К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач
Здійснюється моделювання суб'єкта системи прийняття рішень (того, хто приймає рішення), який приймає конкретне рішення, орієнтуючись на ціль, що постала перед ним, — вибір суб'єктивно найкращого рішення. При цьому досліджуються взаємозв'язок розглянутих правил вибору переваг, які визн...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37559 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 45-51. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-37559 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-375592012-10-18T12:10:37Z К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач Михалевич, В.М. Інформатика та кібернетика Здійснюється моделювання суб'єкта системи прийняття рішень (того, хто приймає рішення), який приймає конкретне рішення, орієнтуючись на ціль, що постала перед ним, — вибір суб'єктивно найкращого рішення. При цьому досліджуються взаємозв'язок розглянутих правил вибору переваг, які визначають різні критерії, а також умови збігу деяких із отриманих критеріїв. A subject of the decision-making system is modeled to within the information that underlies the choice of a specific solution with the purpose to attain the subjectively best solution. 2011 Article К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 45-51. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37559 519.81 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Михалевич, В.М. К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач Доповіді НАН України |
| description |
Здійснюється моделювання суб'єкта системи прийняття рішень (того, хто приймає рішення), який приймає конкретне рішення, орієнтуючись на ціль, що постала перед ним, — вибір суб'єктивно найкращого рішення. При цьому досліджуються взаємозв'язок розглянутих правил вибору переваг, які визначають різні критерії, а також умови збігу деяких із отриманих критеріїв. |
| format |
Article |
| author |
Михалевич, В.М. |
| author_facet |
Михалевич, В.М. |
| author_sort |
Михалевич, В.М. |
| title |
К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач |
| title_short |
К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач |
| title_full |
К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач |
| title_fullStr |
К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач |
| title_full_unstemmed |
К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач |
| title_sort |
к моделированию системы принятия решения для необайесовских задач |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/37559 |
| citation_txt |
К моделированию системы принятия решения для необайесовских задач / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 45-51. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT mihalevičvm kmodelirovaniûsistemyprinâtiârešeniâdlâneobajesovskihzadač |
| first_indexed |
2025-07-03T19:22:43Z |
| last_indexed |
2025-07-03T19:22:43Z |
| _version_ |
1836654856227520512 |
| fulltext |
УДК 519.81
© 2011
В.М. Михалевич
К моделированию системы принятия решения
для необайесовских задач
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Чикрием)
Здiйснюється моделювання суб’єкта системи прийняття рiшень (того, хто приймає
рiшення), який приймає конкретне рiшення, орiєнтуючись на цiль, що постала перед
ним, — вибiр суб’єктивно найкращого рiшення. При цьому дослiджуються взаємозв’язок
розглянутих правил вибору переваг, якi визначають рiзнi критерiї, а також умови збiгу
деяких iз отриманих критерiїв.
Исследуется система принятия решения, представляющая собой пару: тот кто принимает
решение (ТПР) — ситуация принятия решения (СПР) (см. [1, 2, 5–7]).
Определение 1. Схемой ситуации задачи решения (ССЗР) называется упорядоченная
четверка вида (X,Θ, U, g), где для произвольных непустых множеств X, Θ, U g является
отображением из Θ × U в X.
При этом множество X называется множеством последствий с алгеброй подмно-
жеств Ξ, Θ — множеством значений ненаблюдаемого параметра с алгеброй подмно-
жеств Σ, U — множеством решений, а g — отображением последствий ССЗР (X,Θ, U, g).
Класс всех параметрических ССЗР вида (X,Θ, U,G) будем обозначать через Z, a Z(X) :=
= {(X, ·, ·, ·) ∈ Z}, Z(X,Θ) := {(X,Θ, ·, ·) ∈ Z}.
Определение 2. Правилом выбора предпочтений (ПВП) для ЗР в классе ССЗР Z′ ⊆ Z
(коротко ПВП в Z′ ⊆ Z) будем называть всякое отображение π = (π1, π2), определенное на
Z′ и сопоставляющее каждой Z = (X,Θ, U, g) ∈ Z′ некоторую пару соответствий (X,<Z)
и (U,<∗
Z), т. е. π = (π1, π2) ∈ (2(X
2)×2(U
2))Z
′
, что будем обозначать также πZ = (π1Z , π2Z) =
= ((X,<Z), (U,<
∗
Z)). Класс всех ПВП в Z′ ⊆ Z будем обозначать Π(Z′).
