К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений
The special expansions for input jumpwise voltages and their use in the calculation of transient processes in series circuits are shown. The calculation is made for the modes of idling and short circuit.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3176 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 81-86. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-3176 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-31762009-07-06T12:00:26Z К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений Божко, А.Е. Енергетика The special expansions for input jumpwise voltages and their use in the calculation of transient processes in series circuits are shown. The calculation is made for the modes of idling and short circuit. 2007 Article К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 81-86. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3176 621.3(0758) ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Енергетика Енергетика |
| spellingShingle |
Енергетика Енергетика Божко, А.Е. К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений |
| description |
The special expansions for input jumpwise voltages and their use in the calculation of transient processes in series circuits are shown. The calculation is made for the modes of idling and short circuit. |
| format |
Article |
| author |
Божко, А.Е. |
| author_facet |
Божко, А.Е. |
| author_sort |
Божко, А.Е. |
| title |
К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений |
| title_short |
К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений |
| title_full |
К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений |
| title_fullStr |
К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений |
| title_full_unstemmed |
К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений |
| title_sort |
к задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Енергетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3176 |
| citation_txt |
К задаче о переходных процессах в цепных схемах с учетом особых разложений скачкообразных напряжений / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — № 10. — С. 81-86. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT božkoae kzadačeoperehodnyhprocessahvcepnyhshemahsučetomosobyhrazloženijskačkoobraznyhnaprâženij |
| first_indexed |
2025-07-02T06:27:10Z |
| last_indexed |
2025-07-02T06:27:10Z |
| _version_ |
1836515465003794432 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2007
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.3(0758)
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
К задаче о переходных процессах в цепных схемах
с учетом особых разложений скачкообразных
напряжений
The special expansions for input jumpwise voltages and their use in the calculation of transient
processes in series circuits are shown. The calculation is made for the modes of idling and
short circuit.
В работах [1–3] представлена новая концепция о переходных процессах в электрических це-
пях постоянного и переменного токов. Эта концепция базируется на двух экспериментально
подтвержденных эффектах: спектральном разложении переднего и заднего фронтов скач-
кообразных напряжений на затухающий ряд низкочастотных гармонических составляющих
при наличии экспоненциально нарастающей постоянной составляющей, автоматической ре-
структуризации электрических цепей с реактивными элементами при входных полигармо-
нических напряжениях [4]. Коэффициенты затухания этих составляющих превышают ко-
эффициенты затухания электрических цепей на порядок и больше.
Разложение скачкообразного напряжения автором названо особым. Детальное существо
этого разложения заключается в следующем. Скачкообразное напряжение E · 1(t), где E —
величина; 1(t) — единичная функция, имеет вид, изображенный на рис. 1, а; t — время.
Представим E · 1(t) в виде суммы двух функций (см. рис. 1, б )
E · 1(t) = f1(t, τ) + E · 1(t − τ),
где f1(t, τ) — функция, описывающая импульс длительностью τ с величиной, равной E.
Функцию f1(t, τ) разложим на две составляющие функции
f11(t, τ) = E(1 − e−ατ ) и f12(t, τ) = Ee−ατ
(см. рис. 1, в, г, д), где α — коэффициент затухания. Ясно, что
f11(t, τ) + f12(t, τ) = E(1 − e−ατ ) + Ee−ατ = f1(t).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 81
Рис. 1
Известно [5], что f1(t) можно представить в виде гармонического ряда
f1(t) =
m
∑
k=1
Ak cos(ωkt + ϕk),
где Ak, ωk, ϕk — амплитуда, круговая частота, угол сдвига k-й гармонической составляющей
соответственно.
Функция e−ατ
m
∑
k=1
Ak cos ωkt = f12(t, τ) (см. рис. 1, з). Складывая f11(t, τ) и E(1 − τ),
получим функцию E(1 − e−ατ ) = f2(t) (см. рис. 1, ж).
