Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале
The features in the impact formation by an electromagnetic vibroexciter on a jump-like input signal are shown.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3942 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 90-95. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-3942 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-39422009-07-15T12:01:08Z Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале Божко, А.Е. Енергетика The features in the impact formation by an electromagnetic vibroexciter on a jump-like input signal are shown. 2008 Article Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 90-95. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3942 621.318.001.2 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Енергетика Енергетика |
| spellingShingle |
Енергетика Енергетика Божко, А.Е. Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале |
| description |
The features in the impact formation by an electromagnetic vibroexciter on a jump-like input
signal are shown. |
| format |
Article |
| author |
Божко, А.Е. |
| author_facet |
Божко, А.Е. |
| author_sort |
Божко, А.Е. |
| title |
Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале |
| title_short |
Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале |
| title_full |
Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале |
| title_fullStr |
Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале |
| title_full_unstemmed |
Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале |
| title_sort |
анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Енергетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/3942 |
| citation_txt |
Анализ возможного воспроизведения удара электромагнитным вибровозбудителем при прямоугольном входном сигнале / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 3. — С. 90-95. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT božkoae analizvozmožnogovosproizvedeniâudaraélektromagnitnymvibrovozbuditelempriprâmougolʹnomvhodnomsignale |
| first_indexed |
2025-07-02T07:16:17Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:16:17Z |
| _version_ |
1836518554921336832 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2008
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.318.001.2
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Анализ возможного воспроизведения удара
электромагнитным вибровозбудителем
при прямоугольном входном сигнале
The features in the impact formation by an electromagnetic vibroexciter on a jump-like input
signal are shown.
Применение электромагнитных вибровозбудителей (ЭМВ) в качестве источников механи-
ческих ударов является актуальной задачей. Комплексное воспроизведение ударов сов-
местно с вибрациями важно для динамических испытаний на надежность транспортных
средств. В связи с этим анализ возможностей ЭМВ при воспроизведении, в частности, пря-
моугольной формы удара полезен для понимания процессов, происходящих в системе ЭМВ.
Прямоугольный импульс U(t) может быть представлен в виде разности двух скачко-
образных функций (см. рис. 1)
U(t) = U1(t) − U1(t − τ), (1)
где t — время; τ — длительность импульса; 1(t) — единичная скачкообразная функция
{
1(t) =
1 при t > 0
0 при t 6 0
}
.
В работах [1, 2] скачкообразная функция U1(t) выражается в виде особого разложения
U1(t) = (1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt,
n
∑
k=1
Uak = U ; Ua1 =
U
πω1
; Uak =
Ua1
ωk
,
(2)
где α — коэффициент затухания; ωk — круговая частота (ωk = 2πfk, fk — частота, Гц).
Если применить разложение (2) к записи (1), то (1) будет иметь вид
U(t)=U(1−ℓ−αt)+ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt−U [1−ℓ−α(t−τ)]−ℓ−α(t−τ)
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t−τ). (3)
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Рис. 1
Рис. 2
Именно такого вида (3) прямоугольный импульс U(t) подается на обмотку ЭМВ. Электро-
магнитомеханическая схема ЭМВ изображена на рис. 2, где М — магнитопровод; Я — якорь
(подвижная платформа); Пр — пружина; О — обмотка; δ — воздушный зазор. Уравнение
электрической цепи обмотки О при подаче на нее импульса (3) имеет вид
U(1 − ℓ−αt) + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt − U [1 − ℓ−α(t−τ)] −
− ℓ−α(t−τ)
n
∑
k=1
Uak cos ωk(t − τ) = ri + L
di
dt
. (4)
Здесь r — активное сопротивление цепи обмотки О; L — индуктивность обмотки О; i —
электрический ток в обмотке О.
В соответствии с законом полного тока [3]
iwG = Φ, (5)
где Φ — магнитный поток в ЭМВ; w — число витков обмотки О; G — магнитная проводи-
мость в ЭМВ; G = µ0S/(2δ) (µ0 — магнитная проницаемость воздуха; S — площадь попе-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 91
речного сечения полюса магнитопровода М у воздушного зазора δ). Ток i через Φ создает
в ЭМВ тяговое усилие [4] F = Φ2/(µ0S), или, с учетом (5),
F = µ0S
(
iw
2δ
)2
. (6)
Это тяговое усилие, действуя на якорь Я, являющийся колебательной системой, вызывает
перемещение x якоря и в соответствии с уравнением движения
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ cx = F, (7)
где m — масса якоря совместно с массой объекта, находящегося на якоре; b, c — коэффи-
циенты диссипации и упругости соответственно.
