Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій

Наведено схему побудови сімейств атомарних радіальних базисних функцій, які є нескінченно диференційовними фінітними розв'язками функціонально-диференціальних рівнянь, породжених операторами Лапласа та Гельмгольца....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2011
Main Authors:	Колодяжний, В.М., Лісіна, О.Ю.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2011
Series:	Доповіді НАН України
Subjects:	Математика
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38513
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій / В.М. Колодяжний, О.Ю. Лiсiна // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 21-27. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-38513
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-385132012-11-12T12:13:01Z Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій Колодяжний, В.М. Лісіна, О.Ю. Математика Наведено схему побудови сімейств атомарних радіальних базисних функцій, які є нескінченно диференційовними фінітними розв'язками функціонально-диференціальних рівнянь, породжених операторами Лапласа та Гельмгольца. The scheme of building a family of atomic radial basis functions which are infinitely differentiable finite solutions of the functional-differential equations containing the Laplace and Helmholtz operators is introduced. 2011 Article Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій / В.М. Колодяжний, О.Ю. Лiсiна // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 21-27. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38513 519.95 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Колодяжний, В.М. Лісіна, О.Ю. Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій Доповіді НАН України
description	Наведено схему побудови сімейств атомарних радіальних базисних функцій, які є нескінченно диференційовними фінітними розв'язками функціонально-диференціальних рівнянь, породжених операторами Лапласа та Гельмгольца.
format	Article
author	Колодяжний, В.М. Лісіна, О.Ю.
author_facet	Колодяжний, В.М. Лісіна, О.Ю.
author_sort	Колодяжний, В.М.
title	Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій
title_short	Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій
title_full	Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій
title_fullStr	Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій
title_full_unstemmed	Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій
title_sort	щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38513
citation_txt	Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій / В.М. Колодяжний, О.Ю. Лiсiна // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 21-27. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT kolodâžnijvm ŝodoutvorennâsímejstvatomarnihradíalʹnihbazisnihfunkcíj AT lísínaoû ŝodoutvorennâsímejstvatomarnihradíalʹnihbazisnihfunkcíj
first_indexed	2025-07-03T20:28:47Z
last_indexed	2025-07-03T20:28:47Z
_version_	1836659012049829888
