Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений
Запропоновано метод розрахунку межі міцності при тривісному стисканні зразків гірських порід і постійному значенні контактних дотичних напруг. Метод заснований на теорії граничного стану гірських порід в локальних областях....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Геотехническая механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/32988 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений / Л.М. Васильев, Д.Л. Васильев, Р.Н. Наривский, А.А. Потапенко // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2009. — Вип. 82. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-32988 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-329882012-05-27T12:29:28Z Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений Васильев, Л.М. Васильев, Д.Л. Наривский, Р.Н. Потапенко, А.А. Запропоновано метод розрахунку межі міцності при тривісному стисканні зразків гірських порід і постійному значенні контактних дотичних напруг. Метод заснований на теорії граничного стану гірських порід в локальних областях. The method of calculation of ultimate strength at the triaxial compression of rock samples and constant value of contact tangent tensions is offered. A method is based on the theory of the maximum state of rock in local regions. 2009 Article Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений / Л.М. Васильев, Д.Л. Васильев, Р.Н. Наривский, А.А. Потапенко // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2009. — Вип. 82. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/32988 622.831.3.001.5 ru Геотехническая механика Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Запропоновано метод розрахунку межі міцності при тривісному стисканні зразків гірських порід і постійному значенні контактних дотичних напруг. Метод заснований на теорії граничного стану гірських порід в локальних областях. |
| format |
Article |
| author |
Васильев, Л.М. Васильев, Д.Л. Наривский, Р.Н. Потапенко, А.А. |
| spellingShingle |
Васильев, Л.М. Васильев, Д.Л. Наривский, Р.Н. Потапенко, А.А. Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений Геотехническая механика |
| author_facet |
Васильев, Л.М. Васильев, Д.Л. Наривский, Р.Н. Потапенко, А.А. |
| author_sort |
Васильев, Л.М. |
| title |
Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений |
| title_short |
Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений |
| title_full |
Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений |
| title_fullStr |
Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений |
| title_full_unstemmed |
Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений |
| title_sort |
метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений |
| publisher |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/32988 |
| citation_txt |
Метод расчета предела прочности при трехосном сжатии образцов горных пород и постоянном значении контактных касательных напряжений / Л.М. Васильев, Д.Л. Васильев, Р.Н. Наривский, А.А. Потапенко // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2009. — Вип. 82. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Геотехническая механика |
| work_keys_str_mv |
AT vasilʹevlm metodrasčetapredelapročnostipritrehosnomsžatiiobrazcovgornyhporodipostoânnomznačeniikontaktnyhkasatelʹnyhnaprâženij AT vasilʹevdl metodrasčetapredelapročnostipritrehosnomsžatiiobrazcovgornyhporodipostoânnomznačeniikontaktnyhkasatelʹnyhnaprâženij AT narivskijrn metodrasčetapredelapročnostipritrehosnomsžatiiobrazcovgornyhporodipostoânnomznačeniikontaktnyhkasatelʹnyhnaprâženij AT potapenkoaa metodrasčetapredelapročnostipritrehosnomsžatiiobrazcovgornyhporodipostoânnomznačeniikontaktnyhkasatelʹnyhnaprâženij |
| first_indexed |
2025-07-03T13:28:02Z |
| last_indexed |
2025-07-03T13:28:02Z |
| _version_ |
1836632541479567360 |
| fulltext |
"Геотехническая механика"
УДК 622.831.3.001.5
Л.М. Васильев, д.т.н.,
Д.Л. Васильев, к.т.н.,
Р.Н. Наривский, вед. инж.
(ИГТМ НАН Украины),
А.А. Потапенко, инж.
(ОАО ”Краснодонуголь”)
МЕТОД РАСЧЕТА ПРЕДЕЛА ПРОЧНОСТИ ПРИ ТРЕХОСНОМ
СЖАТИИ ОБРАЗЦОВ ГОРНЫХ ПОРОД И ПОСТОЯННОМ
ЗНАЧЕНИИ КОНТАКТНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Запропоновано метод розрахунку межі міцності при тривісному стисканні зразків гір-
ських порід і постійному значенні контактних дотичних напруг. Метод заснований на тео-
рії граничного стану гірських порід в локальних областях.
