Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств
Введено конструкцію s-добутку рівномірно дискретних метричних просторів скінченного діаметра. Показано, що з реалізовності двох груп перетворень ізометріями рівномірно дискретних метричних просторів скінченного діаметра випливає також реалізовність прямого добутку цих груп ізометріями рівномірно дис...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38680 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств / Б.В. Олийнык // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 20-25. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-38680 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-386802012-11-20T12:08:56Z Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств Олийнык, Б.В. Математика Введено конструкцію s-добутку рівномірно дискретних метричних просторів скінченного діаметра. Показано, що з реалізовності двох груп перетворень ізометріями рівномірно дискретних метричних просторів скінченного діаметра випливає також реалізовність прямого добутку цих груп ізометріями рівномірно дискретного простору скінченного діаметра. The s-product of uniformly bounded discrete metric spaces with finite diameters is introduced. It is shown that if two transformation groups have representations as isometry groups of uniformly discrete metric spaces of finite diameters, then the direct product of these transformation groups will also have a uniformly discrete metric space of finite diameter, for which it is isomorphic to its isometry group. 2011 Article Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств / Б.В. Олийнык // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 20-25. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38680 519.1 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Олийнык, Б.В. Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств Доповіді НАН України |
| description |
Введено конструкцію s-добутку рівномірно дискретних метричних просторів скінченного діаметра. Показано, що з реалізовності двох груп перетворень ізометріями рівномірно дискретних метричних просторів скінченного діаметра випливає також реалізовність прямого добутку цих груп ізометріями рівномірно дискретного простору скінченного діаметра. |
| format |
Article |
| author |
Олийнык, Б.В. |
| author_facet |
Олийнык, Б.В. |
| author_sort |
Олийнык, Б.В. |
| title |
Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств |
| title_short |
Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств |
| title_full |
Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств |
| title_fullStr |
Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств |
| title_full_unstemmed |
Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств |
| title_sort |
реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38680 |
| citation_txt |
Реализуемость прямых произведений групп преобразований изометриями метрических пространств / Б.В. Олийнык // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 20-25. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT olijnykbv realizuemostʹprâmyhproizvedenijgrupppreobrazovanijizometriâmimetričeskihprostranstv |
| first_indexed |
2025-07-03T20:34:42Z |
| last_indexed |
2025-07-03T20:34:42Z |
| _version_ |
1836659383937794048 |
| fulltext |
УДК 519.1
© 2011
Б.В. Олийнык
Реализуемость прямых произведений групп
преобразований изометриями метрических пространств
(Представлено академиком НАН Украины Н.О. Перестюком)
Введено конструкцiю s-добутку рiвномiрно дискретних метричних просторiв скiнчен-
ного дiаметра. Показано, що з реалiзовностi двох груп перетворень iзометрiями рiвно-
мiрно дискретних метричних просторiв скiнченного дiаметра випливає також реалi-
зовнiсть прямого добутку цих груп iзометрiями рiвномiрно дискретного простору скiн-
ченного дiаметра.
1. Проблема характеризации групп подстановок, которые реализуются как группы всех
автоморфизмов дискретных структур того или иного класса, берет свое начало из теории
графов, где она известна как проблема Кенига. Поэтому в общей ситуации эту проблему
называют обобщенной проблемой Кенига для структур данного класса. Как сама проблема
Кенига, так и ее обобщенные варианты для дискретных структур, близких к графам, в на-
стоящее время остаются открытыми. В частности, отсутствует описание групп подстановок,
представимых в виде полных групп изометрий конечных метрических пространств. Одним
из направлений исследования (обобщенной) проблемы Кенига является изучение групп
изометрий конструкций над дискретными структурами из рассматриваемого класса, что
позволяет строить различные примеры реализуемых в данном классе групп подстановок.
