Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі
Отримано розв’язок задачі для частково опертої на абсолютно жорстку основу композитної (ортотропної) балки під рівномірно розподіленим навантаженням. Для розрахунку використана уточнена модель балок, що враховує деформації поперечного зсуву та обтиснення. Одержано рівняння для визначення розміру обл...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31742 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі / В.І. Шваб’юк, Я.М. Пастернак, С.В. Ротко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 51-56. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-31742 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-317422012-03-18T12:11:45Z Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі Шваб’юк, В.І. Пастернак, Я.М. Ротко, С.В. Отримано розв’язок задачі для частково опертої на абсолютно жорстку основу композитної (ортотропної) балки під рівномірно розподіленим навантаженням. Для розрахунку використана уточнена модель балок, що враховує деформації поперечного зсуву та обтиснення. Одержано рівняння для визначення розміру області контакту, а також формули для розрахунку контактного тиску жорсткої основи на зовнішню поверхню балки. Числові результати уточненої моделі для ізотропного та ортотропного матеріалів порівняно з відповідними класичної теорії, зсувної моделі балок і плоскої задачі теорії пружності. Получено решение задачи для частично опертой на жесткое основание композитной (ортотропной) балки при равномерно распределенной нагрузке. Для расчета использовано уточненную модель балок, которая учитывает поперечный сдвиг и обжатие. Получены уравнение для определения размера области контакта, а также формулы для расчета контактного давления жесткого основания на внешнюю поверхность балки. Численные результаты уточненной модели для изотропного та ортотропного материалов сравнены с соответствующими классической теории, сдвиговой модели балок и плоской задачи теории упругости. Solution of the problem for a partly supported composite (orthotropic) beam on a rigid base under evenly distributed loading has been obtained. The refined model of beams, that takes into account the transversal shear and compression is used for calculation. Equations for evaluation of the contact zone size and also formulas for calculation of contact pressure of a rigid base on the beam external surface have been obtained. Numerical results obtained by the refined model for isotropic and orthotropic materials are compared with those corresponding to the classical theory, beam shear model and a plane problem of the elasticity theory. 2010 Article Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі / В.І. Шваб’юк, Я.М. Пастернак, С.В. Ротко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 51-56. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 0430-6252 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31742 539.3 uk Фізико-хімічна механіка матеріалів Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано розв’язок задачі для частково опертої на абсолютно жорстку основу композитної (ортотропної) балки під рівномірно розподіленим навантаженням. Для розрахунку використана уточнена модель балок, що враховує деформації поперечного зсуву та обтиснення. Одержано рівняння для визначення розміру області контакту, а також формули для розрахунку контактного тиску жорсткої основи на зовнішню поверхню балки. Числові результати уточненої моделі для ізотропного та ортотропного матеріалів порівняно з відповідними класичної теорії, зсувної моделі балок і плоскої задачі теорії пружності. |
| format |
Article |
| author |
Шваб’юк, В.І. Пастернак, Я.М. Ротко, С.В. |
| spellingShingle |
Шваб’юк, В.І. Пастернак, Я.М. Ротко, С.В. Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| author_facet |
Шваб’юк, В.І. Пастернак, Я.М. Ротко, С.В. |
| author_sort |
Шваб’юк, В.І. |
| title |
Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі |
| title_short |
Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі |
| title_full |
Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі |
| title_fullStr |
Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі |
| title_full_unstemmed |
Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі |
| title_sort |
уточнений розв’язок задачі с. п. тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі |
| publisher |
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/31742 |
| citation_txt |
Уточнений розв’язок задачі С. П. Тимошенка для ортотропної балки на жорсткій основі / В.І. Шваб’юк, Я.М. Пастернак, С.В. Ротко // Фізико-хімічна механіка матеріалів. — 2010. — Т. 46, № 1. — С. 51-56. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
| series |
Фізико-хімічна механіка матеріалів |
| work_keys_str_mv |
AT švabûkví utočnenijrozvâzokzadačísptimošenkadlâortotropnoíbalkinažorstkíjosnoví AT pasternakâm utočnenijrozvâzokzadačísptimošenkadlâortotropnoíbalkinažorstkíjosnoví AT rotkosv utočnenijrozvâzokzadačísptimošenkadlâortotropnoíbalkinažorstkíjosnoví |
| first_indexed |
2025-07-03T12:12:16Z |
| last_indexed |
2025-07-03T12:12:16Z |
| _version_ |
1836627774103617536 |
| fulltext |
51
Ô³çèêî-õ³ì³÷íà ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 2010. – ¹ 1. – Physicochemical Mechanics of Materials
УДК 539.3
УТОЧНЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧІ С. П. ТИМОШЕНКА
ДЛЯ ОРТОТРОПНОЇ БАЛКИ НА ЖОРСТКІЙ ОСНОВІ
В. І. ШВАБ’ЮК, Я. М. ПАСТЕРНАК, С. В. РОТКО
Луцький національний технічний університет
Отримано розв’язок задачі для частково опертої на абсолютно жорстку основу ком-
позитної (ортотропної) балки під рівномірно розподіленим навантаженням. Для роз-
рахунку використана уточнена модель балок, що враховує деформації поперечного
зсуву та обтиснення. Одержано рівняння для визначення розміру області контакту, а
також формули для розрахунку контактного тиску жорсткої основи на зовнішню по-
верхню балки. Числові результати уточненої моделі для ізотропного та ортотропно-
го матеріалів порівняно з відповідними класичної теорії, зсувної моделі балок і пло-
скої задачі теорії пружності.
