Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций
The problem of the optimal phase-frequency description of the phase error in a closed automatic system is solved.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3892 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 40-44. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-3892 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-38922009-12-11T14:33:08Z Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций Божко, А.Е. Інформатика та кібернетика The problem of the optimal phase-frequency description of the phase error in a closed automatic system is solved. 2008 Article Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 40-44. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3892 534.08. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Божко, А.Е. Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций |
| description |
The problem of the optimal phase-frequency description of the phase error in a closed automatic system is solved. |
| format |
Article |
| author |
Божко, А.Е. |
| author_facet |
Божко, А.Е. |
| author_sort |
Божко, А.Е. |
| title |
Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций |
| title_short |
Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций |
| title_full |
Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций |
| title_fullStr |
Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций |
| title_full_unstemmed |
Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций |
| title_sort |
об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3892 |
| citation_txt |
Об определении оптимальной фазочастотной характеристики корректирующих звеньев в системе воспроизведения вибраций / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 40-44. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT božkoae obopredeleniioptimalʹnojfazočastotnojharakteristikikorrektiruûŝihzvenʹevvsistemevosproizvedeniâvibracij |
| first_indexed |
2025-07-02T07:14:03Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:14:03Z |
| _version_ |
1836518415867576320 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2008
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 534.08.
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Об определении оптимальной фазочастотной
характеристики корректирующих звеньев в системе
воспроизведения вибраций
The problem of the optimal phase-frequency description of the phase error in a closed automatic
system is solved.
В системах воспроизведения вибраций (СВВ) при изменении частоты управляющего сигна-
ла фазочастотная характеристика колебательных систем изменяется от 0 до −π, что может
преобразовывать в замкнутых системах отрицательные обратные связи в положительные.
А это значит, что СВВ может переходить в неустойчивый режим работы. В связи с такой
ситуацией необходимо определить допустимый сдвиг по фазе выходной величины сигнала
СВВ относительно входной (задающего сигнала) при условии, что СВВ будет устойчивой.
Примем, что в этом случае определяемый фазовый сдвиг (∆ϕ) должен соответствовать
минимуму некоторого функционала качества, например,
I = f(ϕ, ϕ̇, ϕ̈, ω), (1)
где ϕ — угол между выходным и входным сигналами СВВ; ϕ̇, ϕ̈ — скорость и ускоре-
ние ϕ соответственно; ω — круговая частота гармонических сигналов в СВВ (ω = 2πf ,
f — частота, Гц). Известно [1, 2], что фазовые искажения в замкнутых автоматических
системах приводят к нарушению их устойчивой работы. Как было отмечено, то же самое
может быть и в СВВ. Во избежание неустойчивой работы СВВ следует решить задачу на-
хождения оптимальных фазокорректирующих звеньев. Для минимизации функционала (1)
можно воспользоваться методами вариационного исчисления [3, 4], на основании которых
находятся экстремали ϕ(ω) = F (ϕ, ϕ̇, ϕ̈, ω). Такая экстремаль будет являться зависимо-
стью фазового сдвига ϕ (фазовой ошибки ∆ϕ), скорости изменения ∆ϕ, ускорения ∆ϕ от
частоты ω, т. е. будет представлять собой фазочастотную характеристику (ФЧХ) фазовой
ошибки ∆ϕ. Зная ФЧХ замкнутой СВВ и ФЧХ фазовой ошибки ∆ϕ, можно найти ФЧХ
корректирующих звеньев. Если ФЧХ фазовой ошибки получена на основе получения ука-
занной ранее экстремали, то тогда ФЧХ корректирующих звеньев будет оптимальной.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Более конкретно в качестве критерия оптимальности, соответствующего функциона-
лу (1), можно принять минимум интегрального функционала
I =
ω
∫
0
[(ϕ − ϕoc)
2 + τ2
1 (ϕ̇ − ϕ̇oc)
2 + τ2
2 (ϕ̈ − ϕ̈ocΣ)2]dω, (2)
где τ1, τ2 — весовые коэффициенты; ϕ, ϕосΣ — фазы входного сигнала и сигнала вибро-
стенда (ВС) совместно с обратной связью (ОС). Так как в (2) ϕос со знаком “−”, то эта ОС
является отрицательной (ООС). Согласно вышеописанному объяснению, найдем функцию
фазовой ошибки, используя экстремали функционала (2). Для нахождения этих экстре-
малей применим метод классического вариационного исчисления [3, 4]. Для сокращения
записи обозначим Θ = ∆ϕ = ϕ − ϕocΣ, Θ̇ = ∆ϕ̇ = ϕ̇ − ϕ̇ocΣ, Θ̈ = ∆ϕ̈ − ϕ̈ocΣ.