THE METHOD OF CALCULATION OF ULTIMATE STRENGTH AT
TRIAXIAL COMPRESSION OF ROCK SAMPLES AND CONSTANT
VALUE OF CONTACT TANGENT TENSIONS
The method of calculation of ultimate strength at the triaxial compression of rock samples
and constant value of contact tangent tensions is offered. A method is based on the theory of the
maximum state of rock in local regions.
В работе 1 разработан метод расчета предела прочности на сжатие об-
разцов горных пород при линейной связи между контактными касательными
к и нормальными напряжениями у согласно закону Кулона-Амонтона
yк f , (1)
где f – коэффициент внешнего (контактного) трения.
При использовании этого закона возникают непреодолимые трудности
точного интегрирования двух известных дифференциальных уравнений со-
вместно с алгебраическим уравнением равновесия. Разработанные методы
предела прочности материала, основанные на этом принципе, не позволяют
определять напряжения внутри материала 2 . Решение имеет место только в
частном случае, когда поперечные напряжения x равны продольным нор-
мальным напряжениям у и d у = d x, что и было использовано в работе 1 .
В связи с этим авторы статьи 3 провели анализ о правомочности примене-
ния упомянутого закона для расчета предела прочности с позиций строгого
соблюдения правил теории напряжений в материалах и пришли к выводу о
несоблюдении закона о линейной связи между контактными напряжениями в
предельном состоянии горных пород, так как этот закон даѐт существенно за-
вышенные результаты по сравнению с экспериментальными данными.
В работах 4, 5 нами ранее была предпринята попытка использовать дру-
гой, более обоснованный подход к определению связи между напряжениями.
В основу расчета распределения нормальных напряжений был положен метод
Выпуск № 82
Прандтля, разработанный для широкой полосы. Доказано, что точное реше-
ние задачи с использованием двух дифференциальных и одного алгебраиче-
ского уравнения равновесия обеспечивается при постоянном значении кон-
тактного касательного напряжения ху, которое изменяется вдоль действия
нормального сжимающего напряжения по зависимости
h
Y
кxy
2
1 . (2)
Принято считать, что при этом подходе достоверность расчета обеспечи-
вается вдали от боковых обнаженных граней, так в граничные условия зало-
жено сохранение их прямолинейности, что не позволяет соблюсти закон пар-
ности касательных напряжений.
В реальных условиях вследствие деформирования боковые грани приоб-
ретают выпуклую форму в силу выпучивания свободных, обнаженных (боч-
кообразных) поверхностей с углом между касательной к бочке и исходной
свободной поверхности (рис. 1).
Рис. 1. – Схема контактных нагрузок в образце горной породы
при наличии внешнего трения.
Это дает нам основание для применения закона парности касательных на-
пряжений в приконтурной области образца. Получено, что теоретическое
"Геотехническая механика"
распределение нормальных напряжений при постоянном значении касатель-
ных напряжений имеет вид выпуклого треугольника (рис. 2), что подтвер-
ждено многочисленными экспериментальными данными [2].
Рис. 2 – Эпюры контактных нормальных у и касательных к напряжений
Распределение нормальных напряжений у на контрактной поверхности
описывается простой формулой
h
xf
yy
2
10 , (3)
где у0 – предел прочности в угловой точке а.
Сила контактного давления на единицу длины образца равна
2/
0
00
2
1
2
122
a
yy
h
af
adx
h
xf
P . (4)
Удельное давление
h
af
p y
2
10 . (5)
Теперь с учетом этих положений в данной статье предстоит разработать
метод расчета предела прочности образцов горных пород при объемном на-
гружении, когда имеет место боковое внешнее нагружение 2 = 3 (контакт-
ное трение на боковых гранях отсутствует) при постоянном значении каса-
Выпуск № 82
тельных напряжений на горизонтальной плоскости. Для разработки использу-
ем, как и раньше 1 , критерий предельного состояния материалов с внутрен-
ним трением, по которому эффективные касательные напряжения по Кулону
э , (6)
где и – активные касательные и нормальные напряжения на наклонной
плоскости, – коэффициент внутреннего трения.