fulltext	УДК 519.95 © 2011 В.М. Колодяжний, О. Ю. Лiсiна Щодо утворення сiмейств атомарних радiальних базисних функцiй (Представлено академiком НАН України В. Л. Макаровим) Наведено схему побудови сiмейств атомарних радiальних базисних функцiй, якi є нескiн- ченно диференцiйовними фiнiтними розв’язками функцiонально-диференцiальних рiв- нянь, породжених операторами Лапласа та Гельмгольца. При реалiзацiї чисельних алгоритмiв розв’язання крайових задач математичної фiзики без- сiтковими методами одним з найважливiших критерiїв одержання якiсних розв’язкiв є вибiр системи базисних функцiй. Створення вiдповiдних базисних систем здiйснюється на основi функцiй, якi задовольняють властивiсть iнварiантностi не тiльки при виконаннi операцiй зсувiв, але й при поворотах i вiдображеннях в евклiдовому просторi, а саме на позитив- но визначених функцiях, що утворюють класи радiальних базисних функцiй (РБФ) [1] та атомарних радiальних базисних функцiй (АРБФ) [2–6]. РБФ-методи найчастiше застосо- вуються в сучаснiй теорiї апроксимацiї, коли вирiшується задача опрацювання розподiле- них даних у багатовимiрному просторi. Спочатку такi методи були використанi в геодезiї, геофiзицi та метрологiї, пiзнiше — у чисельних процедурах розв’язування диференцiаль- них рiвнянь з частинними похiдними [1]. Використання АРБФ багатьох змiнних потребує вмiння отримувати певнi сiмейства атомарних функцiй, щоб розширити їх апроксимацiйнi можливостi при дослiдженнi прикладних задач. 1. Вiдповiднi сiмейства АРБФ утворюються при розв’язуваннi функцiонально-дифе- ренцiальних рiвнянь виду Lu(x) = λ ∮ ∂Ω u[k(x− ξ)] dω + µu(kx), (1) де x = (x1, x2, . . . , xn); ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn); L — один з диференцiальних операторiв: △, △±δ2, △2: △ = n ∑ i=1 ∂2/∂x2i ; ∂Ω: n ∑ i=1 ξ2i = r2k; λ, µ — параметри, якi уточнюються в процесi розв’язку; δ — параметр оператора Гельмгольца; k — коефiцiєнт стиску, який вибирається на основi залежностi шуканих функцiй вiд величини стиску. Питання iснування певних класiв атомарних функцiй дослiджувалось в роботах [2–7], в яких розглядалася побудова розв’язкiв вiдповiдних функцiонально-диференцiальних рiв- нянь у випадку, коли k = 3: Lu(x, y) = λ ∮ ∂Ω u[3(x − ξ)] dω + µu(3x). (2) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 21 З метою побудови сiмейств АРБФ трьох незалежних змiнних для визначеного класу атомарних функцiй, що породжуються оператором Гельмгольца, розглянемо функцiональ- но-диференцiальне рiвняння виду ∆u(x1, x2, x3)− δ2u(x1, x2, x3) = = λ ∮ ∂Ω u[k(x1 − ξ1), (x2 − ξ2), (x3 − ξ3)] dω + µu(kx1, kx2, kx3), (3) де ∂Ω: 3 ∑ i=1 ξ2i = r2k, rk = R(k). Зауважимо, що R(k) може мати рiзнi зображення залежно вiд k : R(k) = (k + 1)/2k або R(k) = (2k − 1)/2k. Бажано звернути увагу на те, що розмi- ри областi ∂Ω залежать вiд коефiцiєнта стиску i можуть змiнюватися в процесi побудови розв’язку вихiдної задачi за потребою забезпечення певних властивостей функцiй. 