Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов
Досліджується задача про вільні коливання прямокутних пластин з градієнтного матеріалу в рамках класичної теорії. Зміна механічних параметрів відбувається вздовж одного з координатних напрямків. Для розв'язування даної задачі використовується чисельно-аналітичний підхід, який базується на засто...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38555 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов / Т.Л. Ефимова // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 54-58. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-38555 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-385552012-11-13T12:10:52Z Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов Ефимова, Т.Л. Механіка Досліджується задача про вільні коливання прямокутних пластин з градієнтного матеріалу в рамках класичної теорії. Зміна механічних параметрів відбувається вздовж одного з координатних напрямків. Для розв'язування даної задачі використовується чисельно-аналітичний підхід, який базується на застосуванні сплайн-апроксимації, а також методу колокації, дискретної ортогоналізації разом з методом покрокового пошуку. A problem of natural vibrations of rectangular plates made from functionally gradient materials is studied on the base of classical theory. The mechanic parameters vary along the coordinate x. Using the methods of spline-approximation and collocation, the problem is solved by the steady-state numerical method of discrete orthogonalization with incremental search. 2011 Article Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов / Т.Л. Ефимова // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 54-58. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38555 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Ефимова, Т.Л. Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов Доповіді НАН України |
| description |
Досліджується задача про вільні коливання прямокутних пластин з градієнтного матеріалу в рамках класичної теорії. Зміна механічних параметрів відбувається вздовж одного з координатних напрямків. Для розв'язування даної задачі використовується чисельно-аналітичний підхід, який базується на застосуванні сплайн-апроксимації, а також методу колокації, дискретної ортогоналізації разом з методом покрокового пошуку. |
| format |
Article |
| author |
Ефимова, Т.Л. |
| author_facet |
Ефимова, Т.Л. |
| author_sort |
Ефимова, Т.Л. |
| title |
Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов |
| title_short |
Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов |
| title_full |
Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов |
| title_fullStr |
Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов |
| title_full_unstemmed |
Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов |
| title_sort |
решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38555 |
| citation_txt |
Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных пластин из градиентных материалов / Т.Л. Ефимова // Доп. НАН України. — 2011. — № 8. — С. 54-58. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT efimovatl rešeniezadačiosvobodnyhkolebaniâhprâmougolʹnyhplastinizgradientnyhmaterialov |
| first_indexed |
2025-07-03T20:30:49Z |
| last_indexed |
2025-07-03T20:30:49Z |
| _version_ |
1836659140460544000 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2011
Т.Л. Ефимова
Решение задачи о свободных колебаниях
прямоугольных пластин из градиентных материалов
(Представлено академиком НАН Украины Я.М. Григоренко)
Дослiджується задача про вiльнi коливання прямокутних пластин з градiєнтного ма-
терiалу в рамках класичної теорiї. Змiна механiчних параметрiв вiдбувається вздовж
одного з координатних напрямкiв. Для розв’язування даної задачi використовується чи-
сельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на застосуваннi сплайн-апроксимацiї, а та-
кож методу колокацiї, дискретної ортогоналiзацiї разом з методом покрокового пошуку.
Градиентные композиционные материалы с произвольно плавно меняющимися в задан-
ном направлении механическими свойствами могут быть использованы в машиностроении,
радиопромышленности, приборостроении, медицине и т. д. В таких материалах изменение
механических параметров происходит без каких-либо переходных слоев и границ разде-
ла, причем физические свойства можно регулировать, задавая необходимое распределение
модуля упругости в каком-либо из направлений. При создании к градиентным полимерным
материалам выдвигается ряд требований: поведение материала во всех градиентных зонах
должно быть упругим с широким рабочим интервалом температур, в котором сохраняется
градиент свойств [1–3]. Общие задачи теории упругости тел из гипотетических градиен-
тных материалов рассмотрены в работах [4, 5]. Исследование свободных колебаний прямо-
угольных пластин развивалось достаточно активно и нашло отражение в ряде публикаций,
подробный обзор которых приведен в работах [6, 7], однако для пластин с различными усло-
виями закрепления торцов и с переменными свойствами вдоль некоторого направления, что
свойственно упругим телам из градиентных материалов, таких исследований мало.
В настоящем сообщении для изучения свободных колебаний прямоугольных пластин
из градиентных материалов на основе классической теории Кирхгоффа–Лява применяется
метод сплайн-коллокации, предложенный ранее [7].
Постановка задачи. Основные соотношения. Рассмотрим в прямоугольной де-
картовой системе координат прямоугольную ортотропную пластину (0 6 x 6 a, 0 6 y 6 b,
−h/2 6 z 6 h/2, координатная плоскость xOy является серединной плоскостью пластины).
