О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе
A method of definition of the stability margin in phase for the systems reproducing vibrations with electrodynamic vibrobenches is developed.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3854 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 31-35. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-3854 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-38542010-10-07T15:42:39Z О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе Божко, А.Е. Інформатика та кібернетика A method of definition of the stability margin in phase for the systems reproducing vibrations with electrodynamic vibrobenches is developed. 2008 Article О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 31-35. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3854 534.08 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Божко, А.Е. О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе |
| description |
A method of definition of the stability margin in phase for the systems reproducing vibrations with electrodynamic vibrobenches is developed. |
| format |
Article |
| author |
Божко, А.Е. |
| author_facet |
Божко, А.Е. |
| author_sort |
Божко, А.Е. |
| title |
О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе |
| title_short |
О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе |
| title_full |
О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе |
| title_fullStr |
О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе |
| title_full_unstemmed |
О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе |
| title_sort |
о запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3854 |
| citation_txt |
О запасе устойчивости по фазе в электродинамической виброиспытательной системе / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 31-35. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT božkoae ozapaseustojčivostipofazevélektrodinamičeskojvibroispytatelʹnojsisteme |
| first_indexed |
2025-07-02T07:13:15Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:13:15Z |
| _version_ |
1836518364402417664 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2008
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 534.08.
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О запасе устойчивости по фазе в электродинамической
виброиспытательной системе
A method of definition of the stability margin in phase for the systems reproducing vibrations
with electrodynamic vibrobenches is developed.
В автоматических системах управления электродинамическими вибростендами (ЭДВ) име-
ет место погрешность, создаваемая при сравнении сигналов обратной связи с заданными.
Сдвиг по времени выходной величины сигнала в ЭДВ относительно входной обусловлен
инерционностью элементов управляющего устройства и самого вибростенда. Фазовые и час-
тотные искажения, возникающие в системе ЭДВ, ухудшают точность воспроизведения не-
обходимых гармонических и стохастических вибраций. Также при некотором сдвиге фаз
сигналов задающего генератора и цепи обратной связи (ОС) система ЭДВ переходит в не-
устойчивую область работы, порождающую выход из строя ЭДВ. Это недопустимо. ОС
формирует в системе ЭДВ устойчивый режим работы при сдвиге фаз между указанными
сигналами, равными нулю. Сдвиг точки перехода через нуль в общем виде можно записать
как корень уравнения
sinωt−
n
∑
k=2
Kkϕ sin(kωt+ ϕk) = 0, (1)
где ω — круговая частота (ω = 2πf , f — частота); t — время; ϕk — k-й сдвиг фаз (инер-
ционность в системе создает отрицательный ϕk); Kkϕ — коэффициент фазовых искажений
k-го порядка.
Если представить гармонические сигналы в символической форме [1], то
U̇1 = U̇1aℓ
jωt = U1aℓ
jϕ1ℓjωt,
U̇k = U̇kaℓ
jkωt = Ukaℓ
jϕkℓjkωt,
j =
√
−1, k = 2, n.
(2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 31
Из (2) видно, что искажения величины k-го сигнала U̇k относительно U̇1 видны при изме-
нении комплексной амплитуды U̇ka = Ukaℓ
jφk . Исходя из этого,
Kkϕ =
U̇ka
U1a
=
Uka
U1a
ℓj(φk−ϕ1). (3)
Решение уравнения (1) можно представить в общем виде
∆ϕ = ωt0 = f(K2ϕ,K3ϕ, . . . ,Knϕ, ϕn), (4)
куда входят Kkϕ, k = 2, n, в виде (2) или (3), t0 — время, соответствующее точке срав-
нения указанных выходного и входного сигналов в ЭДВ при ϕ = 0. Для синусоидального
напряжения при наличии первой гармоники и при Una sinnωt уравнение (1) может быть
следующим:
sinωt−Knϕ sin(nωt+ ϕn) = 0. (5)
Условием максимального сдвига точки перехода разности сигналов через 0 в зависи-
мости от ϕn является ∂ωt/∂ϕn = 0. Здесь с учетом (1), (2) и (5)
∂ωt
∂ϕn
=
∂
∂ϕn
{arcsin[Knϕ sin(nωt+ φn)]} =
{
arcsin
[
Una
U1a
ℓj(ϕn−ϕ1) sin(nωt+ φn)
]}
. (6)
Для решения (6) используем выражение [2]
d
dx
(arcsinx) =
1√
1 − x2
. Получим
∂ωt
∂ϕn
=
Una
U1a
ℓj(ϕn−ϕ1)
[
ℓjπ/2 sin(nωt+ ϕn) + cos(nωt+ ϕn)
]
√
1 − sin2
[
Una
U1a
ℓj(ϕn−ϕ1) sin(nωt+ ϕn)
]
. (7)
Приравнивая (7) нулю, получим выражение
j sin(nωt+ ϕn) + cos(nωt+ ϕn) = 0,
которое представим с помощью формул Эйлера
sinx =
ℓjx − ℓ−jx
2j
; cos x =
ℓjx + ℓ−jx
2
.
