Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву
Одержано зручні в інженерному застосуванні формули для обчислення напружень у тонкому включенні і їх концентрації у матриці біля його контуру. Досліджено вплив жорсткості включення та його геометричних параметрів на напруження в матриці і включенні. Розглянуто часткові випадки задачі для еліпсоїдаль...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Назва видання: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31739 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву / М.М. Стадник // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 27-32. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-31739 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-317392012-03-18T12:09:39Z Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву Стадник, М.М. Одержано зручні в інженерному застосуванні формули для обчислення напружень у тонкому включенні і їх концентрації у матриці біля його контуру. Досліджено вплив жорсткості включення та його геометричних параметрів на напруження в матриці і включенні. Розглянуто часткові випадки задачі для еліпсоїдальної порожнини і абсолютно жорсткого еліпсоїдального включення. Отримано вирази для обчислення відповідних коефіцієнтів інтенсивності напружень. Получены удобные для инженерного применения формулы для вычисления напряжений в тонком включении и их концентрации в матрице возле его контура. Исследовано влияние жесткости включения и его геометрических параметров на напряжения в матрице и включении. Рассмотрены частные случаи задачи для эллипсоидальной полости и абсолютно жесткого эллипсоидального включения. Получены выражения для вычисления соответствующих коэффициентов интенсивности напряжений. The formulae for evaluation of stresses in a thin inclusion and their concentration in the matrix at the inclusion contour, convenient for engineering applications, have been obtained. The influence of inclusion rigidity and its geometrical parameters on stresses in the matrix and in the inclusion has been investigated. Special cases of the problem for ellipsoidal emptiness and absolutely rigid ellipsoidal inclusion are considered. Correlations for corresponding stress intensity factors are obtained. 2010 Article Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву / М.М. Стадник // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 27-32. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31739 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Одержано зручні в інженерному застосуванні формули для обчислення напружень у тонкому включенні і їх концентрації у матриці біля його контуру. Досліджено вплив жорсткості включення та його геометричних параметрів на напруження в матриці і включенні. Розглянуто часткові випадки задачі для еліпсоїдальної порожнини і абсолютно жорсткого еліпсоїдального включення. Отримано вирази для обчислення відповідних коефіцієнтів інтенсивності напружень. |
| format |
Article |
| author |
Стадник, М.М. |
| spellingShingle |
Стадник, М.М. Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Стадник, М.М. |
| author_sort |
Стадник, М.М. |
| title |
Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву |
| title_short |
Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву |
| title_full |
Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву |
| title_fullStr |
Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву |
| title_full_unstemmed |
Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву |
| title_sort |
пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31739 |
| citation_txt |
Пружна задача для простору з включенням довільної жорсткості в умовах зсуву / М.М. Стадник // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 27-32. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT stadnikmm pružnazadačadlâprostoruzvklûčennâmdovílʹnoížorstkostívumovahzsuvu |
| first_indexed |
2025-07-03T12:12:05Z |
| last_indexed |
2025-07-03T12:12:05Z |
| _version_ |
1836627762084839424 |
| fulltext |
27
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
ПРУЖНА ЗАДАЧА ДЛЯ ПРОСТОРУ З ВКЛЮЧЕННЯМ ДОВІЛЬНОЇ
ЖОРСТКОСТІ В УМОВАХ ЗСУВУ
М. М. СТАДНИК
Національний лісотехнічний університет України, Львів
Одержано зручні в інженерному застосуванні формули для обчислення напружень у
тонкому включенні і їх концентрації у матриці біля його контуру. Досліджено вплив
жорсткості включення та його геометричних параметрів на напруження в матриці і
включенні. Розглянуто часткові випадки задачі для еліпсоїдальної порожнини і аб-
солютно жорсткого еліпсоїдального включення. Отримано вирази для обчислення
відповідних коефіцієнтів інтенсивності напружень.
Ключові слова: сингулярні інтегродиференціальні рівняння, включення, стрибки
напружень та зміщень.
