Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства
Отримано метод узагальнення результатiв геометричної теорiї функцiй комплексного змiнного на багатовимiрнi комплекснi простору. Зокрема, в роботi наведенi аналоги двох вiдомих теорем теорiї однолистих функцiй....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37246 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства / А.К. Бахтин // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 7-11. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-37246 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-372462012-10-01T12:06:48Z Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства Бахтин, А.К. Математика Отримано метод узагальнення результатiв геометричної теорiї функцiй комплексного змiнного на багатовимiрнi комплекснi простору. Зокрема, в роботi наведенi аналоги двох вiдомих теорем теорiї однолистих функцiй. The method of generalization of results of the geometric theory of functions of complex variable to multidimensional complex spaces is proposed. In particular, the analogs of two known theorems of the theory of schlicht functions are presented. 2011 Article Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства / А.К. Бахтин // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 7-11. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37246 517.55 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Бахтин, А.К. Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства Доповіді НАН України |
| description |
Отримано метод узагальнення результатiв геометричної теорiї функцiй комплексного змiнного на багатовимiрнi комплекснi простору. Зокрема, в роботi наведенi аналоги двох вiдомих теорем теорiї однолистих функцiй. |
| format |
Article |
| author |
Бахтин, А.К. |
| author_facet |
Бахтин, А.К. |
| author_sort |
Бахтин, А.К. |
| title |
Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства |
| title_short |
Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства |
| title_full |
Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства |
| title_fullStr |
Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства |
| title_full_unstemmed |
Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства |
| title_sort |
обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37246 |
| citation_txt |
Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства / А.К. Бахтин // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 7-11. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak obobŝenienekotoryhrezulʹtatovteoriiodnolistnyhfunkcijnamnogomernyekompleksnyeprostranstva |
| first_indexed |
2025-07-03T18:59:50Z |
| last_indexed |
2025-07-03T18:59:50Z |
| _version_ |
1836653416381677568 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2011
МАТЕМАТИКА
УДК 517.55
© 2011
А.К. Бахтин
Обобщение некоторых результатов теории однолистных
функций на многомерные комплексные пространства
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
Отримано метод узагальнення результатiв геометричної теорiї функцiй комплексного
змiнного на багатовимiрнi комплекснi простору. Зокрема, в роботi наведенi аналоги двох
вiдомих теорем теорiї однолистих функцiй.
1. Пространство C
n. Пусть N, R, C — соответственно множества натуральных, веществен-
ных и комплексных чисел. Пусть C — сферa Римана (расширенная комплексная плоскость).
Как известно [1–3], комплексное пространство C
n является линейным векторным про-
странством над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением
(Z ·W) =
n∑
k=1
zkwk, (1)
где Z = {zk}nk=1 ∈ C
n, W = {wk}nk=1 ∈ C
n.
2. Алгебра C
n.
Определение 1. Бинарную операцию, действующую из C
n × C
n в C
n по правилу
Z ·W = {zkwk}nk=1, (2)
где Z = {zk}nk=1 ∈ C
n, W = {wk}nk=1 ∈ C
n, будем называть векторным умножением эле-
ментов C
n. Данная операция превращает C
n в коммутативную, ассоциативную алгебру [3]
с единицей 1 = (1, 1, . . . , 1)
︸ ︷︷ ︸
n-раз
∈ C
n.
Обратимыми относительно так определенной операции умножения являются те и только
те елементы Z = {zk}nk=1 ∈ C
n, у которых zk 6= 0 для всех k = 1, n.
Обратными для таких элементов Z ∈ C
n являются элементы Z
−1 = {z−1
k }nk=1 ∈ C
n,
так как Z · Z−1 = Z
−1 · Z = 1. Множество Θ всех элементов a = {ak}nk=1 ∈ C
n, у которых
хотя бы одна координата ak = 0, назовем множеством необратимых элементов a ∈ C
n.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 7
Множество Θ является идеалом в алгебре C
n. При n = 1 равенство (2) задает обычное
умножение комплексных чисел.
Хорошо известно (см., напр., [7, с. 138; 8, с. 345]), что операция умножения (2) позво-
ляет представить C
n как прямую сумму n экземпляров алгебры комплексных чисел C.
Структура векторного пространства C
n полностью согласуется со структурой алгебры C
n.
