Точечный комплекс Кошуля системы полиномов

A pointed element of the Koszul complex of a system of polynomials is an analog of the pointed distribution depending on parameters.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Сейфуллин, Т.Р.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2008
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3855
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Точечный комплекс Кошуля системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 17-22. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-3855
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-38552009-07-13T12:01:21Z Точечный комплекс Кошуля системы полиномов Сейфуллин, Т.Р. Математика A pointed element of the Koszul complex of a system of polynomials is an analog of the pointed distribution depending on parameters. 2008 Article Точечный комплекс Кошуля системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 17-22. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3855 512 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Сейфуллин, Т.Р. Точечный комплекс Кошуля системы полиномов
description	A pointed element of the Koszul complex of a system of polynomials is an analog of the pointed distribution depending on parameters.
format	Article
author	Сейфуллин, Т.Р.
author_facet	Сейфуллин, Т.Р.
author_sort	Сейфуллин, Т.Р.
title	Точечный комплекс Кошуля системы полиномов
title_short	Точечный комплекс Кошуля системы полиномов
title_full	Точечный комплекс Кошуля системы полиномов
title_fullStr	Точечный комплекс Кошуля системы полиномов
title_full_unstemmed	Точечный комплекс Кошуля системы полиномов
title_sort	точечный комплекс кошуля системы полиномов
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3855
citation_txt	Точечный комплекс Кошуля системы полиномов / Т.Р. Сейфуллин // Доп. НАН України. — 2008. — № 1. — С. 17-22. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT sejfullintr točečnyjkomplekskošulâsistemypolinomov
first_indexed	2025-07-02T07:13:18Z
last_indexed	2025-07-02T07:13:18Z
_version_	1836518367052169216
fulltext	УДК 512 © 2008 Т.Р. Сейфуллин Точечный комплекс Кошуля системы полиномов (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Летичевским) A pointed element of the Koszul complex of a system of polynomials is an analog of the pointed distribution depending on parameters. В настоящей работе будем использовать определения и обозначения, данные в [1–6]. Соглашение 1. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, A — коммутативная алгебра над R. Пусть M, N , K — модули над R, ψ : M × N → K — билинейное над R отображение. Если M и N являются модулями над A, и имеет место ψ(a · m,n) = ψ(m, a · n) для любых a ∈ A, m ∈ M, n ∈ N , то отображение ψ назовем внутренне билинейным над A. Соглашение 2. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Пусть K — модуль над R, K′ ⊆ K. Под аддитивным замыканием K′ будем понимать множество, полученное из множества, состоящего из нуля модуля K путем применений операции P ′ = P ⋃ {a + b \| a ∈ P, b ∈ K} ⋃ {a − b \| a ∈ P , b ∈ K}. Пусть M, N , K — модули над R, ψ : M × N → K — билинейное над R отображение, M′ ⊆ M, N ′ ⊆ N . Под ψ(M′,N ′) будем понимать множество {ψ(m,n) \| m ∈ M′, n ∈ N ′}, а не его аддитивное замыкание. Определение 1. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, x = (x1, . . . , xn) — набор полиномиальных переменных, f̂ = (f̂1, . . . , f̂s) — набор грассмановых переменных. Обозначим R[x, f̂ ] ≃ R[x] ⊗ RΛR(f̂) градуированную коммутативную алгебру над R (см. [7, с. 230–232]) в которой порядок xk равен 0, а порядок f̂i равен 1. Элементы R[x, f̂ ] будем обозначать a(x, f̂), где a — любая буква, порядок a(x, f̂) будем обозначать \|a\|. Пусть y = (y1, . . . , ym) — набор полиномиальных переменных, ĝ = (ĝ1, . . . , ĝt) — на- бор грассмановых переменных, обозначим R[x, f̂ ][y, ĝ]∗ = HomR(R[y, ĝ],R[x, f̂ ]) множество линейных над R отображений R[y, ĝ] → R[x, f̂ ]. Элементы R[x, f̂ ][y, ĝ]∗ будем обозначать a(x, f̂ , y∗, ĝ∗), где a — любая буква. Обозначим R[y, ĝ]∗ = HomR(R[y, ĝ],R) множество линейных над R отображений R[y, ĝ] → R. Элементы R[y, ĝ]∗ будем обозначать a(y∗, ĝ∗), где a — любая буква. Под R[x][y] будем понимать кольцо полиномов от переменных y = (y1, . . . , ym) с коэф- фициентами из R[x]. Под точечным подмодулем модуля R[x, f̂ ][y, ĝ]∗ (R[y, ĝ]∗) будем понимать точечный под- модуль модуля R[x, f̂ ][y, ĝ]∗ (R[y, ĝ]∗) как модуля над R[x][y] (R[y]). Под точечным элемен- том модуля R[x, f̂ ][y, ĝ]∗ (R[y, ĝ]∗) будем понимать элемент, принадлежащий некоторому точечному подмодулю этого модуля. Заметим, что если y = (), то R[x, f̂ ][y, ĝ]∗ = R[x, f̂ ][ĝ]∗ (R[y, ĝ]∗ = R[ĝ]∗) является точеч- ным своим подмодулем как модуля над R[x][y] = R[x][] ≃ R[x] (R[y] = R[] ≃ R), так как является конечно порожденным как модуль над R[x] (R). Тогда и любой элемент модуля R[x, f̂ ][ĝ]∗ (R[ĝ]∗) является точечным, так как R[x, f̂ ][ĝ]∗ (R[ĝ]∗) является своим точечным подмодулем. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 17 Лемма 1. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей; пусть x1, x2, x3, y1, y2, z1, z2 — наборы полиномиальных переменных. Пусть Λ′ — модуль над R[x1, x2][y1, y2, z1], Λ′′ — модуль над R[x2, x3, y1, y2][z2], Λ — модуль над R[x1, x2, x3][y1, z1, z2]. Пусть ψ : Λ′×Λ′′ → Λ — билинейное над R отображение, линейное над R[x1] по первому аргументу, билинейное над R[x2], линейное над R[x3] по второму аргументу, билинейное над R[y1], внутренне билинейное над R[y2], линейное над R[z1] по первому аргументу, линейное над R[z2] по второму аргументу. Тогда: 1) если L′ — точечный подмодуль модуля Λ′, L′′ — точечный подмодуль модуля Λ′′, L — аддитивное замыкание ψ(L′,L′′), то L является точечным подмодулем модуля Λ; 2) если l′ — точечный элемент из Λ′, l′′ — точечный элемент из Λ′′, то ψ(l′, l′′) яв- ляется точечным элементом из Λ. Доказательство 