Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом
Розглянуто лінійні диференціальні рівняння першого порядку з G-секторіальним операторним коефіцієнтом у випадку не обов'язково гельдерової відомої функції. Вказані різні достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37216 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом / А.В. Чайковський // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-37216 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-372162012-10-01T12:04:04Z Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом Чайковський, А.В. Математика Розглянуто лінійні диференціальні рівняння першого порядку з G-секторіальним операторним коефіцієнтом у випадку не обов'язково гельдерової відомої функції. Вказані різні достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Linear differential equations of the first order with G-sectorial operator coefficient in the case of a function which is not necessarily Hölder are considered. Several sufficient conditions of existence and uniqueness of a solution of the Cauchy problem are found. 2011 Article Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом / А.В. Чайковський // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37216 517.98 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Чайковський, А.В. Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто лінійні диференціальні рівняння першого порядку з G-секторіальним операторним коефіцієнтом у випадку не обов'язково гельдерової відомої функції. Вказані різні достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші. |
| format |
Article |
| author |
Чайковський, А.В. |
| author_facet |
Чайковський, А.В. |
| author_sort |
Чайковський, А.В. |
| title |
Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| title_short |
Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| title_full |
Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| title_fullStr |
Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| title_full_unstemmed |
Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| title_sort |
про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з g-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37216 |
| citation_txt |
Про лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом / А.В. Чайковський // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT čajkovsʹkijav prolíníjníneodnorídnídiferencíalʹnírívnânnâzgsektoríalʹnimoperatornimkoefícíêntom |
| first_indexed |
2025-07-03T18:58:06Z |
| last_indexed |
2025-07-03T18:58:06Z |
| _version_ |
1836653307126349824 |
| fulltext |
УДК 517.98
© 2011
А.В. Чайковський
Про лiнiйнi неоднорiднi диференцiальнi рiвняння
з G-секторiальним операторним коефiцiєнтом
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Розглянуто лiнiйнi диференцiальнi рiвняння першого порядку з G-секторiальним опера-
торним коефiцiєнтом у випадку не обов’язково гельдерової вiдомої функцiї. Вказанi рiзнi
достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку задачi Кошi.
Нехай (B, ‖ · ‖) — комплексний банахiв простiр з нульовим елементом ~0, L(B) — простiр
усiх лiнiйних неперервних операторiв у B, I — одиничний оператор. У роботi розглядаються
сильнi похiднi векторних функцiй та iнтеграли Рiмана (власнi чи невласнi).
Означення 1. Нехай T > 0, f ∈ C([0, T ], B), x0 ∈ B. Розв’язком задачi Кошi
x′(t) +Ax(t) = f(t), t ∈ (0, T ], x(0) = x0, (1)
будемо називати функцiю x ∈ C([0, T ], B), що має похiдну в кожнiй точцi напiвiнтервала
(0, T ] (у точцi T — лiву похiдну), набуває на цьому напiвiнтервалi значення з множини
D(A) i задовольняє рiвняння i крайову умову.
Зауважимо, що якщо iснує розв’язок задачi Кошi
x′(t) +Ax(t) = f(t), t ∈ (0, T ], x(0) = 0, (2)
то розв’язок задачi Кошi (1) можна отримати з нього додаванням члена e−Atx0, якщо для
оператора A визначена експонента з вiдповiдними властивостями, а на x0 ∈ B накладенi
додатковi умови. Тому надалi буде розглядатися задача (2).
Розв’язок задачi (2) добре вiдомий для секторiальних операторiв за умови гельдеровостi
функцiї f [1, c. 604; 2, c. 60; 3; c. 26; 4, c. 33]. У роботi [5] за умови секторiальностi опе-
раторного коефiцiєнта знайденi бiльш слабкi достатнi умови на функцiю f . У цiй роботi
результати статтi [5] узагальнюються на випадок операторних коефiцiєнтiв, якi не обов’яз-
ково є секторiальними.
Означення та допомiжнi твердження. Наведемо означення класу G-секторiальних
операторiв з роботи [6].