В теории графов сравнительно хорошо известны построения, приводящие к реализуемос-
ти прямых сумм и сплетений групп подстановок (см. [1–3]). Для метрических пространств
конструкция прямой суммы и сплетения предложена в [4, 5]. Несколько неожиданно, что
вопрос о представимости полными группами автоморфизмов графов прямых произведе-
ний групп подстановок оказался более трудным и до сих пор остается открытым. Легко
указать примеры не реализуемых в таком смысле прямых произведений групп подстано-
вок, но пока не известно, даже в конечном случае, как охарактеризовать группы подста-
новок, прямые произведения которых реализуются в виде (полных) групп автоморфизмов
графов.
В данном сообщении рассматривается метрический аналог задачи о представимости
прямого произведения групп подстановок. Оказалось, что для конечных метрических про-
странств ситуация существенно отличается от имеющей место в теории (конечных) гра-
фов. А именно, класс групп подстановок, представимых как группы изометрий метри-
ческих пространств является замкнутым относительно прямых произведений. На самом
деле соответствующие конструкции метрических пространств и теорема о представимос-
ти рассматриваются для более широкого класса пространств. Напомним, что метрическое
пространство (X, dX ) называется равномерно дискретным, если существует такое положи-
тельное число rX , что для любых точек x1 и x2 пространства X, x1 6= x2, справедливо
неравенство dX(x1, x2) > rX .
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
В сообщении предлагается конструкция s-произведения равномерно дискретных метри-
ческих пространств конечного диаметра и доказывается теорема о замкнутости класса
групп подстановок, представимых как группы всех изометрий равномерно дискретных про-
странств конечного диаметра относительно прямых произведений.
2. Прямыми произведениями метрических пространств (X, dX ) и (Y, dY ) обычно на-
зывают метрические пространства, заданные на множестве X × Y , расстояние между дву-
мя парами точек (x1, y1), (x2, y2) ∈ X × Y в которых выражается как некоторая функция
от dX(x1, x2) и dY (y1, y2). Одной из наиболее употребляемых (особенно в теории конечных
метрических пространств) является метрика следующего вида (см., например, [6, с. 386;
7, с. 141]):
d⊕((x1, y1), (x2, y2)) = dX(x1, x2) + dY (y1, y2). (1)
Прямое произведение пространств (X × Y, d⊕) имеет достаточно большую группу изо-
метрий, что следует из такого утверждения.
Предложение 1. Для любых пространств (X, dX ) и (Y, dY ) группа преобразований
(Isom(X×Y ),X×Y ) содержит подгруппу, изоморфную прямому произведению групп пре-
образований (IsomX,X) × (IsomY, Y ).
Доказательство. Каждая пара елементов ϕ = (g1, g2) ∈ IsomX × IsomY действует
на прямом произведении X × Y покоординатно, т. е. получаем прямое произведение групп
преобразований (см. [8, с. 60]). Поэтому достаточно убедиться, что преобразования из этой
группы сохраняют метрику d⊕:
d⊕((x1, y1)
(g1,g2), (x2, y2)
(g1,g2)) = d⊕((x
g1
1 , y
g2
1 ), (xg12 , y
g2
2 )) = dX(xg11 , x
g1
2 ) + dY (y
g2
1 , y
g2
2 ).
Так как g1 ∈ IsomX, g2 ∈ IsomY , то dX(xg11 , x
g1
2 ) = dX(x1, x2), dY (y
g2
1 , y
g2
2 ) = dY (y1, y2).
Следовательно,
d⊕((x1, y1)
(g1,g2), (x2, y2)
(g1,g2)) = dX(x1, x2) + dY (y1, y2) = d⊕((x1, y1), (x2, y2)).
Заметим, что для различных X и Y включение
Isom(X × Y ) > IsomX × IsomY (2)
может быть как строгим, так и превращаться в равенство.
П р и м е р 1 . Пространство Хемминга или метрическое пространство гиперкуба Hm (см. [7,
с. 50]) изометрично Hm−1×H2, но его группа изометрий, как известно, изоморфна Sm ≀S2, т. е. строго
содержит IsomHm−1 × S2.
П р и м е р 2 . Пусть X = {a, b}, Y = {c, d} и единственное ненулевое значение метрики dX
равно 2, а метрики dY — 3. Тогда IsomX ≃ IsomY ≃ S2 и IsomX × Y ≃ S2 × S2, т. е. включение (2)
в этом случае превращается в равенство.
