Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу

Розглянуто однорiдну задачу Дiрiхле в одиничному крузi K включено в R² для загального безтипного диференцiального рiвняння довiльного парного порядку 2m, m≥2, зi сталими комплексними коефiцiєнтами, характеристичне рiвняння якого має кратнi коренi ±i. Для кожного значення кратностi коренiв i та −i сф...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Буряченко, К.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2011
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/36973
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу / К.О. Буряченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 7-12. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-36973
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-369732012-08-30T12:06:38Z Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу Буряченко, К.О. Математика Розглянуто однорiдну задачу Дiрiхле в одиничному крузi K включено в R² для загального безтипного диференцiального рiвняння довiльного парного порядку 2m, m≥2, зi сталими комплексними коефiцiєнтами, характеристичне рiвняння якого має кратнi коренi ±i. Для кожного значення кратностi коренiв i та −i сформульовано критерiї iснування нетривiального розв’язку задачi або доведено, що задача має тiльки тривiальний розв’язок. Отриманi результати узагальнюють вiдомi приклади А.В. Бiцадзе у випадку безтипних рiвнянь довiльного парного порядку. The homogeneous Dirichlet problem in a unit disk K is included in R² is considered for a general equation of arbitrary even order 2m, m≥2, with constant complex coefficients, the characteristic equation of which has multiple roots ±i. For every value of the multiplicities of roots i and −i, the criteria of nontrivial solvability of the problem are obtained or it is proved that the problem has only the trivial solution. This result generalizes the well-known A.V. Bitsadze examples for the case of arbitrary even order equations. 2011 Article Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу / К.О. Буряченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 7-12. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/36973 517.946 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Буряченко, К.О. Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу Доповіді НАН України
description	Розглянуто однорiдну задачу Дiрiхле в одиничному крузi K включено в R² для загального безтипного диференцiального рiвняння довiльного парного порядку 2m, m≥2, зi сталими комплексними коефiцiєнтами, характеристичне рiвняння якого має кратнi коренi ±i. Для кожного значення кратностi коренiв i та −i сформульовано критерiї iснування нетривiального розв’язку задачi або доведено, що задача має тiльки тривiальний розв’язок. Отриманi результати узагальнюють вiдомi приклади А.В. Бiцадзе у випадку безтипних рiвнянь довiльного парного порядку.
format	Article
author	Буряченко, К.О.
author_facet	Буряченко, К.О.
author_sort	Буряченко, К.О.
title	Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу
title_short	Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу
title_full	Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу
title_fullStr	Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу
title_full_unstemmed	Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу
title_sort	єдиність розв'язку задачі діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/36973
