К расчету неустановившегося биофильтрования
Сформульовано задачу неусталеного біофільтрування води з невисоким вмістом органічних сполук при лімітованому зростанні біомаси. Одержано її строгий розв'язок і на його основі запропоновано для практики ряд розрахункових формул. На багаточисленних прикладах виконано кількісний аналіз зміни з ча...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38695 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К расчету неустановившегося биофильтрования / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 62-69. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-38695 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-386952012-11-20T12:09:00Z К расчету неустановившегося биофильтрования Поляков, В.Л. Механіка Сформульовано задачу неусталеного біофільтрування води з невисоким вмістом органічних сполук при лімітованому зростанні біомаси. Одержано її строгий розв'язок і на його основі запропоновано для практики ряд розрахункових формул. На багаточисленних прикладах виконано кількісний аналіз зміни з часом і за висотою завантаження концентрацій субстрату і біомаси, часу початку його повноцінної захисної дії. A task of nonsteady-state biofiltration of water with low-content organic compounds when the biomass growth is limited has been formulated. An exact solution to the task has been obtained, and a number of calculation formulae has been proposed to use in practice. At numerous examples, a quantitative analysis of substrate and biomass concentrations changing in time and along the filter medium height, as well as the time of the filter protection action, has been performed. 2011 Article К расчету неустановившегося биофильтрования / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 62-69. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38695 628.35 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Поляков, В.Л. К расчету неустановившегося биофильтрования Доповіді НАН України |
| description |
Сформульовано задачу неусталеного біофільтрування води з невисоким вмістом органічних сполук при лімітованому зростанні біомаси. Одержано її строгий розв'язок і на його основі запропоновано для практики ряд розрахункових формул. На багаточисленних прикладах виконано кількісний аналіз зміни з часом і за висотою завантаження концентрацій субстрату і біомаси, часу початку його повноцінної захисної дії. |
| format |
Article |
| author |
Поляков, В.Л. |
| author_facet |
Поляков, В.Л. |
| author_sort |
Поляков, В.Л. |
| title |
К расчету неустановившегося биофильтрования |
| title_short |
К расчету неустановившегося биофильтрования |
| title_full |
К расчету неустановившегося биофильтрования |
| title_fullStr |
К расчету неустановившегося биофильтрования |
| title_full_unstemmed |
К расчету неустановившегося биофильтрования |
| title_sort |
к расчету неустановившегося биофильтрования |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38695 |
| citation_txt |
К расчету неустановившегося биофильтрования / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 62-69. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT polâkovvl krasčetuneustanovivšegosâbiofilʹtrovaniâ |
| first_indexed |
2025-07-03T20:35:38Z |
| last_indexed |
2025-07-03T20:35:38Z |
| _version_ |
1836659443346964480 |
| fulltext |
УДК 628.35
© 2011
В.Л. Поляков
К расчету неустановившегося биофильтрования
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.Я. Олейником)
Сформульовано задачу неусталеного бiофiльтрування води з невисоким вмiстом орга-
нiчних сполук при лiмiтованому зростаннi бiомаси. Одержано її строгий розв’язок i на
його основi запропоновано для практики ряд розрахункових формул. На багаточислен-
них прикладах виконано кiлькiсний аналiз змiни з часом i за висотою завантаження
концентрацiй субстрату i бiомаси, часу початку його повноцiнної захисної дiї.
