Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова
Дослiджено гiстерезис залежностей напруження деформацiя в середовищах з трьома динамiчними рiвняннями стану Ляхова пiд дiєю перiодичних кусково-лiнiйних навантажень. Показано, що напрями вигину гiлок петлi гiстерезису зумовленi релаксацiйним характером рiвняння стану та нелiнiйними властивостями гра...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37258 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова / В.В. Кулiч // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 108-113. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-37258 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-372582012-10-01T12:07:21Z Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова Куліч, В.В. Науки про Землю Дослiджено гiстерезис залежностей напруження деформацiя в середовищах з трьома динамiчними рiвняннями стану Ляхова пiд дiєю перiодичних кусково-лiнiйних навантажень. Показано, що напрями вигину гiлок петлi гiстерезису зумовленi релаксацiйним характером рiвняння стану та нелiнiйними властивостями граничного рiвноважного рiвняння стану. Hysteresis of stress strain dependences is investigated in media with three Lyakhov’s dynamic equations of state under periodic piecewise linear loads. It is shown that the bending directions of branches of the hysteresis loop are due to the relaxing nature of the equation of state and nonlinear properties of the limit equilibrium equation of state. 2011 Article Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова / В.В. Кулiч // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 108-113. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37258 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Науки про Землю Науки про Землю |
| spellingShingle |
Науки про Землю Науки про Землю Куліч, В.В. Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова Доповіді НАН України |
| description |
Дослiджено гiстерезис залежностей напруження деформацiя в середовищах з трьома динамiчними рiвняннями стану Ляхова пiд дiєю перiодичних кусково-лiнiйних навантажень. Показано, що напрями вигину гiлок петлi гiстерезису зумовленi релаксацiйним характером рiвняння стану та нелiнiйними властивостями граничного рiвноважного рiвняння стану. |
| format |
Article |
| author |
Куліч, В.В. |
| author_facet |
Куліч, В.В. |
| author_sort |
Куліч, В.В. |
| title |
Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова |
| title_short |
Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова |
| title_full |
Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова |
| title_fullStr |
Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова |
| title_full_unstemmed |
Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова |
| title_sort |
гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах ляхова |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Науки про Землю |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37258 |
| citation_txt |
Гістерезис залежностей напруження—деформація в середовищах Ляхова / В.В. Кулiч // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 108-113. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kulíčvv gístereziszaležnostejnapružennâdeformacíâvseredoviŝahlâhova |
| first_indexed |
2025-07-03T19:00:32Z |
| last_indexed |
2025-07-03T19:00:32Z |
| _version_ |
1836653459987759104 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2011
В.В. Кулiч
Гiстерезис залежностей напруження—деформацiя
в середовищах Ляхова
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. А. Даниленком)
Дослiджено гiстерезис залежностей напруження—деформацiя в середовищах з трьома
динамiчними рiвняннями стану Ляхова пiд дiєю перiодичних кусково-лiнiйних наванта-
жень. Показано, що напрями вигину гiлок петлi гiстерезису зумовленi релаксацiйним
характером рiвняння стану та нелiнiйними властивостями граничного рiвноважного
рiвняння стану.
Властивостi рiвнянь стану визначають поведiнку однорiдних речовин у рiзних процесах.
Наприклад, збiльшення ентропiї в ударних хвилях забезпечується завдяки виконанню не-
рiвностi [1]:
(
∂2V
∂p2
)
s
> 0, (1)
де p — тиск; s — ентропiя; V — питомий об’єм. Ця нерiвнiсть не є термодинамiчним спiввiдно-
шенням, але практично завжди виконується. З умови (1) випливає неможливiсть iснування
точок перетину на ударних адiабатах.
Природнi середовища (наприклад, грунти й геоматерiали) є неоднорiдними та мають
внутрiшню мiкроструктуру. Їхня поведiнка в хвильових процесах має нерiвноважний ха-
рактер; спостерiгаються ефекти гiстерезису [2–5]. В експериментах знайдено механiчний
гiстерезис у залежностях напруження—деформацiя для пiсковикiв та вапнякiв пiд дiєю пе-
рiодичних кусково-лiнiйних навантажень [6]. При цьому як для процесу навантаження, так
i для процесу розвантаження виконується нерiвнiсть (1).
