Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании

Досліджено осесиметричні коливання пружної кругової тришарової пластини на пружній основі під дією локальних поверхневих навантажень. Реакція основи описується моделлю Вінклера. Для опису кінематики несиметричного по товщині пакету прийнято гіпотези ламаної нормалі. Заповнювач - легкий. Отримано...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Кубенко, В.Д., Старовойтов, Э.И., Леоненко, Д.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України 2009
Назва видання:	Геотехническая механика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/32847
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании / В.Д. Кубенко, Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2009. — Вип. 81. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-32847
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-328472012-05-26T12:25:28Z Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании Кубенко, В.Д. Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В. Досліджено осесиметричні коливання пружної кругової тришарової пластини на пружній основі під дією локальних поверхневих навантажень. Реакція основи описується моделлю Вінклера. Для опису кінематики несиметричного по товщині пакету прийнято гіпотези ламаної нормалі. Заповнювач - легкий. Отримано аналітичні рішення задачі і проведений їх чисельний аналіз. The axisymmetrical vibrations of elastic circular sandwich plate on elastic foundation under local shape loading influence are explored. Reaction of foundation was described on the base of Winkler’s model. For the kinematics description asymmetrical on the thickness of package accepted hypotheses broken normal. Filler is light. Analytical deciding a problem are received and their numeric analysis are conducted. 2009 Article Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании / В.Д. Кубенко, Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2009. — Вип. 81. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/32847 539.4 ru Геотехническая механика Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Досліджено осесиметричні коливання пружної кругової тришарової пластини на пружній основі під дією локальних поверхневих навантажень. Реакція основи описується моделлю Вінклера. Для опису кінематики несиметричного по товщині пакету прийнято гіпотези ламаної нормалі. Заповнювач - легкий. Отримано аналітичні рішення задачі і проведений їх чисельний аналіз.
format	Article
author	Кубенко, В.Д. Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В.
spellingShingle	Кубенко, В.Д. Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В. Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании Геотехническая механика
author_facet	Кубенко, В.Д. Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В.
author_sort	Кубенко, В.Д.
title	Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании
title_short	Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании
title_full	Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании
title_fullStr	Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании
title_full_unstemmed	Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании
title_sort	свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании
publisher	Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/32847
citation_txt	Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании / В.Д. Кубенко, Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2009. — Вип. 81. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Геотехническая механика
work_keys_str_mv	AT kubenkovd svobodnyeivynuždennyekolebaniâtrehslojnyhkrugovyhplastinnauprugomosnovanii AT starovojtovéi svobodnyeivynuždennyekolebaniâtrehslojnyhkrugovyhplastinnauprugomosnovanii AT leonenkodv svobodnyeivynuždennyekolebaniâtrehslojnyhkrugovyhplastinnauprugomosnovanii
first_indexed	2025-07-03T13:17:39Z
last_indexed	2025-07-03T13:17:39Z
_version_	1836631887882223616
