О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин
Наведено чисельно-аналітичний підхід для дослідження напружено-деформованого стану ортотропних прямокутних пластин. Задача розв'язується на основі тривимірної моделі теорії пружності. Система диференційних рівнянь в частинних похідних зводиться до одновимірної задачі з використанням методу спла...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38684 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин / А.Я. Григоренко, А.C. Бергулев, C.Н. Яремченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 49-55. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-38684 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-386842012-11-20T12:09:15Z О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин Григоренко, А.Я. Бергулев, А.C. Яремченко, C.Н. Механіка Наведено чисельно-аналітичний підхід для дослідження напружено-деформованого стану ортотропних прямокутних пластин. Задача розв'язується на основі тривимірної моделі теорії пружності. Система диференційних рівнянь в частинних похідних зводиться до одновимірної задачі з використанням методу сплайн-колокації за двома координатними напрямками. Крайова задача для системи звичайних диференційних рівнянь високого порядку розв'язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації. Запропоновано приклади розрахунків для різних крайових умов. A numerically-analytical approach to researching the stress-strain state of orthotropic rectangular plates is proposed. The problem is solved on the basis of a three-dimensional model of the theory of elasticity. The system of partial differential equations is reduced to the one-dimensional problem within the method of spline-collocation in two coordinate directions. The boundary-value problem for a system of ordinary differential equations of the higher order is solved by a stable numerical method of discrete orthogonalization. The examples of calculations for various geometric parameters and boundary conditions of orthotropic rectangular plates are presented. 2011 Article О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин / А.Я. Григоренко, А.C. Бергулев, C.Н. Яремченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 49-55. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38684 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Григоренко, А.Я. Бергулев, А.C. Яремченко, C.Н. О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин Доповіді НАН України |
| description |
Наведено чисельно-аналітичний підхід для дослідження напружено-деформованого стану ортотропних прямокутних пластин. Задача розв'язується на основі тривимірної моделі теорії пружності. Система диференційних рівнянь в частинних похідних зводиться до одновимірної задачі з використанням методу сплайн-колокації за двома координатними напрямками. Крайова задача для системи звичайних диференційних рівнянь високого порядку розв'язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації. Запропоновано приклади розрахунків для різних крайових умов. |
| format |
Article |
| author |
Григоренко, А.Я. Бергулев, А.C. Яремченко, C.Н. |
| author_facet |
Григоренко, А.Я. Бергулев, А.C. Яремченко, C.Н. |
| author_sort |
Григоренко, А.Я. |
| title |
О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин |
| title_short |
О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин |
| title_full |
О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин |
| title_fullStr |
О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин |
| title_full_unstemmed |
О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин |
| title_sort |
о напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38684 |
| citation_txt |
О напряженно-деформированном состоянии ортотропных толстостенных прямоугольных пластин / А.Я. Григоренко, А.C. Бергулев, C.Н. Яремченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 49-55. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT grigorenkoaâ onaprâžennodeformirovannomsostoâniiortotropnyhtolstostennyhprâmougolʹnyhplastin AT bergulevac onaprâžennodeformirovannomsostoâniiortotropnyhtolstostennyhprâmougolʹnyhplastin AT âremčenkocn onaprâžennodeformirovannomsostoâniiortotropnyhtolstostennyhprâmougolʹnyhplastin |
| first_indexed |
2025-07-03T20:34:56Z |
| last_indexed |
2025-07-03T20:34:56Z |
| _version_ |
1836659398653509632 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2011
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2011
А.Я. Григоренко, А.C. Бергулев, C.Н. Яремченко
О напряженно-деформированном состоянии
ортотропных толстостенных прямоугольных пластин
(Представлено академиком НАН Украины A.A. Мартынюком)
Наведено чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження напружено-деформованого ста-
ну ортотропних прямокутних пластин. Задача розв’язується на основi тривимiрної
моделi теорiї пружностi. Система диференцiйних рiвнянь в частинних похiдних зво-
диться до одновимiрної задачi з використанням методу сплайн-колокацiї за двома коор-
динатними напрямками. Крайова задача для системи звичайних диференцiйних рiвнянь
високого порядку розв’язується стiйким чисельним методом дискретної ортогоналiза-
цiї. Запропоновано приклади розрахункiв для рiзних крайових умов.
Прямоугольные толстостенные пластины из анизотропных материалов имеют широкое при-
менение во многих отраслях современной техники. Актуальным является вопрос обеспече-
ния прочности и надежности при эксплуатации соответствующих элементов конструкций,
что возможно лишь при получении исчерпывающей информации об их напряженно-дефор-
мированном состоянии. Проведение исследований на основании трехмерной теории упру-
гости связано с трудностями вычислительного характера. Поэтому можно найти только
незначительное количество публикаций, посвященных данному вопросу [1, 2].
