Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі

Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі

For the first time, the interpolation operator integral chain fractions on continual knots are studied for nonlinear operators which are defined on linear topological spaces.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2008
Hauptverfasser: Макаров, В.Л., Хлобистов, В.В., Демків, І.І.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2008
Schlagworte:
Математика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4150
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. ДемкІв // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 3. — С. 17-23. — Бібліогр.: 6 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-4150
record_format dspace
spelling irk-123456789-41502017-11-27T10:23:47Z Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі Макаров, В.Л. Хлобистов, В.В. Демків, І.І. Математика For the first time, the interpolation operator integral chain fractions on continual knots are studied for nonlinear operators which are defined on linear topological spaces. 2008 Article Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. ДемкІв // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 3. — С. 17-23. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4150 517.988 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Макаров, В.Л.
Хлобистов, В.В.
Демків, І.І.
Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі
description For the first time, the interpolation operator integral chain fractions on continual knots are studied for nonlinear operators which are defined on linear topological spaces.
format Article
author Макаров, В.Л.
Хлобистов, В.В.
Демків, І.І.
author_facet Макаров, В.Л.
Хлобистов, В.В.
Демків, І.І.
author_sort Макаров, В.Л.
title Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі
title_short Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі
title_full Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі
title_fullStr Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі
title_full_unstemmed Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі
title_sort інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2008
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4150
citation_txt Інтерполяційні інтегральні операторні дроби в банаховому просторі / В.Л. Макаров, В.В. Хлобистов, І.І. ДемкІв // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 3. — С. 17-23. — Бібліогр.: 6 назв. — укp.
work_keys_str_mv AT makarovvl ínterpolâcíjnííntegralʹníoperatornídrobivbanahovomuprostorí
AT hlobistovvv ínterpolâcíjnííntegralʹníoperatornídrobivbanahovomuprostorí
AT demkívíí ínterpolâcíjnííntegralʹníoperatornídrobivbanahovomuprostorí
first_indexed 2025-07-02T07:22:24Z
last_indexed 2025-07-02T07:22:24Z
_version_ 1836518940494266368