Рассмотрим класс параметрических ССЗР с заданными отношениями предпочтений на
соответствующих множествах последствий. Тогда каждой такой параметрической ССЗР
соответствует упорядоченная четверка вида Z := ((X,<),Θ, U, g), где (<) — соответству-
ющее отношение предпочтения на последствиях этой ситуации задачи решения (СЗР). То-
гда через Z обозначим класс всех ССЗР вида Z. А, как и выше, Z(X) := {((X, ·), ·, ·, ·) ∈
∈ Z}, Z((X,<)) := {((X,<), ·, ·, ·) ∈ Z}, Z((X,Θ)) := {((X, ·),Θ, ·, ·) ∈ Z}, Z((X,<),Θ) :=
= {((X,<),Θ, ·, ·) ∈ Z}. При этом ясно, что Z ⊂ Z и т. д.
Определение 3. Проекцией ССЗР класса Z называется такое отображение Πp: Z → Z,
что для любой ССЗР ((X,<),Θ, U, g) ∈ Z Πp(((X,<),Θ, U, g) = (X,Θ, U, g).
Рассмотрим так называемые необайесовские задачи решения (ЗР) (см. [4, 6, 7]), рас-
ширив множество последствий X до множества случайных последствий, представляющих
собой множество распределений на X следующего вида:
Y =
{
(y : X → [0, 1]) : card{x : y(x) 6= 0} < ∞,
∑
x∈X
y(x) = 1
}
. (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 45
Определение 4. Для произвольных непустых множеств A, Θ и нестрогого порядка
(A,<) отображение f ∈ AΘ называется ограниченным относительно (A,<) (см. [4]), если
существуют такие a, b ∈ A, что a < f(θ) < b для всех θ ∈ Θ.
Определение 5. Для произвольных непустых множеств (A,Θ), нестрогого порядка
(A,<) и алгебры Σ ⊆ 2Θ отображение f ∈ AΘ называется Σ-измеримым относительно
(A,<), если для всех элементов a ∈ A множества {θ : f(θ) ≻ a} и {θ : f(θ) < a} принад-
лежат Σ.
Через L0(A,Θ) будем обозначать множество всех Σ-измеримых конечнозначных отобра-
жений определенных на множестве Θ со значениями в множестве A, т. е. f ∈ L0(A,Θ), если
card{f(Θ)} < ∞ и f−1(a) ∈ Σ ∀ a ∈ A.
Определение 6. Для произвольных непустых множеств X, Θ и нестрогого порядка
(X,<) отображение f ∈ Y Θ, где Y определяется согласно (1), будем называть ограниченным
относительно (X,<), если отображения f, f ∈ XΘ, заданные на Θ как
f(θ) := min{x ∈ X : [f(θ)](x) 6= 0} ∀ θ ∈ Θ,
f(θ) := max{x ∈ X : [f(θ)](x) 6= 0} ∀ θ ∈ Θ
являются ограниченными относительно (X,<).
Определение 7. ССЗР Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z(Y,Θ), где Y определяется согласно (1),
будем называть определяющей, если
L0(Y,Θ) ⊆ g(·, U) = co[g(·, U)] ⊆ Y Θ. (2)
Через L<(Y,Θ) будем обозначать множество всех ограниченых и Σ-измеримых относи-
тельно нестрогого порядка (X,<) отображений на множестве Θ со значениями в множе-
стве Y .
Определение 8. Под необайесовской моделью СЗР (МСЗР) для ССЗР Z ∈ Z(Y,Θ)
будем понимать упорядоченную пятерку вида M := (Y,Θ, U, g,I), где Z = (Y,Θ, U, g) ∈
∈ Z(Y,Θ), где Y определяется согласно (1), а I — закономерность, описывающая механизм
неопределенности значения ненаблюдаемого параметра θ ∈ Θ из класса закономерностей
I(Θ).