Результатам теоретических и экспериментальных исследований по распределению пере-
мещений и напряжений в прямоугольных толстостенных пластинах, полученным на основе
решения краевых задач в линейно-упругой постановке, посвящены некоторые работы зару-
бежных авторов, например, [3, 4]. В них рассмотрены пластины с различными краевыми
условиями на торцах. Так, в [3] исследуются частично встроенные конечные и бесконечные
по длине пластины.
В данной работе предложен эффективный численно-аналитический подход к изуче-
нию напряженно-деформированного состояния прямоугольных толстостенных ортотроп-
ных пластин на основании теории упругости. Подход базируется на применении метода
сплайн-апроксимации в двух направлениях и метода коллокации, при помощи которых ис-
ходная трехмерная краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных
производных сводится к соответствующей задаче для системы обычных дифференциаль-
ных уравнений высокого порядка. Полученная система решается устойчивым численным
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 49
методом дискретной ортогонализации. Решение двумерных краевых задач теории пластин
и оболочек на основании метода сплайн-коллокации проводилось в [5, 6].
Исходные соотношения. Для получения разрешающих уравнений мы используем со-
отношения теории упругости в декартовой системе координат Oxyz [7].
Уравнения равновесия:
∂σxx
∂x
+
∂σxy
∂y
+
∂σxz
∂z
+X = 0,
∂σyx
∂x
+
∂σyy
∂y
+
∂σyz
∂z
+ Y = 0,
∂σzx
∂x
+
∂σzy
∂y
+
∂σzz
∂z
+ Z = 0.
(1)
Соотношения Коши:
εxx =
∂u
∂x
, εyy =
∂v
∂y
, εzz =
∂w
∂z
,
εxy =
1
2
(
∂u
∂y
+
∂v
∂x
)
, εyz =
1
2
(
∂v
∂z
+
∂w
∂y
)
, εzx =
1
2
(
∂w
∂x
+
∂u
∂z
)
.
(2)
Физические уравнения, что выражают закон Гука:
εxx = α11σxx + α12σyy + α13σzz, εyy = α12σxx + α22σyy + α23σzz,
εzz = α13σxx + α23σyy + α33σzz, εyz = α44σyz, εxz = α55σxz, εxy = α66σxy
(3)
или
σxx = λ11εxx + λ12εyy + λ13εzz, σyy = λ12εxx + λ22εyy + λ23εzz,
σzz = λ13εxx + λ23εyy + λ33εzz, σyz = λ44εyz, σxz = λ55εxz, σxy = λ66εxy,
(4)
где
α11 =
1
Ex
, α22 =
1
Ey
, α33 =
1
Ez
,
α12 = −
νyx
Ey
= −
νxy
Ex
, α13 = −
νxz
Ex
= −
νzx
Ez
, α23 = −
νzy
Ez
= −
νyz
Ey
,
α44 =
1
Gyz
, α55 =
1
Gxz
, α66 =
1
Gxy
,
λ11 =
α22α33 − α23
2
∆
, λ22 =
α11α33 − α13
2
∆
, λ33 =
α11α22 − α12
2
∆
,
λ12 =
α13α23 − α12α33
∆
, λ13 =
α12α23 − α13α22
∆
, λ23 =
α12α13 − α11α23
∆
,
λ44 =
1
α44
, λ55 =
1
α55
, λ66 =
1
α66
,
∆ = α11(α22α33 − α23
2)− α12(α12α33 − α13α23) + α13(α12α23 − α13α22).
(5)
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
Здесь использованы такие обозначения: σ — напряжения; ε — деформации; u, v и w —
компоненты вектора перемешений; λ, G — коэффициенты Ламе; E — модуль Юнга; ν —
коэффициенты Пуассона; X, Y , Z — компоненты вектора массовых сил.
Тогда из соотношений (1)–(4) путем элементарных преобразований можно получить сис-
тему трех дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных (урав-
нения Ламэ), которая описывает напряженно-деформированное состояние прямоугольной
толстостенной ортотропной пластины:
∂2u
∂z2
= a1
∂2u
∂x2
+ b1
∂2u
∂y2
+ c1
∂2v
∂x∂y
+ d1
∂2w
∂x∂z
+ e1X,
∂2v
∂z2
= a2
∂2v
∂y2
+ b2
∂2v
∂x2
+ c2
∂2u
∂x∂y
+ d2
∂2w
∂y∂z
+ e2Y,
∂2w
∂z2
= a3
∂2u
∂x∂z
+ b3
∂2v
∂z∂y
+ c3
∂2w
∂x2
+ d3
∂2w
∂y2
+ e3Z.