3. Напомним, что метрические пространства (X, d1) и (X, d2) называются изоморфными
(см. [9]), если существует монотонно возрастающая непрерывная функция s : R+ → R
+,
s(0) = 0, называемая шкалой, такая, что d1 = s(d2). При этом пространство (X, d1) обо-
значается s(X).
Пусть (X, dX), (Y, dY ) — равномерно дискретные метрические пространства конечного
диаметра, rX и rY — такие положительные числа, что для любых точек x1, x2 ∈ X, x1 6= x2,
выполняется неравенство dX(x1, x2) > rX , и для любых точек y1, y2 ∈ Y , y1 6= y2, имеет
место неравенство dY (y1, y2) > rY .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 21
Зафиксируем шкалы s1(t) и s2(t) так, чтобы выполнялись неравенства
s1(rX) > diam(s2(Y )), s2(rY ) >
1
2
diam(s1(X)). (3)
Из (3) получаем такую цепочку неравенств:
diam(s1(X)) > s1(rX) > diam(s2(Y )) > s2(rY ) >
1
2
diam(s1(X)).
Положим s = (s1(t), s2(t)).
Определение 1. s-произведением метрических пространств (X, dX) и (Y, dY ) будем
называть метрическое пространство, определенное на декартовом произведении X×Y с мет-
рикой ds, которая определяется как сумма расстояний s1(dX) и s2(dY ):
ds((x1, y1), (x2, y2)) = s1(dX(x1, x2)) + s2(dY (y1, y2)). (4)
Будем обозначать s-произведение метрических пространств (X, dX ) и (Y, dY ) символом
X ⊠s Y .
Заметим, что X⊠sY также является равномерно дискретным пространством конечного
диаметра. Непосредственно из определений следует
Предложение 2. Справедливо следующее равенство:
diam(X ⊠s Y ) = diam(s1(X)) + diam(s2(Y )).
Предложенная нами конструкция s-произведения метрических пространств (X, dX )
и (Y, dY ) допускает следующую интерпретацию. Каждой точке y метрического пространс-
тва s2(Y ) поставим в соответствие изометрическую копию пространства s1(X), и обозначим
ее s1(X)y . На множестве {s1(X)y | y ∈ s(Y )} метрика ds задается таким правилом:
если точки v1 = (x1, y1) и v2 = (x2, y2) принадлежат одной копии пространства s1(X),
то расстояние между ними равно s1(dX(x1, x2));
если же точки v1 и v2 принадлежат разным копиям s1(X)y1 и s1(X)y2 и x1 = x2, то
расстояние между ними равно s2(dY (y1, y2));
во всех остальных случаях расстояние между v1 и v2 определяется как s2(dY (y1, y2)) +
+ s1(dX(x1, x2)).
4. Перейдем теперь к характеризации групп изометрий s-произведений равномерно дис-
кретных пространств конечного диаметра.
Лемма 1. Если метрические пространства (X, d1) и (X, d2) изоморфны, то их группы
изометрий равны.
Лемма 2. Пусть g — изометрия пространства X ⊠s Y , u = (x1, y1) ∈ X × Y , причем
g(u) = (x2, y2). Тогда g(v) ∈ s1(X)y2 для любой точки v ∈ s1(X)y1 .
Другими словами, если g — изометрия пространства X ⊠s Y и некоторая точка u =
= (x1, y1) при изометрии g из копии s1(X)y1 переходит в копию s1(X)y2 , то и все остальные
точки из s1(X)y1 при этой изометрии перейдут в s1(X)y2 .
Доказательство. Предположим от противного, что существует точка v = (x3, y1), v ∈
∈ s1(X)y1 , такая, что g(v) не принадлежит s1(X)y2 . Тогда существует y3 ∈ Y , y3 6= y2 такая,
что g(v) ∈ s1(X)y3 . Откуда в силу неравенства (3) и определения метрики ds получаем
такую оценку:
ds(g(v), g(u)) = ds((x3, y1), (x2, y2)) = s1(dX(x3, x2)) + s2(dY (y1, y2)) >
> s1(rX) + s2(rY ) >
1
2
diam(s1(X)) +
1
2
diam(s1(X)) = diam(s1(X)).