citation_txt	Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу / К.О. Буряченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 7-12. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT burâčenkoko êdinístʹrozvâzkuzadačídíríhledlârívnânʹdovílʹnogoparnogoporâdkuuvipadkukratnihharakteristikâkínemaûtʹkutívnahilu
first_indexed	2025-07-03T18:42:25Z
last_indexed	2025-07-03T18:42:25Z
_version_	1836652320073449472
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 1 • 2011 МАТЕМАТИКА УДК 517.946 © 2011 К.О. Буряченко Єдинiсть розв’язку задачi Дiрiхле для рiвнянь довiльного парного порядку у випадку кратних характеристик, якi не мають кутiв нахилу (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) Розглянуто однорiдну задачу Дiрiхле в одиничному крузi K ⊂ R 2 для загального без- типного диференцiального рiвняння довiльного парного порядку 2m, m > 2, зi сталими комплексними коефiцiєнтами, характеристичне рiвняння якого має кратнi коренi ±i. Для кожного значення кратностi коренiв i та −i сформульовано критерiї iснування не- тривiального розв’язку задачi або доведено, що задача має тiльки тривiальний розв’язок. Отриманi результати узагальнюють вiдомi приклади А.В. Бiцадзе у випадку безтип- них рiвнянь довiльного парного порядку. Для загального безтипного диференцiального рiвняння довiльного парного порядку 2m, m > 2, зi сталими комплексними коефiцiєнтами та однорiдним за порядком диференцiю- вання виродженим символом розглядається однорiдна задача Дiрiхле в одиничному кру- зi K ∈ R 2. Виродженiсть символа означає, що коренi λ1, λ2, . . . , λ2m характеристичного рiвняння можуть бути кратними, а також набувати значень ±i. Для кожного значення кратностей цих коренiв отримано критерiї нетривiальностi ядра вiдповiдної задачi Дiрiхле. У випадку, коли кратнiсть k кореня i (або −i), k > m, отриманi в роботi результати уза- гальнюють вiдомi приклади А.В. Бiцадзе [1]: ∂2u/∂z2 = 0, ∂2u/∂z2 = 0. Зазначимо, що рiзноманiтним узагальненням прикладiв А.В. Бiцадзе присвячено також роботи В.С. Вi- ноградова [2], В. I. Шевченка [3]. 1. Постановка задач. Розглянемо однорiдну задачу Дiрiхле в одиничному крузi K ⊂ ⊂ R 2 для загального безтипного диференцiального рiвняння довiльного парного порядку 2m, m > 2: L(∂x)u = a0 ∂2mu ∂x2m1 + a1 ∂2mu ∂x2m−1 1 ∂x2 + · · ·+ a2m−1 ∂2mu ∂x1∂x 2m−1 2 + a2m ∂2mu ∂x2m2 = 0, (1) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 7 u ∣∣ ∂K = 0, u′ν ∣∣ ∂K = 0, . . . , u(m−1) ν ∣∣ ∂K = 0, (2) де ~ν — одиничний вектор зовнiшньої нормалi, ∂x = (∂/∂x1, ∂/∂x2), ai ∈ C, i = 0, 1, . . . , 2m. Нагадаємо (див., напр., [4]), що кутом нахилу характеристики, що вiдповiдає деякому кореню λj 6= ±i характеристичного рiвняння, будемо називати будь-який розв’язок рiв- няння: − tgϕj = λj, j = 1, 2, . . . , 2m. Обмеження λj 6= ±i, j = 1, 2, . . . , 2m, якраз пов’язано з тим, що рiвняння tg(x) = ±i не має розв’язкiв. 2. Випадок кратного кореня i (або −i) характеристичного рiвняння. Вважати- мемо, що серед коренiв характеристичного рiвняння L(1, λ) = 0 знаходиться корiнь i (або −i) кратностi k > 1. Iншi коренi — простi та не дорiвнюють ±i. Доведемо критерiй iсну- вання нетривiального розв’язку задачi (1), (2) залежно вiд значення кратностi k кореня i. Випадок −i розглядається аналогiчно. Теорема 1. 