Розв’язки пружних задач для тіл з включеннями необхідні під час ви-
вчення міцності матеріалів з різними дефектами. Пружну задачу для тіла з
податливим тонким включенням в умовах зсуву розглядали раніше [1]. Ниж-
че досліджено випадок пружного включення довільної жорсткості у тілі за
умови чистого зсуву.
Формулювання і розв’язок задачі. Розглянемо тривимірне тіло, в яко-
му розміщено пружне (0≤G1/G<∞, G1, G – модулі зсуву включення та матриці
відповідно) тонке включення, обмежене гладкою поверхнею ( , )z h x y= ±
( max ,h d<< dρ << , d – найменший діаметр серединної площини включення
S ; ρ – радіус заокруглення його вершини). На поверхнях ( , )z h x y= ± з’єд-
нання включення–матриця існує ідеальний механічний контакт. Тіло на без-
межності піддано дії рівномірно розподілених зсувних напружень τ∞, пара-
лельних до площини z = 0 у напрямку, який утворює кут α з віссю Ox декар-
тової системи координат Oxyz з початком у центрі включення. Задача полягає
у визначенні напружень у включенні та матриці біля нього.
Поле напружень і зміщень в однорідному тілі за умови чистого зсуву буде:
0[ ] 2 ( , ) /xu Bh x y G∗ = ; 0
1[ ] 2 ( , ) /yu B h x y G∗= ; 0( ) 0zu ∗ = ; (1)
0( ) 2zx B∗σ = ; 0
1( ) 2zy B∗σ = , (1)
де [ ] ∗ і ( ) ∗ визначають відповідно стрибок (різницю) і суму величин на по-
верхнях ( , )h x y± ; cosB ∞= τ α ; 1 sinB ∞= τ α . Згідно зі співвідношеннями (1) і
даними праці [2] задачу зводимо до розв’язку системи сингулярних інтегрально-
диференціальних рівнянь
2 2 2
2 2
11
[ ][ ]1
2 2
∗∗⎛ ⎞∂ ∂ µ ∂
+ ξ η+ ⋅ ξ η −⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′πε πε ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠
∫∫ ∫∫
yx
S S
uu
d d d d
R d x y Rd x y
Контактна особа: М. М. СТАДНИК, e-mail: maths@forest.Lviv.ua
28
1
3
1 1 1
2 2 2
2 2
11
3 1
1 1 1
( )
1
[ ][ ] 2 ( 1) ;
4
[ ] [ ]1
2 2
[ ][ ] 2 ( 1) ;
4
[ ] 1 2 (1[ ]
xzz
S
y x
S S
yzz
S
x
xx
zz
a
d u Bd d
G d x R h G
u u
d d d d
R d y x Rd y x
ud Bd d
G d y R h G
u Bdx
h G h
∗∗
∗ ∗
∗∗
∗
∗
′σ∂ ε −
− ξ η− =
π ∂
⎛ ⎞∂ ∂ µ ∂
+ ξ η+ ⋅ ξ η −⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′πε πε ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠
′σ ε −∂
− ξ η− =
π ∂
′−
+ σ =
∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫
∫
1
1
( ) 1
1 1
) ;
[ ] 2 (1 )1 [ ] , ( , )
y
y y
zz
b
G
u Bdy x y S
h G h G
∗
∗
ε
′− ε
+ σ = ∈∫
(2)
відносно стрибків збурених зміщень [ ]xu ∗ , [ ]yu ∗ та напружень ( )[ ] [ ]x
zz zz∗ ∗σ = σ +
( )[ ]y
zz ∗+ σ берегів 0z = ± тріщини S , на яких діють зусилля, що знесені з по-
верхонь включення ( , )h x y± ; 2 2( ) ( )R x y= − ξ + − η ; 1 /G G′ε = ; 1 1d = − µ ;
3 1 2d = − µ ; 0u u u= + ; 0ˆˆ ˆσ = σ + σ ; µ – коефіцієнт Пуассона матеріалу матриці;
a1, b1 – відповідно найменші значення абсциси і ординати контуру області S.
