Квантове узагальнене кінетичне рівняння

Для початкових станів квантових багаточастинкових систем, які визначаються одночастинковим оператором густини, в просторі послідовностей ядерних операторів встановлено еквівалентність задачі Коші для квантової ієрархії ББГКІ та задачі Коші для узагальненого квантового кінетичного рівняння і послідов...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Герасименко, В.І., Цвір, Ж.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2011
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37369
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Квантове узагальнене кінетичне рівняння / В. I. Герасименко, Ж.А. Цвiр // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 24-29. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-37369
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-373692012-10-10T12:05:04Z Квантове узагальнене кінетичне рівняння Герасименко, В.І. Цвір, Ж.А. Математика Для початкових станів квантових багаточастинкових систем, які визначаються одночастинковим оператором густини, в просторі послідовностей ядерних операторів встановлено еквівалентність задачі Коші для квантової ієрархії ББГКІ та задачі Коші для узагальненого квантового кінетичного рівняння і послідовності явно визначених функціоналів від розв'язку цього узагальненого кінетичного рівняння. For initial states of quantum many-particle systems which are given in terms of a one-particle density operator, the equivalence of the Cauchy problem of the quantum BBGKY hierarchy, the Cauchy problem of the generalized quantum kinetic equation, and a sequence of explicitly defined functionals of a solution of this generalized kinetic equation is established in the space of sequences of trace class operators. 2011 Article Квантове узагальнене кінетичне рівняння / В. I. Герасименко, Ж.А. Цвiр // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 24-29. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37369 517.9+531.19+530.145 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Герасименко, В.І. Цвір, Ж.А. Квантове узагальнене кінетичне рівняння Доповіді НАН України
description	Для початкових станів квантових багаточастинкових систем, які визначаються одночастинковим оператором густини, в просторі послідовностей ядерних операторів встановлено еквівалентність задачі Коші для квантової ієрархії ББГКІ та задачі Коші для узагальненого квантового кінетичного рівняння і послідовності явно визначених функціоналів від розв'язку цього узагальненого кінетичного рівняння.
format	Article
author	Герасименко, В.І. Цвір, Ж.А.
author_facet	Герасименко, В.І. Цвір, Ж.А.
author_sort	Герасименко, В.І.
title	Квантове узагальнене кінетичне рівняння
title_short	Квантове узагальнене кінетичне рівняння
title_full	Квантове узагальнене кінетичне рівняння
title_fullStr	Квантове узагальнене кінетичне рівняння
title_full_unstemmed	Квантове узагальнене кінетичне рівняння
title_sort	квантове узагальнене кінетичне рівняння
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37369
