Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами

Визначено абсолютно неперервні процеси, які збігаються до мультифрактального броунівського руху за ймовірністю в просторах типу Бєсова. Одержано результат про збіжність розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь з такими процесами до розв'язку рівняння з мультифрактальним броунівським...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Ральченко, К.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2011
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38147
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами / К.В. Ральченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 27-31. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-38147
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-381472012-11-01T12:10:51Z Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами Ральченко, К.В. Математика Визначено абсолютно неперервні процеси, які збігаються до мультифрактального броунівського руху за ймовірністю в просторах типу Бєсова. Одержано результат про збіжність розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь з такими процесами до розв'язку рівняння з мультифрактальним броунівським рухом. Аналогічні наближення побудовано для випадку двопараметричних процесів. We define absolute continuous stochastic processes that converge to a multifractal Brownian motion in Besov-type spaces. The convergence of solutions of stochastic differential equations with such processes to a solution of the equation with multifractal Brownian motion is proved. Similar approximations are constructed in the case of two-parameter processes. 2011 Article Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами / К.В. Ральченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 27-31. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38147 519.21 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Ральченко, К.В. Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами Доповіді НАН України
description	Визначено абсолютно неперервні процеси, які збігаються до мультифрактального броунівського руху за ймовірністю в просторах типу Бєсова. Одержано результат про збіжність розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь з такими процесами до розв'язку рівняння з мультифрактальним броунівським рухом. Аналогічні наближення побудовано для випадку двопараметричних процесів.
format	Article
author	Ральченко, К.В.
author_facet	Ральченко, К.В.
author_sort	Ральченко, К.В.
title	Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами
title_short	Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами
title_full	Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами
title_fullStr	Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами
title_full_unstemmed	Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами
title_sort	наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38147
citation_txt	Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами / К.В. Ральченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 27-31. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT ralʹčenkokv nabližennâmulʹtifraktalʹnihprocesívípolívabsolûtnoneperervnimiprocesami
first_indexed	2025-07-03T20:01:55Z
last_indexed	2025-07-03T20:01:55Z