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
Поскольку g — изометрия пространства X ⊠ Y , то имеет место равенство
ds(v, u) = ds(g(v), g(u)).
Следовательно, справедливо неравенство ds(v, u) > diam(s1(X)), что невозможно, посколь-
ку точки u и v лежат в одной изометрической копии пространства s1(X). Таким образом,
наше предположение неверно, что и доказывает лемму.
Теорема 1. Группа изометрий s-произведения метрических пространств (X, dX ) и
(Y, dY ) изоморфна как группа преобразований прямому произведению их групп изометрий
Isom(X ⊠s Y ) ≃ IsomX × IsomY.
Доказательство. Легко видеть, что пространство X⊠sY можно также представить как
прямое произведение пространств s(X) и s(Y ), т. е. пространство (s(X)×s(Y ), d⊕). Поэтому
то, что каждая пара преобразований ϕ = (g1, g2) ∈ IsomX×Isom Y действует на декартовом
произведении пространств X и Y как изометрия, следует из предложения 1 и леммы 1.
Убедимся теперь, что для любой изометрии ϕ пространства X ⊠s Y существуют g1 ∈
∈ IsomX, g2 ∈ IsomY такие, что ϕ действует на пространстве X ⊠s Y как пара (g1, g2).
Пусть образом некоторой точки (x1, y1) пространства X⊠sY при отображении ϕ есть точка
(x2, y2). В силу леммы 1 при изометрии ϕ образы всех точек изометрической копии s1(X)y1
будут принадлежать s1(X)y2 . Кроме того, так как ϕ−1 также изометрия, из леммы 1 следует,
что для любого v ∈ s1(X)y2 существует u ∈ s1(X)y1 такое, что ϕ(u) = v. Следовательно, ϕ
задает изометрическое соответствие между копиями пространства s1(X)y . Обозначим су-
жение функции ϕ на s1(X)y1 символом g1. Тогда x2 = g1(x1), т. е. ϕ((x1, y1)) = (g1(x1), y2).
Покажем, что сужение g3 функции ϕ на любую другую изометрическую копию пространс-
тва s1(X)y3 будет действовать на s1(X)y3 как g1. Предположим, что это не так. Пусть
ϕ((x1, y3)) = (g3(x1), y4). Тогда из нашего предположения следует, что g1(x1) 6= g3(x1).
В силу неравенств (3) получим
ds((x1, y1), (x1, y3)) = s2(dY (y1, y3)) < s1(rX). (5)
Поскольку g1(x1) 6= g3(x1), то из (3) следует
ds((g1(x1), y2), (g3(x1), y4)) = s2(dY (y2, y4)) + s1(dX(g1(x1), g3(x1))) >
> s2(rY ) + s1(rX) > s1(rX). (6)
Из (5) и (6) следует, что ds((x1, y1), (x1, y3)) < ds((g1(x1), y2), (g1(x1), y4)), что невозможно,
поскольку ϕ — изометрия пространства X ⊠s Y .