1. Пусть a(x1, x2, y1, z1) ∈ R[x1, x2, y1, z1], тогда a(x1, x2, y1, z1) · ψ(L′,L′′) = ψ(a(x1, x2, y1, z1) · L ′,L′′) ⊆ ψ(L′,L′′). Равенство следует из линейности отображения ψ над R[x1, x2, y1, z1] по первому аргументу. Включение следует из включения a(x1, x2, y1, z1) · L ′ ⊆ L′, которое имеет место, так как L′ является модулем над R[x1, x2][y1, y2, z1]. Следовательно, ψ(L′,L′′) замкнуто относительно умножения на полиномы из R[x1, x2, y1, z1]. Пусть b(x2, x3, y1, z2) ∈ R[x2, x3, y1, z2], тогда b(x2, x3, y1, z2) · ψ(L′,L′′) = ψ(L′, b(x2, x3, y1, z2) · L ′′) ⊆ ψ(L′,L′′). Равенство следует из линейности отображения ψ над R[x2, x3, y1, z2] по второму аргумен- ту. Включение следует из включения b(x2, x3, y1, z2) · L ′′ ⊆ L′′, которое имеет место, так как L′′ является модулем над R[x2, x3, y1, y2][z2]. Следовательно, ψ(L′,L′′) замкнуто отно- сительно умножения на полиномы из R[x2, x3, y1, z2]. Тогда L как аддитивное замыкание множества ψ(L′,L′′) является модулем над R[x1, x2, y1, z1] и модулем над R[x2, x3, y1, z2], следовательно, является модулем над R[x1, x2, x3][y1, z1, z2]. Так как L′ — точечный подмодуль модуля Λ′, то он обладает конечной системой обра- зующих {λ′p \| p ∈ P} как модуль над R[x1, x2]. Так как L′′ — точечный подмодуль мо- дуля Λ′′, то он обладает конечной системой образующих {λ′′q \| q ∈ Q} как модуль над R[x2, x3, y1, y2]. L порождается аддитивно элементами вида ψ(l′, l′′), где l′ ∈ L′, l′′ ∈ L′′. Тогда l′ = ∑ p ap(x1, x2) · λ ′ p, l ′′ = ∑ q ∑ t bqt (x3) · c q t (x2, y1, y2) · λ ′′ q , где ap(x1, x2) ∈ R[x1, x2], bqt (x3) ∈ R[x3], c q t (x2, y1, y2) ∈ R[x2, y1, y2], сумма по t является конечной. Имеет место ψ(l′, l′′) = ψ ( ∑ p ap(x1, x2) · λ ′ p, ∑ q ∑ t bqt (x3) · c q t (x2, y1, y2) · λ ′′ q ) = = ∑ p ∑ q ∑ t ap(x1, x2) · b q t (x3) · ψ(λ′p · c q t (x2, y1, y2), λ ′′ q ) = = ∑ p ∑ q ∑ t ap(x1, x2) · b q t (x3) · ψ ( ∑ r W qr pt (x1, x2) · λ ′ r, λ ′′ q ) = = ∑ p ∑ q ∑ t ∑ r ap(x1, x2) · b q t (x3) ·W qr pt (x1, x2) · ψ(λ′r, λ ′′ q ) = 18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1 = ∑ q ∑ r ( ∑ p ap(x1, x2) · ( ∑ t bqt (x3) ·W qr pt (x1, x2) )) · ψ(λ′r, λ ′′ q ). Второе равенство следует из линейности над R[x1, x2] по первому аргументу, линейности над R[x3] по второму аргументу и внутренней билинейности над R[x2, y1, y2] отображения ψ. Далее, λ′p ·c q t (x2, y1, y2) ∈ L′, так как λ′p ∈ L′ и L′ является модулем над R[x1, x2][y1, y2, z1], тогда λ′p ·c q t (x2, y1, y2) = ∑ r W qr pt (x1, x2)·λ ′ r, где W qr pt (x1, x2) ∈ R[x1, x2], так как {λ′p \| p ∈ P} — система образующих L′ как модуля над R[x1, x2]. Четвертое равенство следует из линей- ности над R[x1, x2] по первому аргументу отображения ψ. В последнем выражении коэф- фициентом при ψ(λ′r, λ ′′ q ) является полином из R[x1, x2, x3], следовательно, L порождается конечной системой образующих {ψ(λ′r , λ ′′ q) \| r ∈ P, q ∈ Q} как модуль над R[x1, x2, x3], т. е. является конечно порожденным как модуль над