Для опису нерiвноважної поведiнки природних середовищ використовуються динамiч-
нi рiвняння стану [1–3, 7, 8], у тому числi рiвняння Ляхова з похiдними першого порядку
в часi [4, 5].
В роботi розглядається дiя перiодичних кусково-лiнiйних навантажень на середовища
Ляхова. Протокол навантажень для t > 0; n > 0 подається формулою
p = p0 + 2(pm − p0)
(
t
T
− n+ 1
)
, якщо (n− 1)T 6 t 6
(
n−
1
2
)
T,
p = p0 + 2(pm − p0)
(
n−
t
T
)
, якщо
(
n−
1
2
)
T 6 t 6 nT.
Тут pm — найбiльший тиск; p0 = 1 атм; t — час; T i n — величина перiоду та номер
прикладеного навантаження.
Гiстерезис у середовищi з лiнiйним динамiчним рiвнянням стану. Розглянемо
лiнiйне динамiчне рiвняння Ляхова [4]:
dε
dt
+ µε =
1
Eд
dσ
dt
+
µσ
Ec
. (2)
108 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Рис. 1. Утворення петлi гiстерезису в середовищi з лiнiйним динамiчним рiвнянням стану пiд дiєю перiо-
дичного кусково-лiнiйного навантаження за чотири перiоди.
Прямi лiнiї : заморожена (1 ) й рiвноважна (2 )
Тут ε — деформацiя; σ — напруження; µ — параметр в’язкостi; Eд i Ec — динамiчний
i статичний модулi стискання; ε = V/V0 − 1; σ = p0 − p; V0 = V (p0).
Динамiчне рiвняння стану (2) описує нерiвноважнi релаксацiйнi змiни деформацiї ε
в елементi середовища завдяки змiнам напруження σ. Цей процес характеризується дво-
ма граничними швидкостями звуку: замороженою c2f = V Eд та рiвноважною c2e = V Ec,
причому cf > ce, Eд > Ec.
Для нових змiнних p̃ = −σ; t̃ = µt; ε̃ = −ε маємо рiвняння
dε̃
dt̃
+ ε̃ =
1
Eд
dp̃
dt̃
+
p̃
Ec
. (3)
Пiсля вибору конкретного кусково-лiнiйного навантаження отримаємо для деформацiї
диференцiальне рiвняння першого порядку в часi. Це рiвняння розв’язується чисельно рiз-
ницевим методом з першим порядком точностi.
Для перiодичного кусково-лiнiйного навантаження з амплiтудою p̃m = 250 атм та перiо-
дом T̃ = 2 отримано петлю гiстерезису (позначено штриховою лiнiєю) в такiй залежностi
p(−ε), ∆p = p̃ як показано на рис. 1. Модулi стискання мали значення Eд = 1500 атм
та Ec = 400 атм, що характерно для пiску [4]. Стацiонарна петля гiстерезису формується на
третьому циклi навантажень. Рисунок iлюструє також прямi для повнiстю замороженого
та рiвноважного процесiв.
Вигин гiлки навантаження направлений уверх вiдносно вiсi деформацiй, а гiлки розван-
таження — у протилежний бiк.
Також було знайдено аналiтичний розв’язок рiвняння (3) для кусково-лiнiйного наван-
таження. Показано, що напрям вигину гiлок петлi гiстерезису на рис. 1 обумовлений релак-
сацiйним характером рiвняння стану, тобто Eд > Ec.
Гiстерезис в однорiдному в’язкопружному середовищi. Звернемося до нелiнiй-
ного динамiчного рiвняння стану, що описує поведiнку однорiдного в’язкопружного сере-
довища Ляхова [5]:
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 109
Рис. 2. Залежнiсть напруження вiд деформацiї в однорiдному в’язкопружному середовищi пiд дiєю перiо-
дичного кусково-лiнiйного навантаження.
Кривi : замороженого стану (1 ), в’язкопружного середовища (2 ) й рiвноважна (позначено штриховою лi-
нiєю)
dε
dt
=
dp
dt
dfD
dε
−
1
η
1−
dfS
dε
dfD
dε
(p− p0 − fS(ε)). (4)
В рiвняннi (4) η — коефiцiєнт об’ємної в’язкостi середовища.