Розглянемо еліпсоїдальне ( 2 2 2 2 2 2/ / / 1x a y b z c+ + ≤ ) включення, тобто
2 2 2 2( , ) 1 / /h x y c x a y b= ± − − ; S – еліптична область ( 2 2/x a + 2 2/ 1y b+ ≤ ;
1a a= − ; 1b b= − ). Тоді розв’язок інтегральних рівнянь (2) подамо у вигляді
2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2
3 4
[ ] 1 / / ; [ ] 1 / / / ;
[ ] 1 / / ; [ ] 1 / / / ,
x
x zz
y
y zz
u C x a y b C x a y b x
u C x a y b C x a y b y
∗ ∗
∗ ∗
= − − σ = ∂ − − ∂
= − − σ = ∂ − − ∂
(3)
де 1C , 2C , 3C , 4C – невідомі сталі.
Підставивши вирази (3) у рівняння (2), одержимо:
2 2
1 3 1 1 1 1
2 2 1
3 1 3 2 1 1 2
2 2
4 1 1 2
(1 )( ( ) / 2 ) /( ) ;
2 (1 )( ( ) ( )) /( ) ;
(1 )( ( ) 2 ) /( ) ;
2 (1 )( ( ) ( ) / ) /( );
C bB d b F k a d G
C bB E k F k
C bB d F k d G
C bB E k b F k a
′= − ε + λ λ Π
′ ′= − ε − µ λε Π
′= − ε + λ λ Π
′ ′= − ε − µ λε Π
(4)
2 2
1 2 3 1 1( ( ) ( )) / ( ) /(2 )E k F k d b F k a d′Π = − µ ε + + λ ;
2 2
2 1 3 2 1( ( ) ( ) / ) / ( ) / 2E k b F k a d F k d′Π = − µ ε + + λ .
Тут 2
1( ) ( ( ) ( )) /F k K k E k k= − ; 2 2 2
2 ( ) ( ( ) ( ) / ) /F k E k b K k a k= − ; (5)
/ 2
2 2
0
( ) 1 sinE k k d
π
= − θ θ∫ ;
/ 2
2 20
( )
1 sin
dK k
k
π θ
=
− θ
∫ ; b
c
λ = ;
2 2
2
2
a bk
a
−
= .
Величини C1, C2, C3, C4 у часткових випадках набувають таких значень:
1) якщо 1′ε = , то 1 2 3 4 0C C C C= = = = ; 2) якщо 0′ε = , то
29
2 2 2
1 1 3 1 2 2
2 2 2
3 1 1 3 2 1 4 1
(2 ( )) /( ( ( ) ( ))); 2 / ;
(2 ( )) /( ( ( ) ( ))) ; 2 / ;
C Bb d a b d F k a G E k F k C Bb
C B ba d d F k G a E k b F k C B b
= λ + λ − µ = λ
= λ + λ − µ = λ
(6)
3) якщо ′ε →∞ , то
2 2
1 2 2 3 1 1
2 2
3 1 4 1 1 3 2 1
2 /( ) ; 4 ( ( ) ( )) /( ( ( ) / 2 ));
2 /( ) ; 4 ( ( ) ( ) / ) /( ( ( ) 2 )) ;
C Bb G C bB E k F k d b F k a d
C bB G C bB E k b F k a d F k d
= − λ = − − µ λ + λ
= − λ = − − µ λ + λ
(7)
Користуючись розв’язком (3), на основі відомих даних [2], матимемо вирази
( ) 2 2
1 2 3 2 1 1
2 2
3 1 3 4 2 1 1
[2 ( ) ( ) ( ) / ] /(4 ) ;
[2 ( ( ) / ( )) ( )] /(4 ) , ( , )
zx
zy
GC F k E k d b C F k a bd B
GC b F k a E k d C F k bd B x y S
σ = µ − + +
σ = µ − + + ∈
(8)
для обчислення напружень у включенні, звідки, враховуючи (4), одержимо:
2 1
2 2
1 1 1 2
(1 )( ( ) ( )) /( )
(1 )( ( ) ( ) / ) /( ), ( , ) .
