Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром
Дослiджується напружений стан елiптичних порожнистих тришаруватих цилiндрiв з трансверсально-iзотропним середнiм шаром симетричної та несиметричної будови на основi методу апроксимацiї функцiй дискретними рядами Фур’є. Наводиться розподiл полiв перемiщень та напружень....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37265 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром / Я.М. Григоренко, Л.С. Рожок // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 57-62. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-37265 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-372652012-10-01T12:07:16Z Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. Механіка Дослiджується напружений стан елiптичних порожнистих тришаруватих цилiндрiв з трансверсально-iзотропним середнiм шаром симетричної та несиметричної будови на основi методу апроксимацiї функцiй дискретними рядами Фур’є. Наводиться розподiл полiв перемiщень та напружень. The paper analyzes the stressed state of elliptic hollow three-layer cylinders with transversally isotropic middle layer of a symmetric or asymmetric structure on the basis of the function approximation method with discrete Fourier series. The fields of stresses and deformations are presented. 2011 Article Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром / Я.М. Григоренко, Л.С. Рожок // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 57-62. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37265 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром Доповіді НАН України |
| description |
Дослiджується напружений стан елiптичних порожнистих тришаруватих цилiндрiв з трансверсально-iзотропним середнiм шаром симетричної та несиметричної будови на основi методу апроксимацiї функцiй дискретними рядами Фур’є. Наводиться розподiл полiв перемiщень та напружень. |
| format |
Article |
| author |
Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. |
| author_facet |
Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. |
| author_sort |
Григоренко, Я.М. |
| title |
Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром |
| title_short |
Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром |
| title_full |
Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром |
| title_fullStr |
Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром |
| title_full_unstemmed |
Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром |
| title_sort |
рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37265 |
| citation_txt |
Рівновага еліптичних порожнистих тришаруватих циліндрів з трансверсально-ізотропним середнім шаром / Я.М. Григоренко, Л.С. Рожок // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 57-62. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT grigorenkoâm rívnovagaelíptičnihporožnistihtrišaruvatihcilíndrívztransversalʹnoízotropnimserednímšarom AT rožokls rívnovagaelíptičnihporožnistihtrišaruvatihcilíndrívztransversalʹnoízotropnimserednímšarom |
| first_indexed |
2025-07-03T19:00:56Z |
| last_indexed |
2025-07-03T19:00:56Z |
| _version_ |
1836653485334986752 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2011
Академiк НАН України Я.М. Григоренко, Л. С. Рожок
Рiвновага елiптичних порожнистих тришаруватих
цилiндрiв з трансверсально-iзотропним середнiм шаром
Дослiджується напружений стан елiптичних порожнистих тришаруватих цилiндрiв
з трансверсально-iзотропним середнiм шаром симетричної та несиметричної будови на
основi методу апроксимацiї функцiй дискретними рядами Фур’є. Наводиться розподiл
полiв перемiщень та напружень.
У роботi [1] наведено розв’язання задачi i виконано дослiдження напруженого стану не-
однорiдних по товщинi елiптичних цилiндрiв з iзотропними шарами залежно вiд степеня
їх елiптичностi та жорсткостi середнього шару. В роботi [2] розглянуто задачу про напру-
жений стан елiптичних порожнистих неоднорiдних тришаруватих цилiндрiв з iзотропними
шарами та ортотропним середнiм шаром симетричної будови при дiї рiвномiрно розподiле-
ного навантаження, прикладеного на зовнiшнiй поверхнi. Нижче проводиться дослiдження
напруженого стану тришаруватих порожнистих елiптичних цилiндрiв з трансверсально-iзо-
тропним середнiм шаром, що знаходяться пiд дiєю рiвномiрно розподiленого навантаження,
прикладеного на зовнiшнiй поверхнi при певних граничних умовах на торцях, симетричної
та несиметричної будови.
Даний клас задач розглянуто в просторовiй постановцi. За вихiднi приймаються основнi
рiвняння теорiї пружностi для трансверсально-iзотропного тiла [3]. Сформулювавши вiдпо-
вiднi граничнi умови на обмежуючих поверхнях, одержимо тривимiрну крайову задачу [4],
для розв’язування якої застосовується метод апроксимацiї функцiй дискретними рядами
Фур’є [5].
На торцях цилiндра розглядаються умови типу простого опирання
σs = 0, uθ = 0, uγ = 0 при s = 0, s = l. (1)
Оскiльки беруться до уваги шаруватi цилiндри, то мають мiсце умови спряження шарiв
σiγ = σi+1
γ ; τ isγ = τ i+1
sγ ; τ iθγ = τ i+1
θγ ;
uiγ = ui+1
γ ; uis = ui+1
s ; uiθ = ui+1
θ (i = 1, 2, . . . , T − 1).