Означення 2. Будемо казати, що функцiя G : [0,+∞) → (0,+∞) належить класу Ψ,
якщо вона задовольняє умови:
а) G — незростаюча на [0,+∞);
б) G(t) → 0, t → +∞;
в) функцiя 1/G лiпшицева на [0,+∞).
Означення 3. Нехай G ∈ Ψ. Лiнiйний оператор A : D(A) ⊂ B → B назвемо G-секто-
рiальним, якщо iснують такi сталi a ∈ R i ϕ ∈ (0, π/2), що для множини Sa,ϕ := {z ∈
∈ C | z 6= a, | arg(z − a)| < ϕ} справджуються умови:
а) σ(A) ⊂ Sa,ϕ;
б) ∃M0 > 0 ∀λ 6∈ Sa,ϕ: ‖Rλ(A)‖ 6 M0G(|λ − a|).
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Всюди далi A — G-секторiальний оператор i a = 0. У [6] вводиться операторна експо-
нента e−At, t > 0, вводяться дробовi степенi оператора A для показникiв степеня α ∈ Ω, де
Ω :=
{
α > 0
∣
∣
∣
∣
∣
1
∫
0
sα−1H(s)ds < +∞
}
⋃
{1}.
Сформулюємо потрiбнi надалi властивостi експоненти та дробових степенiв, доведенi в [6],
у виглядi леми.
Лема 1. Нехай
K(t) := e−At, t > 0, i H(t) := 1
t
G
(
1
t
)
, t > 0.
Тодi:
1) ∃C0 > 0 ∀ t > 0: ‖K(t)‖ 6 C0H(t);
2) K ∈ C1((0, T ]) i ∀x ∈ D(A) : K(·)x ∈ C([0, T ]);
3) ∃C1 > 0 ∀ t > 0: ‖AK(t)‖ 6 C1t
−1H(t);
4) ∀α ∈ Ω0 ∃C2(α) ∀ s > 0: ‖A−αK(s)‖ 6 C2(α).
Визначимо варiацiю функцiї g : [a, b] → B на вiдрiзку [a, b] таким чином:
V (g, [a, b]) := sup
λ
n−1
∑
k=0
‖g(tk+1)− g(tk)‖,
де точна верхня межа береться за всiма розбиттями λ = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b}
вiдрiзка [a, b]. Якщо варiацiя скiнченна, то функцiю g називають функцiєю обмеженої ва-
рiацiї на вiдрiзку [a, b]. Клас усiх функцiй обмеженої варiацiї на вiдрiзку [a, b] зi значеннями
в просторi B позначають BV ([0, T ], B). Властивостi варiацiї функцiй зi значеннями в ба-
наховому просторi описанi в [7, c. 686]. Вiдмiтимо потрiбну нам в подальшому властивiсть
неперервностi варiацiї: функцiя F (t) = V (g, [a, t]), t ∈ [a, b], неперервна, якщо g ∈ C([a, b], B)
i V (g, [a, b]) < +∞.
Лема 2. Нехай f ∈ BV ([a, b], B)
⋂
C([a, b], B), g ∈ C1([a, b], L(B)). Тодi
∥
∥
∥
∥
∥
b
∫
a
g′(t)f(t)dt
∥
∥
∥
∥
∥
6 2(V (f, [a, b]) + ‖f(b)‖) · max
t∈[a,b]
‖g(t)‖.
Доведення. Нехай xkn = a + k(b − a)/n, k, n ∈ N. Тодi
b
∫
a
g′(t)f(t)dt =
n−1
∑
k=0
(g(xk+1n)− g(xkn))f(xkn) + o(1) =
=
n−1
∑
k=1
g(xkn)(f(xk−1n)− f(xkn)) + g(xnn)f(xn−1n)− g(x0n)f(x0n) + o(1) =
=
n−1
∑
k=1
g(xkn)(f(xk−1n)− f(xkn)) + (g(b) − g(a))f(b) + g(a)(f(b)− f(a)) + o(1),
n → +∞.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 25
Оцiнюючи норму суми та користуючись означенням варiацiї, отримуємо потрiбну не-
рiвнiсть.