zx
zy
B B E k F k
B B E k b F k a x y S
′ ′σ = − − ε − µ ε Π
′ ′σ = − − ε − µ ε Π ∈
Як бачимо, задовольняються умови для однорідного тіла, якщо 0′ε = , то
0zx zyσ = σ = , а для ′ε →∞
2 2
2 3 1 1
2 2
1 1 1 3 2 1
2 ( ( ) ( )) /( ( ) / 2 ) ;
2 ( ( ) ( ) / ) /( ( ) 2 ) , ( , ) .
zx
zy
B B E k F k d b F k a d
B B E k b F k a d F k d x y S
σ = + − µ + λ
σ = + − µ + λ ∈
(9)
Перейшовши до рухомої локальної системи координат O1ntz з початком
на контурі області S, матимемо асимптотичні подання для стрибків зміщень
та напружень:
( )1 3
( )
2
( )
4
[ ] 2 /( ) ( ) ; [ ] 2 ( ) /( ) ( ) ;
[ ] cos / 2 ( ) / ( ) ;
[ ] sin / 2 ( ) / ( ),
x y
x
zz
y
zz
u C f n ab O n u C f n ab O n
C nf a b O n
C nf b a O n
∗ ∗
∗
∗
= − ϕ + = − ϕ +
σ = − ϕ − ϕ +
σ = − ϕ − ϕ +
(10)
де 2 2 2 2( ) sin cosf a bϕ = ϕ + ϕ ; O1n – зовнішня нормаль до контуру області S;
ϕ – кут, що визначає параметричні координати точок еліпса (x2/a2 + y2/b2=1); |n|<<a, b.
Враховуючи, що
[ ] [ ] cos [ ] sinn x yu u u∗ ∗ ∗= θ + θ ; [ ] [ ] sin [ ] cost x yu u u∗ ∗ ∗= − θ + θ ,
одержуємо формули
1 3
1 3
[ ] ( cos sin ) 2 /( ( )) ( ) ;
[ ] ( sin cos ) 2 /( ( )) ( ) ,
n
t
u C b C a n abf O n
u C a C b n abf O n
∗
∗
= ϕ + ϕ − ϕ +
= − ϕ + ϕ − ϕ +
(11)
де θ – кут між додатними напрямками осей Ox і 1O n ; cos cos / ( )b fθ = ϕ ϕ ;
sin sin / ( )a fθ = ϕ ϕ .
Для визначення відповідних стрибків напружень ( )[ ]n
zz ∗σ , ( )[ ]t
zz ∗σ матиме-
мо співвідношення
( ) ( ) ( )
*[ ] [ ] cos [ ] sinn x y
zz zz zz∗ ∗σ = σ θ + σ θ ; ( ) ( ) ( )
*[ ] [ ] sin [ ] cost x y
zz zz zz∗ ∗σ = − σ θ + σ θ ,
або, враховуючи вирази (3), (10),
( ) 2 2 2 2 3
* 2 4
( ) 3
* 2 4
[ ] ( cos sin ) / 2 ( ) ( ) ;
[ ] sin 2 ( ) / 2 2 ( ) ( ) .
n
zz
t
zz
C b C a nabf O n
ab C C nf O n
σ = − ϕ + ϕ − ϕ +
⎛ ⎞σ = ϕ − − ϕ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
. (12)
30
Тут ( )[ ]n
zz ∗σ і ( )[ ]t
zz ∗σ – стрибки напружень, вектори згинних моментів яких від-
повідно перпендикулярні до площин t = 0 і n = 0.
