Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу
We consider the second-order differential-operator inclusions with operators of the pseudomonotone type. The existence of solutions for the Cauchy problem for such inclusions by using the singular perturbation method is justified. The important a priori estimates have been obtained. An example tha...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4080 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4080 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-40802010-10-07T15:47:34Z Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. Математика We consider the second-order differential-operator inclusions with operators of the pseudomonotone type. The existence of solutions for the Cauchy problem for such inclusions by using the singular perturbation method is justified. The important a priori estimates have been obtained. An example that illustrates the given result is presented. 2008 Article Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4080 517.9 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу |
| description |
We consider the second-order differential-operator inclusions with operators of the pseudomonotone type. The existence of solutions for the Cauchy problem for such inclusions by using the
singular perturbation method is justified. The important a priori estimates have been obtained.
An example that illustrates the given result is presented. |
| format |
Article |
| author |
Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. |
| author_facet |
Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. |
| author_sort |
Задоянчук, Н.В. |
| title |
Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу |
| title_short |
Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу |
| title_full |
Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу |
| title_fullStr |
Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу |
| title_full_unstemmed |
Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу |
| title_sort |
про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень ii порядку з некоерцитивними операторами wλo-псевдомонотонного типу |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4080 |
| citation_txt |
Про розв’язнiсть диференцiально-операторних включень II порядку з некоерцитивними операторами Wλo-псевдомонотонного типу / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2008. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT zadoânčuknv prorozvâznistʹdiferencialʹnooperatornihvklûčenʹiiporâdkuznekoercitivnimioperatoramiwlopsevdomonotonnogotipu AT kasʹânovpo prorozvâznistʹdiferencialʹnooperatornihvklûčenʹiiporâdkuznekoercitivnimioperatoramiwlopsevdomonotonnogotipu |
| first_indexed |
2025-07-02T07:19:12Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:19:12Z |
| _version_ |
1836518738838421504 |
| fulltext |
2. Aomoto K. Hypergeometric functions: the past, today and . . . (from the complex analytic point of view) //
Sugaku Expositions. – 1996. – 9. – P. 99–116.
3. Andrews L. C., Askey R., Roy R. Special functions. – New York: Cambridge University Press, 1999. – 664 p.
4. Wright E.M. On the coefficient of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc. –
1933. – 8. – P. 71–79.
5. Kilbas A.A., Saigo M. H-transforms. – London: Charman and Hall, 2004. – 390 p.
6. Virchenko N.O. On some generalizations of gamma functions // Доп. НАН України. – 1999. – № 10. –
С. 39–44.
7. Al-Musallam F., Kalla S. L. Asymptotic expansions for generalized gamma and incomplete gamma functi-
ons // Appl. Anal. – 1997. – 66. – P. 173–187.
8. Kobayashi K. On generalized gamma functions occurring in diffraction theory // J. Phys. Soc. Jap. –
1991. – 60. – P. 1501–1512.
9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
10. Widder D.V. The Laplace transform. – Princeton: Princeton University Press, 1946. – 276 с.
Надiйшло до редакцiї 10.10.2007НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
УДК 517.9
© 2008
Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов
Про розв’язнiсть диференцiально-операторних
включень II порядку з некоерцитивними операторами
Wλ0
-псевдомонотонного типу
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. С. Мельником )
We consider the second-order differential-operator inclusions with operators of the pseudomo-
notone type. The existence of solutions for the Cauchy problem for such inclusions by using the
singular perturbation method is justified. The important a priori estimates have been obtained.
An example that illustrates the given result is presented.
Диференцiально-операторнi включення та еволюцiйнi варiацiйнi нерiвностi, що зводяться
до них, вивчаються досить iнтенсивно багатьма дослiдниками [1–5]. По аналогiї з диферен-
цiально-операторними рiвняннями II порядку, еволюцiйнi включення II порядку зводяться
до диференцiально-операторних включень I порядку, а потiм, з використанням вiдомих
методiв, для них доводиться розв’язнiсть. При перенесеннi цiєї технiки на включення ево-
люцiйного типу з некоерцитивними вiдображеннями виникають iстотнi технiчнi складностi.
У данiй роботi розглядаються еволюцiйнi включення II порядку з некоерцитивними ба-
гатозначними вiдображеннями. Для досить широкого класу iстотно багатозначних вiдобра-
жень доводиться їх розв’язнiсть та виводяться апрiорнi оцiнки для розв’язкiв. Як приклад
розглядається клас задач з нелiнiйними операторами, для якого доводиться розв’язнiсть.
