Модифіковані тригонометричні сплайни

Запропоновано модифіковані тригонометричні сплайни, що мають точніші результати інтерполювання в порівнянні з існуючими аналогічними методами. Вказано методи розрахунку невідомих коефіцієнтів для запропонованих сплайнів. Визначено переваги та області практичного застосування запропонованого методу і...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Квєтний, Р.Н., Дементьєв, В.Ю.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України 2009
Назва видання:	Оптико-електронні інформаційно-енергетичні технології
Теми:	Методи та системи оптико-електронної і цифрової обробки зображень та сигналів
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/32218
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Модифіковані тригонометричні сплайни / Р.Н. Квєтний, В.Ю. Дементьєв // Оптико-електронні інформаційно-енергетичні технології. — 2009. — № 1 (17). — С. 65-70. — Бібліогр.: 4 назв. — укp.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-32218
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-322182012-04-15T12:20:00Z Модифіковані тригонометричні сплайни Квєтний, Р.Н. Дементьєв, В.Ю. Методи та системи оптико-електронної і цифрової обробки зображень та сигналів Запропоновано модифіковані тригонометричні сплайни, що мають точніші результати інтерполювання в порівнянні з існуючими аналогічними методами. Вказано методи розрахунку невідомих коефіцієнтів для запропонованих сплайнів. Визначено переваги та області практичного застосування запропонованого методу інтерполяції. This paper proposed modified trigonometric splines, which has more accurate interpolation results compared with existing methods. Here defines methods of calculating unknown coefficients for the proposed splines. The benefits and key areas of deployment of trigonometric interpolation method are defined. 2009 Article Модифіковані тригонометричні сплайни / Р.Н. Квєтний, В.Ю. Дементьєв // Оптико-електронні інформаційно-енергетичні технології. — 2009. — № 1 (17). — С. 65-70. — Бібліогр.: 4 назв. — укp. 1681-7893 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/32218 519.65.652 uk Оптико-електронні інформаційно-енергетичні технології Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Методи та системи оптико-електронної і цифрової обробки зображень та сигналів Методи та системи оптико-електронної і цифрової обробки зображень та сигналів
spellingShingle	Методи та системи оптико-електронної і цифрової обробки зображень та сигналів Методи та системи оптико-електронної і цифрової обробки зображень та сигналів Квєтний, Р.Н. Дементьєв, В.Ю. Модифіковані тригонометричні сплайни Оптико-електронні інформаційно-енергетичні технології
description	Запропоновано модифіковані тригонометричні сплайни, що мають точніші результати інтерполювання в порівнянні з існуючими аналогічними методами. Вказано методи розрахунку невідомих коефіцієнтів для запропонованих сплайнів. Визначено переваги та області практичного застосування запропонованого методу інтерполяції.
format	Article
author	Квєтний, Р.Н. Дементьєв, В.Ю.
author_facet	Квєтний, Р.Н. Дементьєв, В.Ю.
author_sort	Квєтний, Р.Н.
title	Модифіковані тригонометричні сплайни
title_short	Модифіковані тригонометричні сплайни
title_full	Модифіковані тригонометричні сплайни
title_fullStr	Модифіковані тригонометричні сплайни
title_full_unstemmed	Модифіковані тригонометричні сплайни
title_sort	модифіковані тригонометричні сплайни
publisher	Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Методи та системи оптико-електронної і цифрової обробки зображень та сигналів
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/32218
citation_txt	Модифіковані тригонометричні сплайни / Р.Н. Квєтний, В.Ю. Дементьєв // Оптико-електронні інформаційно-енергетичні технології. — 2009. — № 1 (17). — С. 65-70. — Бібліогр.: 4 назв. — укp.
