Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца
Розглянуто тривимірну задачу про усталені коливання тришарових ізотропних пластин, на плоских гранях яких виконуються умови плоского торця. На межі поділу шарів виконуються умови ідеального контакту. Одержано однорідні розв'язки системи рівнянь руху в переміщеннях і досліджено дисперсійні рівня...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38696 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца / В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов, М.В. Фоменко // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 70-77. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-38696 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-386962012-11-20T12:07:44Z Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Фоменко, М.В. Механіка Розглянуто тривимірну задачу про усталені коливання тришарових ізотропних пластин, на плоских гранях яких виконуються умови плоского торця. На межі поділу шарів виконуються умови ідеального контакту. Одержано однорідні розв'язки системи рівнянь руху в переміщеннях і досліджено дисперсійні рівняння. Наведено діаграми спектральних кривих, графіки зміни фазових і групових швидкостей. Знайдено асимптотичні значення фазових швидкостей для великих та малих частот. The three-dimensional problem of steady-state vibrations of three-layer isotropic plates under conditions of a flat end is considered. Conditions of ideal contact are fulfilled on the interface of layers. The homogeneous solutions of the system of equations of motion in displacements are got, and the dispersive equations are researched. Diagrams of spectral curves and curves of phase and group velocities are presented. Asymptotic values for phase velocities for high and low frequencies are determined. 2011 Article Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца / В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов, М.В. Фоменко // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 70-77. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38696 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Фоменко, М.В. Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто тривимірну задачу про усталені коливання тришарових ізотропних пластин, на плоских гранях яких виконуються умови плоского торця. На межі поділу шарів виконуються умови ідеального контакту. Одержано однорідні розв'язки системи рівнянь руху в переміщеннях і досліджено дисперсійні рівняння. Наведено діаграми спектральних кривих, графіки зміни фазових і групових швидкостей. Знайдено асимптотичні значення фазових швидкостей для великих та малих частот. |
| format |
Article |
| author |
Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Фоменко, М.В. |
| author_facet |
Шевченко, В.П. Алтухов, Е.В. Фоменко, М.В. |
| author_sort |
Шевченко, В.П. |
| title |
Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца |
| title_short |
Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца |
| title_full |
Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца |
| title_fullStr |
Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца |
| title_full_unstemmed |
Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца |
| title_sort |
упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38696 |
| citation_txt |
Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца / В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов, М.В. Фоменко // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 70-77. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT ševčenkovp uprugiekolebaniâtrehslojnyhplastinvslučaeploskogotorca AT altuhovev uprugiekolebaniâtrehslojnyhplastinvslučaeploskogotorca AT fomenkomv uprugiekolebaniâtrehslojnyhplastinvslučaeploskogotorca |
| first_indexed |
2025-07-03T20:35:42Z |
| last_indexed |
2025-07-03T20:35:42Z |
| _version_ |
1836659446944628736 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2011
Академик НАН Украины В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов,
М. В. Фоменко
Упругие колебания трехслойных пластин в случае
плоского торца
Розглянуто тривимiрну задачу про усталенi коливання тришарових iзотропних плас-
тин, на плоских гранях яких виконуються умови плоского торця. На межi подiлу шарiв
виконуються умови iдеального контакту. Одержано однорiднi розв’язки системи рiв-
нянь руху в перемiщеннях i дослiджено дисперсiйнi рiвняння. Наведено дiаграми спект-
ральних кривих, графiки змiни фазових i групових швидкостей. Знайдено асимптотичнi
значення фазових швидкостей для великих та малих частот.
В работах [1–5] проведен анализ основных методов и полученных на их основе решений
частных задач теории упругости для однородных и слоистых пластин. В частности, от-
мечается, что актуальным является развитие известных и создание новых аналитических
методов решения трехмерных краевых задач теории упругости для слоистых тел. Переход
от однородных упругих волноводов к неоднородным по толщине пластинам связан с резким
возрастанием трудностей при исследовании по трехмерной теории упругости. В задачах рав-
новесия и колебания трехслойных пластин важную роль сыграли однородные решения [5–7],
предложенные в работе [8]. Колебания трехслойных пластин с использованием однородных
решений рассматривались в [9–11].