citation_txt	Квантове узагальнене кінетичне рівняння / В. I. Герасименко, Ж.А. Цвiр // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 24-29. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT gerasimenkoví kvantoveuzagalʹnenekínetičnerívnânnâ AT cvírža kvantoveuzagalʹnenekínetičnerívnânnâ
first_indexed	2025-07-03T19:06:38Z
last_indexed	2025-07-03T19:06:38Z
_version_	1836653843318833152
fulltext	УДК 517.9+531.19+530.145 © 2011 В. I. Герасименко, Ж.А. Цвiр Квантове узагальнене кiнетичне рiвняння (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) Для початкових станiв квантових багаточастинкових систем, якi визначаються одно- частинковим оператором густини, в просторi послiдовностей ядерних операторiв вста- новлено еквiвалентнiсть задачi Кошi для квантової iєрархiї ББГКI та задачi Кошi для узагальненого квантового кiнетичного рiвняння i послiдовностi явно визначених функ- цiоналiв вiд розв’язку цього узагальненого кiнетичного рiвняння. Одна з вiдкритих проблем сучасної кiнетичної теорiї полягає в строгому виводi кванто- вих кiнетичних рiвнянь з динамiки багаточастинкових квантових систем [1–4]. Зокрема, актуальною проблемою є математичне обгрунтування кiнетичних рiвнянь квантових сис- тем частинок в конденсованому станi, наприклад, нелiнiйного рiвняння Шредiнгера та рiв- няння Гроса–Пiтаєвського [5, 6]. При кiнетичному описi еволюцiї багаточастинкових квантових систем стан характери- зується одночастинковим оператором густини (ядро цього оператора вiдоме як матриця густини) [7–9], який є розв’язком початкової задачi для нелiнiйного кiнетичного рiвнян- ня. В загальному випадку всi можливi стани квантових систем частинок характеризуються послiдовнiстю маргiнальних операторiв густини, яка є розв’язком початкової задачi для iєрархiї рiвнянь ББГКI [9]. З цiєю обставиною пов’язана iнтерпретацiя кiнетичних рiвнянь, як рiвнянь, якими описуються асимптотики розв’язку iєрархiї рiвнянь ББГКI, наприклад, в скейлiнгових границях [3]. Такий пiдхiд до строгого обгрунтування кiнетичних рiвнянь бере свої витоки на основi методiв теорiї збурень з праць М.М. Боголюбова, для квантових систем — з роботи [10], i пiзнiше для класичних систем — з робiт [11, 12]. Мета даної роботи полягає в дослiдженнi проблеми строгого опису еволюцiї стану багато- частинкових квантових систем в термiнах одночастинкового оператора густини. На основi кiнетичних кластерних розкладiв кумулянтiв груп операторiв рiвнянь Неймана для по- чаткових станiв систем частинок, якi визначаються одночастинковим оператором густини, в просторi послiдовностей ядерних операторiв доведено еквiвалентнiсть задачi Кошi для квантової iєрархiї ББГКI та задачi Кошi для узагальненого квантового кiнетичного рiвнян- ня i послiдовностi явно визначених функцiоналiв вiд розв’язку цього узагальненого кiне- тичного рiвняння. Таким чином, у роботi встановлено, що всi можливi стани нескiнченних квантових систем частинок у довiльний момент часу можуть бути описанi одночастинковим оператором густини без будь-якої апроксимацiї. Розглянемо квантову систему не фiксованого, тобто довiльного, але скiнченного числа однакових (безспiнових) частинок з одиничною масою m = 1 у просторi Rν , ν > 1, якi за- довольняють статистику Максвелла–Больцмана. Гамiльтонiаном