Для граничних випадкiв рiвнянь статичної та динамiчної стисливостi середовища маємо
вiдповiдно
fS(ε) =
ρ0c
2
S
γS
[(ε+ 1)−γS
− 1]; fD(ε) = fS(ε) + kε; k < 0.
У випадку малих деформацiй пiсля замiни змiнних рiвняння (4) збiгається з рiвнянням (3),
причому для модулей стискання ES = ρ0c
2
S ; ED = ES − k.
Проаналiзуємо результати числового моделювання дiї перiодичного кусково-лiнiйного
навантаження на однорiдне в’язкопружне середовище. Параметри навантаження та рiв-
няння стану мали значення, при яких проявляється його нелiнiйнiсть: T = 2 с; p0 = 1 атм;
pm = 3 атм; ED = 2000 атм; ES = 1000 атм; γS = 1,4; η = 10000 атм · с.
Залежнiсть тиску вiд деформацiї в однорiдному в’язкопружному середовищi, на яку
дiє перiодичне кусково-лiнiйне навантаження, зображено кривою 2 на рис. 2. На початку
навантаження середовище змiнює свiй стан по замороженiй кривiй. З часом крива наван-
таження 2 вiдходить вiд замороженої кривої 1 та направлена опуклiстю вверх вiдносно
вiсi деформацiй. Зi збiльшенням тиску крива проходить через точку перетину та змiнює
напрям вигину. Крива розвантаження середовища направлена опуклiстю вниз вiдносно вiсi
деформацiй. Пiсля зняття навантаження в середовищах залишаються залишковi деформа-
цiї. На другому циклi навантаження формується стацiонарна петля гiстерезису, яка роз-
ташована поблизу рiвноважної кривої та має напрям вигину гiлок, як i на першому циклi
навантажень.
Гiстерезис у баротропному двокомпонентному середовищi з об’ємною в’яз-
кiстю. У цiй моделi Ляхова [5, 9] мiкросередовище складається з двох компонент, має один
110 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
тиск та швидкiсть, а його питомий об’єм V визначається за формулою:
V = k2V2 + k3V3, (5)
де V2, V3 — питомий об’єм; k2, k3 — масовий склад компонент.
Стискання другої компоненти пiдпорядковується динамiчному рiвнянню, яке враховує
швидкiсть деформування породи:
p = p2e −
η
V20
dV2
dt
. (6)
У цьому рiвняннi V20 = ρ−1
20
; ρ20 = 2,65 г/см3 — густина кварцу при атмосферному
тиску; p2e — рiвноважний тиск у другiй компонентi. Вiн визначається рiвнянням Тета, як
i тиск в третiй компонентi:
p = p0 +
ρi0c
2
i0
γ
((
ρi
ρi0
)γ
− 1
)
.
Тут γ = 4 — показник адiабати, вiн однаковий у середовищах, як i початкова густина
ρ20 = ρ30; початковi швидкостi звуку — c20 = 1 км/с; c30 = 10 км/с; масова частка компо-
нентiв — k2 = 0,2; k3 = 0,8.
Пiсля диференцiювання у часi рiвняння (5), використання виразу (6), замiни t1 =
V20k2t
η
та
dV3
dt
= −
V 2
3
c2
3
dp
dt
маємо динамiчне рiвняння стану Ляхова [5, 9]:
dV
dt1
= −k3
V 2
3
c2
3
dp
dt1
+ p2e − p. (7)
Диференцiальне рiвняння (7) є нелiнiйним, за структурою — схожим з рiвнянням (3).
Iснують заморожена та рiвноважна кривi для рiвняння стану (7). Формули для них у ди-
ференцiальнiй формi мають такий вигляд:
dVf = −k3
V 2
3
c2
3
dp; dVe = −
(
k2
V 2
2
c2
2
+ k3
V 2
3
c2
3
)
dp.
Для граничних швидкостей звуку виконується умова cf > ce.
Проведено числове моделювання дiї кусково-лiнiйного навантаження рiзної iнтенсивнос-
тi та амплiтуди на середовище з мiкроструктурою. Вважається, що в початковий момент
при атмосферному тиску V = V0 = Ve = Vf .
