Устойчивость единичного шара пространства Минковского

Дослiджено стiйкiсть одиничної кулi простору Мiнковського у випадках, коли його власна площа або ширина його iзопериметрикса близькi до своїх найбiльших можливих значень....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Щерба, А.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2011
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38700
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Устойчивость единичного шара пространства Минковского / А.И. Щерба // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 26-31. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-38700
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-387002012-11-20T12:09:29Z Устойчивость единичного шара пространства Минковского Щерба, А.И. Математика Дослiджено стiйкiсть одиничної кулi простору Мiнковського у випадках, коли його власна площа або ширина його iзопериметрикса близькi до своїх найбiльших можливих значень. Stability of a unit ball in the Minkowski space is studied in cases where its own area and width of its isoperimetrix are close to the most possible values. 2011 Article Устойчивость единичного шара пространства Минковского / А.И. Щерба // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 26-31. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38700 514.7(075.8) ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Щерба, А.И. Устойчивость единичного шара пространства Минковского Доповіді НАН України
description	Дослiджено стiйкiсть одиничної кулi простору Мiнковського у випадках, коли його власна площа або ширина його iзопериметрикса близькi до своїх найбiльших можливих значень.
format	Article
author	Щерба, А.И.
author_facet	Щерба, А.И.
author_sort	Щерба, А.И.
title	Устойчивость единичного шара пространства Минковского
title_short	Устойчивость единичного шара пространства Минковского
title_full	Устойчивость единичного шара пространства Минковского
title_fullStr	Устойчивость единичного шара пространства Минковского
title_full_unstemmed	Устойчивость единичного шара пространства Минковского
title_sort	устойчивость единичного шара пространства минковского
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/38700
citation_txt	Устойчивость единичного шара пространства Минковского / А.И. Щерба // Доп. НАН України. — 2011. — № 9. — С. 26-31. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT ŝerbaai ustojčivostʹediničnogošaraprostranstvaminkovskogo
first_indexed	2025-07-03T20:35:56Z
last_indexed	2025-07-03T20:35:56Z
_version_	1836659461476843520
fulltext	УДК 514.7(075.8) © 2011 А.И. Щерба Устойчивость единичного шара пространства Минковского (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко) Дослiджено стiйкiсть одиничної кулi простору Мiнковського у випадках, коли його влас- на площа або ширина його iзопериметрикса близькi до своїх найбiльших можливих зна- чень. В n-мерном пространстве Минковского Mn, n > 2, нормирующее тело B принято называть единичным шаром, а его границу ∂B — единичной сферой. Через R n обозначаем евклидо- во пространство, присоединенное к Mn, расстояние которого играет роль вспомогательной метрики [1, 2]. Целесообразно вспомогательную метрику выбрать так, чтобы Vn(B) — ев- клидов n-мерный объем тела B равнялся объему n-мерного единичного шара в R n: Vn(B) = ωn = πn/2 Γ ( n 2 + 1 ) . Точки в Mn будем отождествлять с их радиусами-векторами, отложенными от зафик- сированного начала координат o. Под записью ‖x‖ понимаем длину вектора x в метрике пространства Минковского. Изопериметриксом I пространства Минковского Mn называют центрально симметрич- ное относительно o компактное выпуклое тело, опорная функция hI которого задается на единичной сфере Ω = {u : 〈u, u〉 = 1} в R n формулой hI(u) = ωn−1V −1 n−1(B ⋂ Ao(u)), (1) где Vn−1 — евклидов (n− 1)-мерный объем, Ao(u) — проходящая через начало o гиперплос- кость с нормалью u. Хорошо известно, что изопериметрикс I пространства Mn зависит только от нормирую- щего тела B и не зависит от выбора посторонней метрики [1, с. 279; 3]. 