2. Застосуємо тривимiрне перетворення Фур’є U(t1, t2, t3) = +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ u(x1, x2, x3)e −i(t1x1+t2x2+t3x3)dx1dx2dx3 до рiвняння (3): +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ [∆u(x1, x2, x3)− δ2u(x1, x2, x3)]e −i(t1x1+t2x2+t3x3)dx1dx2dx3 = = +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ λ ∫∫ ∂Ω u[k(x1 − ξ1), k(x2 − ξ2), k(x3 − ξ3)] dω + + µu(kx1, kx2, kx3)e −i(t1x1+t2x2+t3x3)dx1dx2dx3. (4) Позначимо k(xi − ξi) = ηi, i = 1, 2, 3, звiдки xi = ηi/k + ξi. Замiна порядку iнтегрування приводить рiвняння (4) до вигляду −(t21 + t22 + t23)U(t1, t2, t3)− δ2U(t1, t2, t3) = λ ∫∫ ∂Ω +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ u ( k η1 k , k η2 k , k η3 k ) × × e−i[t1( η1 k +ξ1)+t2( η2 k +ξ2)+t3( η3 k +ξ3)]d η1 k d η2 k d η3 k + µ k3 U ( t1 k , t2 k , t3 k ) , який можна виписати у такiй формi: −(t21 + t22 + t23 + δ2)U(t1, t2, t3) = 1 k3 U ( t1 k , t2 k , t3 k ) [ λ ∫∫ ∂Ω e−i(t1x1+t2x2+t3x3)dω + µ ] . (5) Зауважимо, що в iнтегралi в квадратних дужках iнтегрування виконується за сферою ∂Ω: ξ21 + ξ22 + ξ23 = r2k. Легко бачити, що у показнику пiдiнтегральної функцiї поданий 22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8 скалярний добуток двох векторiв ~T = (t1, t2, t3), ~Ξ = (ξ1, ξ2, ξ3), де вектор ~T направлений уздовж аплiкати декартової системи координат, в якiй визначається сфера ∂Ω, а вектор ~Ξ направлений уздовж радiуса вектора, що описує цю сферу. Застосувавши сферичнi координати x1 = rk sin θ cosϕ, x2 = rk sin θ sinϕ, x3 = = rk cosϕ [8, 9], перепишемо iнтеграл за поверхнею у виглядi ∫∫ ∂Ω e−i(t1x1+t2x2+t3x3)dω = r2k 2π ∫ 0 π ∫ 0 e−irk √ t2 1 +t2 2 +t2 3 sin θdθdϕ, та зведемо вихiдний iнтеграл (у квадратних дужках рiвняння (5)) до елементарної функцiї: ∫∫ ∂Ω e−i(t1ξ1+t2ξ2+t3ξ3)dω = 4πr2k sin rk √ t21 + t22 + t23 rk √ t21 + t22 + t23 . Таким чином, рiвняння (5) запишемо у виглядi U(t1, t2, t3) = 1 k3 U ( t1 k , t2 k , t3 k )[ λ4πr2k sin rk √ t21 + t22 + t23 rk √ t21 + t22 + t23 + µ ] 1 (−δ2 − t21 − t22 − t23) . (6) З потреби забезпечення того, щоб вираз у квадратних дужках був цiлою функцiєю, скористаємось можливiстю вибору параметра µ з умови t21 + t22 + t23 → 0, тобто µ = = −4π iδ λrk sin rkiδ. Структура рiвняння (6), а саме вигляд f(t) = +∞ ∏ h=0 f(t/kh), дає можливiсть зобразити дане спiввiдношення у виглядi нескiнченного добутку [2]: U(t1, t2, t3) = ∞ ∏ h=0 µ− 4πr2kλ sin rk kh √ t21 + t22 + t23 rk kh √ t21 + t22 + t23 k3 ( δ2 + t21 + t22 + t23 k2h ) . (7) Для забезпечення збiжностi нескiнченного добутку (7) виберемо параметр λ з умови, коли h = 0, а t21 + t22 + t23 → 0, тобто λ = −(kδ)3i 4 πrk[sin(rkiδ) + rkiδ]. На основi узагальнення теореми Вiнера–Пелi [10] для багатовимiрного випадку, теореми Полiа–Планшереля [11] встановлюємо, що функцiя u(x1, x2, x3) є нескiнченно диференцi- йовною функцiєю з компактним носiєм, для якої перетворення Фур’є U(t1, t2, t3) зобра- жається швидкоспадною цiлою функцiєю експоненцiального типу. Описанi умови забезпе- чують в результатi застосування зворотного перетворення Фур’є до функцiї (7) отримання фiнiтної функцiї (носiєм цiєї функцiї буде одиничного радiуса куля). Згiдно з термiноло- гiєю робiт [2–5], дану функцiю позначатимемо Horpk(x1, x2, x3) та вважатимемо атомарною функцiєю. Зауважимо, що iндекс k вказує на можливiсть розширення пiдкласу функцiй Horpk(x1, x2, x3) з метою отримання необхiдних характеристик функцiї. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 23 Функцiя Horpk(x1, x2, x3) є парною вiдносно своїх змiнних i може бути зображена роз- кладеною в трикратний ряд Фур’є [6] Horpk(x1, x2, x3) = ∞ ∑ p=0 ∞ ∑ q=0 ∞ ∑ r=0 apqr cos(pπx1) cos(qπx2) cos(rπx3), (8) в якому коефiцiєнти Фур’є обчислюються за формулами a000 = 1 8 ; ap00 = 1 4 H̃orpk(pπ, 0, 0); a0q0 = 1 4 H̃orpk(0, qπ, 0); a00r = 1 4 H̃orpk(0, 0, rπ); apq0 = 1 2 H̃orpk(pπ, qπ, 0); ap0r = 1 2 H̃orpk(pπ, 0, rπ); a0qr = 1 2 H̃orpk(0, qπ, rπ); apqr = H̃orp(pπ, qπ, rπ), (9) де p, q, r = 1, 2, . . .; H̃orpk(t1, t2, t3) = U(t1, t2, t3). Функцiї Horpk(x1, x2, x3) утворюють сiмейство пiдкласу атомарних функцiй, якi пород- жуються модифiкованим диференцiальним оператором Гельмгольца ∆ − δ2. 3. Отриманi в п. 2 результати можуть бути пiдсумованi такою теоремою. Теорема 1. Сiмейство атомарних функцiй Horpk(x1, x2, x3), якi є розв’язками функ- цiонально-диференцiального рiвняння (3) при визначених значеннях параметрiв µ = −4π iδ λrk sin rkiδ; λ = − (kδ)3i 4πrk[sin(rkiδ) + rkiδ] , є фiнiтними нескiнченно диференцiйовними функцiями з одиничною кулею як носiєм, нор- мованими умовою +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ Horpk(x1, x2, x3)dx1dx2dx3 = 1, що мають зображення в кубi [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1] рядом Фур’є (8) з коефiцiєнтами Фур’є (9). Перетворення Фур’є (7) функцiї Horpk(x1, x2, x3) є швидкоспадною при t21 + t22 + t23 → ∞ функцiєю експоненцiального типу. Згiдно з вищевказаною схемою можна утворити сiмейства фiнiтних розв’язкiв вiдповiд- них функцiонально-диференцiальних рiвнянь, якi породженi диференцiальними оператора- ми Лапласа та Гельмгольца. Пiдсумувати наведене можна такими теоремами. Теорема 2. Сiмейство атомарних функцiй KGorpk(x1, x2, x3), якi є розв’язком функ- цiонально-диференцiального рiвняння ∆u(x1, x2, x3) + δ2u(x1, x2, x3) = = λ ∮ ∂Ω u[k(x1 − ξ1), k(x2 − ξ2), k(x3 − ξ3)] dω + µu(kx1, kx2, kx3), де ∂Ω — сфера: ξ21 + ξ22 + ξ23 = r2k, iз значеннями параметрiв µ = −4π δ λrk sin rkδ; λ = − (kδ)3 4πrk[sin(rkδ)− rkδ] 24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8 є фiнiтними нескiнченно диференцiйовними функцiями з одиничною кулею як носiєм, нор- мованими умовою +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ KGorpk(x1, x2, x3)dx1dx2dx3 = 1, та мають зображення в ку- бi [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1] рядом Фур’є KGorpk(x1, x2, x3) = ∞ ∑ p=0 ∞ ∑ q=0 ∞ ∑ r=0 apqr cos(pπx1) cos(qπx2) cos(rπx3) з коефiцiєнтами Фур’є a000 = 1 8 ; ap00 = 1 4 K̃Gorpk(pπ, 0, 0); a0q0 = 1 4 K̃Gorpk(0, qπ, 0); a00r = 1 4 K̃Gorpk(0, 0, rπ); apq0 = 1 2 K̃Gorpk(pπ, qπ, 0); ap0r = 1 2 K̃Gorpk(pπ, 0, rπ); a0qr = 1 2 K̃Gorpk(0, qπ, rπ); apqr = K̃Gorpk(pπ, qπ, rπ). Перетворення Фур’є функцiї KGorpk(x1, x2, x3), K̃Gorpk(t1, t2, t3) = ∞ ∏ h=0 µ− 4πr2kλ sin ( rk √ t21 + t22 + t23 kh ) rk √ t21 + t22 + t23 kh k3 ( t21 + t22 + t23 k2h − δ2 ) , є швидкоспадною при t21 + t22 + t23 → ∞ функцiєю експоненцiального типу. Для дещо спрощеного рiвняння виду (3), коли δ = 0, отримуємо. Теорема 3. Сiмейство атомарних функцiй Gorpk(x1, x2, x3), якi є розв’язком функцiо- нально-диференцiального рiвняння ∆u(x1, x2, x3) = λ ∮ ∂Ω u[k(x1 − ξ1), k(x2 − ξ2), k(x3 − ξ3)] dω + µu(kx1, kx2, kx3), де ∂Ω — сфера: ξ21 + ξ22 + ξ23 = r2k, iз значеннями параметрiв λ = k3 4πr2k ; µ = −4πr2kλ є фiнiтними нескiнченно диференцiйовними функцiями з одиничною кулею як носiєм, нор- мованими