(6)
Коэффициенты ai, bi, ci, di, ei определяются механическими характеристиками мате-
риала с учетом соотношений (5).
Краевые условия на краях пластины часто задаются в смешанном виде или в напряже-
ниях, но несложно, используя соотношения упругости и Коши, перейти к их записи в пе-
ремещениях:
β13
∂u
∂x
+β23
∂v
∂y
+β33
∂w
∂z
= σzz0 , λ55
(
∂w
∂x
+
∂u
∂z
)
= σzx0
, λ44
(
∂w
∂y
+
∂v
∂z
)
= σzy0 ,
β13
∂u
∂x
+β23
∂v
∂y
+β33
∂w
∂z
= σzzc , λ55
(
∂w
∂x
+
∂u
∂z
)
= σzxc , λ44
(
∂w
∂y
+
∂v
∂z
)
= σzyc.
(7)
В этих системах βij — коэффициенты, которые определяются из систем (2)–(3), λ44 = Gyz ;
λ55 = Gxz; σzz0 , σzx0
, σzy0 — напряжения, заданные на нижней грани пластины; σzzc, σzxc ,
σzyc — напряжения, заданные на верхней грани пластины.
Метод решения. Решение системы (6) будем искать в виде
u(x, y, z) =
M
∑
j=0
N
∑
i=0
uij(z)ϕ
u
i (x)ψ
u
j (y), v(x, y, z) =
M
∑
j=0
N
∑
i=0
vij(z)ϕ
v
i (x)ψ
v
j (y),
w(x, y, z) =
M
∑
j=0
N
∑
i=0
wij(z)ϕ
w
i (x)ψ
w
j (y),
(8)
где функции uij(z), vij(z), wij(z) — искомые функции, а функции ϕa
i , ψ
a
j , a = u, v, w
определяются через линейные комбинации B3 сплайнов на равномерных сетках 0 = x0 <
< x1 < · · · < xN = a и 0 = y0 < y1 < · · · < yM = b, соответственно, с учетом граничных
условий при x = 0, x = a, y = 0, y = b.
Это позволяет применять метод сплайн-коллокации по координатам x и y и свести на-
чальную задачу к системе 6(N + 1)(M + 1) обычных диференциальных уравнений
d
−→
S
dz
= A
−→
S +
−→
f (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 51
с граничными условиями вида
Br
−−→
S(r) =
−→
fr , r = 0, c. (10)
Решение задач. Анализ результатов. Сравним решения, полученные указанным
выше способом, с результатами решения задачи с использованием метода разделения пере-
менных при помощи рядов Фурье.
Пускай стороны пластины a = b = 1, толщина — h = 0,1,X = 0, Y = 0, Z = 0. Материал,
из которого сделана пластина, — стеклопластик, СТЭТ. Его упругие характеристики (после
проведения обезразмеривания) следующие:
Ex = 0,359 · 106, Ey = 0,293 · 106, Ez = 0,183 · 106,
Gxy = 0,076 · 106, Gzx = 0,066 · 106, Gyz = 0,063 · 106,
νxy = 0,177, νyz = 0,371, νzx = 0,157.
(11)
На гранях z = 0, z = h граничные условия имеют вид:
σzz0 = 1, σzx0
= σzy0 = σzzh = σzxh
= σzyh = 0. (12)
На краях x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 зададим условия шарнирного опирания. Для
x = const: σxx = 0, v = 0, w = 0; для y = const: σyy = 0, u = 0, w = 0. Тогда искомые
функции перемещений следует искать в виде
u(x, y, z) =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
umn(z) cos
mπx
a
sin
nπy
b
,
v(x, y, z) =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
vmn(z) sin
mπx
a
cos
nπy
b
,
w(x, y, z) =
∞
∑
m=1
∞
∑
n=1
wmn(z) sin
mπx
a
sin
nπy
b
.
(13)
После подстановки (13) в (6) для каждой из гармоник ряда получаем уравнения вида
∂2umn(z)
∂z2
= a1
m2π2
a2
umn(z) + b1
n2π2
b2
umn(z) + c1
mnπ2
ab
vmn(z) + d1
mπ
a
wmn(z),
∂2vmn(z)
∂z2
= a2
n2π2
b2
vmn(z) + b2
m2π2
a2
vmn(z) + c2
mnπ2
ab
umn(z) + d2
nπ
b
wmn(z),
∂2wmn(z)
∂z2
= a3
mπ
a
umn(z) + b3
nπ
b
vmn(z) + c3
m2π2
a2
wmn(z) + d3
n2π2
b2
wmn(z).