Ключові слова: уточнена модель балки, поперечний зсув і обтиснення, контактний
тиск, область контакту, жорстка основа.
Задачу про контакт частково опертої на жорстку основу балки розв’язав
С. П. Тимошенко [1] у поставі класичної теорії балок Кірхгофа. На основі
аналізу результатів досліджень подібну методику застосували також В. С. Гуд-
рамович та В. І. Моссаковський [2], розглядаючи взаємодію пружного кільця,
що підкріплювало оболонку, з абсолютно жорсткою основою.
Для уточнення розв’язку задачі, одержаного С. П. Тимошенком і В. І. Фео-
досьєвим [3], використовували (з урахуванням деформації зсуву) теорію балок,
а Л. Кір та М. Сільва [4] її розглядали як мішану задачу теорії пружності для
напівсмуги.
Нижче застосовано уточнену модель балок [5], що враховує, крім дефор-
мації поперечного зсуву, ще й поперечне обтиснення. Одержані за цією мо-
деллю результати порівняно із додатково знайденим (за методом граничних
елементів (МГЕ)) числовим розв’язком. Подібну задачу, коли балка приклеє-
на до основи, розв’язали [6] за допомогою теорії пластин Тимошенка з додат-
ковим урахуванням обтиснення.
Постава задачі. Розглянемо симетричний згин балки довжиною 2l під
дією власної ваги q = 2P/2l та сил Р1, прикладених до правого та лівого кін-
ців, що піднімають їх. Середня частина балки лежить на жорсткій основі та
знаходиться під дією власної ваги q та контактного тиску p(x). Вважаємо, що
кожна із сил Р1 має бути менша, ніж половина ваги правої чи лівої частин бал-
ки – P = ql. Необхідно визначити розподіл тиску p(x) у зоні контакту та роз-
мір області контакту 2a балки з жорсткою основою, коли кожна з сил Р1 = P/3.
Враховуючи симетричність задачі, розглянемо рівновагу тільки правої її по-
ловини (рис. 1а).
Тимошенко цю задачу розв’язав, припускаючи, що контактний тиск p(x)
під балкою є сталий і дорівнює q = P/l, а на межі дотику основи балки з жор-
сткою поверхнею (точка А) для задоволення умов рівноваги мусить виникати
Контактна особа: В. І. ШВАБ’ЮК, e-mail: shvabyuk@lutsk-ntu.com.ua
52
Рис. 1. Схема навантаження половини балки за моделлю Тимошенка.
Fig. 1. The loading scheme for a half of a beam by Tymoshenko’s model.
реакція R = P1 (рис. 1b). З’ясовано, що для Р1 = P/3 розмір області контакту
балки з жорсткою основою a = l/3, та визначено переміщення вільного кінця
балки. Але такі припущення суперечливі, бо за гладкого контакту контактний
тиск і уявна реакція на межі контакту мають дорівнювати нулю.
В. І. Феодосьєв [2] ці суперечності пояснив вибором розрахункової схеми.
Він запропонував, крім згинальної жорсткості, враховувати ще й зсувні дефор-
мації у поперечних перерізах балки. За такого уточнення зникає зосереджена
сила на межі контакту балки з жорсткою основою, але з’являється нова вже на
лівому кінці половини балки. Контактний тиск p(x) перестає бути сталим уздовж
зони контакту і його описують гіперболічні функції. Такий розподіл тиску від-
повідає розв’язкам контактних задач для балок і пластин, рівняння згину яких
враховують тільки деформації поперечного зсуву. Тому розв’язок В. І. Феодо-
сьєва також має недоліки, притаманні “зсувним” теоріям балок і пластин [7].
