де qR(z, a), qI(z, a), qD(z) – вектори напружень qL в точці z кривої L, які визна-
чаємо за формулою (2) через відповідно комплексні потенціали (ΦR(z, a),
ΨR(z, a)), (ΦI(z, a), ΨI(z, a)), (ΦD(z), ΨD(z)). У рівнянні (18) ядра, якщо t→cj,
рівні нулю. Така умова необхідна для розв’язальності інтегральних рівнянь у
разі крайових тріщин [1].
Дислокаційні розв’язки для пластини з отвором довільної форми.
Для визначення дислокаційного розв’язку (14) використаємо метод Мусхелі-
швілі. Розглядатимемо випадок, коли площина з вирізаним кругом одинич-
ного радіуса в площині ζ відображається конформно на область D функцією
( )z = ω ζ , де 0 1( ) / ... / M
Md d dω ζ = ζ + ζ + + ζ , 0 1, , ..., Nd d d – відомі комплексні
коефіцієнти. Первісні від комплексних потенціалів ΦG(z), ΨG(z) у нових змін-
них позначимо ϕ(ζ), ψ(ζ) [5]. Для еліптичного отвору з півосями а1, а2
2
0( ) ln( ) ln ,
( )
A A∗ ∗
∗
⎡ ⎤⎛ ⎞ς − ς ς
ϕ ς = − ς − ς − + γ⎢ ⎥⎜ ⎟ς ς − ς⎝ ⎠⎣ ⎦
(19)
2
0 2
0
1 (1 )( ) ln( ) ln ( )
( )
mA A
m
∗⎡ ⎤⎛ ⎞ς − ς ζ + ζ ′ψ ζ = − ς − ς + + γ − ϕ ζ⎢ ⎥⎜ ⎟ς ς − ς ζ −⎝ ⎠⎣ ⎦
,
де ζ0 – така точка, що ω(ζ0)=а; 0* 1/ς = ς ; 0 0 0( ) (1/ ) / ( )⎡ ⎤ ′γ = ω ς − ω ς ω ς⎣ ⎦ , ненульо-
ві коефіцієнти у функції ω(ζ) рівні 0 1 2( ) / 2d a a= + , 1 1 2( ) / 2d a a= − , m = d1/d0.
Для знаходження дислокаційного розв’язку, коли точка с лежить на межі
області отвору, перейдемо до границі z0→c. Враховуючи, що при цьому ζ*=ζ0,
γ=0, з (19) отримаємо:
( ) ln ,Pϕ ς = − ς
2
2
1( ) ln mP P
m
+
ψ ζ = − ζ +
ζ −
. (20)
Тобто потенціали ΦG(z, P, c), ΨG(z, P, c), якщо c∈L, для еліптичного отво-
ру не залежать від розміщення точки с. Можна показати [6], що дислокаційні
потенціали не залежать від розміщення точки с і на межі отвору довільної
форми. Зазначимо, що такий висновок можна зробити і на основі безпосеред-
нього використання встановленої в праці [3] механічної інтерпретації дисло-
каційних розв’язків.
Зокрема, випишемо на основі (19) функції, які входять у потенціали
ΦG(z, P, а), ΨG(z, P, а) (формули (14)), та інтегральні подання для кругового
отвору радіуса r. Тоді
2
1 2
1( , ) ,
( )
rF z a
z a z za r
= − +
− −
2 4 2
1 2 2 3 2 2
(3 2 )( , ) ,
( ) ( )
a r r za rf z a
z a az z za r
− −
= + +
− −
2 2
2 2 2( , )
( )
r aa rF z a
a za r
−
=
−
,
24
2 2 2
4
2 2 2 2 3
1 3( , )
( ) ( )
r r aa za rf z a r
z a az za r z za r
− −
= − + +
− − −
.
Коли точка а лежить на межі отвору (а = с), знаходимо:
2
1 2 1 23
1 2 1( , ) , ( , ) 0, ( , ) , ( , )rF z c F z c f z c f z c
z zz
= − = = − = − .
Підставляючи ці функції в інтегральне подання (15) та замінюючи в ньо-
му величину Cj інтегралом (12), отримуємо інтегральне подання для пластини
із круговим отвором та крайовими тріщинами, яке збігається із побудованим
для цього випадку зображенням [1] іншим методом.