fulltext	Геотехническая механика" УДК 539.4 В.Д. Кубенко, академик НАН Украины (Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины) Э.И. Старовойтов, д.ф.-м.н., Д.В. Леоненко, к.ф.-м.н. (Белорусский государственный университет транспорта) СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ КРУГОВЫХ ПЛАСТИН НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ Досліджено осесиметричні коливання пружної кругової тришарової пластини на пружній основі під дією локальних поверхневих навантажень. Реакція основи описується моделлю Вінклера. Для опису кінематики несиметричного по товщині пакету прийнято гіпотези ламаної нормалі. Заповнювач - легкий. Отримано аналітичні рішення задачі і про- ведений їх чисельний аналіз. FREE AND FORCED VIBRATIONS OF CIRCULAR SANDWICH PLATES ON EN ELASTIC FOUNDATION The axisymmetrical vibrations of elastic circular sandwich plate on elastic foundation under local shape loading influence are explored. Reaction of foundation was described on the base of Winkler’s model. For the kinematics description asymmetrical on the thickness of package ac- cepted hypotheses broken normal. Filler is light. Analytical deciding a problem are received and their numeric analysis are conducted. Введение. Трехслойные элементы конструкций типа пластин широко применяются в инженерной практике, что обусловливает необходимость раз- работки методов их расчета. Динамическое деформирование трехслойных систем, не связанных с упругим основанием, различного рода нагрузками описано в работах [1–2]. В статьях [3–5] рассмотрены собственные колебания трехслойных пластин, не скрепленных с упругим основанием, с различного рода заполнителем. В монографии [6] исследовано квазистатическое дефор- мирование трехслойных элементов конструкций, лежащих на винклеровском основании. Здесь рассмотрены свободные и вынужденные колебания сплошных не- симметричных по толщине упругих трехслойных пластин круговой формы с легким заполнителем, скрепленных с безынерционным упругим основанием. 1. Постановка задачи. Постановка задачи и ее решение проводим в цилин- дрической системе координат zr ,,  (рис. 1). Срединную плоскость заполни- теля принимаем за координатную, ось z направлена перпендикулярно вверх, к слою 1. Для тонких внешних несущих слоев толщиной 21 hh  справедливы гипотезы Кирхгофа, для толстого легкого (не работающего в тангенциальном направлении) заполнителя ( ch 23  ) принимаем гипотезу о прямолинейности и несжимаемости деформированной нормали. Внешняя вертикальная нагруз- ка не зависит от координаты φ: q = q(r, t). К наружной грани второго несу- щего слоя приложена реакция упругого основания qR. На контуре пластины Выпуск № 81 предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относитель- ному сдвигу слоев, т. е. 0 при 1rr  . Рис. 1 - Расчетная схема трехслойной платины на упругом основании В силу симметрии нагрузки тангенциальные перемещения в слоях отсут- ствуют ( 0 )(  k u , k – номер слоя), а прогиб пластины w , относительный сдвиг в заполнителе  и радиальное перемещение координатной плоскости u не зависят от координаты  , то есть ),(),,(),,( trwtrtru  . В дальнейшем эти функции считаем искомыми. Через kh обозначена относительная толщина k - го слоя. Уравнения движения рассматриваемой пластины можно вывести из ва- риационного принципа Лагранжа, учтя работу сил инерции: IAWA   , (1) где A – вариация работы внешних нагрузок, W – вариация работы внутрен- них сил упругости, IA – вариация работы сил инерции. Считаем, что к наружной поверхности второго несущего слоя приложена реакции основания Rq . Вариации работ будут следующие:   S R rwrqqA  dd)(1 ,   ddd)( 3 1 )()()()( rrzW S k h kkk r k r k              ,      S k h kI k rrwwA 3 1 dd   . (2) Связь между реакцией и прогибом принимаем в соответствии с моделью Винклера, согласно которой wqR 0 , 0 – коэффициент жесткости упругого основания. После подстановки выражений для вариаций работ (2) в (1) получаем в Геотехническая механика" перемещениях следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую вынужденные поперечные колебания круговой трехслойной пластины на упругом