(14)
С граничными условиями на сторонах z = 0:
β1
mπ
a
umn(z) + β2
nπ
b
vmn(z) + β3
∂wmn(z)
∂z
=
16
π2mn
,
mπ
a
wmn(z) +
∂umn(z)
∂z
= 0,
nπ
b
wmn(z) +
∂vmn(z)
∂z
= 0;
(15)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
z = h:
β1
mπ
a
umn(z) + β2
nπ
b
vmn(z) + β3
∂wmn(z)
∂z
= 0,
mπ
a
wmn(z) +
∂umn(z)
∂z
= 0,
nπ
b
wmn(z) +
∂vmn(z)
∂z
= 0.
(16)
Коэффициенты βi в (15) и (16) определяются из соотношений Коши и закона Гука. Полу-
чив решения данных задач методом дискретной ортогонализации и подставив их в форму-
лы (13), определим значения искомых функций перемещений.
Так как область, которая рассматривается, при указанных граничных условиях имеет
оси симметрии x = a/2 и y = b/2, при помощи сплайн-коллокации задача может быть
решена на прямоугольнике [0, a/2] × [0, b/2]. При этом используются условия симметрии
при x = a/2: u = 0, ∂v/∂x = 0, ∂w/∂x = 0; при y = b/2: v = 0, ∂u/∂y = 0, ∂w/∂y = 0. Более
плотная коллокационная сетка в случае подсчета на четвертях позволяет считать именно
этот результат наиболее приближенным к истинному во всех последующих примерах.
Сравним результаты, полученные методом Фурье с количеством членов ряда Nf =Mf =
= 10, Nf =Mf = 12, с результатами, полученными методом сплайн-коллокации с количест-
вом точек коллокации N = M = 10, N = M = 12 и количеством точек ортогонализации
(N1 = 50, N2 = 100, N3 = 200). Также произведем подсчет на первой четверти с количе-
ством точек коллокации Nq =Mq = 12. Подсчет будем вести для точек x1 = (0,5; 0,5; 0,01),
x2 = (0,5; 0,5; 0,05), x3 = (0,5; 0,5; 0,09), x4 = (0,3; 0,3; 0,05), x5 = (0,7; 0,7; 0,05). После про-
ведения нормирования с коэффициентом k = 106 получим результаты, представленные
в табл. 1. Следует отметить, что эти результаты практически одинаковы при разном ко-
личестве точек интегрирования, что подчеркивает сходимость метода. Данные рассчетов
в этом и дальнейших примерах будем представлять для N2 = 100.
Как видно из табл. 1, результаты, полученные методом сплайн-коллокации, при увели-
чении количества точек коллокации сходятся к результатам, полученным методом Фурье.
Это может послужить критерием точности используемого в данной работе метода.
Также были проведены рассчеты для той же пластины, но с жестко закрепленным кон-
туром. В этом случае для подтверждения сходимости также представлены результаты, по-
лученные при подсчете на первой четверти с количеством точек коллокации Nq =Mq = 10.
Результаты представлены в табл. 2.
Рассчеты для той же пластины с жестко закрепленным контуром, но при длинах сторон:
а) a = 1, b = 0,5; б) a = 0,8, b = 0,5 представлены в табл. 3. Точки вывода результата
в этих случаях брались следующим образом: а) x1 = (0,5; 0,25; 0,01), x2 = (0,5; 0,25; 0,05),
Таблица 1
Точки
Метод Фурье Метод сплайн-коллокации
Nf ,Mf = 10 Nf ,Mf = 12 N,M = 10 N,M = 12 Nq ,Mq = 12
x1 196,07648 196,08044 192,90677 193,27233 198,07835
x2 193,23317 193,25883 191,12933 191,78271 193,40888
x3 190,82797 190,83908 185,21909 185,65907 190,01029
x4 126,50834 126,51714 121,58239 122,09784 126,12274
x5 126,50834 126,51714 121,58237 122,09783 —
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 53
Таблица 2
Точки
Метод сплайн-коллокации
N,M = 10 N,M = 12 Nq ,Mq = 10 Nq,Mq = 12
x1 112,79711 115,55136 122,83467 124,64444
x2 112,96858 115,37632 126,91670 128,68888
x3 112,74096 115,55292 122,79864 124,56444
x4 61,92496 63,65908 70,70366 72,08233
x5 61,92497 63,65908 — —
Таблица 3
Точки
Метод сплайн-коллокации
a = 1, b = 0,5 a = 0,8, b = 0,5
N,M = 10 N,M = 12 Nq ,Mq = 12 N,M = 10 N,M = 12 Nq ,Mq = 12
x1 64,57038 68,92355 66,96888 29,84656 33,03305 33,89111
x2 71,16021 70,51737 69,37333 30,23560 37,90385 37,11733
x3 64,47902 68,617 68,20888 28,18063 32,90601 33,56044
x4 30,62885 35,65169 33,89737 17,55941 16,67820 15,96774
x5 30,62885 35,65169 — 17,55941 16,67820 —
x3 = (0,5; 0,25; 0,09), x4 = (0,3; 0,15; 0,05), x5 = (0,7; 0,35; 0,05); б) x1 = (0,4; 0,25; 0,01), x2 =
= (0,4; 0,25; 0,05), x3 = (0,4; 0,25; 0,09), x4 = (0,24; 0,15; 0,05), x5 = (0,56; 0,35; 0,05).