Числовий алгоритм розв’язування рівнянь. В інтегральні рівняння
входять інтеграли вигляду
( )( ) , ( ) ,
L L
F tR F t ds H z ds z L
t z
= = ∈
−∫ ∫ , (21)
де L – гладкий розімкнутий контур; інтеграл H розглядаємо в сенсі головного
значення. Для обчислення інтегралів контур інтегрування опишемо парамет-
рично ( )t g= ξ , 1 1− ≤ ξ ≤ . Розглядаємо далі випадок, коли після заміни змін-
них підінтегральна функція має кореневі особливості ( ) 2( ) ( ) / 1F g Uξ = ξ − ξ ,
де U(ξ) – гладка обмежена функція. Для обчислення інтегралів у нових змін-
них з використанням квадратурної формули Лобатто маємо [5]:
1
N
n n
n
R A U
=
= ∑ ,
1
( ) , 1,..., 1
N
n
n
nn
U
H z A N
t zν
ν=
= ν = −
−∑ , (22)
де N – вибрана кількість вузлових точок; ( )n nU U= ξ ; ( ); ( )n nz g t gν ν= τ = ξ ,
cos( ( 1))n N nξ = − π − , cos( ( 0,5))Nντ = − π ν − . Тут n N nA s′= π , якщо 1n ≠ і
;n N≠ 1 10,5 ; 0,5N N N NA s A s′ ′= π = π ; ( )n ns s′ ′= ξ ; /( 1);N Nπ = π − ( ) | ( ) |s g′ ′ξ = ξ .
Розглянемо спочатку детальніше випадок, коли тріщина одна. Застосовуючи
формули (27) до рівняння (18), отримуємо систему алгебричних рівнянь
1
( ) , 1,..., 1
N
n n n n
n
a R b I d Nν ν ν
=
+ = ν = −∑ , (23)
де [ ( , ) ( , )];n n R n Ra A q z t q z cν ν ν= − [ ( , ) ( , )];n n I n Ib A q z t q z cν ν ν= − ( )Td q zν ν= −
( )Dq zν− ; ( ), ( )n n n nR R I I= ξ = ξ . Тут використано зображення ( ( ))RQ g ξ =
2( ) / 1 ,R= ξ − ξ 2( ( )) ( ) / 1IQ g Iξ = ξ − ξ .
Вважаємо, що параметру 1ξ = − відповідає точка виходу тріщини на межу
отвору, в якій напруження обмежені. Тому приймаємо умови [1]: ( 1)R − =
0, ( 1) 0I= − = . Звідси отримуємо два додаткові рівняння 1 0,R = 1 0I = , які ра-
зом із рівняннями (23) складають замкнену систему рівнянь для крайових трі-
щин. КІН через знайдені зі системи коефіцієнти визначимо [1] за формулою
I II 2 (1) ( )N NK iK g R iI+ + ′− = − π π + .
Система рівнянь (23) справедлива і для системи тріщин, якщо в ній по-
класти: 1 2 ..., JN N N N= + + ; kN – кількість вузлових точок на k-му розрізі;
1 2, ,..., Nt t t – сукупність впорядкованих вузлових точок
1
(1) (1) (1) (2)
1 2 1, ,..., ; ,...,Nt t t t
25
2
(2) ( ) ( )
1; ...; ,..., ;
J
J J
N Nt t t 1 2, ,..., N Jz z z − – сукупність точок
1
(1) (1) (2)
1 11,..., ; ,...,Nz z z−
2
(2) ( ) ( )
11 1; ...; ,..., ;
J
J J
N Nz z z− − 1 2, ,..., NA A A – сукупність коефіцієнтів
1
(1) (1)
1 ,..., ; ...;NA A
( ) ( )
1 ,..., ;
J
J J
NA A 1 2, ,..., NR R R – сукупність значень
1
(1) (1) ( ) ( )
1 1,..., ; ...; ,..., ;
J
J J
N NR R R R
1 2, ,..., NI I I – сукупність значень
1
(1) (1) ( ) ( )
1 1,..., ; ...; ,...,
J
J J
N NI I I I . Цифри зверху
вказують на належність введених вище коефіцієнтів чи величин до тріщини з
відповідним номером.
До системи рівнянь (23), в якій 1,..., ,N Jν = − необхідно долучити рів-
няння 0, 0k kR I= = при 1 1 2 1 2 11, 1, 1, ..., ... 1Jk N N N N N N −= + + + + + + + . Під
час визначення коефіцієнтів у формулах (23) точки cj на межі отвору можна
вибрати довільно.
Результати розрахунків. Розглянемо пластину з отвором, що має форму
рівностороннього многокутника з Nc сторонами, на який із вершини А вихо-
дить прямолінійна крайова тріщина довжиною l вздовж бісектриси відповід-
ного внутрішнього кута. Коефіцієнти відображальної функції вибирали на ос-
нові праці [7]. Відносні значення КІН I I / ( ) / 2F K p d l= π + для розтягу плас-
тини зусиллями р в напрямку, перпендикулярному до тріщини за відносних
довжин /l dλ = , наведено в таблиці за кількості сторін від 3 до 10, де d – дов-
жина бісектриси від вершини A до точки, в якій вона перетинає многокутник.
У розрахунках утримували 100–120 коефіцієнтів у відображальній функції. В
четвертому стовпчику наведено дані для чотиристороннього многокутника
(квадрата) із довідника [2]. В передостанньому та останньому – результати
розрахунків для прямокутного рівнобедреного трикутника та відповідні дані
із праці [2]. Як бачимо, знайдені різними методами значення КІН за довжин,
для яких λ ≥ 0,1, практично збігаються. Дещо більше вони різняться, коли λ =
=0,05. Отримані нами КІН для різних кількостей вузлових точок при N > 60
відрізняються від наведеного в таблиці значення на четвертій значущій цифрі.