1. Нехай i — корiнь характеристичного рiвняння кратностi k < m. Тодi для iснування нетривiального розв’язку задачi Дiрiхле (1), (2) у просторi C2m(K) необхiдно i достатньо виконання такої умови для деякого n ∈ N, n > 2m − 1: ∆1 = detA = 0, (3) де матриця A має вигляд: ∆1 = detA = det(Ã, Ak+1, Ak+2, . . . , Am) = 0, Ã =   einϕk+1 . . . ei(n−2(k−1))ϕk+1 einϕk+2 . . . ei(n−2(k−1))ϕk+2 ... . . . ... einϕ2m . . . ei(n−2(k−1))ϕ2m   , Aj =   cos(n− 2(j − 1))ϕk+1 sin(n− 2(j − 1))ϕk+1 cos(n− 2(j − 1))ϕk+2 sin(n− 2(j − 1))ϕk+2 . . . . . . cos(n − 2(j − 1))ϕ2m sin(n− 2(j − 1))ϕ2m   , j = k + 1, k + 2, . . . ,m. 2. Якщо k = m, тодi задача Дiрiхле (1), (2) має тiльки тривiальний розв’язок. 3. Якщо характеристичне рiвняння має корiнь i кратностi k > m, то задача Дiрiх- ле (1), (2) завжди має злiченну кiлькiсть лiнiйно незалежних розв’язкiв. Доведення. 1. Необхiднiсть. Згiдно з твердженням [4, c. 199–200], iснування нетри- вiального розв’язку задачi Дiрiхле (1), (2) у просторi C2m(K) призводить до iснування нетривiального аналiтичного в C 2 розв’язку w(ξ) ∈ Z рiвняння (∆ξ+1)m{L(ξ)·w(ξ)} = 0 або ∆m ξ vN (ξ) = 0 (4) для молодшої нетривiальної однорiдної полiномiальної частини vN (ξ) степеневого ряду функцiй v(ξ) = L(ξ) · w(ξ). (Клас Z визначено як простiр образiв Фур’є функцiй вигляду θKv, v ∈ C2m(R2), θK — характеристична функцiя круга.) Iз спiввiдношень (32.15)–(32.22) в [5] загальний полiномiальний розв’язок ṽ(ξ) рiвняння (4) можна подати у виглядi ṽN (ξ) = Re{f1(z) + · · ·+ zm−1 · fm(z)}+ iRe{g1(z) + · · · + zm−1 · gm(z)}, 8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1 де z = ξ1+ iξ2, fi(z) = ∑ fin · z n, gi(z) = ∑ gin · z n, i = 1, 2, . . . ,m, — деякi полiноми. Звiдси, використовуючи формули Ейлера, отримуємо ṽN (ρ, ϕ) = 1 2 N∑ n [ zn(α1n + iβ1n) + ρ2zn−2(α2n + iβ2n) + ρ4zn−4(α3n + iβ3n) + + · · ·+ ρ2(m−1)zn−2(m−1)(αmn + iβmn) ] + + 1 2 N∑ n [ zn(α1n − iβ1n) + ρ2zn−2(α2n − iβ2n) + ρ4zn−4(α3n − iβ3n) + + · · ·+ ρ2(m−1)zn−2(m−1)(αmn − iβmn) ] . (5) Сталi αin, βin визначаються коефiцiєнтами розкладання полiномiв fi(z), gi(z). Пiсля дiлення цiлої функцiї ṽN (ξ) = L(ξ)w̃(ξ) на символ L(ξ) = (ξ1 − iξ2) k〈ξ, ak+1〉 × × 〈ξ, ak+2〉 . . . 〈ξ, a2m〉 отримаємо полiном, що призводить до необхiдностi виконання таких умов: α1n + iβ1n = 0, α2n + iβ2n = 0, . . . , αkn + iβkn = 0, ṽN ∣∣ ϕ=−ϕk+1 = 0, ṽN ∣∣ ϕ=−ϕk+2 = 0, . . . , ṽN ∣∣ ϕ=−ϕ2m = 0. (6) Пiдставляючи (5) в (6), приходимо до системи лiнiйних рiвнянь вiдносно сталих αin, βin, визначник матрицi якої має вигляд (3). Оскiльки задача (4) має нетривiальний розв’язок, то iснує ненульовий набiр сталих αin, βin, n = 1, 2, . . . ,m, що призводить до виконання умови (3). Достатнiсть. За умови (3) для деякого n ∈ N, n > 2m, побудуємо нетривiальний розв’язок задачi (1), (2) в явному виглядi. Використовуючи результати роботи [6], неважко перевiрити, що рiвняння L(∂x)u = 0 задовольняє така функцiя: u(x) = C1(x1 + ix2) n + C2(x1 + ix2) n−2 + C3(x1 + ix2) n−4 + · · · + + Ck(x1 + ix2) n−2(k−1) + 2m∑ j=k+1 CjFj(−ãj · x), де функцiї Fj(−ãj · x) визначено через полiноми Чебишова за формулами (14) i (15) в [6]. 