Підставивши співвідношення (11), (12) у вирази
' ( )
II 3 1
0
lim 2 [ [ ] [ ] / 2]/(2 )n
n n zz
n
K n G u d d∗ ∗
→−
= − − π − σ ;
' ( )
III 3 1
0
lim 2 [ [ ] [ ] /(2 )] / 2t
t n zz
n
K n G u d d∗ ∗
→−
= − − π − σ ,
одержуємо подання
[
]
[
]
2 2
II 1 3 3 2
2 2
4 1
III 1 3 3 2
4 1
( cos sin ) ( cos
sin ) / (2 ( )) /(2 ( ) );
( sin cos ) sin 2 (
) / (4 ( )) /(2 ( ))
K G bC aC d C b
C a f d abf
K G aC bC d ab C
C d f abf
= π ϕ + ϕ − ϕ +
+ ϕ ϕ ϕ
= π − ϕ + ϕ + ϕ −
− ϕ ϕ
(13)
для обчислення коефіцієнтів інтенсивності напружень ( КІН) KII і KIII для
еліптичної тріщини, на берегах якої діють напруження, що знесені з повер-
хонь ( , )h x y± пружного включення.
Якщо у виразах (13) перейти спочатку до границі λ →∞ ( 0c → ), то
одержимо, що для пластинчастого пружного включення II III= =0K K . Пере-
йшовши у (13) спочатку до границі 0′ε → , одержимо подання для обчислен-
ня КІН у разі еліптичної тріщини
2 2
1 3 1
II 2
1 2
3
2 2 2 21 3 2
32 2
1
2 2
3 1 1
III
2
(2 ( ))
cos cos
2 ( ) ( ( ) ( ))
(2 ( ))
sin sin ( cos cos sin sin ) / ( ) ;
( ) ( )
( ) 2
cos sin
( ( ) ( ))2 ( )
b d a d b F kbK
d af a E k F k
a d d F k
d b a f
a E k b F k
b d F k d abK
a E k F kaf
∞
∞
⎡ λ +τ π
= α ϕ +⎢
λ ϕ − µ⎢⎣
λ + ⎤+ α ϕ − α ϕ + α ϕ ϕ ⎦− µ
⎡ + λτ π
= − α ϕ +⎢
− µλ ϕ ⎢⎣
( ) ]
2
3 2 1
3 12 2
1
( ) 2
sin cos 2 sin 2 sin( / 4) / (2 ( )) ,
( ) ( )
ba d F k d
d ab d f
a E k b F k
+ λ
+ α ϕ − ϕ α − π ϕ
−µ
(14)
на берегах якої діють напруження, знесені з поверхонь еліпсоїдальної порож-
нини. Поклавши у виразах (14) 0c → , одержимо відомі [3, 4] подання для KII
і KIII для еліптичної тріщини.
Якщо у виразах (13) ′ε → ∞ , одержимо формули
[
]
[
2 2
II 3 2 3 1
2 2
1 3 1 3 2
1 1
III 3
2
(1 ( ( ) ( ))cos /( ( )( ( ) /
2 )))cos cos (1 ( ( ) ( ) / )sin /( ( )( ( )
2 )))sin sin /( ( ) );
cos sin sin cos sin 2 (( ( )
( ))cos /
K b b d b E k F k f d b F k a
d a d a E k b F k a f d F k
d d af
K b a b d ab E k
F k
∞
∞
= −τ π − − µ ϕ ϕ +
+ λ α ϕ + − − µ ϕ ϕ +
+ λ α ϕ λ ϕ
= τ π α ϕ − α ϕ − ϕ −
− µ α (
)
2 2 2 2
3 1 1 1 3 2
1 1
( ( ) / 2 ) ( ( ) ( ) / )sin / ( )
2 )) / (2 ( )) /( ( ) )
d b F k a d E k b F k a d F k
d d f af
+ λ − − µ α +
⎤+ λ ϕ λ ϕ⎦
(15)
для обчислення КІН для еліптичної тріщини, на берегах якої z=±0 діють нап-
руження, знесені з поверхонь ±h(x, y) абсолютно жорсткого включення.