В данной работе получены и исследованы однородные решения уравнений упругих коле-
баний трехслойной пластины при скользящей заделке торцов и идеальном контакте слоев.
Постановка задачи. Рассмотрим трехслойную пластину толщиной 2h симметричного
строения относительно ее срединной плоскости. Внешние одинаковые и внутренний слои
пластины находятся в условиях идеального контакта и являются изотропными. На внеш-
них гранях пластины выполняются условия плоского торца, а колебания вызваны внешни-
ми усилиями, приложенными к боковой поверхности и гармонически изменяющимися во
времени.
Построение однородных решений рассматриваемой задачи сводится к интегрированию
известной системы уравнений движения
λ−2∂2
3uj(m) +
(
D2 +
Ω2
m
λ2
)
uj(m) + ν0(m)∂jθm = 0 (j = 1, 2),
λ−2∂2
3u3(m) +
(
D2 +
Ω2
m
λ2
)
u3(m) + λ−1ν0(m)∂3θm = 0
(1)
с учетом краевых условий
u3(1)(x1, x2, 1) = 0, σj3(1)(x1, x2, 1) = 0 (j = 1, 2),
ui(1)(x1, x2, λ2) = ui(2)(x1, x2, λ2),
σi3(1)(x1, x2, λ2) = σi3(2)(x1, x2, λ2) (i = 1, 3),
(2)
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
где Ωm = ωh/cSm, cSm =
√
G̃m/ρm. Другие обозначения здесь и ниже соответствуют при-
нятым в работах [9–11].
Однородные решения задачи. Значения векторов перемещений представим суммой
вихревого и потенциального состояний [7]
ui(m)(x1, x2, x3) = ui(m)B(x1, x2, x3) + ui(m)Π (x1, x2, x3) (i = 1, 3; m = 1, 2).
Вихревое решение имеет вид
u1(m)B(x1, x2, x3) =
∞∑
k=1
p(m)k(x3)∂2Bk(x1, x2),
u2(m)B(x1, x2, x3) = −
∞∑
k=1
p(m)k(x3)∂1Bk(x1, x2), u3(m)B(x1, x2, x3) = 0.
Здесь
p+(1)k(x3) = cos l+(2)kλ2 cos l
+
(1)k(λ2 − x3) +
1
G
l+(2)k
l+(1)k
sin l+(2)kλ2 sin l
+
(1)k(λ2 − x3),
p−(1)k(x3) =
1
l−(2)k
sin l−(2)kλ2 cos l
−
(1)k(λ2 − x3)−
1
Gl−(1)k
cos l−(2)kλ2 sin l
−
(1)k(λ2 − x3),
p+(2)k(x3) = cos l+(2)kx3, p−(2)k(x3) =
1
l−
(2)k
sin l−(2)kx3, l2(m) = Ω2
m + δ2,
D2Bk(x1, x2) =
(
δk
λ
)2
Bk(x1, x2).
Счетные множества собственных значений δk соответственно для симметричных и кососим-
метричных колебаний определяются из дисперсионных уравнений
l(2)k cos l(1)kλ1 sin l(2)kλ2 +Gl(1)k sin l(1)kλ1 cos l(2)kλ2 = 0,
l(2)k cos l(1)kλ1 cos l(2)kλ2 −Gl(1)k sin l(1)kλ1 sin l(2)kλ2 = 0.
Потенциальное решение введем с помощью соотношений
uj(m)Π(x1, x2, x3) = n(m)(x3)∂jC(x1, x2) (j = 1, 2),
u3(m)Π (x1, x2, x3) = q(m)(x3)C(x1, x2).
