Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки
The scattering problem is considered on the whole axis for a one-dimensional Schr¨odinger operator with potential which tends to different limits at ±∞. The scattering data are defined, and their properties are studied. The necessary and sufficient conditions for the reconstruction of the potenti...
Збережено в:
Дата: | 2008 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
Теми: | |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4079 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки / Дж. Базарган // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-4079 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-40792009-07-16T12:00:57Z Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки Базарган, Дж. Математика The scattering problem is considered on the whole axis for a one-dimensional Schr¨odinger operator with potential which tends to different limits at ±∞. The scattering data are defined, and their properties are studied. The necessary and sufficient conditions for the reconstruction of the potential by these data are found. 2008 Article Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки / Дж. Базарган // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4079 517.4 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Математика Математика |
spellingShingle |
Математика Математика Базарган, Дж. Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
description |
The scattering problem is considered on the whole axis for a one-dimensional Schr¨odinger
operator with potential which tends to different limits at ±∞. The scattering data are defined,
and their properties are studied. The necessary and sufficient conditions for the reconstruction
of the potential by these data are found. |
format |
Article |
author |
Базарган, Дж. |
author_facet |
Базарган, Дж. |
author_sort |
Базарган, Дж. |
title |
Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
title_short |
Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
title_full |
Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
title_fullStr |
Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
title_full_unstemmed |
Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки |
title_sort |
прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора шредингера с потенциалом типа ступеньки |
publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
publishDate |
2008 |
topic_facet |
Математика |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4079 |
citation_txt |
Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси для одномерного оператора Шредингера с потенциалом типа ступеньки / Дж. Базарган // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
work_keys_str_mv |
AT bazargandž prâmaâiobratnaâzadačarasseâniânavsejosidlâodnomernogooperatorašredingeraspotencialomtipastupenʹki |
first_indexed |
2025-07-02T07:19:09Z |
last_indexed |
2025-07-02T07:19:09Z |
_version_ |
1836518735824814080 |
fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2008
МАТЕМАТИКА
УДК 517.4
© 2008
Дж. Базарган
Прямая и обратная задача рассеяния на всей оси
для одномерного оператора Шредингера с потенциалом
типа ступеньки
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
The scattering problem is considered on the whole axis for a one-dimensional Schrödinger
operator with potential which tends to different limits at ±∞. The scattering data are defined,
and their properties are studied. The necessary and sufficient conditions for the reconstruction
of the potential by these data are found.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
L[y](x) = λy, λ ∈ C, (1)
на всей вещественной оси, где L = −d2/dx2 + q(x) — одномерный оператор Шредингера
с вещественным потенциалом q(x) типа ступеньки, удовлетворяющим условиям
0
∫
−∞
(1 + |x|)|q(x) + c| dx+
+∞
∫
0
(1 + |x|)|q(x)| dx <∞, c > 0. (2)
Введем такие “фоновые” операторы L± = −d2/dx2 + q±, где
q− = −c, q+ = 0. (3)
Обозначим спектры операторов L± через σ±, т. е.
σ− = [−c,+∞), σ+ = [0,+∞). (4)
Проведем разрезы вдоль спектров σ± на комплексной плоскости и обозначим через σв
±,
σн
± верхние и нижние берега разрезов соответственно.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 7
Определим на σ± функции
ρ−(λ) =
1
4π
√
λ+ c
, ρ+(λ) =
1
4π
√
λ
, (5)
причем выберем ветви корней так, что ρ±(λ) > 0 при λ ∈ σв
±\inf σ±. Эти функции являются
спектральными мерами операторов L±.
При всех значениях λ ∈ σ± существуют операторы преобразования, которые переводят
решения Йоста ψ−(x, λ) = exp(−i
√
λ+ cx), ψ+(x, λ) = exp(i
√
λx) уравнений L±[y](x) = λy
в решения Йоста ϕ±(x, λ) уравнения (1), представимые в виде
ϕ±(x, λ) = ψ±(x, λ) ±
±∞
∫
x
K±(x, y)ψ±(y, λ) dy, ±x 6 ±y, (6)
где K±(x, y) — вещественные и быстро убывающие функции. Ядра операторов преобразо-
вания связаны с потенциалом соотношениями
∓ d
dx
K±(x, x) = q(x) − q±. (7)
Лемма 1. Спектр σ оператора L состоит из абсолютно непрерывного σac и дискрет-
ного σd спектров, т. е.
σ = σac
⋃
σd,
где
σac = σ−, σd = {λk : λk ∈ R \ σ−, k = 1, . . . , p}.
