Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах
We introduce the abstract quasinormed Besov spaces which are based on the concept of exponential type vectors. In the case of a differentiation operator, these spaces coincide with their classical analogs. Using the abstract Besov spaces, we investigate the problem of best approximations of a give...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4151 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах / М.І. Дмитришин, О.В. Лопушанський // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 12. — С. 16-22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4151 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-41512018-02-15T08:59:33Z Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах Дмитришин, М.І. Лопушанський, О.В. Математика We introduce the abstract quasinormed Besov spaces which are based on the concept of exponential type vectors. In the case of a differentiation operator, these spaces coincide with their classical analogs. Using the abstract Besov spaces, we investigate the problem of best approximations of a given closed linear operator in a Banach space by exponential type vectors. Applications of the best approximations by spectral subspaces to the problem are also shown. 2007 Article Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах / М.І. Дмитришин, О.В. Лопушанський // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 12. — С. 16-22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4151 517.98 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Дмитришин, М.І. Лопушанський, О.В. Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах |
| description |
We introduce the abstract quasinormed Besov spaces which are based on the concept of exponential type vectors. In the case of a differentiation operator, these spaces coincide with their classical analogs. Using the abstract Besov spaces, we investigate the problem of best approximations
of a given closed linear operator in a Banach space by exponential type vectors. Applications of the best approximations by spectral subspaces to the problem are also shown. |
| format |
Article |
| author |
Дмитришин, М.І. Лопушанський, О.В. |
| author_facet |
Дмитришин, М.І. Лопушанський, О.В. |
| author_sort |
Дмитришин, М.І. |
| title |
Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах |
| title_short |
Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах |
| title_full |
Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах |
| title_fullStr |
Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах |
| title_full_unstemmed |
Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах |
| title_sort |
абстрактні простори бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4151 |
| citation_txt |
Абстрактні простори Бєсова, асоційовані із замкненими операторами в банахових просторах / М.І. Дмитришин, О.В. Лопушанський // Доповіді Національної академії наук України. — 2007. — № 12. — С. 16-22. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT dmitrišinmí abstraktníprostoribêsovaasocíjovaníízzamknenimioperatoramivbanahovihprostorah AT lopušansʹkijov abstraktníprostoribêsovaasocíjovaníízzamknenimioperatoramivbanahovihprostorah |
| first_indexed |
2025-07-02T07:22:28Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:22:28Z |
| _version_ |
1836518944171622400 |
| fulltext |
УДК 517.98
© 2007
М. I. Дмитришин, О. В. Лопушанський
Абстрактнi простори Бєсова, асоцiйованi iз замкненими
операторами в банахових просторах
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
We introduce the abstract quasinormed Besov spaces which are based on the concept of exponen-
tial type vectors. In the case of a differentiation operator, these spaces coincide with their classi-
cal analogs. Using the abstract Besov spaces, we investigate the problem of best approximations
of a given closed linear operator in a Banach space by exponential type vectors. Applications
of the best approximations by spectral subspaces to the problem are also shown.
Користуючись векторами експоненцiального типу замкненого лiнiйного оператора в банахо-
вому просторi, введеними в [1], ми впроваджуємо i дослiджуємо поняття квазiнормованого
абстрактного простору Бєсова, асоцiйованого з довiльним таким оператором. У випадку
оператора диференцiювання, заданого в просторi Lp(R), введенi абстрактнi простори Бєсо-
ва збiгаються з класичними. Наведено також застосування поняття абстрактного простору
Бєсова до проблеми найкращих апроксимацiй елементiв банахового простору векторами
експоненцiального типу деякого заданого замкненого оператора. Вiдзначимо, що постанов-
ка i розв’язання згаданої проблеми для деяких класiв операторiв мiститься в [2–4]. Одержа-
ний у цьому напрямку результат сформульований нами в теоремi 3 у виглядi нерiвностей,
якi з використанням квазiнорм вiдповiдних абстрактних просторiв Бєсова оцiнюють мi-
нiмальну вiдстань вiд заданого вектора до пiдпростору векторiв експоненцiального типу
з фiксованими iндексами. У випадку оператора диференцiювання в просторi Lp(R) цi не-
рiвностi точно збiгаються з вiдомими нерiвностями Бернштейна i Джексона для класичного
простору Бєсова. Теорема 4 є прикладом застосування теореми 3 до проблеми найкращих
апроксимацiй спектральними просторами для операторiв з дискретним спектром.
1. Основнi позначення. Нехай в комплексному банаховому просторi X з нормою ‖ · ‖
задано замкнений необмежений лiнiйний оператор
A : C1(A) ⊂ X −→ X
iз щiльною областю визначення C1(A). Областi визначення цiлих степенiв Ak позначимо
Ck+1(A) = {x ∈ Ck(A) : Akx ∈ Ck(A)}
i покладемо
C∞(A) =
⋂
{Ck(A) : k ∈ N}.