R[x1, x2, x3]. Таким образом, L явля- ется точечным подмодулем модуля Λ как модуля над R[x1, x2, x3][y1, z1, z2]. Доказательство 2. Так как l′ — точечный элемент из Λ′, то l′ ∈ L′, где L′ — то- чечный подмодуль модуля Λ′; так как l′′ — точечный элемент из Λ′′, то l′′ ∈ L′′, где L′′ — точечный подмодуль модуля Λ′′. Пусть L — аддитивное замыкание ψ(L′,L′′), то- гда ψ(l′, l′′) ∈ ψ(L′,L′′) ⊆ L. Поскольку в силу 1 леммы L является точечным подмодулем модуля Λ, то ψ(l′, l′′) является точечным элементом L. Лемма 2. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей; пусть x1, x2, x3, y1, y2, z1, z2 — наборы полиномиальных переменных и f̂1, f̂2, f̂3, ĝ1, ĝ2, ĝ3, ĝ4, ĝ5, ĝ6, ĥ1, ĥ2, ĥ3 — наборы грассмановых переменных. Пусть Λ′ = R[x1, x2, f̂1, f̂2, ĝ1, ĝ3, ĝ5][y1, y2, z1, ĝ2, ĝ4, ĝ6, ĥ1, ĥ2]∗, Λ′′ = R[x2, x3, y1, y2, f̂2, f̂3, ĝ2, ĝ4, ĝ6][z2, ĝ1, ĝ3, ĝ5, ĥ2, ĥ3]∗, Λ = R[x1, x2, x3, f̂1, f̂2, f̂3, ĝ3, ĝ4][y1, z1, z2, ĝ1, ĝ2, ĥ1, ĥ2, ĥ3]∗; ψ — отображение: Λ′ × Λ′′ ∋ (l′, l′′) 7→ l(x1, x2, x3, y 1 ∗ , z1 ∗ , z2 ∗ , f̂1, f̂2, f̂3, ĝ3, ĝ4, ĝ 1 ∗ , ĝ2 ∗ , ĥ1 ∗ , ĥ2 ∗ , ĥ3 ∗ ) = = ⊥ y1 ⊤ y2 ⊥ ĝ1 ⊥ ĝ2 ⊥ ĝ3 ∗ ⊥ ĝ4 ∗ ⊤ ĝ5 ⊤ ĝ6 l′(x1, x2, y 1 ∗ , y2 ∗ , z1 ∗ , f̂1, f̂2, ĝ1, ĝ3, ĝ5, ĝ 2 ∗ , ĝ4 ∗ , ĝ6 ∗ , ĥ1 ∗ , ĥ2 ∗ ) · · l′′(x2, x3, y1, y2, z 2 ∗ , f̂2, f̂3, ĝ2, ĝ4, ĝ6, ĝ 1 ∗ , ĝ3 ∗ , ĝ5 ∗ , ĥ2 ∗ , ĥ3 ∗ ). Тогда: 1) если L′ — точечный подмодуль модуля Λ′, L′′ — точечный подмодуль модуля Λ′′, то аддитивное замыкание ψ(L′,L′′) является точечным подмодулем модуля Λ; 2) если l′ — точечный элемент из Λ′, l′′ — точечный элемент из Λ′′, то ψ(l′, l′′) яв- ляется точечным элементом из Λ. Доказательство. Легко видеть, что Λ′, Λ′′, Λ, ψ удовлетворяют условиям леммы 1. Тогда из 1 леммы 1 следует 1 леммы, из 2 леммы 1 следует 2 леммы. Дополнение к лемме 2. Если один из наборов переменных y1, y2, ĝ1, ĝ3, ĝ4, ĝ5, ĝ6 пустой, то соответствующая этому набору сверка среди сверток ⊥ y1 , ⊤ y2 , ⊥ ĝ1 , ⊥ ĝ2 , ⊥ ĝ3 ∗ , ⊥ ĝ4 ∗ , ⊤ ĝ5 , ⊤ ĝ6 в определении отображения ψ отсутствует. Если все эти наборы переменных пустые, то в определении отображения ψ сверки отсутствуют и оно является произведением. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 19 Лемма 3. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей; x = (x1, . . . , xn), y = = (y1, . . . , ym) — наборы полиномиальных переменных; f̂ = (f1, . . . , f̂s), ĝ = (ĝ1, . . . , ĝt) — наборы грассмановых переменных. Пусть a(x) ∈ R[x]m, b(x) ∈ R[x]s×t, тогда 1(y,ĝ)(a(x), f̂ b(x)) является точечным. Доказательство. 1(y,ĝ)(a(x), f̂ b(x))·R[x][y] является модулем над R[x][y] и является ко- нечно порожденным как модуль над R[x], ибо он порождается элементом 1(y,ĝ)(a(x), f̂ b(x)) как модуль над R[x], так как для любого H(x, y) ∈ R[x][y] : 1(y,ĝ)(a(x), f̂ b(x)) · H(x, y) = = 1(y,ĝ)(a(x), f̂ b(x)) · H(x, a(x)), а H(x, a(x)) ∈ R[x]. Следовательно, 1(y,ĝ)(a(x), f̂ b(x)) яв- ляется точечным. Определение 2. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей; x, y — наборы полино- миальных переменных, z = (x, y); f̂ = (f̂1, . . . , f̂s), ĝ = (ĝ1, . . . , ĝt) — наборы грассмановых переменных; f(z) = (f1(z), . . . , fs(z)), g(z) = (g1(z), . . . , gt(z)) — полиномы из R[z]. Обозначим C(x, y∗, f̂ , ĝ∗) множество R[x, f̂ ][y, ĝ]∗ с определенным на нем отображением ∂ : c(x, y∗, f̂ , ĝ∗) 7→ ∂[c(x, y∗, f̂ , ĝ∗)] = ⊥ f̂∗ f(z)f̂∗ · c(x, y∗, f̂ , ĝ∗) − g(z)ĝ∗ · c(x, y∗, f̂ , ĝ∗). Имеет место ∂.∂ = 0, ∂ является однородным отображением порядка −1. C(x, y∗, f̂ , ĝ∗) является комплексом над R[x][y] ≃ R[z], который называется комплексом Кошуля системы полиномов f(z), g(z) (см. [8, с. 157]). c(x, y∗, f̂ , ĝ∗) назовем точечным, если он является точечным элементом C(x, y∗, f̂ , ĝ∗) как модуля над R[x][y]. Обозначим C •(x, y∗, f̂ , ĝ∗) множество точечных элементов C(x, y∗, f̂ , ĝ∗) как модуля над R[x][y]. Лемма 4. Пусть имеют место условия определения 2. Тогда C •(x, y∗, f̂ , ĝ∗) является подкомплексом комплекса C(x, y∗, f̂ , ĝ∗) над R[x][y] ≃ R[z], т. е. C •(x, y∗, f̂ , ĝ∗) является подмодулем C(x, y∗, f̂ , ĝ∗) как модуля над R[x][y] и если c(x, y∗, f̂ , ĝ∗) — точечный элемент из C(x, y∗, f̂ , ĝ∗), то ∂[c(x, y∗, f̂ , ĝ∗)] является точечным элементом. Доказательство. Поскольку отображение ∂ является линейным над R[x][y], то в силу леммы 5 из [6] C •(x, y∗, f̂ , ĝ∗) является подкомплексом комплекса C(x, y∗, f̂ , ĝ∗) над R[x][y]. Определение 3. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей; y ≃ x′ ≃ x = = (x1, . . . , xn) — наборы переменных; ∂ : û 7→ (x − y), û′ 7→ (x′ − y). Обозначим △(x′,û′)(x, y, û) = 1(x′,û′)(x, û) − 1(x′,û′)(y, 0̂). Обозначим ∇(x′,û′)(x, y, û) такой элемент C(x, y, û;x′ ∗ , û′ ∗ ), что имеет место ∂[∇(x′,û′)(x, y, û)] = △(x′,û′)(x, y, û) и назовем его точечным оператором разностной гомотопии, если он является точечным. Лемма 5. Пусть имеют место условия определения 3. Тогда △(x′,û′)(x, y, û) являет- ся точечным и существует точечный оператор разностной гомотопии ∇(x′,û′)(x, y, û). Например, таким оператором является ∇(x′,û′)(x, y, û) = n∑ k=1 1 xk − yk · ûk · △ k (x′,û′)(x, y, û), где △k (x′,û′)(x, y, û) = 1(x′,û′)(y<k, xk, x>k, 0̂<k, ûk, û>k) − 1(x′,û′)(y<k, yk, x>k, 0̂<k, 0̂k, û>k). Доказательство. В силу леммы 3 1(x′,û′)(y<k, xk, x>k, 0̂<k, ûk, û>k) и 1(x′,û′)(y<k, yk, x>k, 0̂<k, 0̂k, û>k) 20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1 являются точечными, следовательно, и △k (x′,û′)(x, y, û), как их разность, в силу 2 леммы 2 из [6] является точечным, он аннулирует (I(x, y, x′))x,y,x′ , где I(x, y, x′) = {(x′k−xk)·(x ′ k−yk)\| 1 6 k 6 n}. Тогда оператор 1 xk−yk · ûk · △ k (x′,û′)(x, y, û) тоже аннулирует (I(x, y, x′))x,y,x′ , сле- довательно, он является точечным в силу леммы 3 из [6], так как R[x, y][x′]/(I(x, y, x′))x,y,x′ является конечно порожденным как модуль над R[x, y]. Тогда и оператор ∇(x′,û′)(x, y, û), бу- дучи их суммой, в силу 2 леммы 2 из [6] является точечным, он аннулирует (I(x, y, x′))x,y,x′ . В доказательстве леммы