Одержанi результати є новими i для рiвнянь також.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 19
Постановка задачi. Нехай (V1, ‖ · ‖V1
) и (V2, ‖ · ‖V2
) — деякi рефлексивнi сепарабельнi
банаховi простори, неперервно вкладенi в гiльбертiв простiр (H, (·, ·)) так, що
V := V1
⋂
V2 щiльний в просторах V1, V2 i H,
причому одне з вкладень Vi ⊂ H є компактним.
Ототожнюючи H ∼= H∗, маємо
V1 ⊂ H ⊂ V ∗
1 , V2 ⊂ H ⊂ V ∗
2
з неперервними i щiльними вкладеннями [6], де (V ∗
i , ‖ · ‖V ∗
i
) — топологiчно спряжений до Vi
простiр вiдносно канонiчної бiлiнiйної форми
〈·, ·〉Vi
: V ∗
i × Vi → R
(i = 1, 2), яка збiгається на H зi скалярним добутком (·, ·) в H. Розглянемо функцiональнi
простори
Xi = Lri
(S;H)
⋂
Lpi
(S;Vi),
де S = [0, T ], 0 < T < +∞, 1 < pi 6 ri < +∞ (i = 1, 2). Простори Xi — рефлексивнi
банаховi простори з нормами ‖y‖Xi
= ‖y‖Lpi
(S;Vi) + ‖y‖Lri
(S;H). Розглянемо рефлексивний
банахiв простiр X = X1
⋂
X2 з нормою ‖y‖X = ‖y‖X1
+ ‖y‖X2
. Зауважимо, що простiр X
неперервно та щiльно вкладений в Y , тобто норма ‖·‖Y є неперервною вiдносно ‖·‖X на X.
Ототожнимо простори Lqi
(S;V ∗
i ) + Lr′i
(S;H) i X∗
i . Аналогiчно,
X∗ = X∗
1 + X∗
2 ≡ Lq1
(S;V ∗
1 ) + Lq2
(S;V ∗
2 ) + Lr′
1
(S;H) + Lr′
2
(S;H), Y ∗ ≡ Y,
де ri
−1 + r′i
−1
= pi
−1 + qi
−1 = 1. На X∗ × X задано форму двоїстостi 〈f, y〉 [6].
Нехай оператори A, B : X ⇉ X∗ — багатозначнi вiдображення псевдомонотонного типу,
C : X → X∗ — деякий однозначний оператор. Ставиться задача Кошi про розв’язнiсть
диференцiально-операторного включення методом сингулярних збурень:
{
y′′ + Ay′ + By + Cy ∋ f,
y(0) = a0, y′(0) = 0, y ∈ C(S;V ), y′ ∈ W,
(1)
де a0 ∈ V та f ∈ X∗ — довiльнi фiксованi елементи, а простiр W = {y ∈ X | y′ ∈ X∗}, де
похiдна y′ елемента y ∈ X розглядається в сенсi простору скалярних розподiлiв D∗(S;V ∗) =
= L(D(S);V ∗
w), з V = V1
⋂
V2, V ∗
w рiвний V ∗ з топологiєю σ(V ∗, V ). На W введемо норму
графiка похiдної:
‖y‖W = ‖y‖X + ‖y′‖X∗ для будь-якого y ∈ W.
Зауважимо, що простiр W компактно вкладений в Y , тобто норма ‖ · ‖Y є компактною
вiдносно ‖ · ‖W на W [7]. Також очевидно, що простiр W неперервно вкладений в C(S;V ∗).
Тому початковi умови мають сенс.
Класи вiдображень. Нехай Y — деякий банахiв простiр, Y ∗ — його топологiчно
спряжений простiр, 〈·, ·〉Y : Y ∗ × Y → R — спарювання. Для багатозначного вiдображення
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
A : Y ⇉ Y ∗ визначимо верхню [A(y), ω]+ = sup
d∈A(y)
〈d,w〉Y i нижню [A(y), ω]
_
= inf
d∈A(y)
〈d,w〉Y
опорнi функцiї, де y, ω ∈ Y а також верхню ‖A(y)‖+ = sup
d∈A(y)
‖d‖Y ∗ i нижню ‖A(y)‖− =
= inf
d∈A(y)
‖d‖Y ∗ норми. Розглянемо зв’язанi з A вiдображення co A : Y ⇉ Y ∗ та
∗
co A : Y ⇉ Y ∗,
визначенi спiввiдношеннями (co A)(y) = co(A(y)) та (
∗
co A(y)) =
∗
co(A(y)) вiдповiдно, де ∗ —
∗-слабке замикання в Y ∗. Опорнi функцiї мають ряд властивостей [1].