Розв’язок задачі на основі уточненої моделі балок. Щоб позбутися зга-
даних недоліків, використаємо рівняння уточненої моделі балок [5], що вра-
ховує, крім деформації поперечного зсуву, ще й поперечне обтиснення:
IV 2 II 4 IV
2 1 2 2 2 ,EIw q h q h q= − ε − ε (1)
де
'
3
1 2 2'
1 1(4 3 ); ( ); 2 / 3; ;
10 20
E E G I h q q q
E EG
+ −′′ ′′ε = − ν ε = − ν = = +
′ ′
, , ,E E G′ ′ ′′ν
– модулі пружності та коефіцієнт Пуассона матеріалу балки у поздовжньому
та поперечному (зі штрихами) напрямах; q+, q– – розподілене навантаження,
прикладене до зовнішніх граней балки ( z h= ± ); w – переміщення середньої
лінії балки; 2h – висота її перерізу.
Вирази для напруження σx та переміщень ( , )W x h± зовнішніх граней
балки, згідно з цією моделлю, мають вигляд
2
2 2
2 2
3 1 ;
5 2 4x
M z E E G hz z h q q
I I G E E
⎡ ⎤′′ ′ν⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′σ = + − − ν − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )
2
05,
2 16 2
hh hW x h w x q q q q w
E E
+ − + −ε ′′ ′′± = ± − + + + ν
′ ′
, (2)
53
де /E E′′ ′ ′ν = ν ; 2
1 22
h
x
h
dwM z dz EI h q
dx−
= σ = − − ε∫ – згинальний момент у балці;
0 2 21 ( / 0,8 ); 1,5 /E G w w q h E′ ′ ′′ε = + ν − ν = + ε .
Надалі вважатимемо, що в області контакту балки з жорсткою основою
q+ = –p(x), а q– = q = P/l. Враховуючи умову рівності нулю переміщення ниж-
ньої грані балки W(+h) в області контакту, за цією моделлю запишемо додат-
кову залежність між переміщенням середньої лінії балки w та реактивним
тиском p(x):
2
0 0
( )( , ) ( ) 0,5 (8 5 ) (8 5 ) 0
16 16
hp x hqW x h w x h w
E E
′′ ′′+ = + ν − + ε − − ε =
′ ′
. (3)
Звідси знайдемо вираз для контактного тиску на нижню грань балки:
2( ) [ ( ) 0,5 ] qp x k w x h w q′′ ′′= + ν − ε , (4)
де 0[16 / ] (8 5 )k E h′= + ε ; 0 0(8 5 ) (8 5 )qε = − ε + ε .
Підставивши вираз (4) у рівняння (1) та нехтуючи коефіцієнт біля стар-
шої похідної (шостого порядку), одержимо диференціальне рівняння четвер-
того порядку для визначення переміщення w:
IV 2 II 4
02 (1 ) /qw g w w q A− + λ = + ε , (5)
де 4
0/k Aλ = ; 2 2 40,2 2Eg h
G
⎛ ⎞′′= − ν λ⎜ ⎟′⎝ ⎠
;
4
0 1 4 3
20
kh E G EA EI
G E E
′ ′⎡ ⎤⎛ ⎞′′ ′ ′′= − + ν − − ν ν⎜ ⎟⎢ ⎥′ ′⎝ ⎠⎣ ⎦
.