(3)
Из выражений (1)–(3) следует, что функция C(x1, x2) удовлетворяет уравнению
D2C(x1, x2)−
(
γ
λ
)2
C(x1, x2) = 0,
а для неизвестных функций n(m)(x3), q(m)(x3) получаем задачу на собственные значения
n′′
(m) + [Ω2
m + γ2(1 + ν0(m))]n(m) + λν0(m)q
′
(m) = 0,
q′′(m) +
Ω2
m + γ2
1 + ν0(m)
q(m) +
γ2ν0(m)
λ(1 + ν0(m))
n′
(m) = 0,
(4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 71
q(1)(1) + λ−1n′
(1)(1) = 0, q(1)(1) = 0, n(1)(λ2) = n(2)(λ2),
q(1)(λ2) = q(2)(λ2), G[q(1)(λ2) + λ−1n′
(1)(λ2)] = q(2)(λ2) + λ−1n′
(2)(λ2),
G[λ−1γ2(ν0(1)−1)n(1)(λ2) + (ν0(1) + 1)q′(1)(λ2)] =
= λ−1γ2(ν0(2) − 1)n(2)(λ2) + (ν0(2)+1)q
′
(2)(λ2),
(5)
где γ — параметр разделения переменных.
Общим решением системы (4) для симметричных и кососимметричных колебаний яв-
ляются функции
n±
1 (x3) = H±
1 cos γ±1(1)x3 +H±
2 sin γ±1(1)x3 +H±
3 cos γ±2(1)x3 +H±
4 sin γ±2(1)x3,
q±1 (x3) = Q±
1 sin γ±1(1)x3 +Q±
2 cos γ±1(1)x3 +Q±
3 sin γ±2(1)x3 +Q±
4 cos γ±2(1)x3,
n+
2 (x3) = H+
5 cos γ+1(2)x3 +H+
6 cos γ+2(2)x3,
q+2 (x3) = Q+
5 sin γ+1(2)x3 +Q+
6 sin γ+2(2)x3,
n−
2 (x3) = H−
5 sin γ−1(2)x3 +H−
6 sin γ−2(2)x3,
q−2 (x3) = Q−
5 cos γ−1(2)x3 +Q−
6 cos γ−2(2)x3.
Здесь
γ21(m) =
Ω2
m
(1 + ν0(m))
+ γ2, γ22(m) = Ω2
m + γ2, Q±
i = λ−1a±i H
±
i (1, 6),
a±1 = −γ±1(1), a±2 = γ±1(1), a±3 = −
γ2
γ±2(1)
,
a±4 =
γ2
γ±2(1)
, a±5 = ∓γ±1(2), a±6 = ∓
γ2
γ±2(2)
.
Из спектральной задачи (4), (5) получаем уравнения для нахождения собственных зна-
чений γ
F+(γ,Ω) = GΩ2
1Ω
2
2(γ2(1)γ1(2)C11C21S12S22 + γ1(1)γ2(2)S11S21C12C22) +
+G2(ζ21C11S21 − τ1S11C21)(t2S12C22 − γ2C12S22) +
+ 2Gγ2(ζ1C11S21 − 2t1S11C21)(ζ2C12S22 − 2t2S12C22) +
+ (t1S11C21 − γ2C11S21)(ζ
2
2C12S22 − τ2S12C22) = 0, (6)
F−(γ,Ω) = −GΩ2
1Ω
2
2(γ2(1)γ1(2)C11C21C12C22 + γ1(1)γ2(2)S11S21S12S22) +
+G2(ζ21C11S21 − τ1S11C21)(t2C12S22 − γ2S12C22) +
+ 2Gγ2(ζ1C11S21 − 2t1S11C21)(ζ2S12C22 − 2t2C12S22) +
+ (t1S11C21 − γ2C11S21)(ζ
2
2S12C22 − τ2C12S22) = 0, (7)
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
где
τm = 4γ2γ1(m)γ2(m), tm = γ1(m)γ2(m), ζm = γ2 + γ22(m),
Sjm = sin γj(m)λm, Cjm = cos γj(m)λm (j,m = 1, 2).
Важной характеристикой колебаний являются критические частоты [4]. Для их опре-
деления полагаем в уравнениях (6), (7) γ = 0 и получаем следующие трансцендентные
уравнения:
F+(0,Ω) = (GΩ1s21c22 +Ω2c21s22)(Gk2Ω1c11s12 + k1Ω2s11c12) = 0, (8)
F−(0,Ω) = (GΩ1s21s22 − Ω2c21c22)(Gk2Ω1c11c12 − k1Ω2s11s12) = 0, (9)
где
s1m = sin(kmΩmλm), s2m = sin(Ωmλm),
c1m = cos(kmΩmλm), c2m = cos(Ωmλm), km =
√
1− 2νm
2− 2νm
.