Как видно из (4), (6), (7), выражение для формируемого удара в виде x может быть най-
дено в результате решений уравнений (4) и (7) с использованием (6). Решение указанных
уравнений будем осуществлять операционным методом Карсона [5]. Представим уравне-
ния (4) и (6) в виде изображений Карсона. При этом введем рассмотрение процесса про-
хождения импульса до момента τ и после этого момента. Тогда решение будет распадаться
на две части, а именно: решение уравнения
U [1 − ℓ−αt] + ℓ−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt = ri + L
di
dt
(8)
и уравнения, возникшего в результате действия U1(t) и 1(t − τ) в момент τ и после него.
В момент τ начальным условием для решения (7) является решение уравнения (8). При
таком рассуждении уравнение (8) в изображениях Карсона имеет вид
Uα
p + α
+
n
∑
k=1
Uakp(p + α)
(p + α)2 + ω2
k
= (r + pL)I,
откуда изображение тока I запишется соотношением
I =
Uα
(p + α)(pL + r)
+
1
(pL + r)
n
∑
k=1
Uakp(p + α)
(p + α)2 + ω2
k
. (9)
Оригинал тока i(t), соответствующий изображению (9), определяем по таблицам [5]
выражением
i(t) =
Uα
L
[
1
αβ
+
1
α − β
(
1
α
ℓ−αt −
1
β
ℓ−βt
)]
+
+
1
L
n
∑
k=1
〈
Uakα
(α − β)2 + ω2
k
{
ℓ−βt +
ℓ−αt
ωk
[−ωk cos ωkt + (β − α) sin ωkt]
}
+
+
Uak
(α − β)2 + ω2
k
{
−βℓ−βt +
ℓ−αt
ωk
[ωk cosk t + (ω2
k + α2 − αβ) sin ωkt]
}〉
, (10)
где β = r/L — коэффициент затухания в цепи 0.
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Далее, подставляя (10) в (6), находим тяговое усилие в виде
F = µ0S
(
w
2δ
)2
[(10)]2, (11)
где [(10)]2 — квадрат тока i(t), выражаемого соотношением (10).
Проверим правильность (11) с учетом (10). При t− 0 F = 0, при t = ∞ (т. е. рассматри-
вается, что при τ переходный процесс прошел) F = µ0S
(
w
2δ
U
r
)2
. Эта проверка показывает
правильность нашего решения. Если посчитать, что α = ∞, то F = µ0S
(
w
2δ
U
r
)2
, т. е. по-
лучается такое выражение F , как в случае U1(t) = U . При t > τ |U1(t)| = |U1(t − τ)| и ток
i(τ) =
U
r
−
Uα
L
[
1
αβ
+
1
α − β
(
1
α
ℓ−ατ −
1
β
ℓ−βτ
)]
−
+
1
L
n
∑
k=1
〈
Uakα
(α + β)2 + ω2
k
{
ℓ−βτ +
ℓ−ατ
ωk
[−ωk cos ωkτ + (β − α) sin ωkτ ]
}
+
+
Uak
(α − β) + ω2
k
{
−βℓ−βτ +
ℓ−ατ
ωk
[ωk cos ωkτ + (ω2
k + α2 − αβ) sin ωkτ ]
}〉
, (12)
а тяговое усилие при t = τ определяется выражением F = µ0S(w/(2δ))2[(12)]2, где [(12)]2 —
квадрат тока i(τ), выражаемого соотношением (12).
Из (12) получается, что при t = ∞ i(∞) = 0, а вблизи t > τ i(t > τ) = (U/r)ℓ−βτ и
в конце импульса (на его спаде) тяговое усилие
F ≈ µ0S
(
wU
2δr
ℓ−βt
)2
. (13)
Далее, имея выражения (11), (13), можно определить перемещение x якоря (Я) путем
решения уравнения (7). Для упрощения и сокращения математических выкладок предста-
вим (10) в виде
i(t) = i0(t) +
n
∑
k=1
Iakℓ
−αt sin ωt
k, (14)
где
i0(τ) =
Uα
L
[
1
αβ
+
1
α − β
(
1
α
ℓ−αt −
1
β
ℓ−βt
)]
+
1
L
n
∑
k=1
Uak(α − β)
(α − β)2 + ω2
k
ℓ−βt,
Iak =
Uak · α
Lωk
(β − α + ω2
k + α2 − β2)
1
(α − β)2 + ω2
k
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 93
Тяговое усилие F с учетом (14) записывается соотношением
F = j
[
i0(t) +
n
∑
k=1
Iakℓ
−αt sinωt
k
]2
,
где j = µ0S(w/(2δ))2 или, после возведения его в квадрат,
F = j
[
i20(t) + 2i0(t)
n
∑
k=1
Iakℓ
−αt sinωt
k +
(
n
∑
k=1
Iakℓ
−αt sin ωt
k
)2]
. (15)
Поскольку последнее слагаемое в (15) является квадратом суммы, то после тригономет-
рических преобразований в этом слагаемом имеются чисто экспоненциальные составляю-
щие (1/2)I2
akℓ−2αt, экспоненциально затухающие гармоники с частотами 2ωk, (ωk + ωl)/2,
(ωk − ωl)/2, k 6= l, k = 1, n, l = 1, n. Заметим, что в слагаемое i20(t) в (15) входят, кроме
постоянных, экспоненциально-затухающие составляющие.