Розв’язком рівняння (5) за умови, що g2 < λ2, буде вираз
1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )w x A K x A K x A K x A K x w∗= + + + + . (6)
Тут w*=(1+εq)q/k – частковий розв’язок рівняння (5); Ai (i = 1÷4) – невідомі
коефіцієнти, які знаходять з крайових умов на кінцях балки та умов рівно-
ваги; Ki(x) – фундаментальні функції Крилова:
1( ) ch cos ;K x x x= α ⋅ β 2 ( ) sh sin ;K x x x= α ⋅ β 3( ) sh cos ;K x x x= α ⋅ β (7)
4 ( ) ch sinK x x x= α ⋅ β ; 2 2( ) / 2;gα = λ + 2 2( ) / 2.gβ = λ −
З умови симетричності задачі два з чотирьох невідомих коефіцієнтів Ai
дорівнюють нулю (A3=A4=0). Інші два (A1, A2) та розмір області контакту 2а
знаходять з умов, що невідомий контактний тиск p(x) на межі області контак-
ту x = ±a дорівнює нулю, а всередині області має задовольнити умову рів-
ності нулю суми проекцій всіх сил на вісь Оz та умові рівності нулю суми мо-
ментів проекцій всіх сил відносно початку системи координат (x = 0):
( ) 0p a± = ; 1( ) 2 2
a
a
p x dx ql P
−
= −∫ ; 2
1
0
1( )
2
a
xp x dx ql Pl= −∫ . (8)
Підставивши в умови (8) замість величини p(x) вираз (4) та задовольнив-
ши їх, знаходимо трансцендентне рівняння для визначення розміру області
контакту 2а, а також залежності для сталих A1, A2:
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4
1 11 ( ) ( ) ,
2 3
K K K K K K K K l ⎛ ⎞− + + + α +β = α +β − θ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
0 3 0 4 0 1 2
1
1 2 3 1 2 0 1 2
2( ) ( ) ( )( )( )
3
[( ) ( )]( )
g K g K l K gKqA
k R R K R R K gK
ν α − β + ν β + α + − θ α + β ν +
=
α +β + β − α ν +
,
54
( )1
2 1 0 1 2( )qA A K gK
k
−= −ω − ν + ; 1 0 2 0( ), ( )R g R g= − ν ω = ω + ν , 2
0 h′′ν = ν αβ , (9)
де 2 2
1 0 2 0 1 2( ) /( ); 1 0,5 ;gK K K gK g h g′′ω = − ν ν + = + ν 2
1 1 22 ;K R g R= + αβ 2K =
2
2 12 ;R g R= − αβ 3 1 2 4 1 2; ;K a R a R K a R a R= α + β = β − α 1
1 1 1 0 2 0 1( ) ;R kA R gK K −= −ν +ν
1
2 1 2 2 0 1( ) ;R kA R g gK K −= + + ν величини Ki (i = 1, 2, 3, 4) – відповідні значення
функцій Крилова в перерізі балки х = а.
За останніми залежностями (9) можна знайти розмір області контакту та
контактний тиск жорсткої основи на балку, а також переміщення та напру-
ження у тій частині балки, що не контактує з основою.
Аналіз задачі за допомогою МГЕ. Задачу розв’язували додатково за до-
помогою МГЕ для плоскої задачі теорії пружності. Тут через тонкостінність
балки класичний МГЕ [8] стає неефективним, оскільки виникає ефект межо-
вого шару та появляються майже-сингулярні інтеграли [9, 10], правильне об-
числення яких є визначальним для точності отримуваних результатів. Щоб
врахувати тонкостінність балки (l/H, де H ≡ 2h), у МГЕ застосували регуляри-
заційний підхід [10], за яким інтегральне рівняння задачі має вигляд
[ ] [ ]
( , ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 0,
ij i
ij i i i i ij
U d
T u u d u u R
Γ
Γ
σ Γ −
− − Γ + − =
∫
∫
A x x x
A x x A x A B A B
(10)
де ( , )ijU A x , ( , )ijT A x – фундаментальні розв’язки для переміщень і напру-
жень; ( )iu x , ( )iσ x – вектори переміщень і напружень на межі балки; A – точ-
ка колокації; B – вузлова точка, що розташована найближче до точки A, але
лежить на протилежній грані балки; ( , )ijR A B – множники [11], що врахову-
ють тонкостінність балки і похибку числового визначення майже сингуляр-
них інтегралів; Г( )х – контур інтегрування.
Для розв’язання задачі використали відому процедуру [8] покрокового
“відривання” вузлів із контактними напруженнями розтягу та “фіксування”
вузлів із переміщеннями, що перетинають межу жорсткої основи. Ітераційний
процес тривав доти, поки в усіх вузлових точках нижньої грані балки не були
виконані (з наперед заданою точністю) умови контакту з жорсткою основою.
За рекомендацією праці [8] у МГЕ-моделі задачі використали лінійні ізо-
параметричні граничні елементи. Для підвищення точності обчислення дов-
жини зони контакту, а також контактних напружень по обидва боки від точки
відриву сітку граничних елементів згущували.