Тогда имеем
j
ℓj(nωt+ϕn) − ℓ−j(nωt+ϕn)
2j
+
ℓj(nωt+ϕn) + ℓ−j(nωt+ϕn)
2
= ℓj(nωt+ϕn) = 0
или, воспользовавшись символической формой записи гармонической функции,
sin(nωt+ ϕn) = 0,
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
откуда nωt + ϕn ≈ mπ, где m = 2k + 1, k = 0, 1, 2, . . .. Подставив это выражение в (5),
получим sinωt − Knϕ = 0 и тогда (4) имеет вид
∆ϕmax = arcsinKnϕ = ωt0.
Следует заметить, что обычно величины этих фазовых сдвигов определить затрудни-
тельно. В таких случаях целесообразно использовать понятие о времени запаздывания.
Целесообразность анализа устойчивости на основе определения времени запаздывания за-
ключается в том, что последнее может легко находиться экспериментально. Запаздывание
и фазовый сдвиг являются разными количественными характеристиками одного и того же
физического явления, вызываемого наличием реактивных элементов в системе (цепи).
Если процесс является гармоническим, то время запаздывания τз и фазовый сдвиг ψ
связаны соотношением
Ψ(ω) = τзω. (8)
Кроме экспериментальных характеристик, о величине времени запаздывания можно
судить по известным фазовым характеристикам системы. Для этого необходимо восполь-
зоваться передаточной функцией системы, в данном случае системы ЭДВ. В общем случае
выражение передаточной функции, с учетом запаздывания разомкнутой системы, имеет
вид
W τ = W (ω)ℓj[ϕ(ω)+Ψ(ω)]. (9)
Вектор W τ по модулю равен W (ω), т. е. передаточной функции, полученной без учета
запаздывания, а по фазе повернут относительно W (ω)ℓjϕ(ω) на угол Ψ(ω). Этот угол равен
нулю при ω = 0, т. е. в этом случае Wτ (0) = W (0). При увеличении частоты Ψ между W τ
и W возрастает, так как, согласно (8), Ψ(ω) = τзω. Любая система может самовозбудиться,
если при W (ω) > 1, вследствие наличия запаздывания, удовлетворяется неравенство
ϕ(ω) + Ψ(ω) = 2mπ, (10)
m — целое число (0, 1, 2, 3, . . .).
Условие баланса фаз (10) выполняется независимо от знака m. При этом кривая, опи-
сываемая концом вектора W τ (ω), охватит зону между (−1,+j0) в системе координат комп-
лексных чисел.
Приняв во внимание выражения (8)–(10), получим минимальное, или, как обычно его
называют, критическое время запаздывания τкр. Это время определяется при условии, что
W(ωлр) = 1,
τкр =
(2m+ 1)π + ϕ(ωлр)
ωлр
.
(11)
Критическое время запаздывания τкр можно определить графически, используя частот-
ный критерий Найквиста [3]. Для этого строится амплитудно-фазочастотная характеристи-
ка системы воспроизведения вибраций (СВВ) без запаздывания и в соответствии с выраже-
ниями (11) на графике проводится окружность радиусом 1. Точки пересечения этих двух
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 33
кривых дадут значения ϕкр и ωкр. Запас устойчивости СВВ по фазе в общем случае можно
представить и как функцию параметров αk системы и частоты среза ωс, т. е.
Ψ = Ψ(ωc, αk, k = 1, n). (12)
При малых отклонениях параметров СВВ в условиях внешних воздействий запас устой-
чивости по фазе будет изменяться. Для определения этого факта разложим (12) в ряд
Тейлора [2] в окрестности расчетных параметров αk и ограничимся линейными членами
ряда. Представим (12) в виде
Ψk = Ψk[ωc(α1), ωc(α2), . . . , ωc(αn)]
и тогда
∆Ψ ≈ ∂Ψk
∂αk
=
(
m
∑
k=1
∂Ψ
∂αk
+
∂Ψ
∂ωc
l
∑
k=i
∂ωc
∂ωk
)
∆αk, (13)
где k = 1, 2, . . . , i, i + 1, . . . , l, l + 1, . . . ,m; αi, αi+1, . . ., αk — параметры системы.