основании: 0),(L 3212  rwaaua  , 0),(L 5422  rwaaua  , qwwMwaaua r  006533 ),(L   . (3) Здесь 3322110 hhhM   , k – плотность материала k -го слоя; коэф- фициенты ia и дифференциальные операторы 32 L,L определяются соотно- шениями:     3 1 1 k kk Kha , )( 22112   KhKhca , kkk GKK 3 4  ,       222 1 2112 1 13 KhchKhcha ,    33 2 2211 2 4 cKKhKhca ,       3 2 3 2 222 1 2112 1 15 KcKhchKhchca ,     1 2 13 1 1 2 16 Khchcha     3 3 3 2 2 2 23 1 2 2 2 KcKhchch , 22 , ,,),( 1 )(L r g r g grg r g r rrrr        ,   3223 ,,2 ,,)(L 1 )(L r g r g r g ggr r g rrr rrrr  , Gk, Kk –модули упругости материала k-го слоя. В качестве начальных принимаем условия )()0,(,)()0,( rgrwrfrw   . (4) Задача отыскания функций ),(),,(),,( trwtrtru  замыкается присоедине- нием к (3) и начальных (4) и граничных условий. 2. Свободные колебания. После преобразований система (3) при q = 0 сво- дится к виду rCrCwbu r /, 211  , rCrCwb r /, 432  , 0),(L 44 3  wMww r  . (5) Здесь величины 21,,, bbM – характеристики системы пластина- основание. В связи с ограниченностью искомого решения в начале координат для сплошных пластин необходимо положить 042  СС . Искомый прогиб принимаем в виде Выпуск № 81 ))sin()cos()((),( tBtArvtrw   , (6) где )(r – неизвестная координатная функция,  – частота собственных ко- лебаний рассматриваемой пластины, A и B – константы интегрирования, оп- ределяемые из начальных условий. После подстановки выражения (6) в последнее уравнение системы (5) сле- дует уравнение для определения координатной функции )(r : 0)(),(L 44 3  vv r  . (7) Здесь введено обозначение 244  M , 444   . (8) Уравнение (7) перепишем в виде 0),(L 4 3  vv r  . (9) Решение уравнения (9) можно представить в виде ,)()()()()( 08070605 rKCrYCrICrJCrv   (10) где 0J , 0Y – функции Бесселя нулевого порядка (нижний индекс) первого и второго рода (функция Неймана), соответственно; 0I , 0K – модифицирован- ная функция Бесселя и функция Макдональда нулевых порядков; 85 ,, CC  – константы интегрирования [7]. Не останавливаясь на описании указанных функций, отметим, что )(0 rY  и )(0 rK  имеют особенность типа логарифма в начале координат [8], т. е. в центре пластины. Поэтому необходимо в (10) положить постоянные интегри- рования 087  СС . Если край пластины защемлен, то при 1rr  должны выполняться гранич- ные условия .0,  rwwu  Подставляя в два последних требования решение (6) с учетом функции (10) и ограниченности решения в начале координат, получаем однородную систему алгебраических уравнений для определения констант интегрирова- ния 65 , СС : Геотехническая механика" ,0)()( 106105  rICrJC  ,0)()( 116115  rICrJC  где 1J , 1I – функции Бесселя первого порядка. Эта система имеет нетривиальное решение при условии равенства нулю ее детерминанта. Следовательно, .0)()()()( 10111011  rIrJrJrI  (11) Трансцендентное уравнение (11) служит для определения собственных чисел n ( ,2,1,0n ) уравнения (7). Следует отметить, что оно совпало с подобным уравнением для собственных чисел трехслойной пластины защем- ленной по контуру, не связанной с упругим основанием [1]. После вычисления параметров n частоты собственных колебаний следу- ют из выражения (8). В общем случае для описания прогиба круговой трехслойной пластины при свободных поперечных колебаниях вводим систему собственных орто- нормированных функций ),( rnn   : .)( )( )( )( 1 0 10 10 0        rI rI rJ rJ d v n n n n n n     (12) Здесь учтено вытекающее из граничного условия 0w соотношение ме- жду константами интегрирования )(/)( 101056 rIrJCC  . Константы dn определяем из требования нормировки системы функций (12): .d)( )( )( )( 1 0 2 0 10 10 0 2         r n n n nn rrrI rI rJ rJd     В конечном виде искомый динамический прогиб трехслойной круговой пластины на упругом безынерционном основании представляем с помощью разложения в ряд по фундаментальной системе собственных ортонормиро- ванных функций (12):     0 ))sin()cos((),( n nnnnn tBtAvtrw  . (13) Радиальное перемещение и относительный сдвиг получим, используя пер- вые два уравнения из системы (5) и