Работа затопленных биореакторов-фильтров осуществляется последовательно в двух режи-
мах. Первый, переходный, сравнительно быстро сменяется основным, который реализуется
в течение длительного времени и обеспечивает стабильное снижение содержания раство-
ренных органических соединений (субстрата) в природных, сточных водах до требуемо-
го уровня. Поэтому второй режим имеет устойчивые показатели и надежно описывается
стационарными математическими моделями [1–4]. Окисление субстрата главным образом
происходит в образовавшихся и закрепившихся на элементах пористой загрузки (зернах)
биопленках (микроорганизмы и продукты их жизнедеятельности). Известные структурные
модели биопленки позволяют с высокой достоверностью установить обобщенную функцию
утилизации субстрата, необходимую для теоретических исследований поведения субстрата
уже на макроуровне, т. е. в пределах объема фильтра. Именно на базе подобной двухуров-
невой модели анализировалось аналитическими методами установившееся биофильтрова-
ние [5, 6]. Вместе с тем большую ценность для практики представляет прогноз момента вре-
мени, начиная с которого качество фильтрата отвечает принятым нормативам. Аккуратно
определять этот момент можно, только основываясь на нестационарной модели биофиль-
трования. Ключевую роль в такой модели играет вышеупомянутая функция, связывающая
интенсивность деградации субстрата R с концентрациями его (Sw) и биомассы (B). Тради-
ционно для трансформационных процессов микробиологической природы данная функция
имеет форму
R =
λSw
Sw +K
B
Y
, (1)
где λ — удельная максимальная скорость роста биомассы; K — константа полунасыщения;
Y — экономический коэффициент трансформации субстрата в биомассу. Правомочность
использования выражения (1) обоснована в многочисленных работах, например [7–10]. То-
гда после принятия обычной для подобных задач системы допущений [6, 11] исходная мо-
дель включает следующие уравнения баланса субстрата, биомассы, граничное и начальное
условия:
V
∂Sw
∂z
+
λSw
Sw +Kw
B
Y
= 0, (2)
∂B
∂t
=
λSw
Sw +Kw
B − kdB, (3)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
z = 0, Sw = S0; t = 0, B = B0. (4)
Здесь V — скорость фильтрования; kd — коэффициент скорости отрыва биомассы; S0 — ис-
ходная концентрация субстрата. Проблематичным является выбор начального значения B0
концентрации B, которое зависит от происхождения первоначальной биомассы (сохрани-
лась с предыдущего фильтроцикла, введена определенной дозой в начале рассматриваемого
фильтроцикла). Однако с течением времени этот фактор становится малосущественным.
При решении задачи (2)–(4), прежде всего, концентрация B выражается, исходя из (2),
через Sw следующим образом:
B = −
V Y
λ
∂u
∂z
, (5)
где
u =
∫
Sw +Kw
Sw
dSw = Sw +Kw lnSw.
Подстановка выражения (5) в (3) дает
∂B
∂t
= −
V Y
λ
(λ− kd)Sw − kdKw
Sw +Kw
∂u
∂z
. (6)
Отсюда с учетом (5) следует
∂
∂z
(
∂u(Sw)
∂t
)
=
∂U(Sw)
∂z
, (7)
где U = (λ−kd)Sw−kdKw lnSw. В результате интегрирования уравнения (7) при граничном
условии (4) получено
∂u
∂t
= U(Sw)− U(S0). (8)
Связь между Sw, z и t устанавливается путем интегрирования уравнения (8)
t+ C(z) =
∫
(Sw +Kw)dSw
Sw[(λ− kd)(Sw − S0)− kdKw lnSw/S0]
. (9)
Вследствие пренебрежения локальной производной ∂Sw/∂t в уравнении массопереноса на-
чальная концентрация субстрата S0 становится функцией от z, которую следует определять
в ходе решения поставленной задачи. Искомая же зависимость Sw от z, t после выраже-
ния C через S0 представится в неявной форме
t =
Sw
∫
S0(z)
(ξ +Kw)dξ
ξ[(λ− kd)(ξ − S0)− kdKw ln ξ/S0]
. (10)
Путем дифференцирования (10) по z с учетом (5) выводится уравнение
(S0 +Kw)
S0[(λ− kd)(S0 − S0)− kdKw lnS0/S0]
dS0
dz
+
+
λB
V Y [(λ− kd)(Sw − S0)− kdKw lnSw/S0]
= 0. (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 63
В (11) полагается t = 0 и тогда задачу относительно S0(z), принимая во внимание начальное
условие (4), запишем так:
dS0
dz
+
λB0
V Y
S0
S0 +Kw
= 0; z = 0, S0 = S0. (12)
Решение задачи (12) имеет вид
z = −
V Y
λB0
(
S0
− S0 +Kw ln
S0
S0
)
. (13)
Выражение для искомой функции-концентрации B(z, t) вытекает из (11) и с учетом урав-
нения (12) принимает такую форму:
B = B0 (λ− kd)(Sw − S0)− kdKs lnSw/S0
(λ− kd)(S0 − S0)− kdKs lnS0/S0
. (14)
Путем предельного перехода z → 0, Sw → S0 в (10) и с учетом выражений для произ-
водных ∂Sw/∂z, ∂S
0/∂z, согласно (2), (12), выведена простая формула для концентрации
биомассы на входе в загрузку со временем
B0(t) = B(0, t) = B0 exp
(
(λ− kd)S0 − kdKw
S0 +Kw
t
)
.