(2)
На бiчних поверхнях граничнi умови мають вигляд
σγ = 0; τsγ = 0; τθγ = 0 при γ = γ1; (3)
σγ = qγ ; τsγ = 0; τθγ = 0 при γ = γ2. (4)
За розв’язувальнi функцiї приймаються компоненти напруження i перемiщення, в яких
формулюються умови спряження шарiв i граничнi умови на бiчних поверхнях σγ , τsγ , τθγ ,
uγ , us, uθ [1]. Граничнi умови на торцях цилiндра дозволяють вiдокремити змiннi в напрям-
ку твiрної шляхом подання розв’язувальних функцiй та компонент навантаження у виглядi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 57
розвинень в ряди Фур’є вздовж твiрної. Для вiдокремлення змiнних у напрямку напрям-
ної цилiндра в розв’язувальнiй системi диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних зi
змiнними коефiцiєнтами вiдносно амплiтудних значень рядiв Фур’є вздовж твiрної замi-
нюються доповнювальними функцiями добутки розв’язувальних функцiй на коефiцiєнти,
що перешкоджають даному вiдокремленню. Отримана таким чином розв’язувальна система
рiвнянь формально не буде мiстити в собi членiв, що не дозволяють вiдокремити змiннi в на-
прямку напрямної цилiндра. Подаючи далi розв’язувальнi, доповняльнi функцiї, а також
компоненти навантаження у виглядi розвинень в ряди Фур’є вздовж напрямної цилiндра,
приходимо до системи звичайних диференцiальних рiвнянь
dσγ,k
dγ
= (c2 − 1)ϕ1
1,k + λnτsγ,k − ϕ1
4,k + b22ϕ
5
1,k − b12λnϕ
4
1,k + b22ϕ
3
4,k;
dτsγ,k
dγ
= −c1λnσγ,k − ϕ2
1,k − b12λnϕ
3
1,k + b11λ
2
nus,k − b66ϕ6,k − (b12 + b66)λnϕ
2
4,k;
dτθγ,k
dγ
= −c2ϕ
1
3,k − 2ϕ1
2,k − b22ϕ5,k + (b12 + b66)λnϕ
3
3,k − b22ϕ7,k + b66λ
2
nuθ,k;
duγ,k
dγ
= c4σγ,k − c2ϕ
2
4,k + c1λnus,k − c2ϕ
3
1,k;
dus,k
dγ
= a44τsγ,k − λnuγ,k;
duθ,k
dγ
= a44τψγ,k − ϕ2
3,k + ϕ2
2,k (k = 0,K)
(5)
з граничними умовами
σγ,k = 0; τsγ = 0; τθγ,k = 0 при γ = γ1;
σγ,k = qγ,k; τsγ,k = 0; τθγ,k = 0 при γ = γ2,
(6)
де
bi11 =
ai11a
i
66
Ωi
; bi12 = −
ai12a
i
66
Ωi
; bi22 =
ai11a
i
66
Ωi
;
bi66 =
ai211 − ai212
Ωi
; Ωi = (ai211 − ai212)a
i
66;
ci1 = −(bi11a
i
13 + bi12a
i
23); ci2 = −(bi12a
i
13 + bi22a
i
23); ci4 = ai33 + ci1a
i
13 + ci2a
i
23;
(7)
ai11 =
1
Ei′
; ai12 = −
νi
Ei′
; ai13 = −
νi
′
Ei
; ai33 =
1
Ei
; ai44 =
1
Gi′
;
ai22 = ai11; ai23 = ai13; ai55 = ai44; ai66 =
1
Gi
.
(8)
Отримана крайова задача (5), (6) розв’язується стiйким чисельним методом дискре-
тної ортогоналiзацiї. Оскiльки, внаслiдок введення доповнювальних функцiй ϕjl,k (j = 1, 5;
l = 1, 7; k = 0,K), кiлькiсть невiдомих перевищує кiлькiсть рiвнянь в системi (5), то в про-
цесi iнтегрування на кожному кроцi застосування чисельного методу значення амплiтуд
доповнювальних функцiй визначаються за допомогою процедури знаходження коефiцiєн-
тiв Фур’є для функцiй, заданих на дискретнiй множинi точок [6].
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Рис. 1. Варiанти розташування шарiв 1–3 по товщинi цилiндра
Рис. 2. Розподiл перемiщень uγ по товщинi цилiндра
Задачу розв’язано за таких умов: R = 40; l = 60; ∆ = 0; 0, 1; 0, 2; 0, 3; загальна товщина
цилiндра H = 8; товщина несучих шарiв h1 = 3; 1, h3 = 1; 3; товщина середнього шару
h2 = 4; зовнiшнiй та внутрiшнiй шари виготовленi з iзотропного матерiалу з механiчними
параметрами E та ν = 0,3; середнiй шар виготовлений з трансверсально–iзотропного ма-
терiалу з механiчними параметрами E′ = 0,2E; ν ′ = 0,6; G′ = 0,1E. На рис. 1 показано
варiанти розташування шарiв по товщинi цилiндра.