граничное условие на контуре 0),(),( 11  trutr : Выпуск № 81 ,))sin()cos((),( 0 1    n nnnnn tBtAbtru  .))sin()cos((),( 0 2     n nnnnn tBtAbtr  (14) Здесь система функций ),( rnnn   следующая:        ))()(( )( )( )()(),( 111 10 10 111 rIrrI rI rJ rJrrJ d r nn n n nn n n nn       . Коэффициенты An, Bn в формулах (13), (14) следуют из начальных условий движения (4) .d)( 1 ,d)( 1 1 0 0   r r n n nnn rrvrgBrrvrfA  2. Вынужденные колебания. Для описания вынужденных колебаний рас- сматриваемой пластины внешняя нагрузка q(r, t) и искомое решение u(r, t), ψ(r,t), w(r, t) представляются в виде следующих разложений в ряд по системе собственных ортонормированных функций ),( rnn   полученных в:     0 0 n nn tqvMtrq )(),( ;     0 1 n nn tTbtru )(),( ;     0 2 n nn tTbtr )(),( ;     0n nn tTvtrw )(),( , (15) где .)( )( )( )( 1 0 10 10 0        rI rI rJ rJ d v n n n n n n     Коэффициенты разложения нагрузки в ряд qn(t) получим, умножив первое из соотношений (15) на vn и проинтегрировав его по площади пластины. В си- лу ортонормированности системы собственных функций vn имеем  1 00 d),( 1 )( r nn rrvtrq M tq . (16) Уравнение для определения неизвестной функции времени Tn(t) следует из третьего уравнения системы (1) после подстановки в него выражений (15) и Геотехническая механика" использования линейной связи функций vn, φn: nnnn qTT  2 , (17) где n – частота собственных колебаний рассматриваемой пластины. Общее решение уравнения (17) выглядит так [1]:   t nn n nnnnn qttBtAtT 0 d)()(sin 1 sincos)(    . (18) Коэффициенты An, Bn определяются из начальных условий (2):   1 1 0 0 d)( 1 ;d)( r r n n nnn rrvrgBrrvrfA  . (19) Для сравнения действия различных нагрузок, оказываемых на пластину, введем принцип эквивалентности. Для этого потребуем равенство интегралов по объему, занимаемому соответствующей нагрузкой в любой фиксирован- ный момент времени. В результате получим соответствующую амплитуду эк- вивалентной нагрузки VfVfqq VV dd00   , (20) где f – функция распределения нагрузки с амплитудой q0, f΄ – функция рас- пределения нагрузки с амплитудой q0 .́ Рассмотрим несколько примеров внешнего осесимметричного силового воздействия на пластину. Задача, как правило, сводится к отысканию параметров qn(t) разложения в ряд заданной нагрузки и определению функции времени Tn(t). 1. На рассматриваемую пластину действует динамическая поверхностная нагрузка, равномерно распределенная внутри круга радиуса b  r1: )()(),( 00 rbHtqtrq  . (21) Здесь Н0(r) – функция Хевисайда нулевого порядка, обращающаяся в нуль при отрицательном аргументе, и равная единице на остальной числовой оси [9]. Подставляя нагрузку (21) в формулу (16), получаем интегральное выраже- ние для вычисления параметров qn(t): Выпуск № 81 rrrI rI rJ rJrbH dM tq tq r n n n n n n d)( )( )( )()( )( )( 1 0 0 10 10 00 0 0             . Входящие в него интегралы от произведения функций Хевисайда Н0 и Бесселя I0, J0 равны n n r n bbJ rrrJrbH    )( d)()( 1 0 00 1  ; n n r n bbI rrrIrbH    )( d)()( 1 0 00 1  . В результате        )( )( )( )( )( )( 1 10 10 1 0 0 bI rI rJ bJ dM btq tq n n n n nn n      . После этого решение задачи о вынужденных колебаниях пластинки опре- деляется соотношениями (13), а функция Tn(t) вычисляется по формуле (18). Если интенсивность равномерной внешней нагрузки q0 постоянна по модулю, то при нулевых начальных условиях (An = 0, Bn = 0) получаем          )( )( )( )( ))cos(1( )( 1 10 10 12 0 0 bI rI rJ bJ dM tbq tT n n n n nnn n n       . (22) 2. Синусоидальная нагрузка локально действует на круговую часть по- верхности трехслойной пластины, ограниченную окружностью r = b. Тогда )(1 2 sin),( 0 2 0 rbH b r qtrq                          . Тогда        ),( )( )( ),( )( )( 2 10 10 2 0 2 0 biU rI rJ bU dM btq tq n n n n n n      , (23) где Un(x, y) – функция Ломмеля двух переменных [8]. При постоянной внешней динамической нагрузке q0 = const функция (23) будет          ),( )( )( ),( ))cos(1( )( 2 10 10 22 0 2 0 biU rI rJ bU dM tbq tT n n n n nn n n       . (24) Геотехническая механика" 3. Пусть параболическая нагрузка с максимальной амплитудой в центре пластины распределена по кругу радиуса r = a: .1)(),( 2 00              a r raHqtrq (25) Подставив (25) в формулу (16), получим               1 12 10 10 1 123 0 0 )()1( )( )( )( )(4 )( m nm m n n m nm nn n aI rI rJ aJ adM tq tq      . При внешней динамической нагрузке q0 = const и нулевыми начальными условиями эта функция 23 0 0 ))cos(1(4 )( nnn n n adM tq tT                  1 12 10 10 1 12 )()1( )( )( )( m nm m n n m nm aI rI rJ aJ     . 