Уравнение Эйлера–Пуассона для функционала (2) запишем в виде
∂F
∂Θ
−
d
dω
∂F
∂Θ̇
+
d2
dω2
∂F
∂Θ̈
= 2Θ − 2τ2
1 Θ̈ + 2τ2
2
(IV)
Θ = Θ − τ2
1 Θ̈ + τ2
2
(IV)
Θ = 0. (3)
Характеристическое уравнение для (3) следующее:
τ2
2 k4 − τ2
1 k2 + 1 = 0. (4)
Уравнение (4) является биквадратным. Обозначим z = k2. Тогда (4) примет вид τ2
2 z2 −
− τ2
1 z + 1 = 0. Приведем решение этого уравнения:
z1 =
τ2
1 +
√
τ4
1 − 4τ2
2
2τ2
2
, z2 =
τ2
1 −
√
τ4
1 − 4τ2
2
2τ2
2
.
В зависимости от соотношения весовых коэффициентов τ1 и τ2 корни z1 и z2 могут быть
следующие.
1-й случай (τ4
1 > 4τ2
2 ). При этом
k1 =
√
z1 =
(
τ2
1 +
√
τ4
1 − 4τ2
2
2τ2
2
)1/2
, k2 = −
√
z1 = −
(
τ2
1 +
√
τ4
1 − 4τ2
2
2τ2
2
)1/2
,
k3 =
√
z2 =
(
τ2
1 −
√
τ4
1 − 4τ2
2
2τ2
2
)1/2
, k4 = −
√
z2 = −
(
τ2
1 −
√
τ4
1 − 4τ2
2
2τ2
2
)1/2
.
В этом случае решение уравнения Эйлера (3) запишется в виде
Θ =
4
∑
i=1
Ciℓ
kiω, (5)
где Ci — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий, корни ki, i =
= 1, 4, — действительные и положительные. Определим Ci, i = 1, 4. Если предположить,
что система СВВ является устойчивой, то при ω → ∞ координата ошибки Θ → 0. А это
означает, что C1 = C3 = 0. Постоянные интегрирования находим из начальных условий
(при ω = 0 Θ(0) = Θ0, Θ̇(0) = Θ̇0).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 41
Подставим эти условия в (5) и получим C2 + C4 = Θ0, k2C2 + k4C4 = −Θ̇0, откуда
C2 =
Θ̇0 + Θ0
√
z2√
z2 −
√
z1
, C4 =
Θ̇0 + Θ0
√
z1√
z1 −
√
z2
.
С учетом полученных значений постоянных интегрирования Ci, i = 1, 4, окончательное
решение (5) уравнения Эйлера (3) имеет вид
Θ(ω) =
1
√
z2 −
√
z1
[(Θ̇0 + Θ0
√
z2)ℓ
−ω
√
z1 − (Θ̇0 + Θ0
√
z1)ℓ
−ω
√
z2 ] (6)
и представляет собой экспоненту. Любая другая кривая Θ(ω) не будет экстремалью функ-
ционала (2) при данном соотношении коэффициентов τ1 и τ2.
2-й случай (τ4
1 < 4τ2
2 ). Характеристическое уравнение (4) имеет две пары комплексно-со-
пряженных корней k1,2 и k3,4, имеющих вид
k1,2 = α0 ± jβ0 =
√
2
2
(
√
α0 +
√
α2
0 + β2
0 ±
jβ0
√
α0 +
√
α2
0 + β2
0
)
;
k3,4 = −α0 ± jβ0 =
√
2
2
(
−
√
α0 +
√
α2
0 + β2
0 ±
jβ0
√
α0 +
√
α2
0 + β2
0
)
.
С учетом этих корней решение уравнения (3) выражается соотношением
Θ(ω) = ℓα0ω(C1 cos β0ω + C2 sinβ0ω) + ℓ−α0ω(C3 cos β0ω + C4 sin β0ω). (7)
Так же, как и в 1-м случае, предполагается СВВ устойчивой. Поэтому при ω → 0 координата
Θ → ∞, что обусловливает равенство нулю постоянных интегрирования C1 и C2. Постоян-
ные интегрирования C3 и C4 определяются из начальных условий Θ(0) = Θ0, Θ̇(0) = Θ̇0
следующими выражениями: C3 = Θ0; C4 = (Θ̇0 + α0Θ0)/β0. С учетом полученных постоян-
ных интегрирования C1 — C4 при τ4
1 < 4τ2
2 решение (7) уравнения (3) имеет вид
Θ(ω) = ℓ−α0ω
(
Θ0 cos β0ω +
Θ̇0 + α0Θ0
β0
sin β0ω
)
. (8)
Любая другая экстремаль не будет экстремалью (8) функционала (2) при условии, что
τ4
1 < 2τ2
2 . Если величины весовых коэффициентов τ1 и τ2 менять, то можно получить се-
мейство экстремалей, на основании которого можно осуществить выбор желаемой экстре-
мали. Таким образом, выражения (6), (8) представляют собой оптимальные ФЧХ фазовой
ошибки, удовлетворяющей минимуму функционала (2).