Графiки залежностей напруження вiд деформацiї при однаковому перiодi навантажен-
ня T1 = 0,2 та рiзних амплiтудах зображено на рис. 3, а–в. При амплiтудi pm = 0,1 ГПа
маємо гiстерезисну петлю з такими властивостями, як i в лiнiйнiй задачi на рис. 1. При
амплiтудi pm = 1 ГПа гiлка петлi гiстерезису, що вiдповiдає навантаженню, при тиску
p > 0,8 ГПа проходить через точку перетину та змiнює напрям вигину. Тепер вiн направ-
лений вниз до вiсi деформацiй. При амплiтудi pm = 10 ГПа проявляється повнiстю вплив
нелiнiйного рiвноважного рiвняння стану. Петля гiстерезису розташована поблизу рiвно-
важної кривої.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 111
Рис. 3. Залежностi напруження вiд деформацiї в мiкросередовищi у випадку, коли зовнiшнє навантаження
має однаковий перiод T1 = 0,2, але рiзнi амплiтуди.
Рiвноважна крива (позначено штриховою лiнiєю)
Таким чином, проведено дослiдження властивостей петель гiстерезису в залежностях
напруження—деформацiя для моделей Ляхова однорiдних та неоднорiдних середовищ з ди-
намiчними рiвняннями стану першого порядку у часi пiд дiєю перiодичних кусково-лiнiй-
них навантажень. Показано, що при малих амплiтудах навантаження напрями вигину гiлок
петлi гiстерезису протилежнi та зумовленi релаксацiйним характером рiвнянь стану. При
значних амплiтудах навантажень, якщо проявляється нелiнiйнiсть рiвняння стану, iз збiль-
шенням зовнiшнього навантаження гiстерезисна крива переходить через точку перетину та
змiнює напрям вигину. Напрям вигину гiлки гiстерезисної петлi, який вiдноситься до проце-
су розвантаження середовища, не змiнюється та вiдповiдає експериментальним даним для
пiсковикiв та вапнякiв.
112 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Б.Б. Гидродинамика. – Москва: Наука, 1986. – 733 с.
2. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. – Москва: Госстройиздат,
1960. – 131 с.
3. Даниленко В.А., Даневич Т. Б., Скуратiвський С. I. Нелiнiйнi математичнi моделi середовищ з часо-
вою та просторовою нелокальностями. – Київ: Iн-т геофiзики iм. С. I. Субботiна НАН України, 2008. –
86 с.
4. Ляхов Г.М. Основы динамики взрывных волн в грунтах и горных породах. – Москва: Недра, 1974. –
192 с.
5. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. – Москва: Наука, 1982. – 288 с.
6. Darling T.W., TenCate J. A., Brouwn D.W. et al. Neutron diffraction study of the contribution of grain
contacts to nonlinear stress-strain behavior // Geophys. Res. Lett. – 2004. – 31. – L16604.
7. Буевич Ю.А., Ясников Г.П. Релаксационные методы в исследованиях процессов переноса // Инж.-
физ. журн. – 1983. – 44, № 3. – С. 489–504.
8. Владимиров В.А., Даниленко В.А., Королевич В.Ю. Нелинейные модели многокомпонентных релак-
сирующих сред. Динамика волновых структур и качественный анализ. Ч. 1. – Киев, 1990. – 40 с. –
(Препр. / АН УССР. Ин-т геофизики им. С.И. Субботина).
9. Вахненко В.А., Даниленко В.А., Кулич В.В. Асимптотическое обоснование модели многокомпонент-
ных сред Ляхова // Физика горения и взрыва. – 1996. – 32, № 2. – С. 68–73.
Надiйшло до редакцiї 07.07.2010Iнститут геофiзики iм. С. I. Субботiна
НАН України, Київ
V.V. Kulich
Hysteresis of stress—strain dependences in Lyakhov’s media
Hysteresis of stress—strain dependences is investigated in media with three Lyakhov’s dynamic
equations of state under periodic piecewise linear loads. It is shown that the bending directions of
branches of the hysteresis loop are due to the relaxing nature of the equation of state and nonlinear
properties of the limit equilibrium equation of state.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 113
|