Каждое из уравнений (8), (9) определяет по две независимые серии критических частот.
Причем частоты первой серии не зависят от значений коэффициентов Пуассона ν1, ν2,
в отличие от частот второго семейства.
Асимптотический анализ уравнений и предельные соотношения. Для опреде-
ления корней дисперсионных уравнений (6), (7) важным является поиск точек их пересече-
ния с плоскостью Ω = 0. Предельный переход к задаче статики осуществляется с помощью
разложений функций F±(γ,Ω), порождающих дисперсионные уравнения, в ряд Тейлора
в окрестности точки Ω = 0. Если Ω → 0, то уравнения (6), (7) преобразуются к виду
F+(γ, 0) ≡ G2(sin 2γλ1 + 2γλ1)((3 − 4ν2) sin 2γλ2 − 2γλ2) +
+ 2G(4(1 − ν1)(1− ν2)(1 − cos 2γλ1 cos 2γλ2) +
+ ((1− 2ν1) sin 2γλ1 − 2γλ1)((1 − 2ν2) sin 2γλ2 − 2γλ2)) +
+ ((3− 4ν1) sin 2γλ1 − 2γλ1)(sin 2γλ2 + 2γλ2) = 0,
F−(γ, 0) ≡ G2(sin 2γλ1 + 2γλ1)((3 − 4ν2) sin 2γλ2 + 2γλ2) +
+ 2G(−4(1 − ν1)(1 − ν2)(1 + cos 2γλ1 cos 2γλ2) +
+ ((1− 2ν1) sin 2γλ1 − 2γλ1)((1 − 2ν2) sin 2γλ2 + 2γλ2)) +
+ ((3− 4ν1) sin 2γλ1 − 2γλ1)(sin 2γλ2 − 2γλ2) = 0.
Для симметричных колебаний в особом положении оказывается первая ветвь, проходя-
щая через начало координат γ = 0, Ω = 0. Соответствующая мода оказывается распростра-
няющейся при любой частоте. Для анализа скоростей этой моды при малых частотах в окре-
стности начала координат можно существенно упростить дисперсионное уравнение (6) за
счет малости величин γ, Ω. При этом для безразмерной фазовой скорости vp = cp/cS2 имеем
vp(0) =
√
4λ1λ2(G− 1)(Gk22(1− k21)− k21(1− k22)) +G
(ηλ1 + λ2)(λ1k
2
1 +Gλ2k
2
2)
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 73
Из данной формулы следует, что в низкочастотном диапазоне симметричная волна яв-
ляются бездисперсной.
При γ → ∞ в пределе из (6), (7) для первой распространяющейся моды получаем ал-
гебраическое уравнение
G((s21 − 1)(s22 − 1)(s1r2 + r1s2) + 2(1 + s21 − 2r1s1)(1 + s22 − 2r2s2)) +
+G2((1 + s21)
2 − 4r1s1)(r2s2 − 1) + (r1s1 − 1)((1 + s22)
2 − 4r2s2) = 0, (10)
где rm =
√
1− c2/c2Pm, sm =
√
1− c2/c2Sm, m = 1, 2. Уравнение (10) приводится к известно-
му [4] для нахождения скорости cSt волны Стоунли
(
c2
c2S2
−G
c2
c2S1
− 2(1 −G)
)2
−G
c4
c2S1c
2
S2
(r2s1 + r1s2)− r1s1
(
c2
c2S2
− 2(1−G)
)2
−
− r2s2
(
G
c2
c2S1
+ 2(1 −G)
)2
+ 4(1−G)2r1r2s1s2 = 0.
Таким образом, для обоих случаев симметрии фазовая скорость первой распространяю-
щейся моды имеет в коротковолновом высокочастотном пределе значение скорости поверх-
ностной волны Стоунли. Для остальных ветвей при γ → ∞ получаем
c = min{cS1, cS2}.