из [1, с. 45] показано, что ∇(x′,û′)(x, y, û) является оператором раз- ностной гомотопии. Вывод. Из лемм 2–4 следует, что во всех утверждениях работ [1–5], если исходные эле- менты дуальных комплексов Кошуля (т. е. вида C(x∗, f̂ x ∗ )) являются точечными, то и все другие встречающиеся элементы комплексов Кошуля являются точечными, в том числе элементы дуальных комплексов Кошуля. Из леммы 5 также следует, что если в утвержде- ниях имеются равенства вида c1 − c2 = ∂[C], то в них C является точечным, так как они получаются с применением разностной гомотопии ∇(x′,û′)(x, y, û) (теорема из [1, с. 47]). Теорема 1. Пусть R — поле, x = (x1, . . . , xn) — переменные, f(x) = (f1(x), . . . , fs(x)) — полиномы из R[x], ∂ : f̂x 7→ f(x). Пусть c(x∗, f̂ x ∗ ) ∈ Z(x∗, f̂ x ∗ ) — точечный. Тогда либо c(x∗, f̂ x ∗ ) = ∂[b(x∗, f̂ x ∗ )], где b(x∗, f̂ x ∗ ) ∈ C(x∗, f̂ x ∗ ) — точечный; либо сущест- вует точечный c′(x∗, f̂ x ∗ ) ∈ Z(x∗, f̂ x ∗ ) такой, что имеет место c(x∗, f̂ x ∗ ) − c′(x∗, f̂ x ∗ ) = = ∂[b(x∗, f̂ x ∗ )], где b(x∗, f̂ x ∗ ) ∈ C(x∗, f̂ x ∗ ) — точечный и для всех i = 1, s : c′(x∗, f̂∗)·fi(x) δi = 0̂∗ для некоторого δi > 1. Доказательство. Пусть f = (f1, . . . , fs) — полиномиальные переменные. Так как ко- сизигия c(x∗, f̂ x ∗ ) является точечной, то она принадлежит подмодулю L(x∗, f̂ x ∗ ) модуля C r(x∗, f̂ x ∗ ) над R[x], который является конечно порожденным как модуль над R. В си- лу 1 леммы 1 из [6] существует Ti(fi) ∈ R[fi] такой, что Ti(fi(x)) · L(x∗, f̂ x ∗ ) = {0̂∗}, тогда Ti(fi(x)) · c(x∗, f̂ x ∗ ) = 0̂∗. Пусть для некоторого i имеет место Ti(0) 6= 0, тогда 1 = fi · Pi(fi) + Ti(fi) · Qi, где Qi = Ti(0) −1 и Pi(fi) = −Qi · (Ti(fi) − Ti(0))/fi ∈ R[fi]. Тогда имеет место c(x∗, f̂ x ∗ ) = = 1 · c(x∗, f̂ x ∗ ) = fi(x) · Pi(fi(x)) · c(x∗, f̂ x ∗ ) + Ti(fi(x)) · Qi · c(x∗, f̂ x ∗ ) = ∂[b(x∗, f̂ x ∗ )] + 0̂∗, где b(x∗, f̂ x ∗ ) = f̂i,x · Pi(fi(x)) · c(x∗, f̂ x ∗ ), при этом в силу леммы 6 из [6] b(x∗, f̂ x ∗ ) являе- тся точечным, так как c(x∗, f̂ x ∗ ) является точечным, третье равенство имеет место, так как Ti(fi(x)) · c(x∗, f̂ x ∗ ) = 0̂∗. Пусть для всех i: Ti(0) = 0, тогда Ti(fi) = (fi) δi · T ′ i (fi), где δi > 1 и T ′ i (0) 6= 0. Так как (fi) δi и T ′ i (fi) не имеют общих корней, то 1 = (fi) δi · Pi(fi) + T ′ i (fi) · Qi(fi), где Pi(fi), Qi(fi) ∈ R[fi]. Обозначим Ei(x) = T ′ i (fi(x)) · Qi(fi(x)), тогда 1 − Ei(x) = (fi) δi · Pi(fi) = ∂[f̂i,x · (fi(x)) δi−1 · Pi(fi(x))] ∂ ≃ 0 в C(x, f̂x), т. е. Ei(x) ∂ ≃ 1 в C(x, f̂x), и (fi(x)) δi · Ei(x) = = (fi(x)) δi ·T ′ i (fi(x))·Qi(fi(x)) = Ti(fi(x))·Qi(fi(x)); здесь δi−1 > 0, так как δi > 1. Положим E(x) = s∏ j=1 Ej(x), тогда E(x) ∂ ≃ 1 в C(x, f̂x), т. е. 1−E(x) = ∂[a(x, f̂x)], где a(x, f̂x) ∈ C1(x, f̂x), и (fi(x)) δi · E(x) = (fi(x)) δi · s∏ j=1 Ej(x) = (fi(x)) δi · Ei(x) ·Hi(x) = Ti(fi(x)) ·Qi(fi(x)) ·Hi(x) = = Ti(fi(x)) · Si(x), где Si(x), Hi(x) ∈ R[x]. Положим c′(x∗, f̂ x ∗ ) = E(x) · c(x∗, f̂ x ∗ ). Тогда имеет место c(x∗, f̂ x ∗ )− c′(x∗, f̂ x ∗ ) = (1 − E(x)) · c(x∗, f̂ x ∗ ) = ∂[a(x, f̂x)] · c(x∗, f̂ x ∗ ) = ∂[b(x∗, f̂ x ∗ )], где b(x∗, f̂ x ∗ ) = a(x, f̂x) · c(x∗, f̂ x ∗ ), при этом в силу леммы 6 из [6] b(x∗, f̂ x ∗ ) является точе- чным, так как c(x∗, f̂ x ∗ ) является точечным. Кроме того, имеет место (fi(x)) δi · c′(x∗, f̂ x ∗ ) = = (fi(x)) δi · E(x) · c(x∗, f̂ x ∗ ) = Ti(fi(x)) · Si(x) · c(x∗, f̂ x ∗ ) = 0̂∗, так как Ti(fi(x)) · c(x∗, f̂ x ∗ ) = 0̂∗. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №1 21 1. Сейфуллин Т. Р. Гомологии комплекса Кошуля системы полиномиальных уравнений // Доп. НАН України. – 1997. – № 9. – С. 43–49. 2. Сейфуллин Т. Р. Комплексы Кошуля систем полиномов, связанных линейной зависимостью // Неко- торые вопросы современной математики. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1998. – С. 326–349. 3. Сейфуллин Т. Р. Комплексы Кошуля вложенных систем полиномов и двойственность // Доп. НАН України. – 2000. – № 6. – С. 26–34. 4. Сейфуллин Т. Р. Идемпотентные косизигии системы полиномов // Там само. – 2006. – № 3. – С. 22–28. 5. Сейфуллин Т. Р. Двойственность в комплексе Кошуля на изолированной 0-мерной компоненте мно- гообразия корней // Там само. – 2006. – № 4. – С. 16–21. 6. Сейфуллин Т. Р. Точечные косизигии системы полиномов // Там само. – 2007. – № 10. – С. 27–32. 7. Маклейн С. Гомология. – Москва: Мир, 1966. – 543 с. 8. Бурбаки Н. Алгебра. Гомологическая алгебра. – Москва: Наука, 1987. – 182 с. Поступило в редакцию 19.10.2006Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев УДК 517.5 © 2008 Член-кореспондент НАН України О. I. Степанець , А.С. Сердюк, А.Л. Шидлiч Про деякi новi критерiї нескiнченної диференцiйовностi перiодичних функцiй The set of D∞ of infinitely differentiable periodic functions is studied in terms of generalized ψ-derivatives defined by a pair ψ = (ψ1, ψ2) of sequences ψ1 and ψ2. It is established that every function f from the set D∞ has at least one such derivative whose parameters ψ1 and ψ2 decrease faster than any power function. For an arbitrary function from D∞ different from a trigonometric polynomial, there exists a pair ψ having the parameters ψ1 and ψ2 with the same properties, for which the ψ-derivative already does not exist. On the basis of the proved statements, a number of criteria for a function to belong to the set D∞ is given. Нехай L — простiр iнтегровних 2π-перiодичних функцiй, f ∈ L i S[f ] = a0 2 + ∞∑ k=1 (ak cos kx+ bk sin kx) = ∞∑ k=0 Ak(f ;x) — ряд Фур’є функцiї f . Нехай, далi, ψ = (ψ1, ψ2) — пара довiльних числових послiдовностей таких, що ψ2(k) = ψ2 1(k) + ψ2 2(k) 6= 0, k ∈ N. Якщо ряд ∞∑ k=1 ( ψ1(k) ψ2(k) Ak(f ;x) − ψ2(k) ψ2(k) Ãk(f ;x) ) , (1) де Ãk(f ;x) = ak sin kx − bk cos kx, є рядом Фур’є деякої функцiї ϕ ∈ L, то ϕ називають ψ-похiдною функцiї f i записують ϕ(·) = Dψ(f ; ·) = fψ(·). 22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №1

Точечный комплекс Кошуля системы полиномов

Репозитарії

Схожі ресурси