Направление элементарных сил трения на контактной поверхности образ-
ца, и, следовательно, касательных напряжений, примем против деформаций.
Оговорим правило знаков касательных напряжений. Касательные напряжения
принимаются положительными, если они направлены вдоль одной из осей
координат, а нормальные сжимающие напряжения – вдоль другой оси. Из
этого следует, что на верхней левой половине образца касательные напряже-
ния имеют положительный знак, а нижней – отрицательный. На правой поло-
вине – наоборот.
Значения и определяются из известных выражений [1]
2cos2sin
2
к
yx
, (7)
2sin2cos
22
к
yxyx
. (8)
Подставив выражения (7) и (8) в формулу (6) и продифференцировав по ,
находим выражение для определения наклона траектории максимальных ка-
сательных напряжений (линии скольжения), на которой эффективные каса-
тельные напряжения имеют максимальные значения:
кyx
кyx
tg
2
2
2 . (9)
Используя выражение (9), находим тригонометрические функции sin2 и
cоs2 , после подстановки которых в выражение (7), имеем
22
4
2
cos
кyx . (10)
Далее продифференцируем по выражение (8). После подстановки в по-
лученную формулу тригонометрических функций получаем
"Геотехническая механика"
22
4cos кyx
d
d
. (11)
Из сравнения выражений (10) и (11) вытекает, что
2
d
d
. (12)
По закону Кулона активные касательные напряжения равны сопротив-
лению материала сдвигу с учетом внутреннего трения с обратным знаком. С
учетом этого, подставив значение из уравнения (6) в (12), имеем важное диф-
ференциальное уравнение равновесного состояния на линии
k
d
d
2 , (13)
где k – текущее значение сопротивления материала внешнему касательному
напряжению на линии скольжения.
Аналогично поступим с выражениями на линии скольжения , угол на-
клона которой равен - . Получим уравнение (13) со знаком минус множи-
теля (k+ ).
Решение уравнения (13) сводится к решению интеграла на линии сколь-
жения между точками а и b
b
a
b
d
kd
2 . (14)
Как видно, для решения этого уравнения нужно знать значения касатель-
ных напряжений k, нормальных напряжений и углов наклона линий
скольжения в точках а и b.
На основании тригонометрических функций из уравнения (8) имеем
22
4
2
sin
2
кyx
yx
. (15)
Для определения суммы и подрадикального выражения найдем уравнение
равновесия путем подстановки тригонометрических функций в выражение
(6), получим:
2
4
2
cos 22 yx
кyxэ k . (16)
Выпуск № 82
Откуда радикальное выражение составит:
cos
2
4
22 yx
кyx
k
. (17)
Для определения суммы используем соотношение между поперечными и
продольными нормальными напряжениями из работы 6 . На основании чего
имеем
y
yyx
b
k
2
1sin
cos2
, (18)
где
y
к
k
b (19)
С учетом формул (17) и (18) преобразуем уравнение (15) к виду
22
1cos1sin1 bkby .
Тогда нормальное напряжение в точке b на линии
22
1cos1sin1 bby bkb
b
. (20)
Теперь, в отличие от одноосной нагрузки 5 , учтем внешнюю нагрузку 2.
Тогда нормальное напряжение в точке а на линии составит:
22
2 1cos1sin1 aaa bkb . (21)
Теперь предстоит найти углы наклона а и b из выражения (9).
Преобразуем его к виду
yx
к
yx
к
tg
2
2
1
2 . (22)
Обозначим составляющую
yx
к2
через tg2 .
"Геотехническая механика"
Тогда,
yx
кarctg
2
2
1
. (23)
Как видно, для расчета угла нужно знать разность х– у , которая опре-
деляется из уравнения (18)
2
1sin
cos
2
b
k y
yx . (24)
Тогда, с учетом (19) угол
2
1sin
cos
2
1
b
b
arctg . (25)
Угол поворота линии скольжения в точке b от касательных напряжений
2
1sin
cos
2
1
byb
к
b
bk
arctg , (26)
а в точке а –
2
1sin
cos
2
1
2
1
ayn
к
a
bk
h
Y
arctg . (27)
Преобразуя выражение (22), находим :
2
45 . (28)
Угол наклона линии скольжения в точке а составит:
aa
2
45 . (29)
Угол а имеет отрицательный знак при sin1
2
ab . Угол b имеет по-
ложительный знак.