Определение 9. Моделью ПВП (МПВП) (Ω-параметрической моделью ПВП
(Ω-МПВП)) в классе ССЗР Z′ ⊆ Z будем называть конечную совокупность условий (ак-
сиом) У на ПВП для класса Z′, которые задают единственное ПВП (с точноcтью до па-
раметра ω ∈ Ω, где Ω — множество значений параметра ω), и обозначать [У] в классе Z′
(с параметром ω ∈ Ω).
Ниже приводятся некоторые условия на ПВП π ∈ Π(Z′(Y,Θ)).
Для любой определяющей ССЗР Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z′(Y,Θ) ⊆ Z(Y,Θ)
Y1. Если Zi = (Y,Θ, Ui, gi) ∈ Z′(Y,Θ), i = 1, 2, то
a) (Y,<Z1
) = (Y,<Z2
)
def
=(Y,<) — невырожденное, т. е. не для всех y1, y2 ∈ Y выполняется
y1 < y2;
б) из (y1)Θ <
∗
Z (y2)Θ следует y1 < y2 ∀ y1, y2 ∈ Y ;
в) из u1, v1 ∈ U1, u2, v2 ∈ U2, g1(θ, u1) = g2(θ, u2), g1(θ, v1) = g2(θ, v2)∀ θ ∈ Θ, u1 <
⋆
Z1
v1
следует u2 <
⋆
Z2
v2.
Y2. (U,<⋆
Z) — нестрогий порядок.
Y3. Если ui ∈ U , i = 1, 3, u1 ≻
⋆
Z u2, α ∈ (0, 1), то αu1 + (1− α)u3 ≻⋆
Z αu2 + (1 − α)u3.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
Y3.1. Если ui ∈ U , i = 1, 3 — попарно комонотонны, u1 ≻⋆
Z u2, α ∈ (0, 1), то αu1 + (1 −
− α)u3 ≻⋆
Z αu2 + (1 − α)u3.
Y3.2. Если ui ∈ U , i = 1, 2, y ∈ Y , u1 ≻⋆
Z u2, α ∈ (0, 1), то αu1 + (1 − α)yΘ ≻⋆
Z αu2 +
+ (1 − α)yΘ.
Y3.3. Если ui ∈ U , i = 1, 2, u1 <
⋆
Z u2, α ∈ (0, 1), то αu1 + (1 − α)u2 <
⋆
Z u2.
Y3.4. Если ui ∈ U , i = 1, 2, u1 ∼ ⋆
Zu2, α ∈ (0, 1), то αu1 + (1 − α)u2 <
⋆
Z u2.
Y4. Если ui ∈ U , i = 1, 3, u1 ≻⋆
Z u2 ≻⋆
Z u3, то найдутся такие α, β ∈ (0, 1), что αu1 +
+ (1 − α)u3 ≻⋆
Z u2 ≻⋆
Z βu1 + (1 − β)u3.
Y5. Если ui ∈ U , i = 1, 2, g(θ, u1) <Z g(θ, u2) для всех θ ∈ Θ, то u1 <
⋆
Z u2.
Y5.1. Если ui ∈ U , yi ∈ Y , g(θ, ui) = yi ∀ θ ∈ Θ1 ⊆ Θ, i = 1, 2, g(θ, u1) = g(θ, u2) для
всех θ ∈ Θ \ Θ1, u1 ≻⋆
Z u2, то y1 ≻Z y2.
Далее для произвольного подкласса ССЗР Z′(Y,Θ) класса Z(Y,Θ) будем относить:
к Π1(Z
′(Y,Θ)) — все ПВП в Z′(Y,Θ), которые удовлетворяют условиям Y1, Y2, Y3,
Y4, Y5;
к Π13(Z
′(Y,Θ)) — все ПВП в Z′(Y,Θ), которые удовлетворяют условиям Y1, Y2, Y3.1,
Y3.3, Y4, Y5;
к Π12(Z
′(Y,Θ)) — все ПВП в Z′(Y,Θ), которые удовлетворяют условиям Y1, Y2, Y3.1,
Y3.4, Y4, Y5;
к Π11(Z
′(Y,Θ)) — все ПВП в Z′(Y,Θ), которые удовлетворяют условиям Y1, Y2, Y3.1,
Y4, Y5;
к Π22(Z
′(Y,Θ)) — все ПВП в Z′(Y,Θ), которые удовлетворяют условиям Y1, Y2, Y3.1,
Y3.2, Y3.4, Y4, Y5.