_version_	1836657321340567552
fulltext	УДК 519.21 © 2011 К.В. Ральченко Наближення мультифрактальних процесiв i полiв абсолютно неперервними процесами (Представлено академiком НАН України В. С. Королюком) Визначено абсолютно неперервнi процеси, якi збiгаються до мультифрактального бро- унiвського руху за ймовiрнiстю в просторах типу Бєсова. Одержано результат про збiжнiсть розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь з такими процесами до розв’язку рiвняння з мультифрактальним броунiвським рухом. Аналогiчнi наближення побудовано для випадку двопараметричних процесiв. Дробовий броунiвський рух (ДБР) є популярною моделлю для дослiдження процесiв з дов- гостроковою залежнiстю, що виникають, наприклад, у комп’ютерних мережах, на фiнансо- вих ринках тощо. Але стацiонарнiсть приростiв ДБР iстотно обмежує область його засто- сувань. Зокрема, вiн не дозволяє моделювати процеси, регулярнiсть траєкторiй i “глибина пам’ятi” яких змiнюється з часом. У зв’язку з цим останнiм часом було запропоновано де- кiлька узагальнень ДБР, а саме: мультифрактальний броунiвський рух (МБР) з рухомим середнiм [1], МБР типу Вольтерра [2, 3], гармонiзований МБР [4]. У данiй роботi ми будуємо абсолютно неперервнi процеси, якi наближують одно- i дво- параметричний МБР. Ми доводимо збiжнiсть апроксимацiй у просторах типу Бєсова. Як наслiдок, ми одержуємо результат про збiжнiсть розв’язкiв вiдповiдних стохастичних ди- ференцiальних рiвнянь. 1. Апроксимацiя мультифрактального броунiвського руху. 1.1. Означення 1. Нехай для β ∈ (0, 1) W β 0 = W β 0 ([0, T ]) — простiр вимiрних функцiй f : [0, T ] → R з ‖f‖0,β := sup t∈[0,T ] ( \|f(t)\|+ t ∫ 0 \|f(t)− f(s)\| (t− s)1+β ds ) <∞. Також нехай W β 1 = W β 1 ([0, T ]) — простiр вимiрних функцiй f : [0, T ] → R з ‖f‖1,β := sup 06s<t6T ( \|f(t)− f(s)\| (t− s)β + t ∫ s \|f(u)− f(s)\| (u− s)1+β du ) <∞. Нехай (Ω,F ,P) — повний iмовiрнiсний простiр. Дробовим броунiвським рухом (ДБР) з параметром Хюрста H ∈ (0, 1) називається центрований гауссiвський процес BH = = {BH t , t > 0} зi стацiонарними приростами та коварiацiйною функцiєю E(BH t B H s ) = 1 2 (t2H + s2H − \|t− s\|2H). ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 27 Припустимо, що функцiя H : [0,+∞) → (1/2, 1) задовольняє умову Гельдера з показни- ком γ > 1/2: iснує стала C1 > 0 така, що для будь-яких t1, t2 ∈ [0,+∞) \|Ht1 −Ht2 \| 6 C1\|t1 − t2\| γ . Можливi рiзнi узагальнення ДБР зi змiнною функцiєю Хюрста. Ми розглядатимемо узагальнення вигляду Yt = BHt t , де {BH t , t ∈ [0, T ],H ∈ (1/2, 1)} — така сiм’я випадкових величин, що (i) для фiксованого H ∈ (1/2, 1) {BH t , t ∈ [0, T ]} — ДБР з параметром Хюрста H; (ii) для будь-яких t ∈ [0, T ], H1, H2 ∈ (1/2, 1) E(BH1 t −BH2 t )2 6 C2(H1 −H2) 2. Наприклад, це може бути будь-яке з узагальнень, запропонованих в роботах [1–4]. Введемо позначення Hmin := min{γ, min t∈[0,T ] Ht}. 1.2. Апроксимацiя мультифрактального броунiвського руху. Розглянемо таку апрокси- мацiю: BHt,ε t := 1 φt(ε) t+φt(ε) ∫ t BHs s ds = 1 φt(ε) φt(ε) ∫ 0 B Hu+t u+t du, (1) де φt(ε) = φ(t, ε) : [0, T ] × R+ → R+ — набiр вимiрних функцiй, який задовольняє умови: 1) sup t∈[0,T ] φt(ε) → 0, ε → 0+; 2) для всiх t, s ∈ [0, T ] i для всiх ε > 0 ∣ ∣ ∣ ∣ φs(ε)− φt(ε) φs(ε) ∣ ∣ ∣ ∣ 6 C3\|t− s\|Hmin, де C3 — стала, яка не залежить вiд ε. У ролi φt(ε) можна розглядати, наприклад, функцiї виду φt(ε) = ψt · ε, де функцiя ψt вiдокремлена вiд нуля та задовольняє умову Гельдера з показником Hmin. Теорема 1. Для довiльного β ∈ (0,Hmin) ‖BH,ε −BH‖1,β P −→ 0, ε→ 0 + . 