Результати та їхній аналіз. На основі формул (4), (6) побудовані графі-
ки (рис. 2 і 3) зміни розміру області контакту (a/l) та розподілу контактного
тиску (p(x)/q) для ізотропного матеріалу (ν = 0,3) залежно від параметрів тон-
костінності балки (l/H) і розрахункової моделі. За цими ж формулами дослі-
джено кількісний вплив поперечної анізотропії на розмір області контакту та
максимальний контактний тиск для ортотропного матеріалу з деревини
( / 10; / 20; 0,3E E E G′ ′ ′′= = ν = ). Одержані дані порівнювали з результатами
для ізотропного матеріалу (див. таблицю). Результати МГЕ для ізотропного ма-
теріалу розміщені в другому стовпчику, в дужках – одержані за допомогою роз-
в’язку В. І. Феодосьєва [2], в останній стрічці – з розв’язку С. П. Тимошенка [1].
55
Рис. 2. Fig. 2. Рис. 3. Fig. 3.
Рис. 2. Залежність відносного розміру області контакту (a/l) від відносної товщини балки (H/l):
суцільна крива – наша модель; штрихова – зсувна; штрихпунктирна – МГЕ;
суцільна лінія внизу – розв’язок Тимошенка.
Fig. 2. Dependences of the contact zone length (a/l) on the relative thickness
of a beam (H/l): solid curve – our model; dashed – shear model; dash-dotted – boundary element
method; solid line below – Tymoshenko’s solution.
Рис. 3. Розподіл контактного тиску p/q за різними моделями залежно від розміру області
контакту та тонкостінності балки (l/H): суцільна крива – наша модель;
штрихова – модель; штрихпунктирна – МГЕ.
Fig. 3. Distribution of contact pressure p/q obtained with different models depending
on the length of contact zone and the thickness of a beam (l/H): solid curve – our model;
dashed – shear model; dash-dotted – boundary element method.
Як бачимо, розмір області контакту, на противагу розв’язку С. П. Тимо-
шенка, є величина змінна і може (залежно від товщини балки) майже вдвічі
перевищувати значення, які можна одержати на основі гіпотез класичної тео-
рії балок. Результати визначення розмірів області контакту, пораховані за ме-
тодикою В. І. Феодосьєва (штрихова лінія на рисунках та числа таблиці в
дужках) з урахуванням тільки деформації поперечного зсуву, ведуть до кіль-
кісних похибок (∆max≥14,8% для l/H ≥ 3). Результати, пораховані за формула-
ми (4)–(9) уточненої теорії балок, яка враховує поперечне обтиснення, для
ізотропного матеріалу з точністю до 2...3% збігаються із результатами МГЕ
плоскої задачі теорії пружності під час визначення і розміру області контак-
ту, і контактного тиску. Найбільша похибка формул уточненої теорії під час
обчислення контактного тиску за цих товщин не перевищує 2,1%.
Вплив поперечної анізотропії на розрахункові параметри задачі
pmax /q a/l
МГЕ уточнені теорії уточнені теорії l/H
ізотропія ізотропія ортотропія ізотропія ортотропія
3 1,42 1,45 (2,19) 1,38 (1,18) 0,54 (0,46) 0,59 (0,54)
5 2,00 1,98 (3,42) 1,40 (1,51) 0,47 (0,42) 0,54 (0,51)
10 3,56 3,50 (6,61) 1,89 (2,55) 0,41 (0,38) 0,47 (0,45)
20 6,75 6,63 (13,1) 3,24 (4,82) 0,37 (0,36) 0,41 (0,40)
40 12,9 12,9 (26,2) 6,12 (9,48) 0,35 (0,35) 0,38 (0,37)
Кл. теорія ∞ ∞ ∞ 0,333 0,333
Поперечна анізотропія, починаючи з товщин l/H ≥ 10, більше ніж удвічі
понижує контактний тиск, а також у межах 10% збільшує розмір області
контакту. Із наведених графічних і числових даних МГЕ та уточненої теорії
видно, що зі збільшенням товщини балки (l/H ≥ 3) пік контактного тиску пе-
56
реміщується в середину зони контакту, тоді як за формулами В. І. Феодосьєва
[2] він залишається найбільшим у кінці цієї зони. Тобто якісні та кількісні по-
хибки зсувної моделі балок появляються під час визначення контактного тис-
ку в області контакту (рис. 3 та дані таблиці), тоді як реальний його розподіл
за моделлю, що враховує обтиснення, зовсім інший.
