Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью
Розглядається початково-крайова задача, що описує нестаціонарні коливання пружного середовища з великою кількістю дрібних каверн, що заповнені в'язкою нестислою рідиною. Вивчається асимптотична поведінка розв'язку, коли діаметри каверн та в'язкість рідини прямують до нуля. Кількість к...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37545 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью / М.В. Гончаренко, Н.К. Радякин // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-37545 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-375452012-10-18T12:10:12Z Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью Гончаренко, М.В. Радякин, Н.К. Математика Розглядається початково-крайова задача, що описує нестаціонарні коливання пружного середовища з великою кількістю дрібних каверн, що заповнені в'язкою нестислою рідиною. Вивчається асимптотична поведінка розв'язку, коли діаметри каверн та в'язкість рідини прямують до нуля. Кількість каверн прямує до нескінченності та розташовуються вони ''об'ємно''. Побудовано усереднене рівняння, що описує головний член асимптотики. Це рівняння є моделлю поширення хвиль у середовищах типу зволоженого грунту, гірських порід та деяких біологічних тканин. The initial boundary-value problem of nonstationary vibrations of the elastic medium with a great number of small caverns filled by a viscous incompressible fluid is considered. The asymptotic behavior of the solution is studied as the diameters of caverns and the density of the fluid tend to zero. The number of caverns tends to infinity. It is assumed that the caverns have a volume location. The homogenized equation that describes the first term of the asymptotics is obtained. This equation is a model of wave propagation in media such as wet soil, rocks, and biological tissues. 2011 Article Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью / М.В. Гончаренко, Н.К. Радякин // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37545 517.946 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Гончаренко, М.В. Радякин, Н.К. Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью Доповіді НАН України |
| description |
Розглядається початково-крайова задача, що описує нестаціонарні коливання пружного середовища з великою кількістю дрібних каверн, що заповнені в'язкою нестислою рідиною. Вивчається асимптотична поведінка розв'язку, коли діаметри каверн та в'язкість рідини прямують до нуля. Кількість каверн прямує до нескінченності та розташовуються вони ''об'ємно''. Побудовано усереднене рівняння, що описує головний член асимптотики. Це рівняння є моделлю поширення хвиль у середовищах типу зволоженого грунту, гірських порід та деяких біологічних тканин. |
| format |
Article |
| author |
Гончаренко, М.В. Радякин, Н.К. |
| author_facet |
Гончаренко, М.В. Радякин, Н.К. |
| author_sort |
Гончаренко, М.В. |
| title |
Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью |
| title_short |
Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью |
| title_full |
Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью |
| title_fullStr |
Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью |
| title_full_unstemmed |
Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью |
| title_sort |
усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37545 |
| citation_txt |
Усредненная модель колебаний упругой среды с большим количеством мелких каверн, заполненных несжимаемой жидкостью с малой вязкостью / М.В. Гончаренко, Н.К. Радякин // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT gončarenkomv usrednennaâmodelʹkolebanijuprugojsredysbolʹšimkoličestvommelkihkavernzapolnennyhnesžimaemojžidkostʹûsmalojvâzkostʹû AT radâkinnk usrednennaâmodelʹkolebanijuprugojsredysbolʹšimkoličestvommelkihkavernzapolnennyhnesžimaemojžidkostʹûsmalojvâzkostʹû |
| first_indexed |
2025-07-03T19:21:52Z |
| last_indexed |
2025-07-03T19:21:52Z |
| _version_ |
1836654802140921856 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2011
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
© 2011
М. В. Гончаренко, Н. К. Радякин
Усредненная модель колебаний упругой среды
с большим количеством мелких каверн, заполненных
несжимаемой жидкостью с малой вязкостью
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Розглядається початково-крайова задача, що описує нестацiонарнi коливання пружно-
го середовища з великою кiлькiстю дрiбних каверн, що заповненi в’язкою нестислою
рiдиною. Вивчається асимптотична поведiнка розв’язку, коли дiаметри каверн та
в’язкiсть рiдини прямують до нуля. Кiлькiсть каверн прямує до нескiнченностi та
розташовуються вони “об’ємно”. Побудовано усереднене рiвняння, що описує головний
член асимптотики. Це рiвняння є моделлю поширення хвиль у середовищах типу зво-
ложеного грунту, гiрських порiд та деяких бiологiчних тканин.
Рассмотрим композитную среду, состоящую из упругой и жидкой фаз. А именно, пусть Ω —
фиксированная область в R
3 с границей ∂Ω, а Gα
ε — подобласти в Ω с гладкими непере-
секающимися границами ∂Gα
ε . Размеры и количество подобластей Gα
ε зависят от малого
параметра ε так, что при ε → 0 диаметры Gα
ε стремятся к нулю, а их количество N(ε) —
к ∞ и Gα
ε располагаются «объемно» в области Ω. Предположим, что область Ωε = Ω\
N(ε)⋃
α=1
Gα
ε
занята упругой средой, а подобласти Gα
ε (каверны в этой среде) заполнены вязкой несжи-
маемой жидкостью.