Дадим несколько определений, превращающих алгебру C
n в алгебру со свойствами,
аналогичными свойствам алгебры обычных комплексных чисел.
3. Сопряжение. В алгебре комплексных чисел C важную роль имеет понятие комп-
лексно сопряженного числа. Приведем аналогичный объект в алгебре C
n.
Определение 2. Каждому элементу W = {wk}nk=1 ∈ C
n поставим в соответствие век-
торно-сопряженный элемент W = {wk}nk=1 ∈ C
n, где wk обозначает число, комплексно
сопряженное wk в обычном смысле. Так определенное соответствие задает автоморфизм C
n,
оставляющий неподвижным подпространство R
n ⊂ C
n. При n = 1 векторно-сопряженное
число совпадает с комплексно сопряженным.
4. Модуль (векторный). В алгебре C одним из важнейших является понятие модуля
комплексного числа. Следующее определение дает аналог этого понятия в C
n. Пусть R
n
+ =
= R+ × R+ × · · · × R+, R+ = [0,+∞) (см. [2, с. 16]).
Определение 3. Векторным модулем произвольного элемента Z = {zk}nk=1 ∈ C
n будем
называть вектор |Z| := {|zk|}nk=1 ∈ R
n
+.
Операция перехода к векторному модулю определяет отображение C
n в R
n
+. Это отобра-
жение в комплексном анализе используется, в частности, для получения изображения Реин-
харта областей в C
n (см., напр., [2, с. 16]). Важно, что для произвольного Z = {zk}nk=1 ∈ C
n
справедливо равенство
Z · Z = |Z|2 = |Z|2. (3)
При n = 1 векторный модуль совпадает с обычным модулем комплексного числа, фор-
мула (3) совпадает с аналогичной формулой для комплексной плоскости C, определяемой
с помощью скалярного произведения (1).
5. Векторная норма.
Определение 4. Вектор X = {xk}nk=1 ∈ R
n будем называть неотрицательным (строго
положительным) и писать X > O (X > O), если xk > 0 для всех k = 1, n (xk > 0 хотя бы
для одного k = 1, n), O = (0, 0, . . . , 0)
︸ ︷︷ ︸
n-раз
.
Определение 5. Будем говорить, что вектор X = {xk}nk=1 ∈ R
n больше вектора Y =
= {yk}nk=1 ∈ R
n либо равен ему (строго больше), если X − Y > O (X − Y > O).
Данные определения при n = 1 совпадают с соответствующими определениями на ве-
щественной прямой. При n > 1 ситуация существенно отличается от случая n = 1, напри-
мер, вектор O = (0, 0, . . . , 0)
︸ ︷︷ ︸
n-раз
больше всех векторов, все координаты которых неположитель-
ны, либо равен им и меньше всех векторов из R
n
+ либо равен им. Остальные векторы R
n,
у которых координаты разных знаков с вектором O не сравнимы в смысле определений 4 и 5.
Определение 6. Векторное пространство Y будем называть векторно нормированным,
если каждому y ∈ Y сопоставлен неотрицательный вектор ‖y‖ ∈ R
n
+, n ∈ N, удовлетво-
ряющий условиям:
1) ‖y‖ > O, причем ‖y‖ = O ⇐⇒ y = 0Y (0Y — нуль пространства Y);
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
2) ‖γy‖ = |γ|‖y‖, ∀ y ∈ Y, ∀ γ ∈ C;
3) ‖y1 + y2‖ 6 ‖y1‖ + ‖y2‖, ∀ y1, y2 ∈ Y.
Аналогично можно ввести понятие векторной метрики. Введенное ранее понятие вектор-
ного модуля элемента Z ∈ C
n удовлетворяет определению 6. Таким образом, векторный
модуль является векторной нормой в алгебре C
n : ‖ · ‖ = | · |. Тогда открытым единичным
шаром в алгебре C
n является единичный открытый поликруг ‖z‖ < 1 (1 = (1, 1, . . . , 1)
︸ ︷︷ ︸
n-раз
),
а единичной сферой — n-мерный тор — T
n = {Z ∈ C
n : ‖Z‖ = 1}. Очень важно, что
а) |Z1 · Z2| = ‖Z1 · Z2‖ = ‖Z1‖‖Z2‖ = |Z1||Z2|, ∀Z1, Z2 ∈ C
n;
б) |1| = ‖1‖ = 1 (1 = (1, 1, . . . , 1)).