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
Рис. 2
Рис. 3
В результате такого разложения
E · 1(t) = E(1 − e−αt) + e−αt
m
∑
k=1
Ak cos ωkt,
m
∑
k=1
Ak = E, Ak =
A1
ωk
, A1 =
E
π
.
(1)
Так как спектральное разложение происходит с момента t = 0, то считаем, что ϕk =
= 0, k = 1, n. Таким образом, постоянное скачкообразное напряжение E · 1(t), являющее-
ся входным при включении электрической цепи на него, может быть описано выражени-
ем (1). Экспериментальные исследования, проведенные в Институте проблем машиностро-
ения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, подтвердили реальность такого представления
скачкообразных напряжений E · 1(t). Эффект автоматической реструктуризации электри-
ческих цепей описан в работе [4]. Кратко этот эффект возникает в электроцепях с ре-
активными элементами (индуктивностями L, емкостями C) при подаче на вход этих цепей
одновременно нескольких гармонических напряжений. Так как электрические сопротивле-
ния реактивных элементов зависят от частоты (xLk = ωkL, xCk = 1/(ωkC)), то в этом случае
общий электрический ток распадается на гармонические составляющие ik, которые опреде-
ляются как функции Uk(t) иzk(t), k = 1,m, где Uk(t), zk(t) — k-е гармоническое напряжение
и k-е полное сопротивление электроцепи. Каждое k-е полное сопротивление обусловливает
k-й переходный процесс в электроцепи с xLk и xCk.
Перейдем к анализу переходных процессов в цепных схемах. Цепная схема (рис. 2) вклю-
чает в себя N последовательно соединенных одинаковых пассивных четырехполюсников
с постоянными параметрами. Теория четырехполюсников хорошо развита [5, 6]. Поэтому
в данном изложении необходимые формулы и уравнения четырехполюсников используют-
ся в виде, представленном в известных работах.
Для принципиального понимания поставленной задачи и уменьшения громоздкости ма-
тематических решений остановимся только на двух крайних режимах цепной схемы, состоя-
щей из низкочастотных фильтров (см. рис. 3), а именно, на холостом ходе (zвых = zNx = ∞)
и коротком замыкании (zвых = zNk3 = 0).
Переходный процесс рассмотрим при включении цепной схемы именно на скачкообраз-
ное постоянное напряжение E · 1(t) при нулевых начальных условиях в схеме. Решение
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 83
задачи будем осуществлять с помощью операционного метода (Карсона). Как видно из
рис. 3, четырехполюсники (L/2, C1, L/2), (L/2, C2, L/2), . . . , (L/2, CN , L/2) являются сим-
метричными.
Итак, в режиме холостого хода цепь включается при t = 0 на напряжение E ·1(t). В соот-
ветствии с решениями, данными в работе [7], напряжение и ток в s-м узле в операционной
форме записываются выражениями
U s = Uвх
ch(n − s)ν
ch nν
, (2)
Is = Uвх
sh(n − s)ν
zC ch nν
, (3)
где ch ν = 1 +
1
2
Lcp2; sh ν =
√
Lcp2 +
1
4
L2c2p4; zC =
√
L
c
+
1
4
L2p2; ν — постоянные комп-
лексные числа, зависящие от параметров четырехполюсника (ν = b + jγ), но не зависящие
от номера s.
На рис. 3 L/2 — индуктивности; Ck, k = 1, N , — емкости; E — ЭДС, при включении
ключом Кл преобразующаяся в скачкообразное напряжение E · 1(t) на входе цепной схемы;
ik — электрические токи; Uk, k = 1, N , — напряжения; zN — полное сопротивление нагрузки.
В соответствии с новой концепцией [2] напряжение Uвх(t) определяется выражение (1).