Если G → 0 (внешний слой — мягкий), то из уравнений (6) и (7) следует
(γ1(1)γ2(1) sin γ1(1)λ1 cos γ2(1)λ1 − γ2 cos γ1(1)λ1 sin γ2(1)λ1)(sin 2γλ2 + 2γλ2) = 0,
(γ1(1)γ2(1) sin γ1(1)λ1 cos γ2(1)λ1 − γ2 cos γ1(1)λ1 sin γ2(1)λ1)(sin 2γλ2 − 2γλ2) = 0.
В результате каждый дисперсионный спектр состоит из двух. Один соответствует колеба-
ниям внешних слоев, а другой — равновесию внутреннего слоя.
При G → ∞ (внутренний слой — мягкий) из уравнений (6) и (7) имеем
(sin 2γλ1 + 2γλ1)(γ1(2)γ2(2) sin γ1(2)λ2 cos γ2(2)λ2 − γ2 cos γ1(2)λ2 sin γ2(2)λ2) = 0,
(sin 2γλ1 + 2γλ1)(γ1(2)γ2(2) cos γ1(2)λ2 sin γ2(2)λ2 − γ2 sin γ1(2)λ2 cos γ2(2)λ2) = 0.
В случае λm = 0 дисперсионные уравнения (6) и (7) сводятся к известным [6]
sin γ1(m) sin γ2(m) = 0, cos γ1(m) cos γ2(m) = 0.
В случае однослойной пластины G = 1, η = 1, ν1 = ν2 (γ1(1) = γ1(2) = γ1, γ2(1) = γ2(2) =
= γ2) получаем [6]
sin γ1 sin γ2 = 0, cos γ1 cos γ2 = 0.
Анализ результатов численных исследований. Пусть внешние слои пластины изго-
товлены из алюминия и характеризуются параметрами среды ρ1 = 2,7 · 103 кг/м3, G̃1 =
= 2,61 · 1010 Н/м2, ν1 = 0,35, cS1 = 3110 м/с, а внутренний — из вольфрама: ρ2 = 18,7 ×
× 103 кг/м3, G̃2 = 15,3 · 1010 Н/м2, ν2 = 0,29, cS2 = 2860 м/с. Расчеты производились для
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
Рис. 1. Полный дисперсионный спектр симметричных (a) и кососимметричных (б) продольных колебаний
в трехслойной пластине
Рис. 2. Зависимость безразмерных фазовых и групповых скоростей продольных мод от безразмерной час-
тоты Ω
варианта λ1 = λ2 = 1/2. При этом входящие в уравнения (6), (7) частоты Ω1, Ω2, Ω связаны
соотношениями
Ω1 = Ω
cS2
cS1
, Ω2 = Ω.
Трансцендентные уравнения (6) и (7) определяют счетное множество спектральных кри-
вых — зависимостей частоты Ω от параметра γ. На рис. 1 представлены дисперсионные кри-
вые продольных мод соответственно для симметричных и кососимметричных колебаний. На
диаграммах сплошные линии соответствуют вещественным и чисто мнимым корням, штри-
ховые — проекциям комплексных ветвей частотного спектра на действительную (Re γ, Ω)
и мнимую (Im γ, Ω) плоскости. Дисперсионные уравнения (6), (7) при фиксированной час-
тоте имеют конечное число действительных и чисто мнимых корней и счетное множество
комплексных корней.
На рис. 2 приведены графики изменения безразмерных фазовых vp = cp/cS2 (рис. 2, а,
в) и групповых vg = cg/cS2 (рис. 2, б, г) скоростей первых трех распространяющихся мод.
Рис. 2, а, б соответствуют симметричным колебаниям, а рис. 2, в, г — кососимметричным.
Вблизи критических частот фазовая скорость cp → ∞, а групповая cg = 0. В высо-
кочастотном диапазоне все распространяющиеся моды трехслойной пластины становятся
бездисперсными, и значения групповой скорости моды мало отличается от значений фа-
зовой скорости.