Далее перейдем к конкретной СВВ с ЭДВ типа УЭВ 20/5000, параметры которого сле-
дующие: магнитная индукция в зазоре подвижной катушки Bδ = 1,5 Тл; активное сопро-
тивление цепи подвижной катушки (ПК) Rпк = 0,5Ω; индуктивность ПК — Lпк = 0,4 · 10−6
Гн; масса подвижной системы m1 = 13,6 кг; масса подвижной катушки m2 = 4,9 кг; длина
провода подвижной катушки l = 108 м; собственная частота системы ω0 = 125 рад/с; ко-
эффициенты диссипации колебательных систем подвижной катушки и механической части
стенда соответственно ξ1 = 0,7, ξ2 = 0,3; пондеромоторные силы F1 = 1,6·109 н/м = Bδimaxl,
где imax — ток в цепи подвижной катушки.
Передаточная функция СВВ с ЭДВ имеют вид [4]
Wc(p) =
τфp+ 1
(τпкз + 1)(T 2
1 p
2 + 2T1ξ1p+ 1)(T 2
2 p
2 + 2T2ξ2p+ 1)
, (14)
где τф, τпк, T1, T2 — соответственно постоянные времени форсирующего звена, подвижной
катушки, колебательных звеньев ПК и механический части стенда; p = d/dt — оператор.
В качестве параметров αk, k = 1,m (см. (14)) предполагаются все постоянные времени
в СВВ. Частные производные ∂Ψ/∂τф, ∂Ψ/∂ωc, . . ., представленные в (13), могут быть
определены из выражения для запаса устойчивости по фазе (12). В данном случае для
СВВ с ЭДВ запас устойчивости по фазе определяется соотношением
Ψ = arctgωcτф − arctgωcτпк − arctg
2ξ1T1ωc
1 − T 2
1ω
2
c
− arctg
2ξ2T2ωc
1 − T 2
2ω
2
c
,
где τф = 1,5 ·10−6 с; τпк = 0,8 ·10−6 с; T1 = 0,84 ·10−2 с; T2 = 0,45 ·10−4 с; ωф = 0,6 ·106 рад/с;
ωпк = 125 ·106 рад/с; ω1 = 1,2 ·102 рад/с; ω2 = 2,2 ·104 рад/с; ωс — частота среза, в точке пе-
ресечения логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАХ) с осью абсцисс
(ω), т. е. когда ЛАХ = 0 · дб. Частные производные ∂ωc/∂τф, ∂ωc/∂τпк, ∂ωc/∂Т1, ∂ωc/∂Т2
можно определить, если учесть, что для скорректированной системы СВВ ЛАХ пересека-
ет ось абсцисс (ω) при ЛАХ = 0 · дб под наклоном 20 дб/дек [4]. Это дает возможность
частоту среза ωс представить посредством выражения
ωc =
Kyτф
τпкТ1Т2
,
где Ky — коэффициент передачи разомкнутой СВВ.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1
Не приводя числовых вычислений для СВВ с УЭВ 20/5000, запас устойчивости по фазе
определим в виде 69◦, что позволяет обеспечивать регулирование частоты в дорезонансной
области без потери устойчивости СВВ.
Для расширения частотного диапазона СВВ с УЭВ 20/5000 было введено в систему
звено — фильтр, передаточная функция которого представляет собой обратную характе-
ристику резонансной части СВВ, т. е. своеобразный фильтр-пробку на резонансной частоте
СВВ.
Скорректированная по фазе СВВ обеспечила проведение виброиспытаний изделий как
по методу качающей частоты, так и при воспроизведении СВВ стохастических вибраций.
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: Гос. изд-во техн.-теор.
лит., 1956. – 608 с.
3. Фельдбаум А.Л., Дудыкин А.Д., Мановцев А.П. и др. Теоретические основы связи и управления. –
Москва: Физматгиз, 1963. – 932 с.
4. Божко А.Е. Воспроизведение вибраций. – Киев: Наук. думка, 1975. – 191 с.
Поступило в редакцию 30.01.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
УДК 536.24
© 2008
Академик НАН Украины И.В. Сергиенко, академик НАН Украины
В.С. Дейнека
Идентификация параметров многокомпонентных
стержневых систем
We present a procedure of the construction of computational algorithms for solving the problems
of identification of the parameters of multicomponent framed structures. The explicit formulas
for Gâteaux derivatives used in the construction of gradient computational algorithms are obtai-
ned.
Теория оптимального управления состояниями многокомпонентных распределенных сис-
тем [1–3] позволяет на основании решений прямых и соответствующих сопряженных за-
дач получать явные выражения дифференциалов Гато квадратичных функционалов ка-
чества при различных (в том числе и комбинированных) способах наблюдений. Эта осо-
бенность, ранее установленная в работе [4] для однородных систем, авторами работы [5]
использована для построения градиентных методов идентификации параметров однород-
ных параболических систем.
В данной работе на основании результатов работ [1–3, 5] предложены вычислительные
алгоритмы градиентных методов идентификации параметров многокомпонентных стержне-
вых систем.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 35
|