На рис. 2–4 наведено результати розв’язання задачi в середньому перерiзi по довжинi
цилiндра для s = 0,5l. Штриховою лiнiєю показанi кривi розподiлу перемiщень i напружень
для варiанта 1 розташування шарiв, суцiльною — для варiанта 2, симетричного, i штрих-
пунктирною — для варiанта 3.
На рис. 2 наведено розподiл перемiщень uγ по товщинi цилiндра залежно вiд степеня
елiптичностi цилiндра ∆ у вершинi бiльшої напiвосi цилiндра в перерiзi θ = 0 (рис. 2, а) та
в околi меншої напiвосi в перерiзi θ = π/2 (рис. 2, б ).
Зi збiльшенням степеня елiптичностi змiнюється характер розподiлу полiв перемiщень
залежно вiд розташування середнього трансверсально-iзотропного шару.
Так, з рис. 2, а видно, що в околi бiльшої напiвосi елiпса для другого симетричного
варiанта розташування середнього шару перемiщення для ∆ = 0,1 на зовнiшнiй поверхнi
зменшуються у 2,8 раза, змiнюючи свiй знак на протилежний, порiвняно з перемiщення-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 59
Рис. 3. Розподiл напружень σθ по товщини цилiндра
ми на внутрiшнiй поверхнi. Для першого варiанта розташування середнього шару напру-
ження зменшуються в 1,7 раза, а для третього — у 14 разiв. Для цилiндрiв iз степенем
елiптичностi ∆ = 0,3 напруження збiльшуються за абсолютною величиною в 1,3 раза для
варiанта 2 i у 1,8 раза — для варiанта 3. Для варiанта 1 перемiщення практично не змi-
нюються.
В зонi меншої напiвосi цилiндра (див. рис. 2, б ) при збiльшеннi степеня елiптичностi
збiльшуються значення перемiщень, при цьому положення середнього шару призводить до
зменшення величини перемiщень приблизно в 1,4–1,2 раза для варiанта 1 i до збiльшення
величини перемiщень в 1,1–1,3 раза для 3, порiвняно з варiантом 2.
На рис. 3 наведено розподiл полiв напружень σθ по товщинi цилiндрiв залежно вiд
степеня елiптичностi цилiндра ∆ у вершинi бiльшої напiвосi цилiндра в перерiзi θ = 0
(рис. 3, а) та в околi меншої напiвосi в перерiзi θ = π/2 (рис. 3, б ).
З рис. 3, а видно, що в зонi бiльшої жорсткостi цилiндра вплив положення середнього
шару вiдчувається в середньому перерiзi по товщинi. Так, для ∆ = 0,1 напруження змен-
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Рис. 4. Розподiл напружень σs по товщинi цилiндра
шуються в 3 i збiльшуються в 1,8 раза для 1 i 3 варiантiв порiвняно з 2, для ∆ = 0,2 —
у 2,3 та в 2,8 i для ∆ = 0,3 в 1,7 та 2,8 раза вiдповiдно.
На рис. 3, б показанi поля напружень в зонi меншої жорсткостi цилiндра.
Рис. 4 iлюструє розподiл полiв напружень σs по товщинi цилiндрiв залежно вiд степеня
елiптичностi цилiндра ∆ у вершинi бiльшої напiвосi цилiндра в перерiзi θ = 0 (рис. 4, а) та
в околi меншої напiвосi в перерiзi θ = π/2 (рис. 4, б ).
Таким чином, запропоновану методику можна застосовувати при дослiдженнi напруже-
ного стану некругових порожнистих шаруватих цилiндрiв подiбного типу.
1. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. Напряженное состояние полых слоистых неоднородных эллиптичес-
ких цилиндров при поверхностной нагрузке // Прикл. механика. – 2002. – 38, № 9. – С. 87–96.
2. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. Застосування дискретних рядiв Фур’є до розв’язання крайових задач
статики пружних тiл неканонiчної форми // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2005. – 48, № 2. –
С. 79–100.
3. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – Москва: Наука, 1977. – 415 с.
4. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. Об одном подходе к решению задач о напряженном состоянии некру-
говых полых цилиндров // Прикл. механика. – 2002. – 38, № 5. – С. 61–71.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 61
5. Григоренко Я.М. Решение краевых задач о напряженном состоянии упругих тел сложной геометрии
и структуры с применением дискретных рядов Фурье // Там же. – 2009. – 45, № 5. – С. 3–52.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. – Москва: Наука,
1949. – 783 с.
Надiйшло до редакцiї 21.05.2010Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Academician of the NAS of Ukraine Ya. M. Grigorenko, L. S. Rozhok
Equilibrium of elliptical hollow three-layer cylinders with transversally
isotropic middle layer
The paper analyzes the stressed state of elliptic hollow three-layer cylinders with transversally
isotropic middle layer of a symmetric or asymmetric structure on the basis of the function approxi-
mation method with discrete Fourier series. The fields of stresses and deformations are presented.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
|