Нестационарные колебания такой среды описываются следующей системой уравнений:
ρs
∂2uε
∂t2
−
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
(anpqrγqr[u])e
p = 0, x ∈ Ωε, (1)
ρf
∂vε
∂t
− µε∆vε = ∇pε, divvε = 0, x ∈ Gε =
⋃
α
Gα
ε , (2)
∂uε
∂t
= vε, x ∈ ∂Gε, (3)
Tf [vε] = Ts[uε], x ∈ ∂Gε. (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 7
Здесь uε = uε(x, t) — вектор упругих смещений; ρs = const — плотность упругой среды;
ep — орт оси xp,
γqr[u] =
1
2
(
∂uq
∂xr
+
∂ur
∂xq
)
—
компоненты тензора деформации среды; anpqr — компоненты тензора упругости, который
обладает следующими свойствами симметрии: aiklm = akilm = almik = aikml и положитель-
ной определенности [1], т. е.
3∑
n,p,q,r=1
anpqrtnptqr > C
3∑
n,p=1
|tnp|
2, ∀ {tnp}
3
n,p=1, C > 0.
vε = vε(x, t) — скорость жидкости; pε — давление; ρf = const — плотность жидкости;
Tf [v] = µε
3∑
i,k=1
γik[v]νie
k − pν —
вектор напряжений на поверхности ∂Ωε в жидкости;
Ts[u] =
3∑
n,p,q,r=1
anpqrγqr[u]νne
q — (5)
вектор напряжений в упругой среде; ν — внешняя нормаль к поверхности ∂Gα
ε .
Условие (3) означает совпадение на границе раздела векторов скоростей упругой и жид-
кой сред, а условие (4) — совпадение векторов напряжений.
Дополним эту систему граничными и начальными условиями
uε = 0, x ∈ ∂Ω, (6)
uε(x, 0) = U0
ε ,
∂uε
∂t
= U1
ε (x), x ∈ Ωε, (7)
vε(x, 0) = V 1
ε (x), x ∈ Gε. (8)
Предполагается, что U1
ε ∈ W 1
2 (Ωε), V
1
ε ∈ W 1
2 (Gε), divV
1
ε = 0, U1
ε = V 1
ε , x ∈ ∂Gε, U
0
ε ∈
∈ W 1
2 (Ωε), U0
ε |∂Ω = 0 и
∫
∂Gε
U0
εnds = 0.
Теорема 1. Задача (1)–(8) имеет единственное обобщенное решение {uε, vε, pε}.
Задача (1)–(8) описывает распространение волн в упругой среде (рассматривается прос-
тейшая модель увлажненной упругой среды). Такими средами могут быть увлажненные
почвы, пористые горные породы, биологические ткани. При этом жидкость, заполняющая
поры имеет очень малую вязкость. Представляет интерес получение усредненной модели,
описывающей распространение волн в таких средах. С этой целью в данной работе изучает-
ся асимптотическое поведение решения задачи (1)–(8) при ε → 0, когда вместе с диаметрами
пор к нулю стремится и вязкость жидкости.
Аналогичный вопрос изучался в работах [2–4], где вязкость жидкости не зависела от ε.
Нами получена усредненная модель колебаний при малой вязкости жидкости, заполняющей
поры.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
Для того чтобы сформулировать основной результат, уточним постановку задачи.
Предположим, что расположение каверн локально близко к периодическому. Это озна-
чает, что каверны Gα
ε находятся в периодически расположенных параллелепипедах, имеют
одинаковую форму, а диаметры, ориентации и координаты центров масс каверн, находящих-
ся в соседних параллелепипедах, отличаются на малую величину. А именно, предположим,
что пространство R
3 разрезано на параллелепипеды Πα
ε = {x ∈ R
3 : |xi − xαi | 6 (θiε)/2, i =
= 1, 2, 3} с центрами в точках xα и сторонами длиной θiε, ориентированными по координат-
ным осям. В каждом параллелепипеде, принадлежащем области Ω, находится множество
Gα
ε , являющееся гомотетическим сжатием и поворотом фиксированного тела G ∈ R
3 диа-
метром единица, с центром масс в начале координат и гладкой границей ∂G. Диаметры
множеств Gα
ε dαε = d(xα)ε, центры масс находятся в точках xα + a(xα)ε, а ориентации за-
даются операторами вращения P (xα) так, что
Gα
ε =
{
x ∈ Πα
ε : P
−1(xα)
x− xα − a(xα)ε
d(xα)ε
∈ G
}
.
Будем предполагать, что функция d(y), вектор-функция a(y) и матрица P (y) непрерыв-
но дифференцируемы и выполняются неравенства
max
y∈Ω
(|d(y)| + |a(y)|) < min
i
θi(1− 2δ)
2
, δ > 0.