Задача формулируется в рамках теории Кирхгоффа–Лява. Уравнения колебаний запи-
шутся в виде
∂Qx
∂x
+
∂Qy
∂y
+ ρhω2w = 0,
∂Mx
∂x
+
∂Mxy
∂y
= Qx,
∂My
∂y
+
∂Mxy
∂x
= Qy, (1)
где t — время; w — прогиб пластины; ω — круговая частота свободных колебаний; ρ(x, y) —
плотность материала.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Для моментов Mx, My, Mxy и перерезывающих усилий Qx и Qy выполняются соотно-
шения:
Mx = −
(
D11
∂2w
∂x2
+D12
∂2w
∂y2
)
, My = −
(
D12
∂2w
∂x2
+D22
∂2w
∂y2
)
,
Mxy = −2D66
∂2w
∂x∂y
.
(2)
Будем предполагать, что градиент материала пластины направлен вдоль прямой y =
= kx (k — угловой коэффициент прямой), при этом жесткостные характеристики пластины
Dij = Dij(x, y) в соотношениях (2) определяются по формулам:
Dij =
Bij(x, y)h
3
12
, B11(x, y) =
E1(x, y)
1− ν1(x, y)ν2(x, y)
,
B22(x, y) =
E2(x, y)
1− ν1(x, y)ν2(x, y)
, B66(x, y) = G12(x, y),
B12(x, y) =
ν1E2(x, y)
1− ν1(x, y)ν2(x, y)
=
ν2(x, y)E1(x, y)
1− ν1(x, y)ν2(x, y)
.
(3)
Из уравнений (1), (2) получим эквивалентное уравнение относительно прогиба
D11
∂4w
∂x4
+D22
∂4w
∂y4
+ 2(D12 + 2D66)
∂4w
∂x2∂y2
+ 2
∂D11
∂x
∂3w
∂x3
+ 2
∂D22
∂y
∂3w
∂y3
+
+ 2
(
∂D12
∂y
+ 2
∂D66
∂y
)
∂3w
∂x2∂y
+ 2
(
∂D12
∂x
+ 2
∂D66
∂x
)
∂3w
∂x∂y2
+
+
(
∂2D12
∂y2
+
∂2D11
∂x2
)
∂2w
∂x2
+
(
∂2D12
∂x2
+
∂2D22
∂y2
)
∂2w
∂y2
+ 2
∂D66
∂x∂y
∂2w
∂x∂y
+
+ ρhω2w = 0. (4)
На краях пластины задаются граничные условия, которые выражаются через прогиб.
Для краев пластини y = 0, y = b возможны такие граничные условия:
1) контур жестко закрепленный при y = const
w = 0,
∂w
∂y
= 0; (5)
2) контур шарнирно опертый при y = const
w = 0,
∂2w
∂y2
= 0. (6)
Аналогичные граничные условия задаются при x = 0, x = a. Уравнение (4) вместе
с соответствующими граничными условиями на краях пластини y = const и x = const
представляет собой двумерную краевую задачу на собственные значения.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 55
Метод решения. Для решения двумерной задачи на собственные значения применим
метод сплайн-апроксимации. Прогиб представим в виде
w(x, y) =
N∑
i=0
wi(x)ϕi(y), (7)
где wi(x) — неизвестные функции; ϕi(y) (i = 0, . . . , N) — линейные комбинации B-сплай-
нов пятого степеня на равномерной сетке, которые удовлетворяют заданным граничным
условиям на краях y = const.
Подставляя выражение (7) в разрешающее уравнение (4) и граничные условия, требуем,
чтобы уравнения точно выполнялись в N = N + 1 точках коллокации ξk ∈ [0, L], k = 0, N .
Выбор точек коллокации детально описан в работе [1]. В результате получим одномерную
краевую задачу, которую можно представить в виде
dY
dx
= A(x, ω)Y ,
B1Y = 0 для x = 0,
B2Y = 0 для x = a,
(8)
где Y = {w,w′, w′′, w′′′}; w = {w0, w1, . . . , wN}; w = {w′
0, w
′
1, . . . , w
′
N}; w′′ = {w′′
0 , w
′′
1 , . . . , w
′′
N};
w′′′ = {w′′′
0 , w
′′′
1 , . . . , w
′′′
N}; A — квадратная матрица порядка 4(N + 1)× 4(N + 1); B1 и B2 —
прямоугольные матрицы граничних условий порядка 2(N + 1) × 4(N + 1). Одномерная
краевая задача (8) на собственные значения решалась устойчивым численным методом
дискретной ортогонализации совместно с использованием метода пошагового поиска [7].