Анализ дисперсионных кривых, графиков изменения фазовых и групповых скоростей
показывает, что по сравнению с однородной пластиной с такими же граничными усло-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 75
виями на торцах [6] происходят количественные и качественные изменения в характере
колебаний. В частности, в трехслойной пластине в области низких частот для симмет-
ричного случая появляются одновременно действительная и мнимая моды, а для косо-
симметричного — только действительная. Первая симметричная мнимая мода оказывает-
ся распространяющейся при любой частоте и в низкочастотном пределе является бездис-
персной. При γ = 0 находим v+p (0) = v+g (0) = 1,843. Для остальных ветвей в обоих
случаях симметрии групповая скорость на критических частотах равна нулю. Следует
отметить, что в однослойной пластине дисперсионный спектр не содержит комплексных
мод.
Одной из особенностей дисперсионных соотношений (6), (7) является то, что кривиз-
на мнимых ветвей для определенных критических частот становится отрицательной —
дисперсионная ветвь опускается ниже критической частоты, а вычисление групповой ско-
рости vg приводит к возникновению отрицательных участков на графике ее зависимости
от Ω. Комплексные участки дисперсионных ветвей пересекают плоскость Ω = 0 под пря-
мым углом.
Уравнение (10) имеет вещественный корень, что указывает на существование поверх-
ностной волны Стоунли вблизи поверхности контакта слоев. Значение скорости vSt волны
Стоунли, отнесенной к cS2, равно 0,968. Для симметричных колебаний величина фазовой
скорости vp для первой моды в коротковолновом пределе остается больше асимптотичес-
кого значения vSt, а для кососимметричных — меньше. Остальные кривые приближаются
к асимптоте vp = 1 сверху.
1. Пискунов В. Г., Рассказов А.О. Развитие теории слоистых пластин и оболочек // Прикл. механика. –
2002. – 38, № 2. – С. 22–56.
2. Altenbach H. Theories for laminated and sandwich plates. A review // Mech. of Composite Mater. – 1998. –
34, No 3. – P. 243–252.
3. Carrera E. Historical review of Zig-Zag theories for multilayered plates and shells // Appl. Mechan. Rev. –
2003. – 56, No 3. – P. 287–308.
4. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – Киев: Наук.
думка, 1981. – 284 с.
5. Устинов Ю.А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит. – Ростов-на-Дону: ООО
ЦВВР, 2006. – 257 с.
6. Алтухов Є.В., Панченко Ю.В., Богатчук А.Ю. Коливання iзотропних пластин з урахуванням кра-
йових умов типу плоского торця або дiафрагми // Вiсн. Донецьк. ун-ту. Сер. А. Природничi науки. –
2000. – № 1. – С. 41–45.
7. Ворович И.И., Малкина О.С. Напряженное состояние толстой плиты // Прикл. математика и меха-
ника. – 1967. – 31, № 2. – С. 230–241.
8. Лурье А.И. К теории толстых плит // Там же. – 1942. – 6, № 2–3. – С. 151–168.
9. Алтухов Е. В., Фоменко М.В. Изгибные колебания упругих трехслойных пластин симметричного
строения со свободными плоскими гранями // Вiсн. Донецьк. нац. ун-ту. Сер. А. Природничi науки. –
2009. – № 1. – С. 117–124.
10. Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Распространение волн в трехслойных пластинах со свободными от
напряжений плоскими гранями // Теорет. и прикл. механика. – 2009. – Вып. 45. – С. 146–153.
11. Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругие колебания трехслойных пластин симметричного строения //
Тр. ИПММ НАН Украины. – 2009. – 18. – С. 3–10.
Поступило в редакцию 10.12.2010Донецкий национальный университет
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9
Academician of the NAS of Ukraine V.P. Shevchenko, E.V. Altukhov,
M.V. Fomenko
Elastic vibrations of three-layer plates with a flat end
The three-dimensional problem of steady-state vibrations of three-layer isotropic plates under condi-
tions of a flat end is considered. Conditions of ideal contact are fulfilled on the interface of layers.
The homogeneous solutions of the system of equations of motion in displacements are got, and the
dispersive equations are researched. Diagrams of spectral curves and curves of phase and group
velocities are presented. Asymptotic values for phase velocities for high and low frequencies are
determined.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 77
|