Такая структура композитной среды называется локально периодической.
Введем обозначения
Π =
{
ξ ∈ R
3 : |ξi| <
θi
2
, i = 1, 2, 3
}
,
Gy =
{
ξ ∈ Π: P−1(y)
ξ − a(y)
d(y)
∈ G, y ∈ Ω
}
.
Рассмотрим в Π \ Gy следующую краевую задачу (“ячеечная” задача):
3∑
i,k,l,m=1
∂
∂xi
(aiklmγlm[w̃np])ek = 0, x ∈ Π \Gy, (9)
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγlm[w̃np]νie
k = p̃ν, x ∈ ∂Gy, (10)
w̃np − φnp, Ts[w
np − φnp] — Π-периодические (принимают одинаковые значения на проти-
воположных гранях [5]).
Здесь p̃ = const, а вектор-функция φnp(x) определена равенством φnp = (xne
p+xpe
n)/2.
Существует единственное решение этой задачи.
С помощью решения задачи (9), (10) определим тензор {Ãnpqr(y)} по формуле:
Ãnpqr(y) =
∫
Π\Gy
3∑
i,k,l,m=1
aiklmγik[w̃
np]γlm[w̃qr] dx. (11)
Он обладает симметрией Ãiklm = Ãkilm = Ãlmik = Ãikml и положительно определен.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 9
Чтобы сформулировать основной результат работы, введем вектор-функцию смещение
среды
ûε(x, t) = uε(x, t)χε(x) + (1− χε(x))
t∫
0
vε(x, τ) dτ, (12)
где χε(x) — характеристическая функция области Ωε.
Теорема 2. Пусть начальные скорости задачи (1)–(8) сходятся к вектор-функциям
U0 ∈ L2(Ω), U1 ∈ L2(Ω) и V 1 ∈ L2(Ω) так, что
lim
ε→0
∫
Ωε
|U1
ε − U1|2dx = 0, lim
ε→0
∫
Ωε
|U0
ε − U0|2dx = 0, lim
ε→0
∫
Gε
|V 1
ε − V 1|2dx = 0.
Тогда вектор-функция смещения ûε(x, t) (12) сходится в L2(ΩT ) (ΩT = Ω × [0, T ]) к век-
тор-функции u(x, t), являющейся решением следующей начально-краевой задачи:
ρ
∂2u
∂t2
−
3∑
n,p,q,r=1
∂
∂xn
(Anpqr(x)γqr[u(x, t)])e
p = 0, (13)
u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, (14)
u(x, 0) = U0,
∂u
∂t
(x, 0) = V (x), (15)
где ρ = ρ(x) = ρf
|Gx|
|Π|
+ρs
|Π \Gx|
|Π|
, V =
ρf
ρ
|Gx|
|Π|
V 1+
ρs
ρ
|Π \Gx|
|Π|
U1, а коэффициенты Anpqr(x)
определяются формулами (11).
Схема доказательства аналогична доказательству, проведенному в [6], где µ = const
и U0
ε = 0. При U0
ε 6= 0 и стремлении вязкости к нулю возникают дополнительные трудности,
связанные, например, с вырождением уравнения (2). Последнее преодолевается с помощью
неравенства типа Корна для пористых упругих сред с пустотами [7].
1. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных
упругих сред. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 1990. – 312 с.
2. Sanchez-Hubert J. Asymptotic study of the macroscopic behaviour of solid liquid mixture // Math. Meth.
Appl. Sci. – 1980. – No 2. – P. 1–11.
3. Gilbert R.P., Mikelić A. Homogenizing the acoustic properties of the seabed // J. Nonlinear Anal. – 2000. –
40. – P. 185–212.
4. Мейерманов А.М. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмо-
акустики в упругих пористых средах // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, № 3. – С. 646–667.
5. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. – Москва: Мир, 1984. – 472 с.
6. Гончаренко М.В., Хруслов Е.Я. Усредненная модель колебаний увлажненной упругой среды // Укр.
мат. журн. – 2010. – 62, № 10. – С. 1309–1329.
7. Берлянд Л.В. О колебаниях упругого тела с большим числом мелких пустот // Докл. АН УССР.
Сер. А. – 1983. – № 2. – С. 3–5.
Поступило в редакцию 15.07.2010Физико-технический институт низких температур
им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
M.V. Goncharenko, N.K. Radyakin
An averaged model of oscillations of the elastic medium with a lot of
small caverns filled with a low-viscosity incompressible fluid
The initial boundary-value problem of nonstationary vibrations of the elastic medium with a great
number of small caverns filled by a viscous incompressible fluid is considered. The asymptotic
behavior of the solution is studied as the diameters of caverns and the density of the fluid tend to
zero. The number of caverns tends to infinity. It is assumed that the caverns have a volume location.
The homogenized equation that describes the first term of the asymptotics is obtained. This equation
is a model of wave propagation in media such as wet soil, rocks, and biological tissues.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 11
|