к Π21(Z
′(Y,Θ)) — все ПВП в Z′(Y,Θ), которые удовлетворяют условиям Y1, Y2, Y3.2,
Y3.4, Y4, Y5;
Через Z′
1(Y,Θ) будем обозначать любой подкласс ССЗР класса Z(Y,Θ), в котором для
любой ССЗР Z ′ = (Y,Θ, U ′, g′) ∈ Z′
1(Y,Θ) и любых u′i ∈ U ′, i = 1, 2, найдется такая опреде-
ляющая ССЗР Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z′
1(Y,Θ) и ui ∈ U , i = 1, 2, что g′(θ, u′i) = g(θ, ui) ∀ θ ∈ Θ,
i = 1, 2.
Через Z′
0(Y,Θ) будем обозначать любой такой класс Z′
1(Y,Θ), что если Z = (Y,Θ, U, g) ∈
∈ Z′
1(Y,Θ) — определяющая, фигурирующая в определении Z′
1(Y,Θ), то для нее должно
выполняться условие g(·, U) = L0(Y,Θ).
А через Z′
1(Y,Θ) будем обозначать любой подкласс ССЗР класса Z(Y,Θ), элемен-
ты которого задают первую компоненту некоторого ПВП для Z′
1(Y,Θ). При этом, если
((Y,<),Θ, U, g) ∈ Z′
1(Y,Θ), а (Y,Θ, U, g) ∈ Z′
1(Y,Θ) является определяющей, фигурирующей
в определении Z′
1(Y,Θ), то для нее, наряду со свойством (2), должно выполняться усло-
вие ограниченности и Σ-измеримости относительно сужения (Y,<) на X для отображения
g(·, u) при всех u ∈ U , т. е. g(·, U) = g(·, U)
⋂
L<(Y,Θ).
Далее, для любого класса Z′
1(Y,Θ) определим класс Z′
0(Y,Θ), который будем обозначать
Z′
01(Y,Θ), следующим образом Z′
01(Y,Θ) := {(Y,Θ, U ′, g′) : (Y,Θ, U, g) ∈ ПрZ′
1(Y,Θ), U ′ =
= {u : u ∈ U, g(·, u) ∈ L0(Y,Θ)}, g′(θ, u) = g(θ, u) ∀ θ ∈ Θ ∀u ∈ U ′}.
Теперь введем в рассмотрение соответствие χZ′(Y,Θ) из RX × P (Θ) в Π(Z′(Y,Θ)), где
P (Θ) — семейство всех статистических закономерностей на Θ [см. 1, 2, 5–7]. Это соот-
ветствие определяется следующим образом. Если ω ∈ RX , P ∈ P (Θ), Z = (Y,Θ, U, g) ∈
∈ Z′(Y,Θ) ⊆ Z(Y,Θ), то χZ′(Y,Θ)(ω,P ) := (χ1Z′(Y,Θ)(ω,P ), χ2Z′(Y,Θ)(ω,P )) ∈ Π(Z′(Y,Θ)),
[χ1Z′(Y,Θ)(ω,P )](Z) := (Y,<Z), [χ2Z′(Y,Θ)(ω,P )](Z) := (U,<∗
Z) и для любых yi ∈ Y , ui ∈ U ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 47
где yi =
ni∑
j=1
αijxij, αij ∈ [0, 1],
ni∑
j=1
αij = 1, xij ∈ X, а ∀ θ ∈ Θ g(θ, ui) =
k(θ,ui)∑
j=1
βj(θ, ui)gj(θ, ui),
βj(θ, ui) ∈ [0, 1],
k(θ,ui)∑
j=1
βj(θ, ui) = 1, gj(θ, ui) ∈ X, k(θ, ui) ∈ N, i = 1, 2,
y1 <Z y2 ⇔
n1∑
j=1
α1jω(x1j) >
n2∑
j=1
α2jω(x2j), (3)
u1 <
∗
Z u2 ⇔ min
p∈P
k(θ,u1)∑
j=1
∫
Θ
βj(θ, u1)ω(gj(θ, u1))p(dθ) >
> min
p∈P
k(θ,u2)∑
j=1
∫
Θ
βj(θ, u2)ω(gj(θ, u2))p(dθ). (4)
Далее для произвольного непустого множества A определим в функциональном про-
странстве RA отношение эквивалентности (
ma
≈ ) следующим образом. Для любых f , g ∈ RA
f
ma
≈ g ⇔ f = ag + b, a, b ∈ R, a > 0.