Означення 1. Позначимо через Cv(Y ) сiм’ю всiх непорожнiх замкнених опуклих обме-
жених пiдмножин з простору Y .
Означення 2. Багатозначне вiдображення A : Y → 2Y ∗
називається:
+ (−)-коерцитивним, якщо iснує дiйсна функцiя γ : R+ → R, обмежена знизу на обме-
жених в R+ множинах така, що γ(s) → +∞ при s → +∞ та
[A(y), y]+(−) > γ(‖y‖Y )‖y‖Y ∀y ∈ Y ;
радiально напiвнеперервним знизу (р. н. н. зн.), якщо ∀y, ξ ∈ Y
lim
t→+0
[A(y + tξ), ξ]+ > [A(y), ξ]−;
оператором з напiвобмеженою варiацiєю на W (з (Y,W )-н. о. в.), якщо ∀R > 0 ∀y1, y2 ∈
∈ Y : ‖y1‖Y 6 R, ‖y2‖Y 6 R виконується нерiвнiсть
[A(y1), y1 − y2]− > [A(y2), y1 − y2]+ − C(R; ‖y1 − y2‖
′
W );
оператором з N -напiвобмеженою варiацiєю на W (з N -н. о. в. на W ), якщо ∀R > 0 ∀y1,
y2 ∈ Y : ‖y1‖Y 6 R, ‖y2‖Y 6 R виконується нерiвнiсть
[A(y1), y1 − y2]− > [A(y2), y1 − y2]− − C(R; ‖y1 − y2‖
′
W );
λ0-псевдомонотонним на W (wλ0
-псевдомонотонним), якщо для будь-якої послiдовностi
{yn}n>0 ⊂ W такої, що yn ⇀ y0 в W , dn ⇀ d0 в Y ∗ при n → +∞, де dn ∈
∗
co A(yn) ∀n > 1,
iз нерiвностi
lim
n→∞
〈dn, yn − y0〉Y 6 0 (2)
випливає iснування таких пiдпослiдовностей {ynk
}k>1 з {yn}n>1 та {dnk
}k>1 з {dn}n>1, для
яких виконується
lim
k→∞
〈dnk
, ynk
− w〉Y > [A(y0), y0 − w]− ∀w ∈ Y. (3)
Означення 3. Багатозначне вiдображення A : X ⇉ X∗ задовольняє умову (H), якщо
для довiльних y ∈ X, n > 1, {di}
n
i=1 ⊂ A(y) та Ej ⊂ S, j = 1, n: ∀j = 1, n Ej — вимiрна,
n
⋃
j=1
Ej = S, Ei
⋂
Ej = ∅ ∀i 6= j, i, j = 1, n, елемент d(·) =
n
∑
j=1
dj(·)χEj
(·) ∈
∗
co A(y), де
χEj
(τ) =
{
1, τ ∈ Ej ,
0, iнакше.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 21
Достатньою умовою для (H) є така:
(y ∈ X, d ∈ X∗, d(t) ∈ (Ay)(t) для м.в. t ∈ S) ⇒ (d ∈ A(y)).
Метод сингулярних збурень. Розглянемо, взагалi кажучи, багатозначне двоїсте
вiдображення
J(y) = {ξ ∈ X∗|〈ξ, y〉X = ‖ξ‖2
X∗ = ‖y‖2
X} ∈ Cv(X
∗) ∀y ∈ X.
Внаслiдок [8, теорема 4, с. 202 та твердження 8, с. 203] для довiльного f ∈ X∗ вiдображення
J−1(f) = {y ∈ X | f ∈ J(y)} = {y ∈ X | 〈f, y〉X = ‖f‖2
X∗ = ‖y‖2
X} ∈ Cv(X)
також визначене на всьому просторi X i є максимально монотонним багатозначним вiдоб-
раженням.