умовою +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ −∞ Gorpk(x1, x2, x3) dx1dx2dx3 = 1, що мають зображення в кубi [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1] рядом Фур’є Corpk(x1, x2, x3) = ∞ ∑ p=0 ∞ ∑ q=0 ∞ ∑ r=0 apqr cos(pπx1) cos(qπx2) cos(rπx3) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 25 з коефiцiєнтами Фур’є a000 = 1 8 , ap00 = 1 4 G̃orpk(pπ, 0, 0); a0q0 = 1 4 G̃orpk(0, qπ, 0); a00r = 1 4 G̃orpk(0, 0, rπ); apq0 = 1 2 G̃orpk(pπ, qπ, 0); ap0r = 1 2 G̃orpk(pπ, 0, rπ); a0qr = 1 2 G̃orpk(0, qπ, rπ); apqr = G̃orpk(pπ, qπ, rπ). Перетворення Фур’є функцiї Gorpk(x1, x2, x3), C̃orpk(t1, t2, t3) = ∞ ∏ h=0 µ− 4πr2kλ sin ( rk √ t21 + t22 + t23 kh ) rk √ t21 + t22 + t23 kh k3−2h(t21 + t22 + t23) , є швидкоспадною при t21 + t22 + t23 → ∞ функцiєю експоненцiального типу. Запропонована процедура побудови сiмейств атомарних радiальних базисних функцiй розширює можливостi безсiткових пiдходiв наближеного розв’язання крайових задач на основi АРБФ i дозволяє вибирати як базиснi такi функцiї з побудованих сiмейств, якi по- кращують якiсть наближення. 1. Buhmann M.D. Radial basis functions: theory and implementations. – Cambridge: Cambridge University Press, 2004. – 259 p. 2. Колодяжний В.М., Рвачов В.О. Фiнiтнi функцiї, що породженi оператором Лапласа // Доп. НАН України. – 2004. – № 4. – С. 17–22. 3. Колодяжний В.М., Рвачов В.О. Деякi властивостi атомарних функцiй багатьох змiнних // Там само. – 2005. – № 1. – С. 12–20. 4. Колодяжний В.М., Рвачов В.О. Фiнiтнi функцiї, що породженi бiгармонiчним оператором // Там само. – 2006. – № 2. – С. 23–30. 5. Колодяжний В.М., Рвачов В.О. Фiнiтнi розв’язки функцiонально-диференцiальних рiвнянь з час- тинними похiдними // Там само. – 2004. – № 5. – С. 17–22. 6. Колодяжный В.М., Рвачов В.А. Атомарные функции трех переменных инвариантные относительно группы вращения // Кибернетика и системный анализ. – 2004. – № 6. – С. 118–130. 7. Колодяжный В.М., Рвачов В.А. Атомарные функции. Обобщения на случай многих переменных и перспективные направления практических приложений // Там же. – 2007. – № 6. – С. 155–177. 8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – Москва: Наука, 1971. – 1108 с. 9. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. – Москва: Наука, 1965. – 588 с. 10. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурьє в комплексной области. – Москва: Наука, 1964. – 269 с. 11. Ронкин Л.И. Элементы теории аналитических функций многих переменных. – Киев: Наук. думка, 1977. – 167 с. Надiйшло до редакцiї 17.11.2010Iнститут проблем машинобудування iм. А.М. Пiдгорного НАН України, Харкiв Харкiвський нацiональний автомобiльно-дорожнiй унiверситет 26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8 V.M. Kolodyazhny, O.U. Lisina On the formation of the families of atomic radial basis functions The scheme of building a family of atomic radial basis functions which are infinitely differen- tiable finite solutions of the functional-differential equations containing the Laplace and Helmholtz operators is introduced. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 27

Щодо утворення сімейств атомарних радіальних базисних функцій

Institution

Similar Items