Тогда можно определить соответствие χ′
Z′(Y,θ) из RX/
ma
≈ ×P (Θ))/
co
≈ в Π(Z′(Y,Θ)) таким
образом, что если
∼
ω и
∼
P — классы эквивалентности с представителями соответственно ω
и P , то χ′
Z′(Y,Θ)(
∼
ω,
∼
P )
def
= χZ′(Y,Θ)(ω,P ).
И, наконец, определим соответствие µZ′(Y,Θ) из RX/
ma
≈ ×Q(Θ) в П(Z′(Y,Θ)), где Q(Θ) —
семейство всех емкостей на (Θ,Σ) следующим образом. Если ω̃ — класс эквивалентности по
(
ma
≈ ) с представителем ω ∈ RX , a v ∈ Q(Θ), π = µZ′(Y,Θ)(ω, v), Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z′(Y,Θ) ⊆
⊆ Z(Y,Θ), π(Z) = ((Y,<z), (U,<
∗
z)), то для любых yi ∈ Y , ui ∈ U , где yi =
ni∑
j=1
αijxij ,
ni∑
j=1
αij = 1, xij ∈ X, a ∀ θ ∈ Θ g(θ, ui) =
k(θ,ui)∑
j=1
βj(θ, ui)gj(θ, ui),
k(θ,ui)∑
j=1
βj(θ, ui) = 1, gj(θ, ui) ∈
∈ X, k(θ, ui) ∈ N, i = 1, 2, выполняется (3) и
u1 <
∗
Z u2 ⇔
∫
Θ
k(θ,u1)∑
j=1
βj(θ, u1)ω(gj(θ, u1)) dv >
∫
Θ
k(θ,u2)∑
j=1
βj(θ, u2)ω(gj(θ, u2)) dv. (5)
Теорема 1. Для произвольного класса ССЗР Z′
0(Y,Θ) χ′
Z′
0
(Y,Θ) — инъекция на RX�
ma
≈ ×
×PF (Θ) и χ′
Z′
0
(Y,Θ)(R
X�
ma
≈ ×PF (Θ)) = Π1(Z
′
0(Y,Θ)), где PF (Θ) — семейство всех конеч-
но-аддитивных мер на Θ.
Следствие 1. Для любого класса Z′
0(Y,Θ) условия Y1, Y2, Y3, Y4, Y5 на ПВП в классе
Z′
0(Y,Θ) представляют собой RX�
ma
≈ ×PF (Θ) — МПВП в классе Z′
0(Y,Θ), т. е. [Y1,Y2,
Y3, Y4, Y5] в Z′
0(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и p ∈ PF (Θ), при этом разным значе-
ниям параметров
∼
ω и p соответствуют несовпадающие ПВП.
Следствие 2. МСЗР M = (Y,Θ, U, g, p), где Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z(Y,Θ), а закономер-
ность p ∈ PF (Θ), является полным математическим описанием ситуации для [Y1, Y2,
Y3, Y4, Y5] в Z(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и p ∈ PF (Θ).
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
Теорема 2. Для произвольного класса ССЗР Z
′
1(Y,Θ) всякое ПВП π ∈ Π1(Z
′
01(Y,Θ))
можно, и притом единственным образом, продолжить до ПВП
−
π∈ Π1(ПрZ′
1(Y,Θ)). При
этом соответствие χ′
ПрZ′
1
(Y,Θ) |R
X�
ma
≈ ×PF (Θ) инъективно и χ′
ПрZ′
1
(Y,Θ)(R
X�
ma
≈ ×
×PF (Θ)) = Π1(ПрZ′
1(Y,Θ)).