Спектр оператора L однократен на σ(1) = [−c, 0] и двукратен на σ(2) = σ+ = R+.
В точках дискретного спектра определим 2p положительных чисел m±
k = ‖ϕ±(λk)‖−1
L2 ,
k = 1, . . . , p. Введем функцию
ω(λ) = 〈ϕ−(x, λ), ϕ+(x, λ)〉, λ ∈ C \ σ−.
Следующая лемма описывает ее свойства.
Лемма 2. а) Функция ω(λ) является аналитической в области C \ σ−, непрерывна
вплоть до границы σв
−
⋃
σн
− и обладает свойством симметрии
ω(λв) = ω(λн), λв,н ∈ σв,н
− .
ω(λ) ∈ R вещественна при всех λ ∈ R \ σ−.
б) Функция ω(λ) имеет конечное число нулей в точках λk, k = 1, . . . , p, и, возможно,
в точке λ = −c и не обращается в нуль ни в каких других точках комплексной плоскости.
Нули λk простые, причем справедливы следующие равенства:
[
dω(λ)
dλ
∣
∣
∣
∣
λk
]2
=
1
(m−
k
m+
k
)2
, k = 1, . . . , p.
в) В некоторой окрестности точки λ = −c функция
√
λ+ c [ω(λ)]−1 ограничена.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
При λ ∈ σв,н
− пары ϕ−(x, λв), ϕ−(x, λн) (= ϕ−(x, λв)), а при λ ∈ σв,н
+ пары ϕ+(x, λв),
ϕ+(x, λн) (= ϕ+(x, λв)) образуют линейно независимые решения уравнения (1) и, следова-
тельно, справедливы соотношения
T±(λ)ϕ∓(x, λ) = ϕ±(x, λ) +R±(λ)ϕ±(x, λ), λ ∈ σв,н
± . (8)
Здесь R±(λ) — коэффициенты отражения, а T±(λ) — соответствующие им коэффици-
енты прохождения. Эти коэффициенты образуют матрицу рассеяния
S(λ) =
(
R+(λ) T+(λ)
R−(λ) T−(λ)
)
,
которая обладает следующими свойствами:
Теорема 1. I. Функции T±(λ) и R±(λ) непрерывны во внутренних точках множеств
σв,н
± ⊂ R и удовлетворяют условиям
(а) T±(λв) = T±(λн), R±(λв) = R±(λн), λв,н ∈ σв,н
± ,
(б) 1 − |R±(λ)|2 =
ρ±(λ)
ρ∓(λ)
|T±(λ)|2, λ ∈ σв,н
+ ,
где ρ±(λ) — функции, определенные формулой (5),
(в) R±(λ)T±(λ) = −R∓(λ)T±(λ), λ ∈ σв,н
+ ,
(г) R−(λ) =
T−(λ)
T−(λ)
, λ ∈ (−c, 0]в,н,
(д) T±(λ) = 1 +O
(
1√
λ
)
, R±(λ) = O
(
1√
λ
)
, |λ| → ∞.
II. Функции T±(λ) допускают аналитическое продолжение в область C \ σ− как меро-
морфные функции и удовлетворяют следующему тождеству вплоть до границы:
T−(λ)
2i
√
λ+ c
=
T+(λ)
2i
√
λ
=
1
ω(λ)
,
где ω(λ) удовлетворяет всем свойствам, перечисленным в лемме 2.
Из равенства (6) и соотношения рассеяния (8) следует, что операторы преобразования
удовлетворяют интегральному уравнению Марченко
K±(x, y) + F±(x, y) ±
±∞
∫
x
K±(x, t)F±(t, y) dt = 0, ±x < ±y, (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 9
где
F+(x, y) =
0
∫
−c
|T−(λ)|2ei
√
λ(x+y)ρ−(λ) dλ+ 2Re
+∞
∫
0
R+(λ)ei
√
λ(x+y)ρ+(λ)dλ+
+
p
∑
k=1
ei
√
λk(x+y)(m+
k )−2,
F−(x, y) = 2Re
+∞
∫
−c
R−(λ)e−i
√
λ+c(x+y)ρ−(λ) dλ+
p
∑
k=1
e−i
√
λk+c(x+y)(m−
k )−2.