1. Рассмотрим устойчивость единичного шара B относительно ширины его изопериме- трикса. Пусть K — непустое компактное выпуклое тело из Mn. Шириной по Минковскому вы- пуклого тела K в Mn, отвечающей гиперплоскости H, называется величина [2, с. 106; 4] ∆B(K,H) = min{‖x1 − x2‖ : x1 ∈ H+ K , x2 ∈ H− K}, где H+ K и H− K — две опорные гиперплоскости для K, параллельные заданной (n−1)-мерной гиперплоскости H. Симметричность изопериметрикса: I = −I обеспечивает выполнение равенства ∆B(I,H) = 2min{‖x‖ : x ∈ HI}, 26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9 где HI — одна из двух опорных для I гиперплоскостей. Рассматривая тело B расположен- ным в некотором присоединенном пространстве R n, укажем единичный вектор нормали u к опорной плоскости HI = HI(u). Пусть hI(u) и hB(u) — опорные числа тел I и B, тог- да можно записать ∆B(I,H) = 2hI(u)/hB(u). Доказаны следующие теоремы устойчивости единичного шара пространства Минковского Mn в зависимости от ширины его изопери- метрикса. Теорема 1. Если ширина изопериметрикса I на плоскости M2, отвечающая пря- мой H, равна ∆B(I,H) = 8 π (1− ε), 0 6 ε 6 1 6 , то существует симметричный относительно начала o параллелограмм P со стороной, параллельной H, такой, что P ⊂ B ⊂ (1 + 2 √ ε)P . В случае размерности n > 3 пространства Mn имеет место следующее утверждение. Теорема 2. Если ∆B(I,H) = 4(1− ε)ωn−1ω −1 n , 0 6 ε 6 10−4n3 , (2) то существует центрально симметричный относительно o цилиндр Cn(D) с поперечным сечением D, параллельным H, и одномерными образующими такой, что Cn(D) ⊂ B ⊂ Cn(D)(1 + ε1/(2n 2)). (3) Эти теоремы напрямую примыкают к результату В.И. Дисканта об оценке сверху ши- рины изопериметрикса ∆B(I,H) 6 4ωn−1ω −1 n , где равенство возможно лишь в случае, ко- гда B — цилиндр [4]. Приведем краткую схему доказательства теоремы 2. Через At(u) обозначим гипер- плоскость в R n, параллельную A0(u) и удаленную от нее на расстояние t в направлении вектора u. При t < 0 плоскость At(u) удаляется от A0(u) в направлении вектора −u. Пусть Bt(u) = B ⋂ At(u). Центральная симметрия единичного шара B = −B обеспечивает равен- ства B−t(u) = −Bt(u). Через u0 обозначим единичный вектор нормали некоторой опорной к изопериметриксу I гиперплоскости H0 = HI(u0), а также V0 = Vn−1(B0(u0)) и h0 = hB(u0). Лемма 1. Если ширина по Минковскому тела I в направлении вектора u0 удовлетво- ряет равенству (2), то существует сечение единичного шара Bt = B ⋂ At(u0), удаленное от гиперплоскости A0(u0) на расстояние T > t0 = h0 ( 1− √ ε 2 ) , а для евклидового (n − 1)-мерного объема которого выполнено соотношение Vn−1(BT ) > V0 ( 1− √ ε 2 )n−1 . Доказательство леммы 1 проводится с помощью симметризации по Шварцу тела B относительно прямой L(u0), проходящей через o вдоль u0. Далее был использован метод В.И. Дисканта, предложенный им для исследования устойчивости в теории выпуклых тел [5, 6]. Наибольшее из чисел γ, для которых тело ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 27 γK1 параллельным сдвигом помещается в K0, называют коэффициентом вместимости тела K1 в тело K0 и обозначают q = q(K0,K1). Лемма 2. Если 0 6 ε 6 10−2, то коэффициент вместимости q(BT ;−BT ) > 1− 5ε1/(2(n−1)) , n > 3. Заметим, что в теле BT имеется единственная точка x0, для которой выполнено вклю- чение x0 + (B−T + x0)q(BT ;−BT ) ⊂ BT . На гиперплоскости Ao(u0) строим центрально симметричное относительно начала o тело D = (BT − x0) ⋂ (B−T + x0). Отметим, что D ⊃ q(BT ;B−T )((BT − x0) ⋃ (B−T + x0)). Через Cn(D) обозначим цилиндр в R n, поперечные сечения которого совпадают с D, а 1-мерные образующие параллельные вектору xo и ограничены гиперплоскостями AT (u0) и A−T (u0). Построенный цилиндр находится в теле B и симметричен относительно начала o: Cn(D) = −Cn(D). Оценивая снизу коэффициент вместимости q(Cn(D), B) показываем, что q1 = q(Cn(D), B) > 1− 10ε1/(2n(n−1)) , n > 3. (4) Следовательно, q1B ⊂ Cn(D) и B ⊂ (1/q1)Cn(D), откуда сразу получаем оценку (3) из теоремы 2. 