Следствие 3. Для любого класса Z
′
1(Y,Θ) условия Y1, Y2, Y3, Y4, Y5 на ПВП в классе
Z′
01(Y,Θ) представляют собой RX�
ma
≈ ×PF (Θ) — МПВП в классе Z′
01(Y,Θ), т. е. [Y1,
Y2, Y3, Y4, Y5] в Z′
01(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и p ∈ PF (Θ), при этом разным
значениям параметров
∼
ω и p соответствуют несовпадающие ПВП.
Следствие 4. МСЗР M = (Y,Θ, U, g, p), где Z = (Y,Θ, U, g) ∈ ПрZ(Y,Θ), а закономер-
ность p ∈ PF (Θ), является полным математическим описанием ситуации для [Y1, Y2,
Y3, Y4, Y5] в Z01(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и p ∈ PF (Θ).
Теорема 3. Для произвольного класса ССЗР Z′
0(Y,Θ) соответствие µZ′
0
(Y,Θ) инъектив-
но и µZ′
0
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈ ×Q(Θ)) = Π11(Z
′
0(Y,Θ)).
Следствие 5. Для любого класса Z′
0(Y,Θ) условия Y1, Y2, Y3.1, Y3.4, Y4, Y5 на
ПВП в классе Z′
0(Y,Θ) представляют собой RX�
ma
≈ ×Q(Θ) — МПВП в классе Z′
0(Y,Θ),
т. е. [Y1, Y2, Y3.1, Y3.4, Y4, Y5] в Z′
0(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и v ∈ Q(Θ), при
этом разным значениям параметров
∼
ω и v соответствуют несовпадающие ПВП.
Следствие 6. МСЗР M = (Y,Θ, U, g, v), где Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z(Y,Θ), а закономер-
ность v ∈ Q(Θ), является полным математическим описанием ситуации для [Y1, Y2,
Y3, Y4, Y5] в Z(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и v ∈ Q(Θ).
Теорема 4. Для произвольного класса ССЗР Z
′
1(Y,Θ) всякое ПВП π ∈ Π11(Z
′
01(Y,Θ))
можно, и притом единственным образом, продолжить до ПВП
−
π∈ Π11(ПрZ′
1(Y,Θ)).
При этом соответствие µПрZ′
1
(Y,Θ) инъективно и µПрZ
′
1
(Y,Θ)(R
X�
ma
≈ ×Q(Θ)) =
= Π11(ПрZ′
1(Y,Θ)).
Следствие 7. Для любого класса Z
′
1(Y,Θ) условия Y1, Y2, Y3.1, Y3.4, Y4, Y5 на ПВП
в классе Z′
01(Y,Θ) представляют собой RX�
ma
≈ ×Q(Θ)-МПВП в классе Z′
01(Y,Θ), т. е. [Y1,
Y2, Y3.1, Y3.4, Y4, Y5] в Z′
01(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и v ∈ Q(Θ), при этом
разным значениям параметров
∼
ω и v соответствуют несовпадающие ПВП.
Следствие 8. МСЗР M = (Y,Θ, U, g, v), где Z = (Y,Θ, U, g) ∈ ПрZ(Y,Θ), а закономер-
ность v ∈ Q(Θ), является полным математическим описанием ситуации для [Y1, Y2,
Y3.1, Y3.4, Y4, Y5] в ПрZ(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и v ∈ Q(Θ).
Теорема 5. Для произвольного класса ССЗР Z′
0(Y,Θ) соответствие χ′
Z′
0
(Y,Θ) инъектив-
но и χZ′
0
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈ ×P (Θ)/
co
≈) = Π21(Z
′
0(Y,Θ)).
Следствие 9. Для любого класса Z′
0(Y,Θ) условия Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5 на
ПВП в классе Z′
0(Y,Θ) представляют собой RX�
ma
≈ ×P (Θ)�
co
≈-МПВП в классе Z′
0(Y,Θ),
т. е. [Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5] в Z′
0(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и P ∈ P (Θ)�
co
≈,
при этом разным значениям параметров
∼
ω и P соответствуют несовпадающие ПВП.