(10)
Из уравнения (9) и соотношений (7) и (2) вытекает, что:
III. Функции F±(x, y) абсолютно непрерывны и при всех a > −∞ удовлетворяют сле-
дующим неравенствам:
∣
∣
∣
±∞
∫
a
|F±(x, x)| dx
∣
∣
∣
<∞,
∣
∣
∣
±∞
∫
a
(1 + |x|)| d
dx
F±(x, x)| dx
∣
∣
∣
<∞. (11)
Введем данные рассеяния задачи (1), (2),
{R±(λ), T±(λ), λ ∈ σв,н
± , λk ∈ R \ σ−, m±
k > 0, k = 1, . . . , p}. (12)
Оказывается, что условия I –III являются необходимыми и достаточными для того, что-
бы совокупность (12) была данными рассеяния задачи (1), (2). Необходимость была уста-
новлена выше (в теореме 1 и в условии III ). Достаточность вытекает из лемм 3, 4.
Лемма 3. Если выполнены условия I и III, то интегральные уравнения (9) с ядра-
ми F±(x, y), определенные формулами (10), однозначно разрешимы в классе вещественных
непрерывно дифференцируемых функций K±(x, y), причем для этих функций справедливы
следующие оценки:
∣
∣
∣
∣
∣
±∞
∫
x
(1 + |y|)
∣
∣
∣
∣
d
dy
K±(y, y)
∣
∣
∣
∣
dy
∣
∣
∣
∣
∣
<∞. (13)
Решим уравнения обратной задачи (9) относительно K±(x, y) и положим
q−(x) =
d
dx
K−(x, x) − c, q+(x) = − d
dx
K+(x, x). (14)
Из леммы 3 и оценки (13), записанной для функции K±(x, y), следует, что
∣
∣
∣
∣
∣
±∞
∫
a
(1 + |x|)|q±(x) − q±| dx
∣
∣
∣
∣
∣
<∞.
Кроме того, функции ϕ±(x, λ), построенные по формуле (6), являются решениями Йоста
уравнений
−d
2y
dx2
+ q±(x)y = λy(x)
с потенциалами (14).
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Лемма 4. Если выполнено также условие II теоремы 1, то потенциалы q−(x) и q+(x)
совпадают, т. е. q−(x) = q+(x).
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Данные (12), обладающие свойствами I–III являются данными рассеяния
задачи (1)–(4) с потенциалом q(x) := q−(x) = q+(x), определенным по любой из формул (7).
Впервые обратная задача рассеяния для одномерного оператора Шредингера с потен-
циалом q(x) типа ступеньки рассматривалась в работе Буслаева и Фомина [1]. Авторы при-
менили метод, развитый Фаддеевым [2, 3], и нашли необходимые и достаточные условия
на данные рассеяния, когда потенциал стремится к своим пределам так, что существуют
первые моменты на отрицательной и положительной полуосях. Однако в работе [4] было
указано на неточность в характеризации данных рассеяния, приведенных в [1], были опре-
делены необходимые и достаточные условия на данные рассеяния в случае существования
второго момента. В случае существования только первого момента (см. [5]), необходимые
и достаточные условия, указанные в работе [4], не совпадают между собой. Подобные воп-
росы изучались также в работах [6, 7].
В настоящей работе решается задача восстановления потенциала q(x), суммируемого
с первым моментом по заданным матрице рассеяния S(λ) и p произвольным положитель-
ным числам (m−
k
либо m+
k
, k = 1, . . . , p), соответствующим полюсам коэффициентов про-
хождения. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы S(λ) была матри-
цей рассеяния задачи (1), (2). При этом важную роль в характеризации данных рассеяния
играет предлагаемое нами новое условие б леммы 2, входящее в условие II теоремы 1.
1. Буслаев В., Фомин В. К обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера на всей
оси // Вестн. Ленингр. ун-та. – 1962. – № 1. – С. 56–64.
2. Фаддеев Л.Д. О связи S-матрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера // Докл.
АН СССР. – 1958. – 120, № 1. – С. 63–66.
3. Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шредингера // Тр. Мат. ин-та им.
В.А. Стеклова АН СССР. – 1964. – 73. – С. 314–336.
4. Cohen A., Kappeler Th. Scattering and inverse scattering for steplike potentials in the Schrödinger equa-
tion // Indiana Univ. Math. J. – 1985. – 34, No 1. – P. 127–180.
5. Марченко В.А. Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1977. – 331 с.
6. Андерс И.А., Котляров В.П. Характеризация данных рассеяния операторов Шредингера и Дира-
ка // Теорет. и мат. физика. – 1991. – 88, № 1. – С. 72–84.
7. Actosun T. On the Schrödinger equation with steplike potentials // J. Math. Phys. – 1999. – 40, No 11. –
P. 5289–5305.
Поступило в редакцию 06.11.2007Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 11
|