Поэтому угол b наклона линии скольжения в точке b:
Выпуск № 82
bb
2
45 . (30)
Тогда имеем общий угол поворота линии скольжения между точками b и a
с учетом знаков b и a за счет разности b и а
abba . (31)
Тогда из решения интеграла (14) с учетом (20), (21) и (31) имеем
abe
bkbk
bkbk
aaaa
bbbyb 2
22
2
22
1cos1sin1
1cos1sin1
. (32)
Используя выражения (14, 32), и опуская громоздкие преобразования, по-
лучим систему уравнений для расчета нормального сжимающего напряжения
в угловой точке а образца горных пород на линии при трехосном сжатии
2
42
2
2
22
2
0
1sin1
1sin1
1sin1
1sin11
b
ab
eb
bk
k
k
b
ebk
a
ayn
b
b
a
an
y
. (33)
В зависимости от направления образования трещины, например, в направ-
лении от точки а в точку b, в вершине трещины kа = kn – пределу сопротивле-
ния материала чистому сдвигу, в точке b – kа < kn.
С учетом распределения нормальных напряжений на контактной плоско-
сти находим удельное давление, фиксируемое на прессе при раздавливании
образцов горных пород при трехосном нагружении согласно (5)
h
af
k
b
ebk
p b
a
an
ab
2
1
1sin1
1sin11
2
22
2 . (34)
Для определения предельного напряжения в точке d для линии скольже-
ния показатель экспонент имеет знак минус.
Выводы.
1. Разработан метод расчета предела прочности образцов горных пород
при трехосном сжатии и постоянном контактном касательном напряжении от
внешнего трения с использованием двух дифференциальных и одного алгеб-
"Геотехническая механика"
раического уравнения. При предельном значении сжимающего напряжения в
точках а или b при э = kп возникает трещина. В других областях материал
деформируется упруго.
2. Применение метода при практических расчетах позволит повысить дос-
товерность расчетных результатов с экспериментальными данными по срав-
нению с ранее разработанными методами.
3. В перспективе покажем, что трещина может развиваться только при
увеличении продольной деформации, что позволяет рассчитать нормальные
напряжения у внутри материала в вершине трещины по мере ее движения и
построить диаграммы «напряжение-продольная деформация» при трехосном
сжатии образца.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильев, Л.М. Метод расчета предела прочности горных пород на одноосное сжатие при линейной
связи между контактными напряжениями / Л.М. Василев, Д.Л.Васильев // Геотехническая механика. Днеп-
ропетровск, 2003. – Вып. 42. – С. 42-48.
2. Сторожев, М.В. Теория обработки металлов давлением / М.В. Сторожев, Е.А. Попов. – М.: Машино-
строение, 1977. – 423 с.
3. О правомочности применения закона о линейной связи между контактными напряжениями для расчѐ-
та предела прочности горных пород / Л.М. Васильев, К.В. Цепков, А.В. Пазынич, В.В. Зберовский, Р.Н. На-
ривский // Научный вестник НГУ. – Днепропетровск: НГУ, 2008. – № 3. – С. 3-6.
4. Васильев, Д.Л. Метод расчета распределения нормальных контактных напряжений в образцах горных
пород при постоянном значении контактного трения / Д.Л. Васильев // Геотехническая механика. – Днепро-
петровск, 2003. – Вып. 44. – С. 37–44.
5. Васильев, Д.Л. Метод расчета предела прочности на сжатие образцов горных пород при постоянстве
контактного касательного напряжения / Д.Л. Васильев // Збірник наукових праць НГУ. – Дніпропетровськ:
РВК НГУ, 2009. – № 33. – С. 111–117.
6. Васильев, Д.Л. Метод расчета горизонтальных напряжений в массивах горных пород / Д.Л. Васильев
// Геотехническая механика. – Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2002. – Вып. 29 – С. 161–165.
Рекомендовано до публікації д.т.н М.С. Четвериком 21.08.09
|