Будемо апроксимувати включення з (1) таким:
−ε
d
dt
J−1
(
d2
dt2
yε
)
+
d2
dt2
yε + A
(
d
dt
yε
)
+ B(yε) + C(yε) ∋ f. (4)
Означення 4. Будемо казати, що y ∈ X з
d
dt
y ∈ W — розв’язок задачi (1) отримано
методом сингулярних збурень, якщо
{
y,
d
dt
y
}
— слабка границя деякої пiдпослiдовностi
{
yεnk
,
d
dt
yεnk
}
k>1
послiдовностi
{
yεn ,
d
dt
yεn
}
n>1
(εn ց 0+ при n → ∞) у просторi X × W
такої, що для кожного n > 1 yεn ∈ X з
d
dt
yεn ∈ W — розв’язок задачi (4).
Теорема 1. Нехай λA > 0 — фiксоване, I : X → X∗ — тотожне вiдображення, p0 =
= min{p1, p2}, простiр V компактно вкладений у банахiв простiр V0 i вкладення V0 ⊂
⊂ V ∗ неперервне. Припустимо, що A + λAI : X → Cv(X
∗) — +-коерцитивний, р. н. н. зн.
багатозначний оператор Вольтерра з (X;W )-н. о. в. з ‖·‖′W = ‖·‖Lp0
(S;V0), який задовольняє
умову (H); B : Y → Cv(Y
∗) — багатозначний оператор Вольтерра, який задовольняє умову
(H), умову росту:
∃ c1, c2 > 0: ‖By‖+ 6 c1‖y‖Y + c2 ∀ y ∈ Y, (5)
та умову неперервностi:
dH(B(z), B(z0)) → 0, якщо z → z0, (6)
де dH(·; ·) — метрика Хаусдорфа в Cv(Y
∗), тобто
dH(C;D) = max{dist(C;D),dist(D,C)}, dist(C;D) = sup
c∈C
inf
d∈D
‖c − d‖Y ∗ ,
C,D ∈ Cv(Y
∗);
C : X → X∗ — оператор з такою властивiстю:
(Cu)(t) = C0u(t) ∀u ∈ X, ∀t ∈ S,
де C0 : V2 → V ∗
2 — лiнiйний, обмежений, самоспряжений, монотонний оператор.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
Тодi для довiльних a0 ∈ V та f ∈ X∗ iснує принаймнi один розв’язок задачi (1) y ∈ X,
отриманий методом сингулярних збурень, причому y′ ∈ W .
Зауваження 1. Теорема 1 доводиться по аналогiї з [9] шляхом зведення включення II
порядку з (1) до включення I порядку.
П р и к л ад . Нехай Ω з R
n — обмежена область з регулярною границею ∂Ω, S = [0; T ], Q = Ω×S,
ΓT = ∂Ω × S, p = p1 = p2, Φ: R → R — неперервна функцiя, що задовольняє умову росту [10]:
для деяких c1, c2 ∈ R |Φ(t)| 6 c1|t| + c2 ∀ t ∈ R, (7)
та знакову умову:
∃c3 > 0: (Φ(t) − Φ(s))(t − s) > −c3(s − t)2 ∀ t, s ∈ R; (8)
S × R ∋ (t, y) → θi(t, y) ∈ R+, i = 1, 2, — однозначнi неперервнi функцiї, якi задовольняють таку
умову:
∃c1, c2 > 0: − c2(1 + |x|) 6 θ1(t, x) 6 θ2(t, x) 6 c1(1 + |x|) ∀ t ∈ S, x ∈ R. (9)
Для довiльного f ∈ X∗ = L2(S; L2(Ω)) + Lq(S; W−1,q(Ω)) розглянемо задачу
∂2y(x, t)
∂t2
−
n
∑
i=1
∂
∂xi
(∣
∣
∣
∣
∂2y(x, t)
∂xi∂t
∣
∣
∣
∣
p−2
∂2y(x, t)
∂xi∂t
)
+
∣
∣
∣
∣
∂y(x, t)
∂t
∣
∣
∣
∣
p−2
∂y(x, t)
∂t
+ Φ
(
∂y(x, t)
∂t
)
−
− ∆y(x, t) + [θ1(t, y(x, t)); θ2(t, y(x, t))] ∋ f(x, t) м. с. на Q, (10)
y(x, 0) = 0,
∂y(x, t)
∂t
∣
∣
∣
t=0
= 0 м. с. на Ω,
y(x, t) = 0 м. с. на ∂Ω.