Изображение Карсона, соответствующее (1), имеет вид
Uвх(p) = E + E
p
p + α
+
m
∑
l=1
Ual
p(p + α)
(p + α)2 + ω2
l
, (4)
где Ual = Ak из (1); p = d/dt — оператор.
Подставим (4) в (2) из (3) соответственно и при этом учтем, что полное сопротивление
для первых двух слагаемых из (4) при подстановке (4) в (3) будет zC1 =
√
L/c, а для
третьего слагаемого — zC . В результате получим
Us(p) =
[
E + E
p
p + α
+
m
∑
l=1
Ual
p(p + α)
(p + α)2 + ω2
l
]
ch(n − s)ν
ch nν
, (5)
Is(p) =
[
E
zC1
(
1 +
p
p + α
)
+
1
zC
m
∑
l=1
Ual
p(p + α)
(p + α)2 + ω2
l
]
sh(n − s)ν
ch nν
. (6)
Оригиналы изображений (5), (6) определим по таблицам [7] с учетом решений в рабо-
те [7] в следующем виде:
Us(t) =
[
E(1 − e−αt) + e−αt
m
∑
l=1
Ual cos ωlt
][
1 −
1
n
n
∑
k=1
(
ctg
αk
2
)
(sin sαk) cos ωkt
]
, (7)
is(t) =
[
E
√
c
L
(1 − e−αt) +
e−αt
zC
m
∑
l=1
Ual cos ωlt
]
1
n
n
∑
k=1
cos sαk
sin
αk
2
sinωkt, (8)
где αk =
2k − 1
n
π
2
(k = 1, 2, . . . , n); ωk = ω0 sin2 αk
2
; ω2
0 =
4
LC
.
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
Далее рассмотрим включение цепной схемы на скачкообразное входное напряжение
Uвх(t) = E · 1(t), выражаемое формулой (1), при коротком замыкании в конце схемы. Опе-
рационные выражения для напряжений и токов при таком режиме имеют вид
Us(p) =
[
E + E
p
p + α
+
m
∑
l=1
Ual
p(p + α)
(p + α)2 + ω2
l
]
sh(n − s)ν
ch nν
, (9)
Is(p) =
[
E
zC1
(
1 +
p
p + α
)
+
1
zC
m
∑
l=1
Ual
p(p + α)
(p + α)2 + ω2
l
]
ch(n − s)ν
shnν
. (10)
Оригиналы, соответствующие (9) и (10), определим по таблицам [7] с учетом решений,
представленных в работе [7], запишем следующими выражениями:
Us(t) =
[
E(1 − e−αt) + e−αt
m
∑
l=1
Ual cos ωlt
]
×
×
[
1 −
s
n
−
1
n
n
∑
k=1
(
ctg
αk
2
)
(sin sαk) cos ωkt
]
, (11)
is(t) =
[
E
√
c
L
(1 − e−αt) +
e−αt
zC
m
∑
l=1
Ual cos ωlt
]
×
×
[
t
nL
+
(
1
n
n−1
∑
k=1
cos sαk
sin
αk
2
sinωkt
)
+
1
2n
(cos sπ) sin ω0t
]
. (12)
Сравнивая результаты, полученные в работе [7] и в данной работе, видим, что учет осо-
бых разложений входных скачкообразных напряжений позволяет точнее определить ма-
тематические соотношения изменения напряжений Us(t) и токов is(t), s = 1, n, в узлах s
цепных схем. Полученные выражения показывают, что в напряжениях Us(t) и соответствен-
но в токах is(t) присутствуют дополнительные затухающие гармонические составляющие,
которые в интервале их действия встречают индуктивные и емкостные сопротивления ωlL,
1/(ωlc), l = 1,m. Реально последовательно в каждой ветви с индуктивностью Ls цепной
схемы включены активные сопротивления rs. И если n — достаточно большое число, то
величина суммарного активного сопротивления
n
∑
s=1
rs ограничивает Un на холостом ходе
и in в режиме короткого замыкания. Заметим, что в выражении (12) для тока короткого
замыкания is(t), s = 1, n, имеется слагаемое Et/(nL)
√
c/L, которое при t → ∞ стремится
к ∞, а это значит, что величина тока is, s = 1, n, в установившемся режиме при коротком
замыкании равна ∞. Однако, как было отмечено, из-за наличия реальных активных со-
противлений rs и ограниченного значения |E| этот ток is не может достигнуть бесконечно
большого значения. Реально слагаемое такое E
t
nLrs
√
c
L
∣
∣
∣
∣
τ
0
, где τ — интервал нарастания
тока is, а после τ оно становится E(t − τ)
1
nLrs
√
c
L
, т. е., наступает ограничение is.