При n = 1 равенства а и б совпадают с аналогичными равенствами на комплексной
плоскости. Заметим, что для евклидовой нормы ‖ · ‖E , определяемой скалярным произве-
дением (1), справедливо равенство
‖1‖E =
√
n.
6. Векторный аргумент a ∈ C
n. В дальнейшем вектор (произвольный) пространства
(алгебры) C
n будем называть n-мерным комплексным числом. Таким образом, алгебра C
n
будет называться алгеброй n-мерных комплексных чисел.
Определение 7. Векторным аргументом n-мерного комплексного числа A = {ak}nk=1 ∈
∈ C
n \ Θ является n-мерный вещественный вектор, определяемый формулой
argA = {arg ak}nk=1, (4)
где arg ak есть главное значение аргумента, либо то, которое вытекает из конкретного
смысла задачи, в которой фигурирует n-мерное комплексное число A ∈ C
n.
7. Представление n-мерного комплексного числа в векторно-декартовой фор-
мe. Пусть Z = {zk}nk=1 ∈ C
n. Тогда
Z = {zk}nk=1 = {Re zk + i Im zk}nk=1 = {Re zk}nk=1 + {i Im zk}nk=1 =
= {Re zk}nk=1 + i{Im zk}nk=1 = ReZ+ i ImZ = X + iY =
= {xk}nk=1 + i{yk}nk=1 ∈ R
n + iRn,
где X = ReZ = {Re zk}nk=1 = {xk}nk=1, Y = ImZ = {Im zk}nk=1 = {yk}nk=1. То есть C
n =
= R
n + iRn.
8. Представление n-мерного комплексного числа в векторно-полярной форме.
Используя вышеприведенные определения, получим цепочку равенств:
Z= {zk}nk=1 = {|zk|eiαk}nk=1= {|zk|}nk=1{eiαk}nk=1= |Z|[cos argZ+ i sin argZ]= |Z|ei argZ,
где
cos β = {cos βk}nk=1, sin β = {sin βk}nk=1, exp iβ = {exp iβk}nk=1,
β = {βk}nk=1 ∈ R
n, Z = {zk}nk=1 ∈ C
n.
Аналогичным образом определяется отображение lnZ, Z = {zk}nk=1 ∈ C
n \ Θ
lnZ = ln |Z|+ i argZ = {ln |zk|+ i arg zk}nk=1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 9
Более того, для регулярной в областях (B1, B2, . . . , Bn), Bk ∈ C, k = 1, n, функции
F (z) комплексного переменного определим продолжение этой функции до голоморфного
отображения области B = B1 × B2 × · · · × Bn по следующему правилу
F(W) = {F (Wk)}nk=1, W = {wk}nk=1 ∈ B.
9. Компактификация C
n. По определению C
n = (C× C× · · · × C
︸ ︷︷ ︸
n-раз
). Рассмотрим ком-
пактификацию пространства C
n, далее так называемое пространство теории функций (см.,
напр., [1–3]) C
n
= (C× C× · · · × C)
︸ ︷︷ ︸
n-раз
. Ясно, что C
1 = C, C
1
= C. Бесконечными точками
C
n
являются те точки, у которых хотя бы одна координата бесконечна. Множество всех
бесконечных точек имеет комплексную размерность n − 1.
Топология в C
n
вводится как в декартовом произведении топологических пространств.
В этой топологии C
n
компактно (см. [1–3]).
10. Полицилиндрическая теорема Римана об отображении в C
n
. Область B ⊂ C
называется областью гиперболического типа, если ∂B (граница B) — связное множество,
содержащее более одной точки. Область B = B1 × B2 × · · · × Bn ⊂ C
n
, где каждая область
Bk ⊂ C, k = 1, n, является областью гиперболического типа, будем называть полицилинд-
рической областью гиперболического типа.
Непосредственно из классической теоремы Римана об отображении односвязной области
гиперболического типа на единичный круг (см. [6]) вытекает следующий результат.
Теорема Римана (полицилиндрическая). Любая полицилиндрическая область B ⊂ C
n
гиперболического типа биголоморфно эквивалентна единичному поликругу U
n = {W ∈
∈ C
n : ‖W‖ < 1}. Эту эквивалентность реализует семейство биголоморфных отображе-
ний, зависящее от 3 · n вещественных параметров.