2. Рассмотрим теперь устойчивость единичного шара B в случае близости его собствен- ной площади поверхности к наибольшему возможному значению. Следуя Г. Буземану [3], определим (n− 1)-мерную площадь поверхности непустого компактного выпуклого тела K в Mn. Через V1(K, I) обозначаем соответствующий первый смешанный объем тел K и I, где V1(K, I) = V (K,K, . . . ,K ︸︷︷︸ n−1 , I). Здесь используем общепринятые обозначения [7; 8, с. 113]. Площадью по Минковскому поверхности тела K называется величина OB(K) = nV1(K, I). Под собственной площадью поверхности единичного шара В понимаем O(B) = OB(B) = nV1(B, I). (5) В плоском случае для n = 2 величина O(B) задает собственный периметр единичного круга на M2. Еще в 1932 г. С. Голаб [9] установил для него достижимые оценки: 6 6 O(B) 6 6 8. В 1956 г. Г. Буземан и К. Петти в работе [10] получили следующий результат. Теорема А. Если B — единичный шар в n-мерном пространстве Минковского Mn, то O(B) 6 2nωn−1, причем равенство возможно лишь в случае, когда B — параллелепипед. Сформулируем соответствующие теоремы устойчивости. Теорема 3. Пусть собственный периметр единичного круга B на плоскости Минковс- кого M2 равен O(B) = 8(1 − ε), где 0 6 ε 6 1/25. Тогда существует центрально симмет- ричный относительно начала o параллелограмм P , для которого выполняются включения P ⊂ B ⊂ (1 + 18ε)P. 28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9 Теорема 4. Пусть собственная площадь O(B) единичной сферы ∂B в пространстве Минковского Mn, n > 3, равна величине O(B) = 2nωn−1(1 − ε). Тогда существует поло- жительная константа ε0, зависящая только от размерности n, и центрально симмет- ричный относительно начала o параллелепипед P , для которых выполняются включения P ⊂ B ⊂ (1 + εδ)P, (6) где 0 6 ε 6 ε0 и показатель степени δ = 2−n(n!)−2. Основные результаты работы можно формулировать в терминах метрики ‖x‖ пространс- тва Минковского Mn. Так, например, теорема 4 звучит следующим образом: если собствен- ная площадь единичной сферы равна O(B) = 2nωn−1(1 − ε), где ε — достаточно малое неотрицательное число, то в шаровом слое (1 + εδ)−1 6 ‖x‖ 6 1 пространства Mn, n > 3, можно разместить поверхность некоторого симметричного относительно на- чала o параллелепипеда P . Причем для площади поверхности P выполняются неравенства (1 + εδ)1−nO(B) 6 OB(P ) 6 O(B), что сразу следует из определения площади поверхности и свойства монотонности смешанного объема. Ограничимся здесь только доказательством теоремы 4. Оно основывается на идее Буземана–Петти (см. теорему 7.4.1. [2]) и на свойствах поверхностной функции F (B,ω) выпуклого тела B, введенной А.Д. Александровым [11, с. 39]. Исследуя возможность ра- венства O(B) = 2nωn−1, Г. Буземан и К. Петти использовали тот факт, что тело B, как цилиндрическое тело, обладает n линейно независимыми одномерными образующими. При изучении устойчивости в этом равенстве мы вынуждены рассматривать каждое такое на- правление в отдельности. Само доказательство проводится индукцией по размерности m пространства Mm, n > m > 2, через построение в пространстве Минковского цилиндра, аппроксимирующего единичный шар с заданной точностью. Запишем по А.Д. Александрову первый смешанный объем из определения (5) через интеграл Стилтьеса–Радона от непрерывной опорной функции hI(u) изопериметрикса I на единичной сфере O(B) = ∫ Ω hI(u)F (B, dω). Так как начало o — внутренняя точка для B, то hB(u) > 0, а отношение опорных hI(u)/hB(u) — непрерывная функция на Ω. В силу первой теоремы о среднем для интеграла, на Ω есть вектор u0 такой, что O(B) = ∫ Ω hI(u) hB(u) hB(u)F (B, dω) = hI(u0) hB(u0) ∫ Ω hB(u)F (B, dω) = hI(u0) hB(u0) nVn(B). Опорная плоскость H0 = HI(u0) к телу I задается опорным числом hI(u0). По условию теоремы 4 площадь O(B) = 2nωn−1(1 − ε), значит, ширина ∆B(I,H0) = 2hI(u0)/hB(u0) = = 4(1 − ε)ωn−1ω −1 n . Тогда из теоремы 2 следует, что в Mn существует цилиндр с поперечным сечением, перпендикулярным вектору u0, для которого выполнено соотношение (3). Далее проведем исследование поперечного сечения D цилиндра Cn(D). Покажем, что тело D по аналогии с формулой (3) может быть аппроксимировано некоторым “(n−1)-мер- ным” цилиндром Cn−1 = Cn−1(Dn−2) с поперечным сечением Dn−2. Не умаляя общности ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 29 