3. Численные результаты. Трансцендентное уравнение для собственных чисел (23) не зависит от геометрических и упругих характеристик материалов слоев и основания. Оно было численно исследовано на интервале числовой оси 0-50. Найденные 15 корней вычислены с точностью до 0,001 и сведены в таблицу. Первые четыре из них совпадают с обычно приводимыми в литера- туре для защемленной однослойной пластины, не связанной с упругим осно- ванием. Таблица 1 – Собственные числа Номер n Собственное число λn Номер n Собственное число λn 0 3,196 8 28,279 1 6,306 9 31,420 2 9,439 10 34,561 3 12,577 11 37,702 4 15,716 12 40,844 5 18,857 13 43,985 6 21,997 14 47,126 7 25,138 Числовые результаты получены для круговых трехслойных пластин, мате- риалы слоев которых Д16Т–фторопласт–Д16Т. На приведенных далее графи- ках радиус пластин положен 11 r , что не уменьшает общности решения. По- сле вычисления собственных чисел n частоты n определялись по форму- лам (20). Численное исследование проводилось для защемленной по контуру пластины единичного радиуса r1 = 1, слои которой набраны из материалов Выпуск № 81 Д16Т – фторопласт – Д16Т. Соответствующие механические характеристики материалов приведены в [6]. Собственные частоты колебаний ωn вычислялись с использованием собственных чисел λn, приведенных в [1] и геометрических параметров слоев h1 = h2 = 0,01, h3 = 2с = 0,1. Коэффициент постели прини- мался равным κ0 = 10 8 Па/м. Начальные условия (2) предполагались однород- ными 000  ),(),( rwrw  , что, в соответствии с (19), позволяет получить нулевые константы интег- рирования An = 0, Bn = 0. На рис. 2 показано изменение первых четырех частот ωn собственных ко- лебаний защемленной по контуру пластины в зависимости от жесткости уп- ругого основания κ0 (Па/м): 1 – ω0, 2 – ω1, 3 – ω2, 4 – ω3. При основаниях малой жесткости (κ0 < 10 7 ) частоты практически постоянны. При увеличении жест- кости основания до средней вели чины (10 7 < κ0 < 10 9 ) частота основного то- на ω0 увеличивается в 6,3 раза. В случае основания высокой жесткости (10 9 < κ0 < 10 11 ) частота основного тона может увеличиться еще в 9,5 раз. Рис. 2 – Зависимость частоты собственных колебаний от коэффициента постели Графики зависимости первых двух частот собственных колебаний защем- ленной по контуру трехслойной пластины от толщины внешнего слоя h1 (h2 = 0,02, h3 = 0,1) показаны на рис. 3, а. Влияние толщины заполнителя h3 (h1 = h2 = 0,01) на эти частоты иллюстрирует рис. 3, б. Здесь 1 – ω0, 2 – ω1 (без штриха – κ0 = 0, со штрихом – κ0 = 10 9 Па/м). При наличии безынерционного основа- ния все частоты колебаний выше, чем при его отсутствии. С ростом толщины внешнего слоя частота основного тона ω0, пластины, скрепленной с основанием, слегка убывает, а затем восстанавливает свою ве- личину, т. е. изменение h1 здесь сказывается мало. Частоты ω1 пластин, свя- занных и несвязанных с основанием, с ростом h1 приближаются друг к другу. Геотехническая механика" 6000 4500 3000 1500 0 0,025 0,050 0,075 0,100h1 2 1 2’ 1’ а 0,40 0,1 0,2 0,3 4000 3000 2000 1000 1 2 h3 2’ 1’ б Рис. 3– Зависимость частоты собственных колебаний от толщины слоев При увеличении толщины легкого заполнителя h3 частоты убывают в обо- их случаях, что говорит об уменьшении относительной жесткости пластины, несмотря на наличие жесткого основания. Рис. 4 иллюстрирует изменение во времени прогиба в центре пластины при различных радиусах силового круга: 1 – b = 0,5, 2 – b = 1. При отсутствии основания (а) (q0 = 7·10 4 Па) имеем отнулевой циклический процесс. Увели- чение радиуса силового круга приводит к росту амплитуды колебаний. При жесткости основания κ0 = 10 8 Па/м, наблюдается несимметричный цикличе- ский процесс (б) (q0 = 7·10 5 Па). 