Следствие 10. МСЗР M = (Y,Θ, U, g, P ), где Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z(Y,Θ), а закономер-
ность P ∈ P (Θ)�
co
≈, является полным математическим описанием ситуации для [Y1,
Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5] в Z(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и P ∈ P (Θ)�
co
≈.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 49
Теорема 6. Для произвольного класса ССЗР Z
′
1(Y,Θ) всякое ПВП π ∈ Π21(Z
′
01(Y,Θ))
можно, и притом единственным образом, продолжить до ПВП
−
π∈ Π21(ПрZ′
1(Y,Θ)).
При этом соответствие χ′
ΠpZ
′
1
(Y,Θ) инъективно и χ′
ПрZ′
1
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈ ×P (Θ)/
co
≈) =
= Π21(ПрZ′
1(Y,Θ)).
Следствие 11. Для любого класса Z
′
1(Y,Θ) условия Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5 на ПВП
в классе Z′
01(Y,Θ) представляют собой RX�
ma
≈ ×P (Θ)�
co
≈-МПВП в классе Z′
01(Y,Θ),
т. е. [Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5] в Z′
01(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и P ∈ P (Θ)�
co
≈,
при этом разным значениям параметров
∼
ω и P соответствуют несовпадающие ПВП.
Следствие 12. МСЗР M = (Y,Θ, U, g, P ), где Z = (Y,Θ, U, g) ∈ ПрZ(Y,Θ), а законо-
мерность P ∈ P (Θ)�
co
≈, является полным математическим описанием ситуации для
[Y1, Y2, Y3.2, Y3.4, Y4, Y5] в ПрZ(Y,Θ) с параметрами
∼
ω∈ RX�
ma
≈ и P ∈ P (Θ)�
co
≈.
Теорема 7. Для произвольного класса ССЗР Z′
0(Y,Θ)
χ′
Z′
0
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈ ×P (Θ)/
co
≈)
⋂
µZ′
0
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈ ×Q(Θ)) = Π22(Z
′
0(Y,Θ)).
Теорема 8. Для произвольного класса ССЗР Z
′
1(Y,Θ)
χ′
ПрZ′
1
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈ ×P (Θ)/
co
≈)
⋂
µПрZ
′
1
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈ ×Q(Θ)) = Π22(ПрZ′
1(Y,Θ)).
Определение 10. Статистическая закономерность P ∈ P (Θ) называется емкой, если
найдется такая неаддитивная вероятность (емкость) v ∈ Q(Θ), что для всякой f ∈ B(Θ)
имеет место
∫
Θ
f dv = min
p∈P
∫
Θ
f(θ)p(dθ), где B(Θ) — множество всех
∑
-измеримых ограничен-
ных функций на Θ, а в левой части равенства стоит интеграл Шоке (см. [4]).
Множество всех емких статистических закономерностей на Θ будем обозначать через
P1(Θ).
Теорема 9. Для произвольного класса ССЗР Z′
0(Y,Θ) Π13(Z
′
0(Y,Θ)) = µZ′
0
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈
×Qco(Θ)) = χ′
Z′
0
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈ ×P1(Θ)/
co
≈) = Π12(Z
′
0(Y,Θ)) = Π22(Z
′
0(Y,Θ)) и при этом для
любых
∼
ω∈ RX/
ma
≈ , для любых ω ∈
∼
ω и для любых v ∈ Qco(Θ) имеет место следующее
соотношение:
µZ′
0
(Y,Θ)(
∼
ω, v) = χZ′
0
(Y,Θ)(ω,P ), core v = coP.
Теорема 10. Для произвольного класса ССЗР Z
′
1(Y,Θ) Π13(ПрZ′
1(Y,Θ)) =
= µПрZ′
1
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈ ×Qco(Θ)) = χ′
ПрZ′
1
(Y,Θ)(R
X/
ma
≈ ×P1(Θ)/
co
≈) = Π12(ПрZ′
1(Y,Θ)) =
= Π22(ПрZ′
1(Y,Θ)) и при этом для любых
∼
ω∈ RX/
ma
≈ , для любых ω ∈
∼
ω, для любых v ∈ Qco
и для любых P ∈ P1(Θ) имеет место соотношение µПрZ′
1
(Y,Θ)(
∼
ω, v) = χПрZ
′
1
(Y,Θ)(ω,P ),
core v = coP .