Решение задачи. Анализ результатов. Для оценки точности и достоверности ре-
зультатов расчетов по предложенной методике сравнивались безразмерные частоты ω =
=
a2ω
π2
√
ρh
D
свободных колебаний квадратных со стороной a изотропных шарнирно опер-
тых пластин, полученные аналитически и при помощи метода сплайн-коллокации (МСК)
для различного числа точек коллокации N (табл. 1). Для указанных пластин исходное
уравнение (4) упрощается и сводится к виду
∂4w
∂x4
+ 2
∂4w
∂x2∂y2
+
∂4w
∂y4
+ hρ
ω2
D
w = 0. (9)
В данном случае возможно представление прогиба в виде
w = w̃ sin
kπx
a
sin
mπy
a
, (10)
Таблица 1
ω Аналитическое решение МСК, N = 10 МСК, N = 20 МСК, N = 30
ω1 2,0 1,96 1,98 1,99
ω2 5,0 4,96 4,98 4,99
ω3 5,0 5,25 5,15 5,03
ω4 8,0 8,21 8,13 8,04
ω5 10,0 10,13 10,09 10,05
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
Таблица 2
ω
Градиентный
профиль
Усредненный
модуль Юнга
Градиентный
профиль
Усредненный
модуль Юнга
ω1 81,14 79,84 61,32 62,50
ω2 183,27 180,12 155,89 156,28
ω3 190,76 186,34 157,00 156,56
которое приводит к формуле для вычисления безрозмерных частот
ω = k2 +m2. (11)
Из анализа частот, приведенных в табл. 1, можно сделать вывод о возможности применения
данной методики на указанном классе задач.
Применение данной методики для расчета частот свободных колебаний прямоугольных
пластин с изменяющимися за счет изменения толщины пластины упругими параметра-
ми Dij изучалось в работе [7].
В табл. 2 приведены частоты ω = a2ω
√
ρcph0/D0 свободных колебаний для пластины из
полимерных функционально градиентных материалов с градиентным профилем, соответ-
ствующим квадратичному закону изменения модуля Юнга E = ar2 + br + c [3], при этом
E(0) = 243 МПа, E(a/2) = 150 МПа, E(a) = 110 МПа, a = 106 МПа, b = −239 МПа,
c = 243 МПа, а усредненный по направлению градиента модуль Юнга Ecp = 156,83 МПа.
Коэффициент Пуассона выбирался равным ν = 0,4, что связано с небольшим различием
коэффициентов Пуассона образующих полимерных материалов. Плотность градиентного
материала рассматривали постоянной и равной усредненному значению ρcp по толщине.
Рассматривались граничные условия двух типов: I — пластина жестко защемлена по краям;
II — пластина шарнирно оперта по краям. В табл. 2 также приведены частоты колебаний
однородных изотропных пластин с усредненным модулем Юнга. Сравнение соответствую-
щих частот показывает небольшое их отличие для пластины из градиентного материала
и изотропного материала с усредненным модулем Юнга.
1. Аскадский А.А.. Голенева Л.М., Бычко К.А. и др. Градиентные полимерные материалы // Рос. хим.
журн. – 2001. – 14, № 3. – С. 123–128.
2. Бровко А.А., Горбач Л.А., Сергеева Л.М. Вязкоупругие свойства и моделирование процесса форми-
рования полиуретан-полиакрилатных градиентных взаимопроникающих полимерных сеток // Полi-
мер. журн. – 2009. – 31, № 4. – С. 299–310.
3. Сергеева Л.М., Горбач Л.А. Градиентные взаимопроникающие полимерные сетки: получение и свой-
ства // Усп. химии. – 1996. – 65, № 4. – С. 367–376.
4. Кашталян М.Ю., Рущицкий Я.Я. Общее представление решений Хойля–Янгдала в линейной неод-
нородной изотропной теории // Прикл. механика. – 2010. – 46, № 1. – С. 3–21.
5. Кашталян М.Ю., Рущицкий Я.Я. Общее представление решения Лява в линейной неоднородной
трансверсально-изотропной теории упругости // Там же. – 2010. – 46, № 2. – С. 3–14.
6. Кашталян М.Ю., Рущицкий Я.Я. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – Киев: Наук.
думка, 1981. – 284 с.
7. Григоренко A. Я., Ефимова Т.Л. Применение метода сплайн-апроксимации для решения задач о
свободных колебаниях прямоугольных пластин переменной толщины // Прикл. механика. – 2005. –
41, № 10. – С. 90–99.
Поступило в редакцию 22.07.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №8 57
T. L. Efimova
Investigation of free vibrations of rectangular plates made from gradient
materials
A problem of natural vibrations of rectangular plates made from functionally gradient materials
is studied on the base of classical theory. The mechanic parameters vary along the coordinate x.
Using the methods of spline-approximation and collocation, the problem is solved by the steady-state
numerical method of discrete orthogonalization with incremental search.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №8
|