0,003 0,006 0,009 0,012 w 1 2 0 0,05 0,10 0,15t а 0 0,05 0,10 0,15 -0,015 0 0,015 0,030 t w 1 2 б Рис. 4 – Изменение прогиба во времени при действии локальной прямоугольной нагрузки Рис. 5 показывает изменение прогиба в центре круговой трехслойной пла- стины, связанной с упругим основанием, в зависимости от радиуса пятна ло- кальной распределенной нагрузки в момент t = 0,0354 с. Кривые 1, 3 вычис- лялись с использованием формулы (24) и соответствуют воздействию сину- соидальной поверхностной нагрузки, 2 – прямоугольной (22). При одинако- вой амплитуде q0 = 7·10 4 Па прямоугольная нагрузка (2) вызывает больший прогиб, чем синусоидальная (1). Если равнодействующая синусоидальной на- грузки эквивалентна прямоугольной (q0' = 2 1 πq0), то соответствующий прогиб 3 превосходит по максимуму прогиб 2 на 36 %. Выпуск № 81 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 040 0,0 080 0, 1200 0,0016 w b 1 2 Рис. 5 – Зависимость прогиба от величины радиуса нагружения синусоидальной и прямоугольной нагрузками Рис. 6 показывает изменение прогибов во времени при воздействии на внешнюю поверхность пластины локальной распределенной нагрузки вогну- той параболической формы (13): 1 – a = 0,5; 2 – a = 1. Рис. 6, а – без основа- ния, б – на основании средней жесткости. При наличии основания макси- мальный прогиб уменьшается примерно в 27 раз. Распространение нагрузки на всю поверхность пластины увеличивает прогиб в 2,7 раза пластины несвя- занной с упругим основанием, и в 1,6 раза при наличии основания. В этом случае амплитуда вогнутой параболической нагрузки, рассчитанная по фор- муле (20), превосходит интенсивность принятой прямоугольной нагрузки q0 = 6·10 4 Па в 6 раз: q0' = 6q0. 1 2 0,032 0,024 0,016 0,008 0 0,05 0,10 0,15t w а 1 2 0,0012 0,0009 0,0006 0,0003 0 0,05 0,10 0,15t w Рис. 6 – Изменение прогибов во времени при воздействии вогнутой параболической нагрузки Заключение. Таким образом, предложена методика исследования свобод- ных и вынужденных колебаний круглых трехслойных пластин, находящихся на упругом винклеровском основании. Получены аналитические и численные решения ряда начально-краевых задач для пластин с легким заполнителем. Статья подготовлена по материалам доклада Международной научной конференции “Импульсные процессы в механике сплошных сред” (17-21 ав- густа 2009, г.Николаев). Геотехническая механика" СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Старовойтов Э. И., Яровая А. В., Леоненко Д. В. Локальные и импульсные нагружения трехслойных элементов конструкций. – Гомель: БелГУТ, 2003. – 367 с. 2. Lee C. R., Sun S. J., Каm Т. Y System parameters evaluation of flexibly supported laminated composite sandwich plates // AIAA Journal. – 2007. – 45, №9. – P. 2312–2322 3. Паймушин В. Н., Хусаинов В. Р. Уравнения и классификация свободных и собственных колебаний симметричных по толщине трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем // Мех. композиц. матер. и констр. – 2001. – Т. 7, №3. – С. 310-317. 4. Mirsa S., Singh A.V. Axisymmetric vibration of circular sandwich plates // AIAA Journal. – 1974. – 12, № 10. – P. 1418–1420. 5. Громыко Ю. В. Свободные колебания трехслойной кольцевой упругой // Материалы, технологии, ин- струменты. – 2001. – Т.6, № 4. – C. 9-12. 6. Старовойтов Э. И., Яровая А. В., Леоненко Д. В. Деформирование трехслойных элементов конструк- ций на упругом основании. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 379 с. 7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1976. – 576 с. 8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции – М.: Наука, 1966. – Т. 2. – 295 с. 9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике – М.: Наука, 1973. – 832 с. Рекомендовано до публікації д.т.н. К.К. Софійським 18.08.09

Свободные и вынужденные колебания трехслойных круговых пластин на упругом основании

Репозитарії

Схожі ресурси