31
Для визначення напружень σzn і σzt у матриці скористаємося співвідно-
шеннями [2]
3 3 0
II
0 2
III
2 / ( 2 ) (0) / ( 2 ) ;
/ ( 2 ) , ( ) /( )
zn zn zn
zt zt
nK n n
K n bf a
σ = π ρ + + σ ρ ρ ρ + + σ
σ = π ρ + + σ ρ = ϕ λ
; (16)
для їх розподілу в околі включення. Тут (0)znσ – збурене контактне напру-
ження на контурі області S.
Аналіз першої із формул (16) свідчить, що напруження σzn набуває най-
більшого значення для II II(2 3 (0) ) /(2 )znn K K= ρ − σ πρ , яке залежить від
пружних і геометричних параметрів включення. У кожному конкретному ви-
падку, за необхідності, його можна обчислити, використовуючи рівності (8) і
(13). Вважаючи, що у виразах (16) n=0, ρ>0, на основі (8), (13) і рівності кон-
тактних напружень на контурі області S одержуємо подання
) ]
[
) ]
2 2
1 2 3 2 1
2 2
3 1 3 4 2 1
1
1 3 3 2
4 1 2
(2 ( ( ) ( )) ( ) / )cos
(2 ( ( ) / ( ) ( ))sin /(4 ( ))
( , ) / ( );
( sin cos ) sin 2 (
/(4 ( )) /(2 ( )) ( , ) / ( ) ,
zn
zt
b GC F k E k d C b F k a
a GC b F k a E k d C F k bd f
f
G aC bC d ab C
C d f cf f
∞
∞
⎡σ = µ − + ϕ +⎣
+ µ − + ϕ ϕ +
+ τ ψ α ϕ ϕ
σ = − ϕ + ϕ + ϕ −
− ϕ ϕ + τ ψ α ϕ ϕ
(17)
які служать для обчислення концентрації напружень у матриці на контурі S.
Тут 1( , ) cos cos sin sinb aψ α ϕ = α ϕ + α ϕ ; 2 ( , ) sin cos cos sinb aψ α ϕ = α ϕ − α ϕ .
Поклавши у виразах (17) 0′ε = , одержуємо формули для визначення кон-
центрації напружень на контурі еліпсоїдальної порожнини:
( )
]
2 2
3 1 1
2
3 2 1
2 2
1
3 1 2
( ( ) / 2 )
cos sin
2 ( ) ( )
( ( ) 2 )
sin cos
( ) ( ) /
2 sin 2 sin( / 4) / (2 ( )) ( , ) / ( ); 0.
zt
zn
a b d F k a d
f E k F k
b d F k d
E k b F k a
d ab d f f
∞
∞
⎡ + λτ
σ = − α ϕ +⎢
ϕ − µ⎢⎣
+ λ
+ α ϕ −
− µ
− ϕ α − π ϕ + τ ψ α ϕ ϕ σ =
(18)
Якщо a b= , то із подань (18) дістанемо відповідні співвідношення
[
]
1 3
3 1
sin ( )((8 ) /(2 (2 )) 1)
2 sin 2 sin( / 4) / (4 ) ; 0
zt
zn
d d
d d
∞σ = τ α − ϕ λ + π π − µ + −
− ϕ α − π σ =
(19)
для сфероїдальної порожнини.
Для визначення σzn і σzt у матриці на контурі S для абсолютно жорсткого
еліпсоїдального включення ( )′ε →∞ із (17) одержуємо вирази
[
( ]
2 2
2 3 1 1
2 2
1 3 2 1 1
2 2
3 1 3 2 1
2 2
2 3 1
2 ( ( ) ( ))cos cos /( ( ) / 2 )
( ) ( ) / )sin sin / ( ( ) 2 ) / ( ) ( , ) / ( );
sin 2 ( ( ) ( ) / )sin /( ( ) 2 )
( ( ) ( ))cos / ( ( ) /
zn
zt
b E k F k d b F k a d
a E k b F k a d F k d f f
d ab E k b F k a d F k d
E k F k d b F k a
∞
∞
∞
σ = τ − µ α ϕ + λ +
+ − µ α ϕ + λ ϕ + τ ψ α ϕ ϕ
⎡σ = τ ϕ − µ α + λ −⎣
− − µ α 2
1 12 ) /(2 ( )).d d f⎤+ λ ϕ⎦
(20)
32
Якщо у співвідношеннях (20) покласти a = b, то матимемо подання
3 1
3 1 3 1
cos( )(1 2 (2 ) /( 8 )) ;
2 (2 )sin 2 sin( / 4) /(2 ( 8 )) ,
zn
zt
d d
d d d d
∞
∞
σ = τ α − ϕ + π − µ π + λ
σ = τ π − µ ϕ α − π π + λ
(21)
що служать для встановлення концентрації напружень біля тонкого сферо-
їдального абсолютно жорсткого включення.