1.3. Наближення розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь. Розглянемо сто- хастичне диференцiальне рiвняння з МБР: Xt = X0 + t ∫ 0 b(s,Xs) ds + t ∫ 0 σ(s,Xs) dB Hs s , t ∈ [0, T ]. (2) Наближення для розв’язку цього рiвняння природно будувати як розв’язок Xε t = X0 + t ∫ 0 b(s,Xε s ) ds+ t ∫ 0 σ(s,Xε s ) dB Hs,ε s , t ∈ [0, T ], 28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7 де процеси BHs,ε s , ε > 0, визначенi формулою (1). Але спершу треба визначити, коли розв’я- зок рiвняння (2) iснує та єдиний. Припустимо, що коефiцiєнти b(t, x), σ(t, x) майже напевне задовольняють такi умови (сталi LN , MN та функцiя b0 можуть залежати вiд ω). I. σ(t, x) — диференцiйовна за x; iснують сталi 1−Hmin < κ 6 1 та (1/Hmin)−1 < δ 6 1, i для кожного N > 0 iснує MN > 0 таке, що: (i) для всiх x ∈ R i t ∈ [0, T ] \|σ(t, x)− σ(t, y)\| 6M0\|x− y\|; (ii) для всiх \|x\|, \|y\| 6 N i t ∈ [0, T ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∂ ∂x σ(t, x) − ∂ ∂x σ(t, y) ∣ ∣ ∣ ∣ 6MN \|x− y\|δ; (iii) для всiх x ∈ R, t, s ∈ [0, T ] \|σ(t, x)− σ(s, x)\| + ∣ ∣ ∣ ∣ ∂ ∂x σ(t, x)− ∂ ∂x σ(s, x) ∣ ∣ ∣ ∣ 6M0\|t− s\|κ. II. Iснує b0 ∈ Lρ(0, T ), ρ > 2, i для кожного N > 0 iснує LN > 0 таке, що: (iv) для всiх \|x\|, \|y\| 6 N i t ∈ [0, T ] \|b(t, x)− b(t, y)\| 6 LN \|x− y\|; (v) для всiх x ∈ R i t ∈ [0, T ] \|b(t, x)\| 6 L0\|x\|+ b0(t). Нехай α0 = min{1/2,κ, δ/(1 + δ)}. Теорема 2. Припустимо, що α ∈ (1 − Hmin, α0), X0 — випадкова величина, а коефi- цiєнти рiвняння (2) задовольняють умови (i)–(v) з ρ > 1/α. Тодi iснує єдиний розв’язок {Xt, t ∈ [0, T ]} рiвняння (2), X ∈ L0(Ω,F ,P,Wα 0 [0, T ]), траєкторiї якого майже напевне належать до простору C1−α[0, T ]. Нехай BHs,ε s , ε > 0, визначенi формулою (1). Теорема 3. Припустимо, що виконанi умови теореми 2. Тодi sup t∈[0,T ] \|Xt −Xε t \| P −→ 0, ε→ 0+. 2. Апроксимацiя полiв. 2.1. Означення 2. Нехай s, t ∈ R 2 +, s = (s1, s2), t = (t1, t2). Будемо писати s < t, якщо s1 < t1 i s2 < t2. Для s < t позначимо [s, t] = [s1, t1]× [s2, t2] ⊂ R 2 +. Для функцiї f : R2 + → R розглядатимемо прирости ∆sf(t) := f(t)− f(s1, t2)− f(t1, s2) + f(s), s, t ∈ R 2 +. Нехай T = (T1, T2) ∈ (0,∞)2, [0, T ] = [0, T1] × [0, T2]. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 29 W β1,β2 1 = W β1,β2 1 ([0, T ]) — простiр вимiрних функцiй f : [0, T ] → R, для яких ‖f‖1,β1,β2 = sup 06s<t6T ( \|∆sf(t)\| (t1 − s1)β1(t2 − s2)β2 + 1 (t2 − s2)β2 t1 ∫ s1 \|ft−(u, s2)− ft−(s)\| (u− s1)1+β1 du+ + 1 (t1 − s1)β1 t2 ∫ s2 \|ft−(s1, v)− ft−(s)\| (v − s2)1+β2 dv + ∫ [s,t] \|∆sf(r)\| (r1 − s1)1+β1(r2 − s2)1+β2 dr ) <∞, де ft−(s) := f(s) − f(s1, t2−) − f(t1−, s2) + f(t−). 2.2. Загальна теорема. Нехай {Bt, t ∈ [0, T ]} — випадкове поле, яке задовольняє умови: 1) Bt — гауссiвське; 2) iснують сталi C > 0 та λ > 1 такi, що для будь-яких s, t ∈ [0, T ] E(∆sBt) 2 6 C({t1 − s1}{t2 − s2}) λ; (3) 3) траєкторiї Bt — неперервнi з iмовiрнiстю 1. Розглянемо таку апроксимацiю: Bε t = 1 ε2 t1+ε ∫ t1 t2+ε ∫ t2 Bsds = 1 ε2 ∫ [0,ε]2 Bs+tds. Теорема 4. Для довiльних β1, β2 ∈ (0, λ/2) ‖Bε −B‖1,β1,β2 P −→ 0, ε→ 0 + . 