Так как уравнение (7) является линейным, то при его решении может быть применен
метод суперпозиции, т. е. реакция x(t) колебательной системы ЭМВ на сложное тяговое
усилие F может быть равна сумме реакций xS , s = 0,m, m > n на каждую составляющую
тягового усилия. Известно [6], что реакция колебательной системы типа (7) на постоянную
составляющую F0 воздействия записывается в виде
x0 =
mF0
c
[
1 − ℓ
b
2m
t
(
cos ω01t +
b
2mω01
sinω01t
)]
,
где ω01 =
√
c
m
−
(
b
2m
)2
.
Реакция колебательной системы (7) на экспоненциально-затухающие воздействия Feα =
= Feaαℓ−αt, Feβ = Feaαℓ−βt записывается соотношениями
xeα ≈
Feaα
α2 + ω2
01
[
ℓ−αt −
αℓ−βt
ω01
(sin ω01t + cos ω01t)
]
,
xeβ ≈
Feaβ
β2 + ω2
01
{
ℓ−βt
[
1 −
(
β
ω01
sin ω01t + cos ω01t
)]}
.
(16)
Далее рассмотрим зависимость в (7) xΓe(t) от тягового усилия FΓek = Fakℓ
−αt cos ωkt.
Выражение xΓek(t) в зависимости от FΓek было определено операционным методом на
основе разложения изображения xΓek(p) на простые дроби и получения оригинала по таб-
лицам [5]. В результате
xΓek(t) =
Fak
m
[
Aℓ−αt
(
cos ωkt −
α
ωk
sinωkt
)
+
B
ω0
ℓ−
b
2m
t sin ω0t
]
,
где
A =
α2 + ω2
k − 2α
ω2
0(α
2 + ω2
k
)
; B =
α
α2 + ω2
k
; ω0 =
√
c
m
.
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3
Перемещение x3(t) якоря на спаде (заднем фронте) тягового усилия F , описываемого
выражением (13), математически сходно с выражением (16). Здесь только вместо Feaβ не-
обходимо поставить µ0S(wU/(2δr))2 и вместо β — 2β. Все вычисленные выражения для
перемещения x(t) колебательной системы ЭМВ, за исключением некоторых постоянных
составляющих, относятся к одной k-й гармонике. Суммарное же перемещение xΣ(t) будет
иметь более 2n составляющих. Передний фронт xΣ(t) представляет сумму нарастающей
экспоненты и затухающих с коэффициентом затухания α более 2n гармоник с частотами
ωk, (ωk + ωl)/2, (ωk −ωl)/2, l 6= k, k = 1, n, l = 1, n. Заметим, что α ≫ β = b/(2m). Вершина
xΣ(t) имеет до времени t = τ постоянные составляющие, а задний фронт экспоненциально
затухает при наличии также затухающих с коэффициентом затухания α гармоник, созда-
ваемых скачкообразным напряжением U1(t − τ).
Из данного анализа следует вывод, что четкого прямоугольной формы удара ЭМВ с па-
раметрами ωkL ≫ r воспроизвести не может. Для приближения формы xΣ(t) к прямоу-
гольной необходимо управлять ЭМВ от генератора тока, т. е., чтобы r ≫ ωkL. А еще лучше
ввести в промежуток между якорем и полюсом магнитопровода (в воздушный зазор δ)
немагнитную металлическую пластину, удар якоря о которую обеспечит прямоугольную
форму удара.
1. Божко А. Е. Новая интерпретация переходных процессов в электроцепях // Доп. НАН України. –
2004. – № 9. – С. 83–87.
2. Божко А. Е. Аргументация новой концепции о переходных процесса в электроцепях с позиций вол-
новой механики // Там само. – 2006. – № 3. – С. 83–89.
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
4. Ступель Ф.А. Электромеханические реле. – Харьков: Изд-во Харьков. гос. ун-та, 1956. – 355 с.
5. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
6. Божко А.Е., Голуб Н.М. Динамико-энергетические связи колебательных систем. – Киев: Наук. дум-
ка, 1980. – 188 с.
Поступило в редакцию 19.02.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 95
|