Як оператор A : Lp(S; W 1,p
0 (Ω))
⋂
L2(Ω) → Lq(S; W−1,q(Ω))+L2(Ω) вiзьмемо (Au)(t) = A(u(t)) [9], де
A(ϕ) = A1(ϕ) + A2(ϕ) ∀ϕ ∈ C2
0 (Ω),
A1(ϕ) = −
n
∑
i=1
∂
∂xi
(∣
∣
∣
∣
∂ϕ
∂xi
∣
∣
∣
∣
p−2
∂ϕ
∂xi
)
+ |ϕ|p−2ϕ, A2(ϕ) = Φ(ϕ),
як оператор B : L2(Q) → L2(Q) вiзьмемо
B(u) = {v ∈ L2(Q) | θ1(t, u(x, t)) 6 v(x, t) 6 θ2(t, u(x, t)) для м. в. (x, t) ∈ Q},
a як оператор C : L2(S; H1
0 (Ω)) → L2(S; H−1(Ω)) вiзьмемо оператор з властивiстю
(Cu)(t) = C0u(t), C0(v) = −∆v, v ∈ H1
0 (Ω).
Покладемо H = L2(Ω), V1 = V2 = V = W
1,p
0 (Ω)
⋂
L2(Ω) i розглянемо
X = Lp(S; V )
⋂
L2(S; H), X∗ = Lq(S; V ∗) + L2(S; H),
Y = L2(S; H) = L2(Q).
Тодi задача (10) має розв’язок y ∈ X , y′ ∈ C(S; H), y′′ ∈ X∗, одержаний методом сингулярних
збурень.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №4 23
1. Згуровский М.З., Мельник В.С., Новиков А.Н. Прикладные методы анализа и управления нелиней-
ными процессами и полями. – Киев: Наук. думка, 2004. – 590 с.
2. Иваненко В.И., Мельник В.С. Вариационные методы в задачах управления для систем с распреде-
ленными параметрами. – Киев: Наук. думка, 1988. – 324 с.
3. Касьянов П.О. Метод Фаедо–Гальоркiна для одного класу диференцiально-операторних включень //
Доп. НАН України. – 2005. – № 9. – С. 20–24.
4. Касьянов П.О., Мельник В.С. Метод Фаедо–Гальоркiна для диференцiально-операторних включень
в банахових просторах з вiдображеннями wλ0
-псевдомонотонного типу // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2005. – 2, № 1. – С. 103–126.
5. Мельник В.С. Топологические методы в теории операторных включений в банаховых пространст-
вах // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 2. – С. 184–194; № 4. – С. 573–595.
6. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-
циальные уравнения. – Москва: Мир, 1978. – 337 с.
7. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 587 с.
8. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. – Москва: Мир, 1988. – 512 с.
9. Задоянчук Н.В., Касьянов П.О. Метод Фаедо–Гальоркiна для нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь II
порядку з операторами Вольтерра // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – № 2. – С. 204–228.
10. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. – Моск-
ва: Гостехиздат, 1956. – 393 с.
Надiйшло до редакцiї 06.06.2007Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
УДК 517.95
© 2008
О.Є. Коркуна, С. П. Лавренюк
Мiшана задача для одного нелiнiйного рiвняння типу
Ейдельмана в необмеженiй областi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
We consider a boundary-value problem for the equation
ut +
k
∑
i,j=1
(aij(z, t)|uxixj
|p−2uxixj
)xixj
−
n
∑
i,j=1
(bij(z, t)uzi
)zj
+ c(z, t)|u|r−2u = f(z, t).
The conditions of the existence and uniqueness of a generalized solution without any restriction
at infinity are obtained.
У 1960 р. С.Д. Ейдельман [1] розглянув узагальнення параболiчних за Петровським сис-
тем, ввiвши термiн “ ~2b — параболiчнi системи”. У цих системах диференцiюванню за рiз-
ними просторовими змiнними надають рiзної ваги по вiдношенню до диференцiювання за
змiнною t. З того часу було достатньо повно розроблено теорiю задачi Кошi для лiнiйних
систем вказаного типу (див. [2–12]).
Мета цiєї роботи — дослiдити задачу Кошi для нелiнiйного диференцiального рiвняння
з похiдною першого порядку за часовою змiнною, в якому за групою просторових змiнних
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №4
|