Отсюда очевидно, что прирост биомассы в загрузке невозможен, если
(λ− kd)S0 6 kdKw.
Для вычисления потерь напора в загрузке прежде всего необходимо задаться эмпири-
ческой зависимостью коэффициента фильтрации k от концентрации B, которая в общем
виде будет такой [12, 13]:
k = k0f(B). (15)
Искомые потери при V = const находятся из решения фильтрационной задачи
V = −k0f(B)
∂h
∂z
; z = L, h = Hd, (16)
где h — напор в загрузке; L — высота загрузки; Hd — выходной напор. В результате они
составляют
∆h(t) =
V
k0
L
∫
0
dz
f(B(z, t))
. (17)
Из построенного выше решения вытекают известные расчетные формулы для ряда част-
ных случаев. Так, при Sw > Kw (реакция нулевого порядка) формулы для концентраций Sw
представим таким образом:
Sw = S0 −
λB0
V Y
ze(λ−kd)t, (18)
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
B = B0e(λ−kd)t. (19)
Если же концентрация Sw очень низкая (Sw ≪ Kw, реакция первого порядка), то соот-
ветствующие формулы примут вид
Sw =
S0
1− e
λS0t
Kw + e
λ
Kw
(
S0t+
B0z
V Y
) , (20)
B =
B0
1− e−
λB0z
V Y Kw + e
−
λ
Kw
(
S0t+
B0z
V Y
) . (21)
Наконец, если пренебречь явлением отрыва биомассы (kd = 0), то
t =
1
λ
(
ln
Sw
S0
+
Kw
S0
ln
S0(S0 − Sw)
Sw(S0 − S0)
)
, (22)
B = B0Sw − S0
S0 − S0
. (23)
Расчетные формулы заметно упрощаются, если ввести безразмерные переменные и па-
раметры таким образом: Sw = Sw/S0, B = B/B0, z = z/L, t = λt, Kw = Kw/S0, kd = kd/λ,
σ = λLB0/(V Y S0), ∆h = (h − Hd)/∆h0, ∆h0 — потери напора в чистой загрузке. Тогда
получаем
Kw lnS0 + S0 = 1− σz, (24)
t =
S0(z)
∫
Sw
(ξ +Kw)dξ
ξ[(1− kd)(1 − ξ) + kdKw ln ξ]
, (25)
B =
(1− kd)(1− Sw) + kdKw lnSw
(1− kd)(1 − S0) + kdKw lnS0
, (26)
B0 = exp
(
1− kd − kdKw
1 +Kw
t
)
, (27)
∆h(t) =
1
σ
1
∫
Se
(ξ +Kw)dξ
ξB(ξ, S0)f(B(ξ, S0))
. (28)
Из (26) вытекает важное следствие, а именно, уравнение относительно безразмерной
установившейся выходной концентрации Se∞ = Sw(1,∞)
Se∞ −
kdKw
1− kd
lnSe∞ = 1. (29)
В начальный период работы фильтр не в состоянии обеспечить надлежащее качество
фильтрата из-за недостаточного развития в нем биоценоза. Поэтому его защитное действие
полноценно реализуется лишь с некоторого момента времени tp. Кстати, в специальной
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 65
литературе по вопросам фильтрования суспензий tp характеризует длительность такого
действия загрузки, так что с этого момента ее необходимо регенерировать. В рассматри-
ваемой же ситуации, наоборот, к моменту tp выходная концентрация субстрата снижается
до предельно допустимой в соответствии с существующими нормативами уровня органи-
ческого загрязнения S∗. Рассчитывается относительное значение tp в два этапа: сначала
из (25) вычисляется величина S0
e = S0(1), а затем и искомое время по формуле
tp =
S∗
∫
S0
e
(ξ +Kw)dξ
ξ[U(ξ)− U(1)]
. (30)
Для иллюстрации построенного выше точного решения нестационарной задачи био-
фильтрования, а также оценки значимости используемых в исходной математической мо-
дели параметров выполнен разнообразный количественный анализ. Основывается он на
четырех примерах с типичными исходными данными. Так, в базовом, первом примере при-
няты σ = 0,001, kd = 0,5, Kw = 0,5; в других примерах поочередно изменяются значения σ
(0,01, второй пример); kd (0,25, третий); kd и Kw (0,25 и 1, четвертый). Предметом расчетов
стали относительные характеристики — концентрации субстрата, биомассы и время нача-
ла эффективной работы фильтра. Длительность расчетных периодов выбрана настолько
большой, что биомасса успевает увеличиться на 3–4 порядка. Подобная ситуация обычно
складывается при инокуляции малого количества деятельных микроорганизмов в биореак-
тор-фильтр с первоначально чистой загрузкой. Очевидно, что развитие биомассы в нем
ограничено размерами порового пространства. В действительности же при постоянной ско-
рости фильтрования ее накопление прекращается намного раньше, чем будет заполнено
поровое пространство, из-за снижения прочности биопленок на элементах среды и усиле-
ния воздействия на них фильтрационного потока. Поэтому у концентрации B существует