Получив оптимальные ФЧХ фазовой ошибки, перейдем к определению ФЧХ коррек-
тирующего звена СВВ, построенного на базе электродинамического виброиспытательного
стенда [5, 6]. В замкнутой структуре СВВ соотношение фазовых углов между входным
сигналом и сигналом отрицательной обратной связи в устройстве сравнения (разности сиг-
налом) должно быть следующим (предполагается, что Uвх = Ua sin(ωt − ϕ)):
ωt − ϕ = ωt − ϕ ± ϕY Y + ϕBC + ϕВД + ϕOC ± ∆ϕ ± ϕКЗ, (9)
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
где правая часть — суммарный фазовый угол управляющего устройства (УУ), например,
предварительного усилителя и усилителя мощности (ϕУУ), вибростенда (ϕВС), вибродатчи-
ка (ϕВД), звена обратной связи (ϕОС), заданной фазовой ошибки (∆ϕ = Θ), корректиру-
ющего звена (ϕКЗ). Так как Uвх проходит через весь тракт СВВ, то в суммарной фазе ϕΣ
должна присутствовать фаза Uвх, т. е. ωt − ϕ, что и показано в правой части (9). Из выра-
жения (9) получаем
±ϕY Y + ϕBC + ϕВД + ϕOC ± ∆ϕ ± ϕКЗ = 0.
Если предположить, что ϕY Y = ϕВД = 0, то ФЧХ корректирующего звена
±ϕКЗ = ϕBC + ϕOC ± ∆ϕ. (10)
Из (10) видно, что ФЧХ корректирующего звена определяется как разность суммарной
ФЧХ вибростенда (ВС), звена обратной связи (ОС) и оптимальной фазовой ошибки Θ =
= ∆ϕ. ФЧХ СВВ, как и любой системы, может определяться из выражения передаточной
функции системы
W (jω) = R(ω) + jIm(ω) =
√
R2(ω) + I2
m(ω)ℓjϕ(ω), (11)
где
ϕ(ω) = arctg
Im(ω)
R(ω)
.
Для СВВ с ЭДВ передаточная функция имеет вид [5]
WBC(p) =
Bl
(r + Lp)(mp2 + bp + c) + B2l2p
, (12)
где B — магнитная индукция в воздушном зазоре подвижной катушки; l — длина провода
подвижной катушки; r — активное сопротивление провода l; L — индуктивность подвижной
катушки; m — масса платформы совместно с испытуемым изделием; b, c — коэффициен-
ты диссипации и жесткости соответственно; p — оператор d/dt. С учетом символического
метода [7] в (12) вместо p введем p = jω. Тогда (12) примет вид, соответствующий выра-
жению (11),
WBC(jω) =
√
R2
C(ω) + I2
mc(ω) · ℓ−jϕC(ω), (13)
где
RBC(ω) =
Bl(rd − ω2bl)
(rd − ω2bL)2 + ω2(rb + Ld + B2l2)2
;
ImBC(ω) =
Blω(rb + Ld + B2l2)
(rd − ω2bL)2 + ω2(rb + Ld + B2l2)2
;
d = C − mω2;
ϕBC(ω) = arctg
ImC(ω)
RC(ω)
= arctg
ω(rb + Ld + B2l2)
rd − ω2bL
.
(14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 43
Получив ФЧХ СВВ с ЭДВ в виде (12) и оптимальные ФЧХ фазовой ошибки в виде (6)
или (8), можно найти ФЧХ корректирующих звеньев в системе СВВ с ЭДВ в виде
ϕКЗ(ω) = ϕOCΣ − Θ(ω) = ϕBC(ω) + ϕOC(ω) − Θ(ω). (15)
Выражение (15) с учетом (14), (6) или (8) отражает оптимальную ФЧХ корректирующих
звеньев СВВ с ЭДВ в функции параметров ЭДВ и весовых коэффициентов τ1, τ2 функ-
ционала (2).
Для СВВ с разными типами вибростендов ФЧХ будут отличаться друг от друга и ФЧХ
фазовой ошибки будут разными. Поэтому ФЧХ корректирующих звеньев также будут раз-
ными, но соответствовать конкретным СВВ в целом.
1. Тимофеев В.А. Инженерные методы расчета и исследования динамических систем. – Ленинград:
Энергия, 1967. – 147 с.
2. Фельдбаум А.А., Дудыкин А.Д., Мановцев А.П. и др. Теоретические основы связи и управления. –
Москва: Физматгиз, 1963. – 932 с.
3. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. – Москва: Наука, 1966. – 176 с.
4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – Москва: Наука, 1969. –
424 с.
5. Божко А.Е. Воспроизведение вибраций. – Киев: Наук. думка, 1975. – 191 с.
6. Божко А. Е., Пермяков В.И., Пушня В.А. Методы проектирования электромеханических виброво-
збудителей. – Киев: Наук. думка, 1989. – 206 с.
7. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
Поступило в редакцию 12.02.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
|