Так как s1(rX) > diam(s2(Y )), то образ ϕ(u) любой точки u ∈ s2(Y )x1
будет принад-
лежать s2(Y )x2
. Из рассуждений, аналогичных приведенным выше, получаем, что изомет-
рия ϕ задает изометрическое соответствие между копиями пространства s2(Y )x. Пусть g2 —
сужение функции ϕ на s2(Y )x1
. Тогда ϕ((x1, y1)) = (x2, g2(y1)). Покажем, что сужение g4
функции ϕ на любую другую изометрическую копию пространства s2(Y )x3
будет действо-
вать на этой изометрической копии как g2. Пусть ϕ((x3, y1)) = (x4, g4(y1)). Если действие g4
на s2(Y )x3
отлично от действия g2 на s2(Y )x1
, то g2(y1) 6= g4(y1). В силу неравенств (3)
получим
ds((x1, y1), (x3, y1)) = s1(dX(x1, x3)) 6 diam(s1(X)). (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 23
С другой стороны, из (3) следует
ds((x2, g2(y1)), (x4, g4(y1))) = s2(dY (g2(y1), g4(y1))) + s1(dX(x2, x4)) >
> s2(rY ) + s1(rX) >
1
2
diam(s1(X)) +
1
2
diam(s1(X)) = diam(s1(X)). (8)
Из (7) и (8) следует, что ds((x1, y1), (x3, y1)) < ds((x2, g2(y1)), (x4, g4(y1))), что невозможно,
поскольку ϕ — изометрия пространства X ⊠s Y .
Следовательно, отображению ϕ естественным образом можно поставить в соответствие
пару (g1, g2), где g1 ∈ IsomX, а g2 ∈ IsomY , причем на каждую точку (x1, y1) пара (g1, g2)
действует согласно равенству
(x1, y1)
(g1,g2) = (xg11 , y
g2
1 ).
Это и означает, что изометрию ϕ можно рассматривать как елемент прямого произведения
IsomX × IsomY .
Из теоремы (1) непосредственно следует
Теорема 2. Если группы преобразований (G1,X1) и (G2,X2) реализуются как группы
изометрий равномерно дискретных метрических пространств конечного диаметра, то
их прямое произведение (G1 × G2,X1 × X2) также реализуется как группа изометрий
пространства с такими же свойствами.
Для групп изометрий произвольных метрических пространств вопрос о метрической
реализуемости их прямых произведений как полных групп изометрий подходящих метрик
пока остается открытым. Наиболее естественным подклассом класса равномерно дискрет-
ных метрических пространств конечного диаметра являются метрические пространства,
метрика в которых принимает лишь конечное число значений, и, в частности, конечные
метрические пространства.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 1. Если группы преобразований (G1,X1) и (G2,X2) реализуются как группы
изометрий пространств с конечнозначными метриками, то прямое произведение (G1 ×
× G2,X1 × X2) также реализуется в таком виде.
Следствие 2. Прямое произведение конечных групп подстановок, реализуемых как
группы изометрий конечных метрических пространств, также реализуется как группа
изометрий конечного метрического пространства.
1. Sabidussi G. The composition of graphs // Duke Math. J. – 1959. – 26. – P. 693–696.
2. Peisert W. Direct product and uniqueness of automorphism groups of graphs // Discrete Math. – 1999. –
207. – P. 189–197.
3. Dobson E., Morris J. Automorphism groups of wreath product digraphs // Electron. J. Combin. – 2009. –
16, No 1. – R 17.
4. Олiйник Б. В. k-однорiднiсть n-кратної прямої суми метричного простору на себе // Вiсн. Київ.
ун-ту. – 2008. – № 3. – С. 36–38.
5. Oliynyk B. Isometry groups of wreath products of metric spaces // Algebra and Discrete Math. – 2007. –
4. – P. 123–130.
6. Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. – Москва: Мир, 1986. – 752 с.
7. Деза М.М., Лоран М. Геометрия разрезов и метрик. – Москва: МЦНМО, 2001. – 736 с.
8. Сущанський В. I., Сiкора В. С. Операцiї на групах пiдстановок. Теорiя та застосування. – Чернiвцi:
Рута, 2003. – 255 с.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
9. Shoenberg I. J. Metric spaces and completely monotone functions // Ann. Math. – 1938. – 39, No 4. –
P. 811–841.
Поступило в редакцию 19.11.2010Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
B.V. Oliynyk
Realizability of direct products of transformation groups by isometries
of metric spaces
The s-product of uniformly bounded discrete metric spaces with finite diameters is introduced. It
is shown that if two transformation groups have representations as isometry groups of uniformly
discrete metric spaces of finite diameters, then the direct product of these transformation groups
will also have a uniformly discrete metric space of finite diameter, for which it is isomorphic to
its isometry group.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 25
|