2. Розглянемо випадок, коли кратнiсть k кореня i характеристичного рiвняння дорiв- нює m. Аналогiчно 1 маємо такi умови подiльностi функцiї (5) на символ L(ξ) = (ξ1 − − iξ2) m〈ξ, am+1〉〈ξ, am+2〉 · · · 〈ξ, am+m〉: α1n + iβ1n = 0, α2n + iβ2n = 0, . . . , αmn + iβmn = 0, ṽN ∣∣ ϕ=−ϕm+1 = 0, ṽN ∣∣ ϕ=−ϕm+2 = 0, . . . , ṽN ∣∣ ϕ=−ϕ2m = 0. (7) Пiдставляючи функцiю (5) в умови (7), приходимо до системи лiнiйних рiвнянь вiдносно сталих αin, βin, визначник якої пiсля замiни z1 = e2iϕm+1 , z2 = e2iϕm+2 , . . . , zm = e2iϕ2m ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 9 має вигляд ∆2 = det   einϕm+1 ei(n−2)ϕm+1 . . . ei(n−2(m−2))ϕm+1 ei(n−2(m−1))ϕm+1 einϕm+2 ei(n−2)ϕm+2 . . . ei(n−2(m−2))ϕm+2 ei(n−2(m−1))ϕm+2 ... ... . . . ... ... einϕ2m ei(n−2)ϕ2m . . . ei(n−2(m−2))ϕ2m ei(n−2(m−1))ϕ2m   = = ei(n−2(m−1))ϕm+1 · ei(n−2(m−1))ϕm+2 × · · · × ei(n−2(m−1))ϕ2m × ∏ 16j<i6n (zi − zj). Рiвнiсть ∆2 = 0 має мiсце тодi i тiльки тодi, коли zi = zj , але це не так (ϕi 6= ϕj). Значить, визначник не дорiвнює нулевi. Таким чином, задача (4) має тiльки тривiальний розв’я- зок, i, згiдно з твердженням [4, c. 199–200], однорiдна задача Дiрiхле (1), (2) має тiльки тривiальний розв’язок. 3. Для того щоб пiсля дiлення функцiї (5) на символ L(ξ) = (ξ1 − iξ2) m+l〈ξ, am+l+1〉 × × · · · × 〈ξ, a2m〉, l = 1, 2, . . . ,m, ми отримали полiном, з необхiднiстю маємо: α1n + iβ1n = 0, α2n + iβ2n = 0, . . . , αmn + iβmn = 0. Крiм того, 2m − (m + l) = m − l спiввiдношень на кути нахилу характеристик: ṽN ∣∣ ϕ=−ϕm+l+1 = 0, ṽN ∣∣ ϕ=−ϕm+l+2 = 0, . . . , ṽN ∣∣ ϕ=−ϕ2m = 0. Таким чином, для визначення коефiцiєнтiв αin, βin маємо систему m + m − l = 2m − l рiвнянь з 2m невiдомими. У такої системи завжди iснує ненульовий розв’язок. Значить, задача Дiрiхле (1), (2) для будь-яких кутiв нахилу ϕj має нетривiальний розв’язок, j = = m + l + 1, . . . , 2m, l = 1, 2, . . . ,m. Якщо значення кратностi k кореня i бiльше половини порядку рiвняння: k > m, то вiдповiдна задача Дiрiхле (1), (2) має злiченну кiлькiсть лiнiйно незалежних розв’язкiв. Дiйсно, пiсля розкладання оператора L порядку 2m: L2m = ( ∂ ∂x −i ∂ ∂y )m+l Lm−l, де Lm−l — диференцiальний оператор порядку m − l, l = 1, 2, . . . m, характеристичне рiвняння якого не має коренiв ±i, неважко помiтити, що набiр функцiй uk(z) = (1− zz)m+l−1Pk(z), k = 0, 1, 2 . . . , де Pk(z) — довiльнi полiноми степеня k, задовольняє рiвняння L2mu = ( ∂ ∂x + i ∂ ∂y )m+l · Lm−lu = ∂m+l ∂zm+l · Lm−lu = 0 i умови Дiрiхле на межi ∂K = {z ∈ C : \|z\|t2 = zz = 1} одиничного круга u ∣∣ \|z\|=1 = 0, u′ρ ∣∣ \|z\|=1 = 0, . . . , u(m−1) ρ ∣∣ \|z\|=1 = 0, ρ = \|z\|. Побудований приклад узагальнює вiдомий результат А.В. Бiцадзе [1] для рiвнянь дру- гого порядку: ( ∂ ∂x + i ∂ ∂y )2 u = 0 i ( ∂ ∂x − i ∂ ∂y )2 u = 0, характеристичнi рiвняння яких 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1 мають коренi i (та −i вiдповiдно) кратностi k = 2 > m = 1 — половина порядку рiвняння. Теорему доведено. Зауваження 1. Вiдзначимо, що за умов 1 i 2 рiвняння можуть бути як правильно елi- птичними, так i неправильно елiптичними, тодi як умови 3 автоматично гарантують непра- вильну елiптичнiсть рiвняння (1), що призводить до нескiнченновимiрностi ядра вiдповiдної задачi Дiрiхле. 3. Випадок кратних коренiв i та −i характеристичного рiвняння. Нехай числа −i та i — коренi характеристичного рiвняння кратностей k1 i k2 вiдповiдно (k1 + k2 = = 2, 3, . . . , 2m,k1 · k2 6= 0) i нехай для визначеностi k2 > k1. Тодi на властивiсть єдиностi розв’язку вiдповiдної задачi Дiрiхле буде впливати той корiнь, у якого кратнiсть бiльше. Теорема 2. Нехай числа −i та i — коренi характеристичного рiвняння кратностей k1 i k2 вiдповiдно (k1 + k2 = 2, 3, . . . , 2m,k1 · k2 6= 0) i нехай для визначеностi k2 > k1. Тодi: 1. Якщо k2 < m, то для iснування нетривiального