Пусть B = B1 ×B2 × · · · ×Bn — область, указанная в теореме Римана, A = {ak}nk=1 ∈ B,
ak ∈ Bk, k = 1, n, и wk = fk(zk) — голоморфная в Bk функция, однолистно и конформно
отображающая область Bk, k = 1, n, на единичный круг |wk| < 1 так, что f(ak) = 0,
f ′(ak) > 0.
Тогда биголоморфное отображение FB(Z) = {fk(zk)}nk=1, F
′
B(Z) = {f ′
k}nk=1, удовлетворяет
условиям нормировки
FB(A) = O, F
′
B(A) = {f ′
k(ak)}nk=1 > O
и будет единственным таким отображением на единичный поликруг.
Итак, в алгебре C
n норма определена равенством ‖Z‖ := |Z|. Метрика (векторная) в C
n
задается обычным образом: ρ(Z1,Z2) = ‖Z1 − Z2‖. Назовем так определенные (векторные)
норму и метрику полицилиндрическими. Сходимость по полицилиндрической норме задает-
ся соотношением Zp −→
p→∞
0 ⇐⇒ ‖Zp‖ −→
p→∞
O = (0, 0, . . . , 0)
︸ ︷︷ ︸
n-раз
⇐⇒ |z(k)p | −→
n→∞
0∀k = 1, n.
Совершенно ясно, как можно определить векторный аналог скалярного произведения.
11. Приложения. В связи с полицилиндрической теоремой Римана об отображении
рассмотрим полицилиндрический аналог известного класса S из теории однолистных фун-
кций (см., напр., [6]).
Определение 9. Классом S
(n) назовем совокупность всех биголоморфных отображений
единичного поликруга U
n = {Z ∈ C
n : ‖Z‖ < 1} вида F(Z) = {fk(zk)}nk=1, где fk ∈ S,
k = 1, n, Z = {zk}nk=1 ∈ U
n.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Ясно, что для Z ∈ U
n
(r) := {‖Z‖ 6 r < 1}, r = {rk}nk=1, 0 < rk < 1, k = 1, n, равномерно
и абсолютно сходится ряд
F(Z) =
∞∑
k=1
AkZ
k =
∑
{a(k)k }nk=1{znk }nk=1 =
{
∑
a
(k)
k znk
}n
k=1
= {fk(zk)}nk=1.
Теорема 1. Для произвольного отображения F ∈ S
(n) справедливо неравенство
‖Z‖
(1 + ‖Z‖)2 6 ‖F(Z)‖ 6
‖Z‖
(1− ‖Z‖)2 ,
где ‖Z‖ = r = {|zk|}nk=1 = {|rk|} ∈ R
n
+, 0 6 rk < 1, k = 1, n.
Теорема 2. Для произвольного отображения F ∈ S
(n) справедливо неравенство
‖1− Z‖
(1 + ‖Z‖)3 6 ‖F′(Z)‖ 6
‖1 + Z‖
(1− ‖Z‖)3 ,
где ‖Z‖ = r = {|zk|}nk=1 = {|rk|} ∈ R
n
+, 0 6 rk < 1, k = 1, n.
1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. I. – Москва: Наука, 1976. – 320 с.
2. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. II. – Москва: Наука, 1976. – 400 с.
3. Фукс Б. В. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. – Москва:
Физматгиз, 1962. – 420 с.
4. Фукс Б. В. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. –
Москва: Физматгиз, 1963. – 428 с.
5. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. – Москва: Наука, 1985. – 272 с.
6. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
7. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – Москва: Наука, 1973. – 143 с.
8. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – Москва: Наука, 1976. – 648 с.
9. Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. – Москва: Наука,
1969. – 432 с.
10. Пешкичев Ю.А. Многомерный градиент и квазиконформные отображения // Вопросы метрической
теории отображений и ее применение. – Киев: Наук. думка, 1978. – С. 99–109.
Поступило в редакцию 05.08.2010Институт математики НАН Украины, Киев
A.K. Bakhtin
A generalization of some results of the theory of schlicht functions of
multidimensional complex spaces
The method of generalization of results of the geometric theory of functions of complex variable to
multidimensional complex spaces is proposed. In particular, the analogs of two known theorems of
the theory of schlicht functions are presented.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 11
|