H = ∞⊕ n=0 Hn такої системи є самоспряжений оператор (H0 = 0) з областю визначення D(H) = { ψ = ⊕ ψn ∈ FH \| ψn ∈ ∈ D(Hn) ∈ Hn, ∑ n ‖Hnψn‖2 <∞ } ⊂ FH, де FH = ∞⊕ n=0 H⊗n — фокiвський простiр, що визна- 24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4 чений над гiльбертовим простором H та H⊗0 = C. Нехай H = L2(Rν)(координатне зобра- ження), тодi елемент з цього простору ψ ∈ FH = ∞⊕ n=0 L2(Rνn) — це послiдовнiсть функцiй, ψ = (ψ0, ψ1(q1), . . . , ψn(q1, . . . , qn), . . .) таких, що ‖ψ‖2 = \|ψ0\|2 + ∞∑ n=1 ∫ dq1 · · · dqn\|ψn(q1, . . ., qn)\|2 < +∞. На пiдпросторi нескiнченно диференцiйовних функцiй з компактними носiями ψn ∈ L2 0(R νn) ⊂ L2(Rνn) оператор Hn, n > 1, дiє за формулою Hnψn = −~ 2 2 n∑ i=1 ∆qiψn + n∑ i1<i2=1 Φ(qi1 , qi2)ψn, (1) де функцiя Φ — парний потенцiал взаємодiї, що задовольняє умови Като [8], h = 2π~ — стала Планка. Стани системи частинок, якi задовольняють статистику Максвелла–Больцмана, нале- жать простору L 1(FH) = ∞⊕ n=0 L 1(Hn) послiдовностей f = (f0, f1, . . . , fn, . . .) ядерних опера- торiв fn ≡ fn(1, . . . , n) ∈ L 1(Hn) та f0 ∈ C, що задовольняють умову симетрiї: fn(1, . . . , n) = = fn(i1, . . . , in) для довiльних (i1, . . . , in) ∈ (1, . . . , n), з нормою ‖f‖L1(FH) = ∞∑ n=0 ‖fn‖L1(Hn) = ∞∑ n=0 Tr1,...,n\|fn(1, . . . , n)\|, де Tr1,...,n — частиннi слiди [8]. Позначимо L 1 0(FH) = ∞⊕ n=0 L 1 0(Hn) ⊂ L 1(FH) — пiдпростiр фiнiтних послiдовностей вироджених операторiв з нескiнченно диференцiйовними ядрами з компактними носiями. Еволюцiя станiв описується послiдовнiстю F (t) = (F1(t, 1), . . . , Fs(t, 1, . . . , s), . . .) мар- гiнальних операторiв густини, що задовольняють квантову iєрархiю ББГКI (ланцюжок квантових рiвнянь Боголюбова [7]) d dt Fs(t, Y ) = −Ns(Y )Fs(t, Y ) + s∑ i=1 Trs+1(−Nint(i, s + 1))Fs+1(t, Y, s + 1), Fs(t)\|t=0 = F 0 s , s > 1, (2) де Y ≡ (1, . . . , s), та оператори Ns, Nint визначаються в пiдпросторi L1 0(Hs) такими фор- мулами: Nsfs . = − i ~ (fsHs −Hsfs), Nint(i, j)fs . = − i ~ (fsΦ(i, j) − Φ(i, j)fs). Надалi будемо розглядати початковий стан системи, який описується одночастинковим оператором густини, а саме початковi данi, що задовольняють умову “хаосу”, тобто стан без кореляцiй мiж частинками. Для системи тотожних частинок, що задовольняють статистику Максвелла–Больцмана, маємо F (t)\|t=0 = F (c) ≡ ( I, F 0 1 (1), . . . , s∏ i=1 F 0 1 (i), . . . ) . (3) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 25 Початковi данi (3) — типовий приклад стану багаточастинкових систем при кiнетичному описi квантових газiв, оскiльки в цьому випадку стан характеризується одночастинковим оператором густини. Зазначимо, що для початкових даних з простору L 1(H) середнє число частинок є скiнченною величиною. Для опису еволюцiї нескiнченночастинкових систем [9] необхiдно будувати розв’язки в бiльш загальних банахових просторах. Розв’язок задачi Кошi для квантової iєрархiї ББГКI (2) з початковими даними (3) ви- значається такими розкладами [13]: Fs(t, Y ) = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+nA1+n(t, {Y },X \ Y ) s+n∏ i=1 F 0 1 (i), s > 1, (4) де еволюцiйний оператор A1+n(t) — кумулянт (1 + n)-порядку, n > 0, A1+n(t, {Y },X \ Y ) . = ∑ P: ({Y },X\Y )= ⋃ i Xi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)! ∏ Xi⊂P G\|Xi\|(−t,Xi), (5) груп операторiв Gn(−t), n > 1, якими визначається розв’язок рiвнянь Неймана [8], Gn(−t)fn . = e− i ~ tHnfne i ~ tHn , fn ∈ L 1(Hn), (6) i використано такi позначення: X \ Y ≡ (s+ 1, . . . , s+ n), {Y } — множина, що складається з одного елемента, яким є множина Y = (1, . . . , s), тобто \|{Y }\| = 1, та ∑ P: ({Y },X\Y )= ⋃ i Xi — сума за всiма можливими розбиттями P множини ({Y },X \ Y ) на \|P\| > 1 непорожнiх пiдмножин Xi ⊂ ({Y },X \ Y ), що взаємно не перетинаються [4]. Для F 0 1 ∈ L 1(H1) ряд (4) збiгається за нормою простору L 1(Hs) для довiльного t ∈ R 1, якщо ‖F 0 1 ‖L1(H1) < e−1 [13]. Оскiльки початковi данi (3) цiлком визначаються одночастинковим оператором густини F 0 1 , а саме F (c) = ( I, F 0 1 (1), . . . , s∏ i=1 F 0 1 (i), . . . ) , тобто початковi данi для кожного невiдомого оператора густини Fs(t, 1, . . . , s), s > 1, iєрархiї рiвнянь (2) не є незалежними, то природно задачу Кошi для квантової iєрархiї ББГКI (2), (3) переформулювати як нову задачу Кошi для одночастинкового оператора густини F1(t) для незалежних початкових даних F 0 1 та послiдовностi функцiоналiв Fs(t, 1, . . . , s \| F1(t)), s > 2, вiд F1(t) замiсть маргiнальних операторiв густини (4) для s > 2. Для побудови функцiоналiв Fs(t, 1, . . . , s \| F1(t)), s > 2, кумулянти (5) груп операто- рiв (6) у розв’язку (4) задачi Кошi для квантової iєрархiї ББГКI для s > 2 подано у формi таких кластерних розкладiв (кiнетичнi кластернi розклади) за новими еволюцiйними опе- раторами V1+n(t), n > 0: Â1+n(t, {Y }, s+ 1, . . . , s+ n) = n∑ n1=0 n! (n− n1)! V1+n−n1 (t, {Y }, s + 1, . . . , s+ n− n1)× × ∑ D:Z= ⋃ l Xl 1 \|D\|! s+n−n1∑ i1 6=i2 6=···6=i\|D\|=1 ∏ Xl⊂D 1 \|Xl\|! Â1+\|Xl\|(t, il,Xl), (7) 26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4 де ∑ D:Z= ⋃ l Xl — сума за усiма можливими подiленнями D лiнiйно впорядкованої множини Z ≡ {s+n−n1+1, . . . , s+n} не бiльше нiж на s+n−n1 лiнiйно впорядкованих пiдмножин, \|D\| — кiлькiсть множин подiлення D. В результатi, враховуючи вираз для розв’язку (4) задачi Кошi для квантової iєрархiї ББГКI для одночастинкового оператора густини F1(t), тобто для s = 1, розклади (4) для s > 2 набувають форми розкладiв за добутками одночастинкового оператора густини F1(t) Fs(t, Y \| F1(t)) . = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+nV1+n(t, {Y },X \ Y ) s+n∏ i=1 F1(t, i), (8) де еволюцiйнi оператори V1+n(t), n > 0, у розкладi (8) визначаються як розв’язки кiнетич- них кластерних розкладiв (7) i зображуються такими комбiнацiями кумулянтiв операторiв розсiяння: V1+n(t, {Y },X \ Y ) . = n! n∑ k=0 (−1)k k∏ j=1 n−n1−···−nj−1∑ nj=1 1 (n− n1 − · · · − nk)! × × Â1+n−n1−···−nk (t, {Y }, s + 1, . . . , s+ n− n1 − · · · − nk)× × ∑ Dj :Zj= ⋃ lj Xlj 1 \|Dj \|! s+n−n1−···−nj∑ i1 6=i2 6=···6=i\|Dj \| =1 ∏ Xlj ⊂Dj 1 \|Xlj \|! Â1+\|Xlj \|(t, ilj ,Xlj ). (9) У формулi (9) використано такi позначення: ∑ Dj :Zj= ⋃ lj Xlj — сума за усiма можливими подiлен- нями Dj лiнiйно впорядкованої множини Zj ≡ (s+n−n1−· · ·−nj+1, . . . , s+n−n1−· · ·−nj−1) не