розв’язку задачi Дiрiхле (1), (2) необхiдно i достатньо виконання такої умови для деякого n ∈ N , n > 2m: ∆3 = detB = det(B̃, Bk2+1, Bk2+2, . . . , Bm) = 0, B̃ =   ei(n−2(k2−1))ϕl+1 ei(n−2(k2−1))ϕl+2 . . . ei(n−2(k2−1))ϕ2m   , Bj =   cos(n − 2(j − 1))ϕl+1 sin(n− 2(j − 1))ϕl+1 cos(n − 2(j − 1))ϕl+2 sin(n− 2(j − 1))ϕl+2 . . . . . . cos(n− 2(j − 1))ϕ2m sin(n− 2(j − 1))ϕ2m   , де l = k1 + k2, j = k2 + 1, k2 + 2, . . . ,m. 2. Якщо k2 = m, то задача Дiрiхле (1), (2) має тiльки тривiальний розв’язок. 3. За умови m < k2 6 2m задача Дiрiхле (1), (2) завжди має злiченну кiлькiсть лiнiйно незалежних розв’язкiв. Зауваження 2. У випадку, коли k1 = k2 = k, оператор L порядку 2m можна подати у виглядi добутку k степеня оператора Лапласа i оператора порядку 2(m − k) : L2m = = ∆k ·L2m−2k. Друга частина теореми 1 роботи [6] свiдчить про те, що з точки зору єдиностi розв’язку задачi Дiрiхле для оператора L, характеристичне рiвняння якого одночасно має коренi i та −i, правильно елiптична частина (оператор Лапласа) значення не має, i такi рiвняння мають властивостi єдиностi розв’язку, аналогiчнi рiвнянням порядку 2(m − k). Згiдно з результатами статтi [6], критерiєм порушення єдиностi розв’язку задачi Дiрiхле в крузi для рiвняння порядку 2(m − k) є умова detC = 0, де матриця C має вигляд   cosnϕ2k+1 sinnϕ2k+1 . . . cos(n − 2(m− k − 1))ϕ2k+1 sin(n− 2(m− k − 1))ϕ2k+1 cosnϕ2k+2 sinnϕ2k+2 . . . cos(n − 2(m− k − 1))ϕ2k+2 sin(n− 2(m− k − 1))ϕ2k+2 ... ... . . . ... ... cosnϕ2m sinnϕ2m . . . cos(n− 2(m− k − 1))ϕ2m sin(n− 2(m− k − 1))ϕ2m  . 1. Бицадзе А. В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // Успехи мат. наук. – 1948. – 3, вып. 6. – С. 211–212. 2. Виноградов В.С. О задаче Дирихле для многомерных эллиптических систем второго порядка // Докл. АН СССР. – 1968. – 179, № 4. – С. 766–767. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 11 3. Шевченко В.И. Эллиптические системы трех уравнений с четырьмя неизвестными // Там же. – 1975. – 221, № 5. – С. 1050–1052. 4. Бурский В.П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений. – Киев: Наук. думка, 2002. – 316 с. 5. Векуа И.Н. Новые методы решений эллиптических уравнений. – Москва: ОГИЗ, 1948. – 296 с. 6. Бурский В.П., Буряченко Е.А. Некоторые вопросы существования нетривиального решения одно- родной задачи Дирихле для линейных уравнений произвольного четного порядка в круге // Мат. заметки. – 2005. – 74, № 4. – С. 1032–1043. Надiйшло до редакцiї 27.05.2010Донецький нацiональний унiверситет K.O. Buryachenko The solution uniqueness of the Dirichlet problem for arbitrary even order equations with multiple characteristics without angles of slope The homogeneous Dirichlet problem in a unit disk K ⊂ R 2 is considered for a general equation of arbitrary even order 2m, m > 2, with constant complex coefficients, the characteristic equation of which has multiple roots ±i. For every value of the multiplicities of roots i and −i, the criteria of nontrivial solvability of the problem are obtained or it is proved that the problem has only the trivial solution. This result generalizes the well-known A.V. Bitsadze examples for the case of arbitrary even order equations. 12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1

Єдиність розв'язку задачі Діріхле для рівнянь довільного парного порядку у випадку кратних характеристик, які не мають кутів нахилу

Репозитарії

Схожі ресурси