series	Оптико-електронні інформаційно-енергетичні технології
work_keys_str_mv	AT kvêtnijrn modifíkovanítrigonometričnísplajni AT dementʹêvvû modifíkovanítrigonometričnísplajni
first_indexed	2025-07-03T12:44:51Z
last_indexed	2025-07-03T12:44:51Z
_version_	1836629823769804800
fulltext	5 УДК 519.65.652 Р.Н. КВЄТНИЙ, В.Ю. ДЕМЕНТЬЄВ МОДИФІКОВАНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ СПЛАЙНИ Вінницький національний технічний університет, вул. Хмельницьке шосе, 95, м. Вінниця, 21021, Україна, тел..: +38-096-45-98-112, E-mail: vic_dem@list.ru Анотація. Пропонуються модифіковані тригонометричні сплайни, що мають точніші результати інтерполювання в порівнянні з існуючими аналогічними методами. Вказано методи розрахунку невідомих коефіцієнтів для запропонованих сплайнів. Визначено переваги та області практичного застосування запропонованого методу інтерполяції. Abstract: This paper proposed modified trigonometric splines, which has more accurate interpolation results compared with existing methods. Here defines methods of calculating unknown coefficients for the proposed splines. The benefits and key areas of deployment of trigonometric interpolation method are defined. Аннотация: Предлагаются модифицированные тригонометрические сплайны, имеющих более точные результаты интерполяции по сравнению с существующими аналогами. Указаны методы расчета неизвестных коэффициентов для предложенных сплайнов. Определены преимущества и области практического применения предложенного метода интерполяции. Ключові слова: інтерполяція, тригонометрична інтерполяція, сплайн. ВСТУП Значний розвиток апаратного забезпечення в сучасному технологічному та інформаційному світі вимагає створення та впровадження нових та ефективних методів та моделей оброки і представлення даних. Це стосується майже всіх галузей сучасної науки. В цій роботі пропонується новий метод обробки дискретний даних, застосування якого для окремого типу практичних задачах дозволить отримати точніші результати в порівнянні з аналогічними методами. Персональний комп’ютер міцно ввійшов до щоденного життя як обов’язковий пристрій введення, виведення, зберігання та швидкої обробки інформації. Одним з найбільш поширених типів інформації є зображення (як двовимірні, так і тривимірні). Існує велика кількість операцій над зображенням, які за своєю сутністю зводяться до обробки дискретних даних. Наприклад – збільшення, поворот, побудова ліній, площин та ін. До обробки дискретних даних також зводяться задачі розрахунку витрати рідин, газів; стискання інформації; моделювання динамічних середовищ. В роботі розглядається один з методів обробки дискретних даних – інтерполяція тригонометричними сплайнами. Інтерполяція – процес розрахунку проміжних значень невідомої функції, яка задана сіткою дискретних значень. Інтерполяція спаланами – один з методів інтерполяції, який полягає в представленні невідомої функції між сусідніми точками дискретної сітки поліномом цілого степеня. ОГЛЯД ІСНУЮЧИХ АНАЛОГІВ МЕТОДУ ТРИГОНОМЕТРИЧНОЇ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ. Ідея створення модифікованих тригонометричних сплайнів полягає у переході від поліноміальної форми запису сплайну до тригонометричної. В публікаціях, що пов’язані з інтерполюванням, досить часто використовуються тригонометричні функції для запису сплайнів. Проаналізуємо найбільш цікаві та помітні з них. Один з найбільш поширених методів тригонометричної інтерполяції є застосування розкладу функції в ряд Фур’є [1]. Періодична функція );(),()( ∞−∞∈∀+= tTtftf використовуючи ряд Фур’є запишеться 0,))sin()cos(()()( 1 0 ≠+⋅+⋅+=≈ ∑ = nn n j jjn batjbtjaatptf , (1) де n – кількість врахованих у ряді Фур’є доданків для інтерполяційної формули сплайну, T – період. Нехай період функції π2=T (обране значення легко змінюється через введення