предельная величина Bmax, которая зависит от физико-химических свойств пористой сре-
ды, органического загрязнителя и гидродинамических условий. Кстати, если значение Bmax
заранее известно, то его удобно задействовать в качестве масштаба для концентрации B
и тогда ее безразмерный аналог B будет изменяться в пределах от очень малого начального
значения B0 до 1. Относительное время tmax, за которое величина B достигает максимума,
легко вычисляется по формуле, вытекающей из (28),
tmax =
1 +Kw
1− kd − kdKw
lnBmax.
Произойдет это во входном сечении загрузки, где всегда аккумулируется наибольшее коли-
чество биомассы. И для последующего прогноза принятую модель, строго говоря, следует
корректировать. Для этого вводится подвижная граница, на которой имеет место постоян-
ная концентрация Bmax. Впрочем в первом приближении отмеченное обстоятельство можно
проигнорировать, что приведет, конечно, к постепенно нарастающей погрешности в вычис-
лениях, особенно, потерь напора.
Прежде всего, рассчитано изменение выходной концентрации субстрата, являющейся
важнейшим показателем качества водоочистки. Соответствующие четырем примерам кри-
вые Se(t) изображены на рис. 1. Как свидетельствует расположение кривых 1–3 относи-
тельно 4, указанные выше изменения параметров kd, Kw, σ могут существенно сказаться
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
Рис. 1. Изменение относительной выходной концентрации субстрата со временем:
1 — пример 3; 2 — пример 2; 3 — пример 4; 4 — пример 1
Рис. 2. Изменение относительной концентрации биомассы на входе в загрузку со временем:
1 — пример 3; 2 — пример 4; 3 — пример 1
на содержании субстрата в фильтрате. Наиболее значимым оказывается параметр, харак-
теризующий явление мобилизации биомассы, поскольку уменьшение базового значения kd
вдвое ведет к резкому повышению эффективности действия фильтра. Аналогичное же уве-
личение Kw имеет обратный, но не столь сильно выраженный эффект. Наконец, увеличение
на порядок параметра σ, а по сути — исходного содержания биомассы, хотя в меньшей сте-
пени, положительно отражается на результатах биофильтрования.
Динамика биомассы в загрузке имеет сложный характер. С одной стороны, наблюдается
монотонный ее рост на входе до момента tmax, что подтверждается результатами вычисле-
ний B0 по формуле (28), представленными в форме графиков зависимости lgB0(t) на рис. 2.
Естественно, что быстрее накапливается биомасса при меньших значениях kd, Kw. Увеличе-
ние интенсивности отрыва и уменьшение скорости утилизации субстрата за счет принятия
большего значения Kw ощутимо тормозит здесь аккумуляцию биомассы. Иная ситуация,
как видно из рис. 3, складывается в нижней части загрузки (нисходящее фильтрование).
На нем показаны профили концентрации B(z), определенные для данных примера 1 на три
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 67
Рис. 3. Распределение относительной концентрации биомассы по высоте загрузки:
1 — t = 60; 2 — t = 40; 3 — t = 20
Рис. 4. Графики зависимости tp(Kw):
1 — kd = 0,5; 2 — kd = 0,25; 3 — kd = 0,1
разных момента времени. Эти моменты отвечают трем стадиям переходного режима био-
фильтрования. И если на ранних стадиях (кривые 2, 3) распределение биомассы по высоте
относительно равномерное, то на поздней стадии оно становится существенно неравномер-
ным (кривая 1). С точки зрения расчетов работы и параметров фильтра, важно знать, на
какой из выделенных стадий находится процесс биофильтрования в момент tmax. В слу-
чае первых двух стадий исходная модель вообще не нуждается в коррекции, что касается
третьей, то уточнение модели и расчетов становится целесообразным. В целом сначала со-
держание биомассы внизу загрузки растет так же, как и вверху. Однако затем биопленки
на ее верхнем участке настолько развиваются, что начинают потреблять основную часть
субстрата. Вследствие этого ограничивается рост биомассы на нижнем участке, ведущую
роль в ее балансе уже играет отрыв и, как следствие, величина B неуклонно снижается.