рассуждений, считаем образующие цилиндра Cn(D) перпендикулярными поперечному се- чению D. Последнее основывается на аффинной инвариантности определения собственной площади поверхности O(B) и на свободе выбора посторонней метрики в Mn. Используя соотношения (1) и (4), оценим снизу собственную площадь поверхности ци- линдра Cn(D): O(B) 6 OB ( 1 q1 Cn ) = ∫ Ω ωn−1 Vn−1(B ⋂ A0(u)) F ( 1 q1 Cn, dω ) 6 6 1 qn−1 1 ∫ Ω ωn−1 Vn−1(Cn ⋂ A0(u)) F (Cn, dω) = 1 qn−1 1 OCn (Cn(D)). Учитывая условия, наложенные на O(B) в теореме 4, имеем OCn (Cn(D)) > q1−n 1 (1− ε)2nωn−1 > 2nωn−1(1− 20nε1/(2n(n−1))). (7) Поверхность цилиндра Cn(D) составлена из двух оснований DT ⊂ BT и D−T ⊂ B−T , равных D, и боковой поверхности C ′ n, значит, OCn (Cn) = 2OCn (D) +OCn (C ′ n) = 2ωn−1 +OCn (C ′ n). (8) Обозначим через Ω′ пересечение единичной сферы Ω с (n − 1)-мерной гиперплоскос- тью Rn−1, соответствующей A0(u0). Обратим внимание на следующие равенства: { Vn−1(Cn ⋂ A0(w)) = 2h0Vn−2(D ⋂ A0(w)), w ∈ Ω′; Fn−1(C ′ n, dω) = 2h0Fn−2(D, d′ω), где d′ω — ограничение dω на Ω′. Таким образом, OCn (C ′ n) = ∫ Ω ωn−1 Vn−1(Cn ⋂ A0(w)) Fn−1(C ′ n, dω) = ∫ Ω′ ωn−1 Vn−2(D ⋂ A0(w)) Fn−2(D, d′ω) = = ωn−1 ωn−2 OD(D). Наложив условие достаточной малости величины ε, учитывая (7) и (8), запишем OD(D) > 2(n− 1)ωn−2(1− ε1), где ε1 = ε1/(2n 2). Беря исходно в условиях теоремы 2 вместо B тело D, расположенное в присоеди- ненном к A0(u0) пространстве Rn−1, строим центрально симметричный цилиндр Cn−1 = = Cn−1(Dn−2) с поперечным сечением Dn−2 ⊂ Rn−2, удовлетворяющий включениям ана- логичным, (3): Cn−1(Dn−2) ⊂ D ⊂ (1 + ε 1/(2(n−1)2) 1 )Cn−1(Dn−2). Рассмотрим в R n цилиндр Cn(Cn−1(Dn−2)), поперечные сечения которого совпадают с “(n − 1)-мерным” цилиндром Cn−1(Dn−2), а одномерные образующие параллельны век- тору u0 и ограничены гиперплоскостями AT (u0) и A−T (u0). Он обладает характерным свой- ством Cn(Cn−1(Dn−2)) ⊂ B ⊂ (1 + ε1/(2n 2))(1 + ε1/(2 2n2(n−1)2))Cn(Cn−1(Dn−2)). (9) 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №9 Выполним рекуррентно (n − 1) раз указанные выше построения, соответствующие пе- реходу к формуле (9). Цилиндр C2 на плоскости M2 есть параллелограмм. В результате получим параллелепипед P = Cn(Cn−1(. . . (C3(C2)) . . .)), который и аппроксимирует исходное нормирующее тело B указанным в (6) образом. Автор выражает искреннюю благодарность В.И. Дисканту за полезное обсуждение рассмат- риваемой задачи. 1. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. – Москва: Наука, 1985. – 336 с. 2. Thompson A.C. Minkowski geometry. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1996. – 346 p. 3. Busemann H. Intrinsic area // Ann. Math. – 1947. – 48. – P. 234–267. 4. Diskant V. I. Estimates for diameter and width for the isoperimetrix in Minkowski geometry // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2006. – 2, No 4. – P. 388–395. 5. Дискант В.И. Уточнение изопериметрического неравенства и теоремы устойчивости в теории выпу- клых тел // Тр. Ин-та мат. СО АН СССР. – 1989. – 14. – С. 98–132. 6. Дискант В.И. Устойчивость решений уравнений Минковского и Брунна // Мат. физика, анализ, геометрия. – 1999. – 6, № 3/4. – С. 245–252. 7. Minkowski H. Volume und Oberfläche // Ann. Math. – 1903. – 75. – S. 447–495. 8. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. – Москва: ФАЗИС, 2002. – 210 с. 9. Golab S. Quelques problemes metriques de la geometrie de Minkowski // Trav. l’Acad. Mines Cracovie. – 1932. – 6. – P. 1–79. 10. Busemann H., Petty C.M. Problems on convex bodies // Math. Scand. – 1956. – 4. – P. 88–94. 11. Александров А.Д. Геометрия и приложения: Избр. тр. Т. 1. – Новосибирск: Наука, 2006. – 748 с. Поступило в редакцию 19.11.2010Черкасский государственный технологический университет A. I. Shcherba Stability of a unit ball in the Minkowski space Stability of a unit ball in the Minkowski space is studied in cases where its own area and width of its isoperimetrix are close to the most possible values. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №9 31

Устойчивость единичного шара пространства Минковского

Institution

Ähnliche Einträge