ВИСНОВКИ
За допомогою уточненої теорії балок, що враховує деформації попереч-
ного зсуву та обтиснення, досліджено контакт частково опертої на жорстку
основу пружної балки. Одержані результати для ізотропної балки збігаються
із результатами МГЕ плоскої задачі теорії пружності та відповідними резуль-
татами розв’язку мішаної задачі для нескінченної ізотропної напівсмуги пло-
скої задачі теорії пружності. Показано, що зі збільшенням товщини балки пік
контактного тиску переміщується в середину зони контакту і має характер
“герцівського розподілу”, тоді як за формулами “чисто зсувних” теорій балок
він максимальний на межі зони контакту. Зі збільшенням поперечної анізот-
ропії матеріалу суттєво знижується абсолютний контактний тиск жорсткої ос-
нови на балку і одночасно зростає розмір області контакту.
РЕЗЮМЕ. Получено решение задачи для частично опертой на жесткое основание ком-
позитной (ортотропной) балки при равномерно распределенной нагрузке. Для расчета исполь-
зовано уточненную модель балок, которая учитывает поперечный сдвиг и обжатие. Получены
уравнение для определения размера области контакта, а также формулы для расчета контакт-
ного давления жесткого основания на внешнюю поверхность балки. Численные результаты
уточненной модели для изотропного та ортотропного материалов сравнены с соответствую-
щими классической теории, сдвиговой модели балок и плоской задачи теории упругости.
SUMMARY. Solution of the problem for a partly supported composite (orthotropic) beam
on a rigid base under evenly distributed loading has been obtained. The refined model of beams,
that takes into account the transversal shear and compression is used for calculation. Equations
for evaluation of the contact zone size and also formulas for calculation of contact pressure of a
rigid base on the beam external surface have been obtained. Numerical results obtained by the
refined model for isotropic and orthotropic materials are compared with those corresponding to
the classical theory, beam shear model and a plane problem of the elasticity theory.
1. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1965. – Т. ІІ. – 480 с.
2. Гудрамович В. С., Моссаковский В. И. Контактная задача для упругого кольца, подкре-
пляющего цилиндрическую оболочку // Изв. АН СССР. – 1961. – № 2. – С. 153–156.
3. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. – М.:
Наука, 1973. – 400 с.
4. Кир Л. М., Сильва М. А. Две смешанные задачи для полуполосы // Прикл. механика.
– 1972. – № 4. – С. 266–270.
5. Шваб’юк В. І., Маткова А. В. Вплив поперечної анізотропії на напружено-деформова-
ний стан в балці-смузі // Наук. нотатки. – Луцьк: ЛДТУ, 2005. – С. 258–261.
6. Прокопишин І. А., Сулим Г. Т., Хлєбніков Д. Г. Квазістатичне відшарування плоско зде-
формованої пластини від вінклерової основи // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1999.
– № 5. – С. 33–38.
(Prokopyshyn I. A., Sulym H. T., and Khlebnikov D. H. Quasistatic Exfoliation of a Plate Subjected
to Plane Deformation from the Winkler Base // Materials Science. – 1999. – № 5. – P. 634–641.)
7. Швабюк В. И. Учет эффекта сжимаемости нормали в контактных задачах для транс-
версально изотропных плит // Прикл. механика. – 1980. – 16, № 4. – С. 71–77.
8. Man K. W. Contact mechanics using boundary element. – Comput. Mech. Publ., 1994. – 183 p.
9. Luo J. F., Liu Y. J., and Berger E. Analysis of two-dimensional thin-structures (from micro- to
nano-scales) using the boundary element method // Computat. Mech. – 1998. – 22. – P. 404–412.
10. Lu S. and Dong M. An Advanced BEM for Thermal and Stress Analyses of Components with
Thermal Barrier Coating // Electronic J. of Boundary Elements. – 2003. – 1, № 2. – P. 302–315.
11. Сулим Г. Т., Пастернак Я. М. Дослідження точності різних реалізацій ПМГЕ для плос-
ких задач теорії пружності тіл із включеннями // Наук. нотатки. – Луцьк: ЛДТУ, 2008.
– 21. – С. 290–298.
Одержано 18.10.2008
57
Шановні автори!
Посилаємо на візування відредагований варіант Вашої статті. Просимо
уважно прочитати і звернути увагу на виділені місця. Виправлення робити у
цьому ж файлі і виділяти їх. Цей файл якнайшвидше надіслати в редакцію.
Просимо подати повністю ініціали авторів (це потрібно для російського
змісту). В підписі до рисунка 1 пояснити точку В. Перевірте, будь ласка,
формули, рисунки та надписи на них. У рисунках 2 і 3 додайте англійською
мовою підписи.
З повагою редактор Д. Бриняк.
|