Розв’язнiсть задачi Кошi. Введемо такi функцiональнi простори:
Y := {f ∈ C([0, T ], B) | ∃x ∈ C([0, T ], B) — розв’язок задачi Кошi (2)};
Y1 := {f ∈ C([0, T ], B) | ∃x ∈ C([0, T ], B)
⋂
C1((0, T ], B) — розв’язок задачi Кошi (2)};
Y2 := {f ∈ C([0, T ], B) | ∃x ∈ C1([0, T ], B) — розв’язок задачi Кошi (2)}.
Зауважимо, що
Y2 ⊂ Y1 ⊂ Y.
З теореми 1.27 i леми 1.28 з [1, c. 609], а також з теореми 3.2.2 з [3, с. 59] випливає, що
у випадку секторiального операторного коефiцiєнта
Cα ⊂ Y2, α ∈ (0, 1],
де Cα = Cα([0, T ]) — клас гельдерових функцiй на [0, T ] з показником α.
Мета даної роботи — побудувати ряд зручних для застосувань просторiв, що мiстяться
в просторах Y2, Y1 i Y для випадку G-секторiального операторного коефiцiєнта.
Визначимо класи функцiй
F1 : =
{
f ∈ C([0, T ], B) | ∀[a, b] ⊂ (0, T ] : sup
t∈[a,b]
∫ δ
0
H(s)
‖f(t− s)− f(t)‖
s
ds → 0, δ → 0+
}
,
F2 : =
{
f ∈ C([0, T ], B) | sup
t∈[δ,T ]
∫ δ
0
H(s)
‖f(t− s)− f(t)‖
s
ds → 0, δ → 0+
}
.
Зауважимо, що F2 ⊂ F1.
Теорема 1. Якщо f ∈ F1, то задача Кошi (2) має єдиний розв’язок
x(t) =
t
∫
0
K(t− s)f(s) ds, t ∈ (0, T ], (3)
похiдна якого неперервна на (0, T ], тобто F1 ⊂ Y1. Якщо f ∈ F2, то похiдна розв’язку (3)
додатково iснує та неперервна в нулi, тобто F2 ⊂ Y2.
Доведення. Нехай f ∈ F1. Покладемо x0(t) =
t
∫
0
K(s)f(t)ds = A−1(I − K(t))f(t), t ∈
∈ (0, T ]. Тодi
t
∫
0
(x(s)− x0(s)) ds =
t
∫
0
(
∫ s
0
K(s− u)f(u)du
)
ds−A−1
t
∫
0
(I −K(s))f(s) ds =
= A−1
t
∫
0
(I −K(t− s))f(s)ds−A−1
t
∫
0
(I −K(s))f(s) ds = A−1
t
∫
0
K(s)f(s)ds−
−A−1
t
∫
0
K(t− s)f(s) ds = A−1
t
∫
0
K(s)f(s) ds−A−1x(t), t ∈ (0, T ].
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Звiдси
x(t) =
t
∫
0
K(s)f(s) ds+A
t
∫
0
(x0(s)− x(s)) ds, t ∈ (0, T ]. (4)
На пiдставi п. 3 леми 1 i означення класу F1 маємо, що iнтеграл
t
∫
0
AK(s)(f(t− s)− f(t)) ds
рiвномiрно збiжний на кожному вiдрiзку всерединi (0, T ], отже, враховуючи рiвнiсть
x(t) = A−1
t
∫
0
AK(s)(f(t− s)− f(t)) ds + x0(t), t ∈ (0, T ],
отримуємо x(t) ∈ D(A), t ∈ (0, T ] i A(x−x0) ∈ C((0, T ]). Рiвнiсть (4) показує, що функцiя x
належить класу C1((0, T ]) i є розв’язком задачi Кошi (2).
У випадку f ∈ F2 iнтеграл
t
∫
0
AK(s)(f(t − s) − f(t)) ds неперервний на [0, T ], i x ∈
∈ C1([0, T ]).
Єдинiсть розв’язку для довiльної неперервної функцiї f доведена в [1, c. 602].