додаткового ПРИНЦИПОВІ КОНЦЕПЦІЇ ТА СТРУКТУРУВАННЯ РІЗНИХ РІВНІВ ОСВІТИ З ОПТИКО-ЕЛЕКТРОННИХ ІНФОРМАЦІЙНО- ЕНЕРГЕТИЧНИХ ТЕХНОЛОГІЙ 6 коефіцієнта). Тоді для опису всієї інтерполяційної функції достатньо задати сітку точок .20;2,,2,1,0);()( 2210 π≤≤≤≤≤== nini ttttnitptf KK (2) Використовуючи згадані вище початкові дані значення невідомих коефіцієнтів ja та jb розраховують за формулами .)sin()( 12 2 ;)cos()( 12 2 2 0 2 0 ∑∑ == ⋅ + =⋅ + = n k kkj n k kkj tjtf n btjtf n a (3) Основна область застосування тригонометричних сплайнів на основі ряду Фур’є – це періодичні функції. Використання цього методу інтерполяції для псевдо або не періодичних функцій не доцільно через низьку точність результатів в порівнянні із застосуванням кубічних чи ермітових сплайнів. Інший цікавий запис інтерполяції сплайнами з використанням тригонометричних функцій представлено в [2]. ].1;0[,, 2 )cos(1 2 )cos(1 1)( 1 1 ∈ − − =    ⋅− +    ⋅− −= + + t xx xx t t y t ytS ii i iii ππ (4) )(tSi – інтерполяційний поліном представлення функції на проміжку ];[ 1+ii xx ; t – додаткова нормована змінна. Хоча наведена форма запису є дуже простою, вона містить серйозний недолік – значення першої похідної інтерполюючої функції біля точок основної сітки рівні нулю. Такий ґандж суттєво обмежує застосування цієї тригонометричної форми запису сплайну в практичних задачах. В статті [3] Роберт Кауфман (Robert F. Kauffmann) пропонує розраховувати тригонометричний сплайн на основі чотирьох базових точок. Тригонометричний сплайн Роберта Кауфмана в матричній формі запишеться як .)(;)( ];1;0[;;; )1) 2 )(sin( 2 sin( )1) 2 )(cos( 2 cos( )1) 2 )(sin( 2 sin( )1) 2 )(cos( 2 cos( 2 1 3 2 1 3 2 1 FPtSFPtS t y y y y P x x x x P tt tt tt tt F T yy T xx i i i i y i i i i x ⋅=⋅= ∈             =             =               −⋅⋅ +⋅⋅ +⋅⋅ −⋅⋅ = + + + + + + ππ ππ ππ ππ (5) У розрахунках вводиться та використовується штучна змінна ]1;0[∈t . Крім розрахунку значення інтерполяційної функції )(tS y , також розраховується значення аргументу )(tSx на основі чотирьох точок сітки заданих значень xP та yP . Цей тип сплайнової інтерполяції найкраще застосовувати при побудові кола чи інших конічних фігур. Недоліками сплайну є гірші, в порівнянні з кубічними чи ермітовими сплайнами, інтерполяційні характеристики; складність розрахунку значення інтерполюючої функції в заданій точці; неможливість виконати інтерполювання на першому та останньому інтервалах сітки заданих значень. У статті [4] пропонується інтерполяція з використанням модифікованих ермітових сплайнів. В роботі поліном ермітового сплайна на кожному відрізку інтерполяції пропонується замінити на емпірично виведені тригонометричні вирази (таблиця 1). 11 )(4)(3)(2)(1)( ++ ′⋅+⋅+′⋅+⋅= iiiii ytfytfytfytftS . (6) Наведений варіант тригонометричного сплайна дозволяє для окремих псевдоперіодичних функцій точніше побудувати інтерполяційну функцію в порівнянні з кубічними сплайнами Ерміта та задати крайові початкові умови значеннями похідних високих порядків. Недоліками цього методу є емпіричне виведення виразів базових функцій та неможливість застосовування таких сплайнів у загальних практичних задачах.  Р.Н. КВЄТНИЙ, В.Ю. ДЕМЕНТЬЄВ, 2009 ПРИНЦИПОВІ КОНЦЕПЦІЇ ТА СТРУКТУРУВАННЯ РІЗНИХ РІВНІВ ОСВІТИ З ОПТИКО-ЕЛЕКТРОННИХ ІНФОРМАЦІЙНО- ЕНЕРГЕТИЧНИХ ТЕХНОЛОГІЙ 7 Таблиця 1. Порівняння виразів базових функцій Ермітових та тригонометричних сплайнів Оригінальні базові функції кубічного сплайну Ерміта Запропоновані тригонометричні вирази для базових функцій ].1,0[; ;)(4 ;32)(3 ;2)(2 ;132)(1 1 23 23 23 23 ∈ − − = −= +−= +−= +−= + t xx xx t tttf tttf ttttf tttf ii i ]. 