В заключение по формулам (25), (29)рассчитывалось относительное время начала за-
щитного действия загрузки на требуемом уровне в зависимости от константы Kw, которая
изменялась в пределах от 0,1 до 1. При этом варьировались значения kd (0,1; 0,25; 0,5)
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
и требовалось, чтобы содержание загрязнения в воде в результате фильтрования снизилось
в пять раз (S∗ = 0,2). Соответствующие кривые tp(Kw) изображены на рис. 4 и свидетель-
ствуют о сильном влиянии явления отрыва биомассы на расчетный параметр. Особенно
резко растет tp с увеличением Kw при kd = 0,5, а при Kw > 1, согласно (28), концентра-
ция B не в состоянии превысить даже исходный уровень.
1. Hozalski R.M., Bouwer E. J. Non-steady state simulation of BOM removal in drinking water biofilters:
applications and full-scale validation // Water Res. – 2001. – 35, No 1. – P. 211–223.
2. Rittmann B.E., Brunner C.W. The nonsteady-state-biofilm process for advanced organics removal //
J. Water Pollut. Control. Fed. – 1984. – 56 (7). – P. 874–880.
3. Spigno G., Zilli M., Micolella C. Mathematical modeling and simulation of phenol degradation in biofil-
ters // Biochem. Eng. J. – 2004. – 19. – P. 267–275.
4. Viotti P., Eramo B., Boni M.R. et al. Development and calibration of a mathematical model for the
simulation on the biofiltration process // Advances in Environ. Res. – 2002. – 7. – P. 11–33.
5. Поляков В.Л. Моделирование биофильтрования воды с ограниченным содержанием органического
субстрата. Аэробная биопленка // Доп. НАН України. – 2011. – № 5. – С. 72–77.
6. Поляков В.Л. Моделирование биофильтрования воды с ограниченным содержанием органического
субстрата. Биореактор-фильтр // Там само. – 2011. – № 7. – С. 58–66.
7. Atkinson B., Davies F. J. The overall rate of substrate uptake (reaction) by microbial films. A biological
rate equation // Trans Inst. Chem. Eng. – 1974. – 52. – P. 248–259.
8. Baveye P., Valocchi A. J. An evaluation of mathematical models of the transport of biologically reacting
solutes in saturated soils and aquifers // Water Resour. Res. – 1989. – 25. – P. 1413–1421.
9. Krailas S., Pham Q.T. Macrokinetic determination and water movement in a downward flow biofilter for
methanol removal // Biochem. Eng. J. – 2002. – 10. – P. 103–113.
10. Sudian M.T., Rittmann B. E., Traeger U.K. Criteria establishing biofilm-kinetic types // Water. Res. –
1987. – 21. – P. 491–498.
11. Олiйник О.Я., Рибаченко С.О. Теоретичний аналiз процесiв доочистки стiчних вод // Доп. НАН
України. – 2008. – № 3. – С. 6–63.
12. Cunningham A.B., Characklis W.G., Abedeen F., Crawford D. Influence of biofilm accumulation on porous
media hydrodynamics // Environ. Sci. Technol. – 1991. – 38. – P. 1305–1311.
13. Bancole A., Brissaud F., Gnagne T. Oxidation processes and clogging in intermittent unsaturated in-
filtration // Water Sci. Tech. – 2003. – 48, No 11–12. – P. 139–148.
Поступило в редакцию 25.11.2010Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
V.L. Polyakov
On the calculation of non-steady biofiltration
A task of nonsteady-state biofiltration of water with low-content organic compounds when the bio-
mass growth is limited has been formulated. An exact solution to the task has been obtained, and
a number of calculation formulae has been proposed to use in practice. At numerous examples, a
quantitative analysis of substrate and biomass concentrations changing in time and along the filter
medium height, as well as the time of the filter protection action, has been performed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 69
|