Визначимо для довiльного α ∈ Ω класи функцiй
W1,α := {f ∈ C([0, T ],D(Aα)) | ∀ δ ∈ (0, T ) : Aαf ∈ BV ([δ, T ], B)
⋂
C((0, T ], B)},
W2,α := {f ∈ C([0, T ],D(Aα)) |Aαf ∈ BV ([0, T ], B)
⋂
C((0, T ], B)}.
Теорема 2. Нехай α ∈ Ω0. Якщо f ∈ W1,α, то задача Кошi (2) має єдиний розв’я-
зок (3), похiдна якого неперервна на (0, T ], тобто W1,α ⊂ Y1. Якщо f ∈ W2,α, то похiдна
розв’язку (3) додатково iснує та неперервна в нулi, тобто W2,α ⊂ Y2.
Доведення. Нехай f ∈ W1,α. Користуючись лемою 2, отримуємо при 0 < a < b < t1 <
< t2 6 T :
∥
∥
∥
∥
∥
b
∫
a
AK(s)(f(t2 − s)− f(t2))ds −
b
∫
a
AK(s)(f(t1 − s)− f(t1))ds
∥
∥
∥
∥
∥
=
=
∥
∥
∥
∥
∥
b
∫
a
(A−αK)′(s)Aα(f(t2 − s)− f(t2)− f(t1 − s) + f(t1))ds
∥
∥
∥
∥
∥
6
6 2C2(α)(V (Aαf, [t2 − b, t2 − a]) + V (Aαf, [t1 − b, t1 − a]) +
+ ‖Aα(f(t2 − b)− f(t2))‖ + ‖Aα(f(t1 − b)− f(t1))‖) → 0
при b → 0+ рiвномiрно за t1, t2 з деякого вiдрiзка всерединi (0, T ]. Крiм того, якщо b
фiксоване, то, враховуючи неперервнiсть функцiї AK(s) = −K ′(s) при s > 0, маємо при
0 < b < t1 < t2 6 T
∥
∥
∥
∥
∥
t2
∫
b
AK(s)(f(t2 − s)− f(t2)) ds −
t1
∫
b
AK(s)(f(t1 − s)− f(t1)) ds
∥
∥
∥
∥
∥
→ 0, t2 − t1 → 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 27
Користуючись позначеннями з доведення леми 1, отримуємо, що функцiя
A(x(t)− x0(t)), t ∈ (0, T ],
неперервна на (0, T ], тому x(t) ∈ D(A), t ∈ (0, T ] i з (4) випливає, що x ∈ C1((0, T ]) —
розв’язок задачi Кошi (1).
За умови f ∈ W2,α аналогiчно отримуємо x ∈ C1([0, T ]).
Єдинiсть розв’язку для довiльної неперервної функцiї f доведена в [1, c. 602].
Таким чином, дослiджена задача Кошi для лiнiйного диференцiального рiвняння пер-
шого порядку з G-секторiальним операторним коефiцiєнтом. Доведенi достатнi умови iсну-
вання та єдиностi розв’язку цiєї задачi в термiнах оцiнки типу Дiнi та в термiнах функцiй
обмеженої варiацiї.
1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – Москва: Мир, 1972. – 740 с.
2. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. – New York:
Springer, 1983. – 279 p.
3. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. – Москва: Мир, 1985. –
376 с.
4. Goldstein J. A. Semigroups of linear operators and applications. – Oxford: Oxford University Press, 1985. –
245 p.
5. Чайковский А.В. О разрешимости абстрактной задачи Коши // Дифференц. уравнения. – 2010. –
46, № 5. – С. 756–760.
6. Городний М.Ф., Чайковский А.В. Об одном обобщении понятия секториального оператора // Мат.
сб. – 2006. – 197, № 7. – С. 29–46.
7. Шварц Л. Анализ. Т. 1. – Москва: Мир, 1972. – 825 с.
Надiйшло до редакцiї 02.06.2010Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
A.V. Chaikovskiy
On linear inhomogeneous differential equations with G-sectorial
operator coefficient
Linear differential equations of the first order with G-sectorial operator coefficient in the case of a
function which is not necessarily Hölder are considered. Several sufficient conditions of existence
and uniqueness of a solution of the Cauchy problem are found.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
|