Відносні КІН для крайової тріщини, яка виходить на отвір
у вигляді многокутника
Nc
λ 3 4 4, [2] 5 6 7 8 9 10 3* 3, [2]
0,001 1,104 0,929 – 0,804 0,649 0,539 0,471 0,416 0,373 1,015 –
0,005 1,123 0,999 – 0,943 0,809 0,742 0,668 0,624 0,580 1,121 –
0,01 1,129 1,026 – 0,995 0,876 0,823 0,755 0,718 0,677 1,153 –
0,05 1,128 1,072 1,040 1,102 1,024 1,013 0,970 0,960 0,935 1,208 –
0,10 1,118 1,074 1,073 1,127 1,068 1,077 1,047 1,051 1,035 1,212 1,180
0,20 1,100 1,061 1,060 1,125 1,080 1,104 1,083 1,097 1,085 1,195 1,191
0,40 1,076 1,036 1,036 1,095 1,058 1,085 1,066 1,082 1,071 1,154 1,152
0,75 1,054 1,015 – 1,058 1,028 1,049 1,034 1,047 1,038 1,107 –
Розглянемо пластину з круговим отвором радіуса r, послабленим систе-
мою J крайових рівновіддалених тріщин довжиною l, які перпендикулярні до
його межі. Значення відносних КІН I I /( )F K p l= π за всебічного розтягу
пластини зусиллями р, l/a = 0,1, J = 60 наведено на рисунку, де на горизон-
26
тальній осі n – номер тріщини. Точкам на лінії 1 відповідають значення КІН в
1–7 та 54–60 тріщинах (всі значення КІН однакові). Розглянуто випадок, коли
перша тріщина підросла і рівна l/r = 0,11; 0,12; 0,13. Розраховані значення
відносних КІН для цих випадків позначено відповідно , , (через них про-
ведено лінії 2–4).
Розподіл відносних КІН для
системи 60 тріщин з локально
збільшеною однією
тріщиною.
Distribution of relative SIF for
a system of 60 cracks with a
locally increased one crack.
Як бачимо, КІН істотно зростає на локально збільшеній тріщині, а на су-
сідніх – зменшується. Збільшена за розміром тріщина істотно впливає на КІН
тільки на перших п’яти сусідніх тріщинах.
ВИСНОВОК
Запропоновано методику розрахунку КІН для крайових тріщин у пласти-
нах з отворами практично довільної форми, яка ґрунтується на методі інтег-
ральних рівнянь, для побудови яких використано методи Мусхелішвілі та
конформного відображення. Досліджено КІН для крайових тріщин біля отво-
рів, що мають форму рівностороннього многокутника. Встановлено, що КІН
істотно зростає для локально збільшеної тріщини в системі крайових тріщин
біля кругового отвору.
РЕЗЮМЕ. Предложен подход к расчету напряженного состояния пластин с краевы-
ми трещинами возле отверстий сложной формы на основе метода интегральных уравне-
ний. Исследовано коэффициенты интенсивности напряжений для краевых трещин около
отверстий, имеющих форму равностороннего многоугольника и для системы трещин
различной длины возле кругового отверстия.
SUMMARY. The approach to the stress-state determination of plates with edge cracks at
holes of complicated configuration based on the integral equations method is proposed. The
stress intensity factors for edge cracks at holes of equilateral polygon configuration and a system
of cracks of different length at the hole have been investigated.
1. Саврук М. П., Осив П. Н., Прокопчук И. В. Численный анализ в плоских задачах тео-
рии трещин. – К.: Наук. думка, 1989. – 248 с.
2. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: в 2-х т. / Под ред. Ю. Му-
раками. – М.: Мир, 1990. – Т. 1. – 448 с.
3. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.
– М.: Наука, 1966. – 708 с.
4. Линьков А. М. Интегральные уравнения теории упругости для плоскости с разрезами,
нагруженными уравновешенными системами сил // Докл. АН СССР. – 1974. – 218,
№ 6. – С. 1294–1297.
5. Божидарнік В. В., Максимович О. В. Пружна та гранична рівновага анізотропних плас-
тинок з отворами і тріщинами. – Луцьк, 2003. – 226 с.
6. Божидарнік В. В., Максимович О. В. Визначення напруженого стану пластинок з отво-
рами і тріщинами за допомогою методів інтегральних рівнянь та конформного відо-
браження // Машиностроение и техносфера ХХІ века. Сб. тр. ХY междунар. науч.-
техн. конф. – Донецьк, 2008. – 3. – С. 123–129.
7. Иванов В. И., Попов В. Ю. Конформные отображения и их приложения. – М.: Едито-
риал УРСС, 2002. – 324 с.
Одержано 02.07.2009
|