Теорема 11. Для определяющей ССЗР Z = (Y,Θ, U, g) класса ПрZ′
1(Y,Θ)(Z′
0(Y,Θ))
следующие условия эквивалентны:
функции полезности W1(u) = min
p∈P
∫
Θ
ω1(g(θ, u))p(dθ) и W2(u) =
∫
Θ
ω2(g(θ, u))dv, где P ∈
∈ P (Θ), v ∈ Q(Θ), w1, w2 ∈ RX , ω ∈ U определяют одно и то же отношение предпочтений
на U (значит и на Y );
W1(u) = W2(u) ∀u ∈ U ;
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
емкость v-выпуклая (т. е. v ∈ Qco(Θ)), w1(x) = w2(x) ∀x ∈ X, coP = core v;
статистическая закономерность P -емкая (т. е. P ∈ P1(Θ)), w1(x) = w2(x) ∀x ∈ X,
coP = core v;
ПВП для ССЗР класса ПрZ′
1(Y,Θ) (Z′
0(Y,Θ)) принадлежит классу Π22(ПрZ′
1(Y,Θ))
(Π22(Z
′
0(Y,Θ))).
Кроме того, при этих условиях эквивалентны следующие предложения:
емкость v-аддитивна;
cardP = 1;
ПВП для ССЗР класса ПрZ′
1(Y,Θ) (Z′
0(Y,Θ)) принадлежит классу Π1(ПрZ′
1(Y,Θ))
(Π1(Z
′
0(Y,Θ))).
Доказательства сформулированных теорем представлены в работе автора [7].
Таким образом, условия Y3.2 (независимости от определенности), Y3.4 (независимос-
ти эквивалентных решений от самих себя) являются необходимыми и достаточными для
замены критерия, представляющего собой ожидаемую полезность по неаддитивной мере
(см. [4]), на критерий, представляющий собой минимум ожидаемой полезности по стати-
стической закономерности (см. [5, 6]). При этом условие Y3.4 является некоторой формой
принципа гарантированного результата (см. [1, 2, 5, 6]) или условием непринятия неопре-
деленности (uncertainty aversion) (см. [3, 4]). А условие Y3.1 (комонотонной независимости)
является необходимым и достаточным для взаимной замены критериев, один из которых
представляет собой минимум ожидаемой полезности по статистической закономерности, на
другой критерий, представляющий собой ожидаемую полезность по неаддитивной мере.
Кроме того, в случае возможности такой замены, что равносильно требованию условий
Y3.1, Y3.2, Y3.4 или условий Y3.1, Y3.3 (независимость от худшего), условие Y3 (независи-
мости) является необходимым и достаточным для того, чтобы статистическая закономер-
ность P состояла из одного элемента (это равносильно аддитивности емкости v).
1. Иваненко В.И., Лабковский В.А. Проблема неопределенности в задачах принятия решений. – Киев:
Наук. думка, 1990. – 135 с.
2. Ivanenko V. I. Decision systems and non-stochastic randomness. – Berlin: Springer, 2010. – 267 p.
3. Schmeidler D. Subjective probability and expected utility without additivity. – IMA Preprint Series, Uni-
versity of Minnesota, 1984.
4. Schmeidler D. Subjective probability and expected utility without additivity // Econometrica. – 1989. –
57. – P. 571–587.
5. Михалевич В.М. Одна форма принципа гарантированного результата при многократном выборе //
Кибернетика и вычислит. техника. – 2010. – 161. – С. 28–34.
6. Михалевич В.М. Об одном критерии для необайесовских задач решения // Там же. – 2011. – 163. –
С. 3–22.
7. Михалевич В.М. О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения //
Кибернетика и системный анализ. – 2010. – № 6. – С. 140–154.
Поступило в редакцию 03.11.2010НУ “Киево-Могилянская академия”
V.M. Mikhalevich
On the modeling of a decision-making system for neo-Bayesian problems
A subject of the decision-making system is modeled to within the information that underlies the
choice of a specific solution with the purpose to attain the subjectively best solution.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 51
|