2 ,0[; 2 ));cos()3(cos(096225.0)(4 ));sin()3(sin(096225.0)(3 ;)sin()(2 ;)cos()(1 1 2 2 ππ ∈ − − = −= += = = + t xx xx t tttf tttf ttf ttf ii i Проведений огляд розроблених моделей тригонометричних сплайнів розкриває їх загальні недоліки – вузьку спеціалізацію методів та в деяких випадках складність алгоритмізації. Тому основна задача даного дослідження – удосконалення процесу інтерполяції сплайнами, критерії досягнення якого полягають в підвищенні точності та швидкості отримання результатів. Основна мета дослідження – розробка нової моделі інтерполяції тригонометричними сплайнами, яка дозволить отримати точніший результат в порівнянні з аналогами для окремого класу задач і не потребує при цьому ускладнення обчислень. МОДЕЛЬ МОДИФІКОВАНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ СПЛАЙНІВ Нехай відомі значення функції )(xf в заданих точках ,,1,)( niyxf ii == BxxxxA ni =<<<<<= KK21 та значення перших похідних в крайніх точках .)(,)( 11 nn RxfRxf =′=′ Для побудови модифікованого тригонометричного сплайну візьмемо вираз ]. 2 ;0[,),sin()cos()( 1 π∈ − − =⋅+⋅++= + t xx xx ttdtcbtatS ii i (7) Змінна x між точками інтерполяційної сітки ];[ 1+ii xx нормуються до змінної t . Знайдемо невідомі коефіцієнти ,,,, dcba виразивши їх через значення функцій та її похідних iR та 1+iR в точках інтервалу інтерполяції i x та 1+i x (рис. 1). Рис. 1. Модель побудови тригонометричного сплайну Розрахуємо )(tS та )cos()sin()( tdtcbtS ⋅+⋅−=′ для . 2 ;0 π== tt ; 2 ) 2 ( ;)0( dbaS caS +⋅+= += ππ .) 2 ( ;)0( cbS dbS −=′ +=′ π (8) Запишемо попередній вираз в матричній формі ПРИНЦИПОВІ КОНЦЕПЦІЇ ТА СТРУКТУРУВАННЯ РІЗНИХ РІВНІВ ОСВІТИ З ОПТИКО-ЕЛЕКТРОННИХ ІНФОРМАЦІЙНО- ЕНЕРГЕТИЧНИХ ТЕХНОЛОГІЙ 8               ′ ′ =             ⋅             ) 2 ( )0( ) 2 ( )0( 0110 1010 10 2 1 0101 π ππ S S S S d c b a або SKA =⋅ . (9) Перетворимо попереднє рівняння до вигляду KSA =⋅ −1 . Тобто невідомі коефіцієнти dcba ,,, в матричному вигляді запишуться як . ) 2 ( )0( ) 2 ( )0( 2222 )2(222 2222 2222 )4( 1             =               ′ ′ ⋅             −− −−−− −−− −−− ⋅ − d c b a S S S S π π π π ππ π (10) Підставимо отримані значення dcba ,,, до загального виразу сплайну )(tS . ).( 4 )sin(2)2()cos()2(2 )( 4 )2()sin(22)cos(2 )( 4 )sin(2)cos(222 )( 4 )cos(2)2()sin(22 )( 1 1 + + ′ − +−⋅−−+− + +′ − −⋅+−+− + + − −++− + + − −−++− = i i i ii tS ttt tS ttt tS ttt tS ttt tS π ππ π π π π π (11) Отриманий вираз і є модифікований тригонометричний сплайн. Розглянемо його особливості. Побудуємо графіки для виразів, що є коефіцієнтами біля )( itS , )( 1+itS , )( itS ′ та )( 1+ ′ itS на нормованому діапазоні зміни параметра ] 2 ;0[ π∈t (рис. 2). Графіки базові функції )(1 tf , )(2 tf , )(3 tf та )(4 tf подібні до графіків базових функцій, що використовуються в Ермітових кубічних сплайнах. Замість кубічного поліному в тригонометричних сплайнах використовуються функції )sin(x та )cos(x . Комбінацією базових функцій з різними коефіцієнтами досягається необхідна форма результуючої інтерполяційної кривої. Рис. 2. Графіки базових функцій модифікованого тригонометричного сплайну В модифікованих тригонометричних сплайнах умова рівності перших похідних наступного та попереднього сплайнів в точках інтерполяційної сітки виконується автоматично. Для практичної перевірки розроблених сплайнів використовувались наближений та точний методи розрахунку значень похідних функції в базових точках. У наближеному методі використовувалась наступна формула для оцінки похідної в точці. ПРИНЦИПОВІ КОНЦЕПЦІЇ ТА СТРУКТУРУВАННЯ РІЗНИХ РІВНІВ ОСВІТИ З ОПТИКО-ЕЛЕКТРОННИХ ІНФОРМАЦІЙНО- ЕНЕРГЕТИЧНИХ ТЕХНОЛОГІЙ 9 ;1;2; 2 1 )( 1 1 1 1 −=      − − + − − =′ − − + + ni xx yy xx yy tS ii ii ii ii i .)(;)( 11 nn RtSRtS =′=′ (12) Для розрахунку похідних точним методом використовувалась умова рівності другої похідної сусідніх сплайнів в точці базової сітки. В результаті отримуємо три діагональну матрицю, для якої розроблені прості, швидкі та ефективні методи розв’язку.                   − − − =                     ′ ′ ′ ′ ′ ⋅                   −− −− −− − − n nn n n R tStS tStS tStS R S S S S S )(2)(2 )(2)(2 )(2)(2 10000 24200 02420 00242 00001 2 24 13 1 1 3 2 1 KK K K KKKKKK K K K ππ ππ ππ . (13) В роботі виконано порівняння результатів інтерполяції тестових функцій (рис. 3) розробленими тригонометричними, кубічними ермітовими та кубічними сплайнами. Розраховувались два параметра – максимальне та середнє відхилення від заданої функції. Порівняння виконувалось в математичному програмному пакеті Matlab. Для розрахунку похідних в точках заданої сітки для розробленої тригонометричної інтерполяції використовувався точний метод. Принципи розрахунку невідомих коефіцієнтів точним методом як для кубічних, так і для тригонометричних сплайнів подібні (запис системи рівнянь у вигляді трьох діагональної матриці, використовуючи умови рівності перших, других чи третіх похідних в точках базової сітки). Маємо зменшення кількості обчислювальних операцій майже в два рази, так як для запису представленого тригонометричного сплайну потрібно знайти два невідомі коефіцієнта, а для кубічного сплайну чотири. Рис. 3. Результати сплайнової інтерполювання тестових функцій. Зеленим (світло-сірим) та коричневим (темно-сірим) виділено перший та другий кращі результати інтерполювання ПРИНЦИПОВІ КОНЦЕПЦІЇ ТА СТРУКТУРУВАННЯ РІЗНИХ РІВНІВ ОСВІТИ З ОПТИКО-ЕЛЕКТРОННИХ ІНФОРМАЦІЙНО- ЕНЕРГЕТИЧНИХ ТЕХНОЛОГІЙ 10 ВИСНОВОК Враховуючи те, що всі процеси в природі мають періодичний характер, розробка та реалізація методів обробки (інтерполяції) псевдоперіодичних дискретних даних є актуальною та необхідною. В цій роботі запропоновано новий підхід і нову модель для реалізації тригонометричного сплайну. Проведено порівняння результатів інтерполювання тестових функцій розробленими тригонометричними, кубічними та ермітовими сплайнами. В результаті чого зроблено висновок, що розроблені тригонометричні сплайни мають кращі інтерполяційні характеристики для періодичних чи псевдоперіодичних кривих в порівнянні зі згаданими методами. Для практичної реалізації сплайнів представлено два методи розрахунку невідомих коефіцієнтів. Запропонований тригонометричний сплайн, подібно до сплайну Ерміта, потребує виконання меншої кількості обчислювальних операцій (майже в два рази) для побудови інтерполяційної функції порівняно з кубічними сплайнами. Подальше дослідження та розвиток задачі обробки псевдоперіодичних функцій має відбуватися в руслі збільшення вимірності (кількості змінних в сплайні) та застосування розробленої моделі на окремих практичних задачах. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Introduction to scientific computing : [Електронний ресурс] / Juan Restrepo // Numerical Analysis & Scientific Computing — 2001. — № 1. — P. 128–137. — Режим доступу до журн. : http://math.arizona.edu/~jmcmahon/mathnotes/numerical.html. 2. Interpolation methods: [Електронний ресурс] / Paul Bourke // Miscellaneous: projection, modelling, rendering — 1999. — № 1. — P. 1. — Режим доступу до журн. : http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/miscellaneous/interpolation/. 3. Implementing Uniform Trigonometric Spline Curves: [Електронний ресурс] / Robert F. Kauffmann // Dobbs Portal. Architecture&Design — 2007. — № 1. — P. 1–9. — Режим доступу до журн. : http://www.ddj.com/architect/184410198. 4. Квєтний Р. Н. Тригонометрична інтерполяція сплайнами / Р.Н. Квєтний, В. Ю. Дементьєв // Вісник вінницького політехнічного інституту. – 2008. – № 5. – С. 67–68. Надійшла до редакції 20.01.2009р. КВЄТНИЙ РОМАН НАУМОВИЧ – д.т.н., проф., зав. каф АІВТ, Вінницький національний технічний університет, Вінниця, Україна, E-mail: rkvetny@mail.ru. ДЕМЕНТЬЄВ ВІКТОР ЮРІЙОВИЧ – аспірант каф. АІВТ, Вінницький національний технічний університет, Вінниця, Україна.

Модифіковані тригонометричні сплайни

Репозитарії

Схожі ресурси