Якщо для визначення контактних напружень (0)znσ на контурі області S,
коли dρ << , використати відоме [ ]4 подання II(0) /zn Kσ = πρ , що не забез-
печує їх рівності, то на основі виразів (16) при n=0 одержимо, що
II 1/ ( , ) / ( )zn K f∞σ = πρ + τ ψ α ϕ ϕ , (22)
де KII – подається формулою (13).
Підставивши KII із подань (14) у вираз (22) і спрямувавши 0ρ→ , отри-
маємо, що znσ →∞ , тобто матимемо результат для тріщини.
Для обчислення концентрації напружень zxσ і zyσ у матриці біля пруж-
ного включення потрібно користуватися формулами
( cos sin ) / ( ) ,
( sin cos ) / ( ) ,
zx zn zt
zy zn zt
b a f
a b f
σ = σ ϕ− σ ϕ ϕ
σ = σ ϕ + σ ϕ ϕ
(23)
де znσ , ztσ визначають співвідношеннями (17).
Якщо у поданнях (8), (13), (17) спрямувати a →∞ , то за відповідних
значень α і ϕ одержимо співвідношення для тунельного пружного еліп-
тичного включення ( 2 2 2 2/ / 1y b z c+ ≤ ), тобто розв’язок плоскої і антиплоскої
задач, зокрема для абсолютно жорсткого лінійного включення [5].
РЕЗЮМЕ. Получены удобные для инженерного применения формулы для вычисле-
ния напряжений в тонком включении и их концентрации в матрице возле его контура. Ис-
следовано влияние жесткости включения и его геометрических параметров на напряже-
ния в матрице и включении. Рассмотрены частные случаи задачи для эллипсоидальной
полости и абсолютно жесткого эллипсоидального включения. Получены выражения для
вычисления соответствующих коэффициентов интенсивности напряжений.
SUMMARY. The formulae for evaluation of stresses in a thin inclusion and their
concentration in the matrix at the inclusion contour, convenient for engineering applications,
have been obtained. The influence of inclusion rigidity and its geometrical parameters on
stresses in the matrix and in the inclusion has been investigated. Special cases of the problem for
ellipsoidal emptiness and absolutely rigid ellipsoidal inclusion are considered. Correlations for
corresponding stress intensity factors are obtained.
1. Силованюк В. П., Стадник М. М. Тонкое упругое включение в условиях сдвига // Изв.
АН СССР. Механика твердого тела. – 1985. – № 2. – С. 95–101.
2. Стадник М. М. Метод розв’язування тривимірних термопружних задач для тіл з тон-
кими включеннями // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1994. – № 6. – С. 30–40.
(Stadnyk M. M. A Method for the Solution of Three-Dimensional Thermoelasticity Problems
for Bodies with Thin Inclusions // Materials Science. – 1994. – № 6. – P. 643–652.)
3. Kassir M. K. and Sih G. C. Three-dimensional stress distribution around an elliptical crack under
arbitrary loadings // Trans ASME, ser. E, J. Appl. Mech. – 1966. – 33, № 3. – Р. 601–611.
4. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с.
5. Бережницкий Л. Т., Панасюк В. В., Стащук Н. Г. Взаимодействие жестких линейных
включений и трещин в деформируемом теле. – К.: Наук. думка, 1983. – 288 с.
Одержано 14.07.2009
|