Таким образом, использование в данной задаче особых разложений (1) к известным
решениям дает дополнительную информацию о физических особенностях в этих цепях,
в частности, в условиях холостого хода и короткого замыкания в конце схемы.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №10 85
1. Божко А. Е. К концепции о переходных процессах в электрических цепях // Доп. НАН України. –
2003. – № 12. – С. 72–76.
2. Божко А.Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Там само. –
2004. – № 9. – С. 83–87.
3. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электроцепях переменного тока // Там
само. – 2005. – № 4. – С. 81–86.
4. Божко А.Е. Об автоматической реструктуризации электрических цепей с реактивными элементами
при полигармонических входных сигналах // Там само. – 2002. – № 11. – С. 101–103.
5. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. – Москва: Наука, 1966. – 780 с.
6. Белецкий А.Ф. Основы теории линейных электрических цепей. – Москва: Связь, 1967. – 608 с.
7. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
Поступило в редакцию 24.02.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
УДК 621.31.1.017
© 2007
Академiк НАН України Г. Г. Пiвняк, О. В. Волков,
О. Г. Мирошниченко
Розподiл електричної активної потужностi окремого
електроспоживача на дiлянках енергосистеми
The dependences that characterize the separate energy-consumer active electric power distri-
bution in different parts of the energy system are obtained.
У зв’язку з подорожчанням електричної енергiї (е/е), що вiдбулося останнiми роками, стає
актуальним i гостро потрiбним у практицi встановлення об’єктивного тарифу на е/е в Украї-
нi. Зокрема, даний тариф повинен об’єктивно враховувати як збиток (у виглядi втрат актив-
ної потужностi), що фактично завдається енергосистемi (ЕС) при транспортуваннi е/е до
окремого електроспоживача (ЕСп), так i фактичну вiдпускну цiну електростанцiй на е/е,
вiд яких її отримує конкретний окремий ЕСп [1]. Врахування зазначених чинникiв вимагає
попереднього визначення кiлькiсного розподiлу активної потужностi (АП) окремого ЕСп
на всiх дiлянках ЕС, чому й присвячена дана робота.
При подальшому аналiзi енергосистема розглядається як сукупнiсть вузлiв i дiлянок.
Пiд дiлянкою енергосистеми (ДЕС) розумiтимемо її складовi елементи: лiнiю, що передає
електроенергiю, трансформатор або автотрансформатор. Пiд вiдповiдними ДЕС розумiти-
мемо дiлянки, по яких до даного вузла передається АП, а пiд ДЕС, що вiдходять, нав-
паки, дiлянки, по яких АП передається вiд заданого вузла (у нормальному режимi роботи
енергосистеми). Також домовимося прийняти за позитивний напрям протiкання потужностi
у вiдповiдних ДЕС до вузла, а в ДЕС, що вiдходять, навпаки, — вiд вузла.
На першому етапi знайдемо значення P ′
k(n) активної потужностi, що передається (у схемi
фрагмента енергосистеми на рис. 1) до n-го ЕСп через довiльний вiдповiдний k-й з K
дiлянок енергосистеми. Вважаємо, що вiд даного вузла безпосередньо отримують живлення
N електроспоживачiв.
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №10
|