2.3. Дробове броунiвське поле. Випадкове поле {BH t , t ∈ [0, T ]} називається дробовим броунiвським полем з iндексом Хюрста H = (H1,H2) ∈ (0, 1)2, якщо воно задовольняє умови: 1) BH t — гауссiвське поле, BH t = 0, t ∈ ∂R2 +; 2) EBH t = 0, EBH t B H s = 1 4 ∏ i=1,2 (t2Hi i + s2Hi i − \|ti − si\| 2Hi). Таке поле має неперервну модифiкацiю завдяки критерiю Колмогорова. Його прирости задовольняють тотожнiсть E(∆sB H t )2 = \|t1 − s1\| 2H1 \|t2 − s2\| 2H2 . Тому для BH t нерiвнiсть (3) виконується з λ = 2min{H1,H2}. Таким чином, згiдно з теоре- мою 4, при Hi > 1/2 для довiльних β1, β2 ∈ (0,H1 ∧H2) має мiсце збiжнiсть апроксимацiй: ‖BH,ε −BH‖1,β1,β2 P −→ 0, ε→ 0+, де BH,ε t = 1 ε2 t1+ε ∫ t1 t2+ε ∫ t2 BH s ds. 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7 2.4. Анiзотропне мультифрактальне броунiвське поле. Розглянемо функцiю H(t) = = (H1(t),H2(t)) : [0, T ] → (1/2, 1)2 . Нехай сталi µ, ν такi, що 1 2 < µ < min t∈[0,T ] Hi(t) 6 max t∈[0,T ] Hi(t) < ν < 1, i = 1, 2. Припустимо, що iснують додатнi сталi c1, c2 такi, що для будь-яких t, s ∈ [0, T ]: (H1) \|Hi(t)−Hi(s)\| 6 c1(\|t1 − s1\| ν + \|t2 − s2\| ν); (H2) \|∆sHi(t)\| 6 c2(\|t1 − s1\| \|t2 − s2\|) ν . Мультифрактальне броунiвське поле {B H(t) t , t ∈ [0, T ]} з функцiональним iндексом Хюрста H(t) визначається формулою B H(t) t := ∫ R2 ∏ i=1,2 [ (ti − ui) Hi(t)−1/2 + − (−ui) Hi(t)−1/2 + ] dWu, t ∈ [0, T ], де s+ = max{s, 0}, W = {Ws, s ∈ R 2} — стандартне вiнерiвське поле. Теорема 5. Траєкторiї поля B H(t) t неперервнi з iмовiрнiстю 1. Теорема 6. Iснує стала C > 0 така, що для будь-яких s, t ∈ [0, T ] E(∆sB H(t) t )2 6 C(\|t1 − s1\| \|t2 − s2\|) 2µ. З теорем 5 i 6 випливає, що анiзотропне мультифрактальне броунiвське поле {B H(t) t , t ∈ ∈ [0, T ]} задовольняє умови теореми 4. Тому для довiльних β1, β2 ∈ (0, µ) ‖B H(t),ε t −B H(t) t ‖1,β1,β2 P −→ 0, ε→ 0+, де BH(t),ε t = 1 ε2 t1+ε ∫ t1 t2+ε ∫ t2 BH(s) s ds. 1. Peltier R. F., Lévy Véhel J. Multifractional Brownian motion: definition and preliminary results // INRIA research report. – 1995. – No 2645. – 39 p. 2. Boufoussi B., Dozzi M., Marty R. Local time and Tanaka formula for a Volterra type multifractional Brownian motion // Bernoulli. – 2010. – 16, No 4. – P. 1294–1311. 3. Ральченко К.В., Шевченко Г.М. Властивостi траєкторiй мультифрактального броунiвського руху // Теорiя ймовiрностей. та матем. статистика. – 2009. – 80. – С. 106–116. 4. Benassi A., Jaffard S., Roux D. Gaussian processes and pseudodifferential elliptic operators // Rev. Math. Iberoamer. – 1997. – 13, No 1. – P. 19–89. Надiйшло до редакцiї 14.10.2010Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка K.V. Ralchenko Absolute continuous approximations for multifractal processes and fields We define absolute continuous stochastic processes that converge to a multifractal Brownian mo- tion in Besov-type spaces. The convergence of solutions of stochastic differential equations with such processes to a solution of the equation with multifractal Brownian motion is proved. Similar approximations are constructed in the case of two-parameter processes. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 31

Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами

Репозитарії

Схожі ресурси