На основании данных, представленных в табл. 2 и 3, можно сделать вывод о том, что
величина прогиба существенно зависит от геометрии пластины.
Таким образом, предложенный численно-аналитический подход дает возможность по-
лучить характеристику распределения полей перемещений и напряжений трехмерной ор-
тотропной прямоугольной пластины под действием нагружения при различных граничных
условиях на торцах. Как видно из полученных результатов, численные значения искомых
функций при разном количестве точек ортогонализации практически совпадают. Это сви-
детельствует об устойчивости метода. При изменении количества точек коллокации также
наблюдается практическая сходимость результатов расчетов. Критерием точности для дан-
ного метода является совпадение результатов работы программы с результатами, получен-
ными методом Фурье для пластины с шарнирно закрепленным контуром. Поэтому можно
сделать вывод, что предложенный численно-аналитический подход, который базируется на
использовании метода сплайн-коллокации по двум координатным направлениям и метода
дискретной ортогонализации для решения системы обычных дифференциальных уравне-
ний высокого порядка, позволяет эффективно проводить исследования напряженно-дефор-
мированного состояния прямоугольных ортотропных пластин в трехмерной постановке.
1. Победря Б.Е., Шешенин С.В. Некоторые задачи об равновесии упругого параллелепипеда // Изв.
АН СССР. Механика тв. тела. – 1981. – № 1. – С. 133–138.
2. Суслова Н.Н. Методы решения пространственной задачи теории упругости для тела в форме парал-
лелепипеда // Итоги науки и техники. Сер. Механика тв. деформир. тела. – Москва: ВИНИТИ АН
СССР, 1980. – 13. – С. 187–296.
3. Douglas G.R. A partially built-in plate under uniform load // J. of Elasticity. – 2001. – No 63. – P. 113–135.
4. England A.H. Bending solutions for inhomogeneous and laminated elastic plates // Ibid. – 2006. – No 82. –
P. 129–173.
5. Grigorenko A.Ya., Maltsev S. A. On of natural vibrations of thin conical shells of variable thickness // Int.
Appl. Mech. – 2009. – 45, No 11. – P. 90–100.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
6. Grigorenko Ya.M., Yaremchenko S. N. Analysis of the stress state of orthotropic elliptic cylindrical shells
in refined statement under changing // Ibid. – 2008. – 44, No 9. – P. 53–62.
7. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. 2-е. – Москва: Наука, 1977. – 416 с.
8. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л. Численное решение задач об осесимметричных колебаниях спло-
шных цилиндров // Прикл. механика. – 2010. – 46, № 5. – С. 10–20.
9. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л., Лоза И.А. Исследование свободных колебаний полых пьезокера-
мических цилиндров конечной длины с осевой поляризацией // Там же. – 2010. – 46, № 6. – С. 17–26.
Поступило в редакцию 06.12.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
A.Ya. Grigorenko, A. S. Bergulyov, S.N. Yaremchenko
Stress-strain state of thick-walled orthotropic rectangular plates
A numerically-analytical approach to researching the stress-strain state of orthotropic rectangular
plates is proposed. The problem is solved on the basis of a three-dimensional model of the theory
of elasticity. The system of partial differential equations is reduced to the one-dimensional problem
within the method of spline-collocation in two coordinate directions. The boundary-value problem
for a system of ordinary differential equations of the higher order is solved by a stable numerical
method of discrete orthogonalization. The examples of calculations for various geometric parameters
and boundary conditions of orthotropic rectangular plates are presented.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 55
|