бiльше нiж на s+ n− n1 − · · · − nj лiнiйно впорядкованих пiдмножин та введено еволю- цiйний оператор Â1+n(t) — кумулянт (1 + n)-порядку Â1+n(t, {Y },X \ Y ) . = ∑ P:({Y },X\Y )= ⋃ i Xi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)! ∏ Xi⊂P Ĝ\|Xi\|(−t,Xi), груп операторiв розсiяння Ĝn(t) . = Gn(−t, 1, . . . , n) n∏ i=1 G1(t, i), n > 1, де Gn(−t) — група операторiв (6), G1(t) — група операторiв, спряжена до групи G1(−t). Наведемо приклади еволюцiйних операторiв Vn, n > 1, найнижчих порядкiв: V1(t, {Y }) = Â1(t, {Y }), V2(t, {Y }, s + 1) = Â2(t, {Y }, s + 1)− Â1(t, {Y }) s∑ j=1 Â2(t, j, s + 1), ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 27 V3(t, {Y }, s + 1, s + 2) = Â3(t, {Y }, s+ 1, s + 2)− −2! ( Â2(t, {Y }, s+ 1)− Â1(t, {Y }) s∑ i=1 Â2(t, i, s + 1) ) s+1∑ j=1 Â2(t, j, s + 2)− − Â1(t, {Y }) ( s∑ i=1 Â3(t, i, s + 1, s + 2) + s∑ i 6=j=1 Â2(t, i, s + 1)Â2(t, j, s + 2) ) . Функцiонал Fs(t, 1, . . . , s \| F1(t)), s > 2, iснує i зображується рядом, який збiгається за нормою простору L 1(Hs) за умови ‖F 0 1 ‖L1(H) < e−1 ( 1− e√ 1 + e2 ) . (10) Для редукованих кумулянтiв груп операторiв рiвнянь Неймана така умова встановлена в [14] (для класичних систем аналог такої умови встановлено в [15]). Зауважимо, що в результатi застосування аналогiв формул Дюамеля до еволюцiйних операторiв (9) першi члени розкладу функцiоналiв (8) формально збiгаються з вiдповiдними виразами з функцiонала, побудованого в працях Боголюбова за теорiєю збурень [9, 10]. Для побудови еволюцiйного рiвняння, яким визначається еволюцiя одночастинкового оператора густини з функцiоналiв (8), продиференцiюємо розклад (4) для s = 1, у сенсi по- точкової збiжностi в просторi L1(H) i врахуємо кiнетичнi кластернi розклади (7). У резуль- татi отримаємо спiввiдношення для оператора F1(t), яке будемо трактувати як еволюцiйне рiвняння для одночастинкових маргiнальних станiв. Одночастинковий оператор густини F1(t) є розв’язком такої задачi Кошi: d dt F1(t, 1) = −N1(1)F1(t, 1) + + ∞∑ n=0 1 n! Tr2,3,...,n+2(−Nint(1, 2))V1+n(t, {1, 2}, 3, . . . , n+ 2) n+2∏ i=1 F1(t, i), (11) F1(t, 1)\|t=0 = F 0 1 (1), (12) де еволюцiйнi оператори V1+n(t), n > 0, визначаються розкладами (9) та використано вве- денi вище позначення. Еволюцiйне рiвняння (11) будемо називати узагальненим квантовим кiнетичним рiвнянням, оскiльки вiдомi квантовi кiнетичнi рiвняння є скейлiнговою грани- цею цього рiвняння [3, 4]. Таким чином, початковi задачi (2), (3) та (11), (12) еквiвалентнi i має мiсце таке твер- дження: Твердження 1. За умови (10) задача Кошi для квантової iєрархiї ББГКI (2), (3) у про- сторi L1(FH) еквiвалентна задачi Кошi для узагальненого кiнетичного рiвняння (11), (12) та послiдовностi функцiоналiв Fs(t, 1, . . . , s \| F1(t)), s > 2, якi визначаються розклада- ми (8). Зауважимо, той факт, що для вiдповiдних початкових умов усi можливi стани сис- тем частинок можуть бути описанi в термiнах одночастинкового оператора густини без будь-якої апроксимацiї, є характерною властивiстю динамiки нескiнченних систем части- нок. 28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4 У роботi розглянуто основи кiнетичного опису еволюцiї квантових багаточастинкових систем. Для початкових станiв квантових систем частинок, якi описуються одночастинко- вим оператором густини, узагальнене квантове кiнетичне рiвняння (11) дає альтернативний пiдхiд опису еволюцiї станiв до пiдходу на основi квантової iєрархiї ББГКI (2). 