fulltext 12. Cartwright M. The order of the derived group of a BFC-group // J. London Math. Soc. – 1984. – 30, No 2. – P. 227–243. 13. Диксон М.Р., Курдаченко Л.А., Дашкова О.Ю. Бесконечномерные линейные группы с ограничени- ями на подгруппы бесконечных рангов // Изв. Гомельск. гос. ун-та им. Ф. Скорины. – 2006. – 36, № 3. – C. 109–123. 14. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – Москва: Наука, 1972. – 240 с. 15. Kurdachenko L.A., Kirichenko V.V., Polyakov N.V. On certain finitary modules // Укр. математ. кон- гресс-2001. III Междунар. алгебраическая конф. в Украине. Алгебраические структуры и их исполь- зование: Тр. – Киев, 2002. – С. 283–296. Поступило в редакцию 22.05.2007Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко УДК 517.988 © 2008 Член-кореспондент НАН України В. Л. Макаров, В.В. Хлобистов, I. I. Демкiв Iнтерполяцiйнi iнтегральнi операторнi дроби в банаховому просторi For the first time, the interpolation operator integral chain fractions on continual knots are studied for nonlinear operators which are defined on linear topological spaces. Питання наближення функцiй та операторiв у вiдповiдних просторах за допомогою iнтег- ральних ланцюгових дробiв розглядалися у рядi робiт [1–3]. Дослiдженню iнтерполяцiй- ностi на континуальних вузлах (тобто на вузлах, що залежать вiд неперервних скалярних аргументiв) присвяченi роботи [2, 3]. У данiй роботi вперше вивчаються iнтерполяцiйнi опе- раторнi iнтегральнi ланцюговi дроби на континуальних вузлах для нелiнiйних операторiв, визначених на лiнiйних топологiчних просторах. Постановка задачi та її розв’язок. Знайдемо зображення iнтегрального n-поверхо- вого операторного дробу, який буде iнтерполяцiйним на континуальнiй множинi вузлiв xn(~ξn) = x0 + gξ1(x1 − x0) + · · · + gξn (xn − xn−1), 0 6 ξn 6 · · · 6 ξ1 6 1, (1) для оператора F (x), що дiє з лiнiйного топологiчного простору X у алгебру Y з одиницею I. Тут gz — лiнiйний, диференцiйований за z оператор, що дiє з X в X, i має властивостi g0 = 0, g1 = E, gτgξ = gmin(τ,ξ), τ, ξ ∈ [0, 1], (2) де E : X → X тотожний оператор. Приклад операторiв gz з властивостями (2) для випадку гiльбертового простору X = H та просторi кусково-неперервних функцiй Q[0, 1] див. у [4, 5]. Має мiсце ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 17 Теорема 1. Нехай сiмейство операторiв gξ має властивостi (2). Тодi Q2(x) = F (x0) + 1∫ 0 ( I + F ′(x0 + gz1 (x1 − x0))g ′ z1 (x − x0) × × z1∫ 0 K2(z1, z2; g ′ z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1))dz2 ) −1 F ′(x0 + gz1 (x1 − x0))g ′ z1 (x − x0)dz1, (3) де K2(z1, z2; g ′ z1 (x− x0), g ′ z2 (x− x1))=−(F ′(x0 + gz1 (x1− x0) + gz2 (x2− x1))g ′(x− x0)) −1 × × F ′′(x0 + gz1 (x1 − x0) + gz2 (x2 − x1))g ′ z2 (x − x1)g ′ z1 (x − x0) × × (F ′(x0 + gz1 (x1 − x0) + gz2 (x2 − x1))g ′(x − x0)) −1, за умовою його iснування буде iнтерполяцiйним на континуальнiй множинi вузлiв (1), коли n = 2. Доведення. Пiдставимо у (3) континуальний вузол (1), коли n = 2. Тодi будемо мати Q2(x 2(~ξ2)) = F (x0) + ξ2∫ 0 ( I + F ′(x0 + gz1 (x1 − x0))g ′ z1 (x2 − x0) × × z1∫ 0 ∂ ∂z2 (F ′(x0 + gz1 (x1 − x0) + gz2 (x2 − x1))g ′ z1 (x2 − x0)) −1dz2 ) −1 × × F ′(x0 + gz1 (x1− x0))g ′ z1 (x2− x0)dz1 + ξ1∫ ξ2 ( I + F ′(x0 + gz1 (x1− x0))g ′ z1 (x1− x0) × × ξ2∫ 0 ∂ ∂z2 (F ′(x0 + gz1 (x1 − x0) + gz2 (x2 − x1))g ′ z1 (x1 − x0)) −1dz2 ) −1 × × F ′(x0 + gz1 (x1 − x0))g ′ z1 (x2 − x0)dz1 = = F (x0) + ξ2∫ 0 F ′(x0 + gz1 (x2 − x0))g ′ z1 (x2 − x0)dz1 + + ξ1∫ ξ2 F ′(x0 + gz1 (x1 − x0) + gξ2(x2 − x1))g ′ z1 (x1 − x0)dz1 = = F (x0) + F (x0 + gξ2(x2 − x0)) − F (x0) + F (x0 + gξ1(x1 − x0) + gξ2(x2 − x1)) − − F (x0 + gξ2(x2 − x0)) = F (x0 + gξ1(x1 − x0) + gξ2(x2 − x1)), що i треба було довести. 18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3 Зауваження. У випадку, коли xi − xi−1 = h, ∀i = 1, 2, . . . , n умови (2) можна замiнити такими: g0 = 0, g1 = E, F (x0 + gξh) − F (x0) = 1∫ 0 F ′(x0 + gzh)dzgzgξ для всiх F та h, для яких вищенаведена формула має сенс. Для узагальнення теореми 1 на випадок n > 2 введемо таке позначення: Kn(~xm(~zm)|g′z1 (x̃1 − x0), g ′ z2 (x̃2 − x1), . . . , g ′ zn (x̃n − xn−1)) = = ∂ ∂α (Kn−1(~x m(~zm) + αg′zn (x − xn−1)|g ′ z1 (x − x0), g′z2 (x − x1), . . . , g ′ zn−1 (x − xn−2))) −1|α=0, n = 2, 3, . . . , K1(~x m(~zm)|g′z1 (x̃k − x0))|z1=···=zk = F ′(~xm(~zm))g′z1 (x̃k − x0)|z1=···=zk , k 6 m, m > n. (4) Неважко переконатись, враховуючи можливiсть диференцiювання за параметром [5], що з (4) випливає формула Kn(~xm(~zm)|g′z1 (x̃1 − x0), g ′ z2 (x̃2 − x1), . . . , g ′ zn−1 (x̃n−1 − xn−2), g ′ zn (xn − xn−1)) = = ∂ ∂zn (Kn−1(~x m(~zm)|g′z1 (x̃1 − x0), g ′ z2 (x̃2 − x1), . . . , g ′ zn−1 (x̃n−1 − xn−2)) −1, n = 2, 3, . . . , K1(~x m(~zm)|g′z1 (x̃k − x0))|z1=···=zk = ∂ ∂z1 (F (~xm(~zm)|z1=···=zk )). (5) Має мiсце Теорема 2. Нехай оператор gξ задовольняє умови (2). Тодi iнтегральний операторний дрiб Qn(x) = F (x0) + 1∫ 0 q2(z1, x)−1K1(~x 1(~z1)| g′z1 (x − x0))dz1, q2(z1, x) = I + K1(~x 1(~z1)| g′z1 (x − x0)) × × z1∫ 0 q3(~z 2, x)−1K2(~x 2(~z2)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1))dz2, . . . qn(~zn−1, x) = I + Kn−1(~x n−1(~zn−1)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn−1 (x − xn−2)) × × zn−1∫ 0 Kn(~xn(~zn)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn (x − xn−1))dzn, (6) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 19 де оператори Ki(~x i(~zi)| g′z1 (x−x0), g ′ z2 (x−x1), . . . , g ′ zi (x−xi−1)) визначаються з формул (4), буде iнтерполювати нелiнiйний оператор F на континуальнiй множинi вузлiв (1) i буде мати властивiсть Qn(x) = F (x), коли xn = x, (7) за умови його iснування. Доведення. Покладемо в (6) xn = x, тодi, з урахуванням (5), одержимо qn(~zn−1, x) = I + Kn−1(~x n−1(~zn−1)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn−1 (x − xn−2)) × × zn−1∫ 0 ∂ ∂zn Kn−1(~x n(~zn)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn−1 (x − xn−2)) −1dzn = = Kn−1(~x n−1(~zn−1)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn−1 (x − xn−2)) × × Kn−1   ~xn   z1 z2 ... zn−2 zn−1 zn−1   ∣∣∣ g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn−1 (x − xn−2)   −1 . Далi: qn−1(~z n−2, x) = I + Kn−2(~x n−2(~zn−2)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn−2 (x − xn−3)) × × zn−2∫ 0 Kn−1(~x n−1(~zn−1)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn−1 (x − xn−2)) dzn, де замiсть xn−1 покладено x. Отже, маємо Qn(x) = Qn−1(x), коли xn = x. Продовжуючи аналогiчно, одержуємо Qn(x) = Qn−1(x) = · · · = Q1(x) = F (x0) + 1∫ 0 K1(~x 1(z1)|gz1 (x − x0)) dz1 = = F (x0) + 1∫ 0 ∂ ∂z1 F (~x1(z1)) dz1 = F (x). Тут у кiнцi ланцюжка рiвностей враховано, що x1 = x. Зауважимо, що при доведеннi властивостi (7) не потрiбно було використовувати умови (2). Враховуючи доведену теорему 2, маємо такий важливий 20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3 Наслiдок. При вiдповiдних умовах гладкостi нелiнiйний оператор F можна подати у виглядi F (x) = F (x0) + 1∫ 0 q2(z1, x)−1K1(~x 1(~z1)| g′z1 (x − x0))dz1, (8) де q2(z1, x)=I+K1(~x 1(~z1)| g′z1 (x−x0)) z1∫ 0 q3(~z 2, x)−1K2(~x 2(~z2)|g′z1 (x−x0), g ′ z2 (x−x1))dz2, . . . qn(~zn−1, x) = I + Kn−1(~x n−1(~zn−1)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn−1 (x − xn−2)) × × zn−1∫ 0 qR n+1(~z n, x)Kn(~xn(~zn)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn (x − xn−1))dzn, qR n+1(~z n, x) = I + Kn(~xn(~zn)|g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn (x − xn−1)) × × zn∫ 0 Kn+1(~x n(~zn) + gzn+1 (x − xn)|g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . . . . , g′zn (x − xn−1), g ′ zn+1(x − xn))dzn = = I + Kn(~xn(~zn)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . , g ′ zn (x − xn−1)) × × zn∫ 0 ∂ ∂zn+1 Kn(~xn(~zn) + gzn+1 (x − xn)| g′z1 (x − x0), g ′ z2 (x − x1), . . . . . . , g′zn (x − xn−1)) −1dzn, (9) за умови його iснування. Доведення. Пiдставивши в останнi формули замiсть x континуальний вузол (1) i вра- хувавши, згiдно з (2), що dzi gzi (~xn(~ξn) − xi−1) = 0, ξi 6 zi 6 zi−1, одержимо F (~xn(~ξn)) = F (x0) + ξ1∫ 0 q2(z1, ~x n(~ξn))−1K1(~x 1(~z1)| g′z1 (~xn(~ξn) − x0))dz1, q2(z1, ~x n(~ξn)) = I + K1(~x 1(~z1)| g′z1 (~xn(~ξn) − x0)) × × ξ2∫ 0 q3(~z 2, ~xn(~ξn))−1K2(~x 2(~z2)| g′z1 (~xn(~ξn) − x0), g ′ z2 (~xn(~ξn) − x1))dz2, . . . ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 21 qn(~zn−1, ~xn(~ξn)) = I + Kn−1(~x n−1(~zn−1)| g′z1 (~xn(~ξn) − x0), g ′ z2 (~xn(~ξn) − x1), . . . . . . , g′zn−1 (~xn(~ξn) − xn−2)) ξn∫ 0 qR n+1(~z n, ~xn(~ξn)) × × Kn(~xn(~zn)| g′z1 (~xn(~ξn) − x0), g ′ z2 (~xn(~ξn) − x1), . . . , g ′ zn (~xn(~ξn) − xn−1))dzn, qR n+1(~z n, ~xn(~ξn)) = I + Kn(~xn(~zn)| g′z1 (~xn(~ξn) − x0), g ′ z2 (~xn(~ξn) − x1), . . . . . . , g′zn (~xn(~ξn) − xn−1)) zn∫ 0 Kn+1(~x n(~zn) + gzn+1 (~xn(~ξn) − xn)| g′z1 (~xn(~ξn) − x0), g′z2 (~xn(~ξn) − x1), . . . , g ′ zn (~xn(~ξn) − xn−1), g ′ zn+1(~x n(~ξn) − xn))dzn = = I + Kn(~xn(~zn)| g′z1 (~xn(~ξn) − x0), g ′ z2 (~xn(~ξn) − x1), . . . , g ′ zn (~xn(~ξn) − xn−1)) × × zn∫ 0 ∂ ∂zn+1 Kn(~xn(~zn)+gzn+1 (~xn(~ξn)−xn)| g′z1 (~xn(~ξn)−x0), g ′ z2 (~xn(~ξn)−x1) . . . . . . , g′zn (~xn(~ξn) − xn−1)) −1dzn = I. Тут було враховано, що, коли zn+1 6 zn 6 ξn 6 ξn−1 6 · · · 6 ξ1 6 1, маємо gzn+1 gξi = gzn+1 , i = 1, 2, . . . , n, i, отже, gzn+1 (~xn(~ξn) − xn) = gzn+1 ( x0 + n∑ i=1 gξi (xi − xi−1) − xn ) = = gzn+1 ( x0 + n∑ i=1 (xi − xi−1) − xn ) = gzn+1 (0) = 0. Отже, ми одержали F (~xn(~ξn)) = Qn(~xn(~ξn)), що i треба було довести. Таким чином, у роботi для нелiнiйних операторiв, визначених у лiнiйних топологiчних просторах, областю значень яких є деяка алгебра з одиницею, побудовано iнтерполяцiй- ний на континуальнiй множинi вузлiв iнтегральний ланцюговий дрiб. Разом з тим форму- ли (8), (9) дають зображення нелiнiйного оператора у виглядi iнтерполяцiйного iнтеграль- ного ланцюгового дробу iз залишковим членом подiбно до полiномiальних iнтерполяцiйних формул для функцiоналiв та операторiв [6]. 22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №3 1. Сявавко М.С. Iнтегральнi ланцюговi дроби. – Київ: Наук. думка, 1994. – 205 с. 2. Михальчук Б.Р. Iнтерполяцiя нелiнiйних функцiоналiв за допомогою iнтегральних ланцюгових дро- бiв // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 3. – С. 364–375. 3. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Михальчук Б. Р. Iнтерполяцiйнi iнтегральнi ланцюговi дроби // Там же. – 2003. – 55, № 4. – С. 479–488. 4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Москва: Наука, 1966. – 534 с. 5. Макаров В.Л., Хлобистов В.В., Демкiв I. I. Про континуальнi вузли iнтерполяцiї формул типу Нью- тона та Ермiта в лiнiйних топологiчних просторах // Доп. НАН України. – 2007. – № 12. – С. 22–27. 6. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка, 2000. – 406 с. Надiйшло до редакцiї 12.06.2007Iнститут математики НАН України, Київ Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка” УДК 517.10 © 2008 Академик НАН Украины А.М. Самойленко, А.Н. Ронто О сингулярной двухтoчечной задаче для линейного функционально-дифференциального уравнения We give new conditions sufficient for the unique solvability of a singular mixed-type two-point boundary-value problem for systems of linear functional differential equations of the second order. В работе рассматривается система линейных функционально-дифференциальных уравне- ний второго порядка u′′ k(t) = (lku)(t) + fk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (1) для которой указываются признаки однозначной разрешимости двухточечной краевой за- дачи uk(a) = c0k, k = 1, 2, . . . , n, (2) u′ k(τ) = c1k, k = 1, 2, . . . , n. (3) Здесь −∞ < a < b < +∞, τ ∈ [a, b], {c0k, c1k | k = 1, 2, . . . , n} ⊂ R, функции fk, k = 1, 2, . . . , n, локально интегрируемы по Лебегу и удовлетворяют некоторым дополни- тельным условиям, а l = (lk) n k=1 : C([a, b], Rn) → L1;loc((a, b), Rn) — линейный оператор, преобразующий C([a, b], Rn) в некоторый класс функций, более широкий, чем L1([a, b], Rn), и более узкий, чем L1;loc((a, b), Rn). Постановка (1) включает в себя, в частности, диффе- ренциальную систему с отклоняющимся аргументом u′′ k(t) = m∑ i=1 n∑ j=1 pikj(t)uj(ωikj(t)) + fk(t), t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . , n, (4) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №3 23

Ähnliche Einträge