1. Benedetto D., Castella F., Esposito R., Pulvirenti M. A short review on the derivation of the nonlinear quantum Boltzmann equations // Commun. Math. Sci. – 2007. – 5. – P. 55–71. 2. Arnold A. Mathematical properties of quantum evolution equations // Lect. Notes Math. – 2008. – 1946. – P. 45–109. 3. Spohn H. Kinetic equations from Hamiltonian dynamics // Rev. Mod. Phys. – 1980. – 52. – P. 569–615. 4. Gerasimenko V. I. Approaches to derivation of quantum kinetic equations // Укр. фiз. журн. – 2009. – 54, No 8–9. – P. 834–846. 5. Erdös L., Schlein B., Yau H.-T. Derivation of the cubic non-linear Schrödinger equation from quantum dynamics of many-body systems // Invent. Math. – 2007. – 167. – P. 515–614. 6. Fröhlich J., Graffi S., Schwarz S. Mean-field and classical limit of many-body Schrödinger dynamics for bosons // Commun. Math. Phys. – 2007. – 271. – P. 681–697. 7. Боголюбов М.М. Лекцiї з квантової статистики. Питання статистичної механiки квантових систем. – Kиїв: Рад. школа, 1949. – 207 с. 8. Petrina D.Ya. Mathematical foundations of quantum statistical mechanics. – Dordrecht: Kluwer, 1995. – 444 p. 9. Cercignani C., Gerasimenko V. I., Petrina D.Ya. Many-particle dynamics and kinetic equations. – Dord- recht: Kluwer, 1997. – 252 p. 10. Боголюбов М.М., Гуров К.П. Кинетические уравнения в квантовой механике // Журн. эксп. и теорет. физики. – 1947. – 17. – С. 614–628. 11. Green M. S., Piccirelly R.A. Basis of the functional assumption in the theory of the Boltzmann equation // Phys. Rev. – 1963. – 132. – P. 1388–1410. 12. Cohen E.G.D. Bogolyubov and kinetic theory: the Bogolyubov equations // Укр. фiз. журн. – 2009. – 54. – P. 847–861. 13. Gerasimenko V. I. Groups of operators for evolution equations of quantum many-particle systems // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2009. – 191. – P. 341–355. 14. Цвiр Ж.A. Кластернi розклади в теорiї кiнетичних рiвнянь // Вiсн. Київ. ун-ту. Maт. Meх. – 2010. – 23. – P. 25–30. 15. Gerasimenko V. I., Petrina D.Ya. On the generalized kinetic equation // Доп. НАН України. – 1997. – No 7. – P. 7–12. Надiйшло до редакцiї 07.07.2010Iнститут математики НАН України, Київ Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка V. I. Gerasimenko, Zh.A. Tsvir Quantum generalized kinetic equation For initial states of quantum many-particle systems which are given in terms of a one-particle density operator, the equivalence of the Cauchy problem of the quantum BBGKY hierarchy, the Cauchy problem of the generalized quantum kinetic equation, and a sequence of explicitly defined functionals of a solution of this generalized kinetic equation is established in the space of sequences of trace class operators. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 29

Квантове узагальнене кінетичне рівняння

Institution

Ähnliche Einträge