Надалi припускаємо, що для резольвентної множини оператора A виконується умова ρ(A) 6=
6= ∅. Тодi вiдповiдно до [5, теорема 1.1] виконується умова щiльностi C∞(A) = X i опера-
тори Ak, k ∈ N, є замкненими в X.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Додержуючись [1], елементи пiдпростору
E(A) :=
⋃
t>0
⋂
k∈Z+
{x ∈ C∞(A) : ‖Akx‖ 6 ctk},
де c = c(x,A) > 0 є деяка постiйна i A0 = I — одиничний оператор в X, назвемо векторами
експоненцiального типу оператора A.
Для будь-яких чисел 1 6 p 6 ∞ i 1 < q < ∞ розглянемо простiр Лоренца [6, 1.18.3]
lq,p = {a : ‖a‖lq,p
< ∞}, lp := lp,p
усiх послiдовностей a = {ak ∈ X : k ∈ Z+} з нормою
‖a‖lq,p
=
(
∑
k∈Z+
(k + 1)p/q−1‖a∗k‖
p
)1/p
: 1 6 p < ∞,
sup
k∈Z+
(k + 1)1/q‖a∗k‖ : p = ∞,
де послiдовнiсть {a∗k ∈ X : k ∈ Z+} складається з елементiв ak, занумерованих у порядку
незростання норм, тобто
‖a∗0‖ > ‖a∗1‖ > ‖a∗2‖ > · · · .
Якщо p = q = 1 або p = q = ∞, то покладемо lq,p = l1 або lq,p = l∞ вiдповiдно. Власне
у цьому сенсi ми кажемо, що пiдпростори lq,p визначенi для всiх 1 6 p, q 6 ∞.
Використаємо метод дiйсної iнтерполяцiї для квазiнормованих просторiв [7, §3.11], з цiєю
метою нагадаємо означення iнтерполяцiйного простору. Нехай задано пари чисел 0 < θ < 1
та 1 6 p 6 ∞ або 0 < θ 6 1 та p = ∞. Для пари квазiнормованих просторiв {X, |·|X} {Y, |·|Y }
iнтерполяцiйний простiр визначається як пiдпростiр вигляду
(X,Y )θ,p = {a ∈ X + Y : |a|(X,Y )θ,p
< ∞},
надiлений квазiнормою
|a|(X,Y )θ,p
=
( ∞∫
0
[τ−θK(τ, a;X,Y )]p
dτ
τ
)1/p
: p < ∞,
sup
0<τ<∞
τ−θK(τ, a;X,Y ) : p = ∞,
(1)
де K(τ, a;X,Y ) := inf
a=x+y
(|x|X + τ |y|Y ). Зрозумiло, що iнтерполяцiйний простiр (X,Y )θ,p
знаходиться мiж X
⋂
Y та X + Y .
2. Квазiнормованi пiдпростори векторiв експоненцiального типу. Наведемо де-
якi новi властивостi векторiв експоненцiального типу. Нехай 0 < t < ∞ i 1 6 p, q 6 ∞. Якщо
ak = (A/t)kx, то за допомогою лiнiйного вiдображення
πt : C
∞(A) ∋ x −→ a = {(A/t)kx : k ∈ Z+}
визначаємо пiдпростiр
E t
q,p(A) := {x ∈ C∞(A) : ‖πt(x)‖lq,p
< ∞}, E t
p(A) := E t
p,p(A),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 17
в якому задаємо норму
‖x‖Et
q,p
:= ‖πt(x)‖lq,p
, x ∈ E t
q,p(A).
Очевидно, що E t
q,p(A) є iзометричним деякому пiдпростору в lq,p.
Теорема 1. (i) Пiдпростiр E t
q,p(A) є iнварiантний вiдносно оператора A i вкладення
E t
q,p(A) # X, E t
q,p(A) # Eτ
q,p(A), τ > t, (2)
неперервнi.
(ii) Звуження A |Et
q,p
оператора A на пiдпростiр E t
q,p(A) є обмеженим оператором, при
цьому задовольняється нерiвнiсть
‖A |Et
q,p
‖ 6 t. (3)
(iii) Спектр оператора A має властивiсть
σ(A |Et
q,p
) ⊂ σ(A).
(iv) Для кожного τ > t справедливi вкладення
E t
1(A) ⊂ E t
∞(A) ⊂ Eτ
1 (A). (4)
(v) Справедлива рiвнiсть банахових просторiв (з точнiстю до еквiвалентних норм)
(E t
1(A), E t
∞(A))1−1/q,p = E t
q,p(A), 1 < q < ∞, 1 6 p 6 ∞, (5)
i, як наслiдок,
E t
1(A) ⊂ E t
q,p(A) ⊂ E t
∞(A). (6)
(vi) Простори E t
q,p(A) — повнi.
(vii) Справедливi рiвностi
E(A) =
⋃
t>0
E t
q,p(A) =
⋃
t>0
E t
1(A) =
⋃
t>0
E t
∞(A).
(viii) Функцiя
|x|q,p := ‖x‖ + inf{t > 0: x ∈ E t
q,p(A)}
є квазiнормою на просторi E(A), причому задовольняється нерiвнiсть
|x + y|q,p 6 |x|q,p + |y|q,p, x, y ∈ E(A).
3. Означення абстрактного простору Бєсова. Нехай 1 6 p, q 6 ∞. Пiдпростiр E(A),
надiлений квазiнормою |·|q,p, позначимо Eq,p(A). У випадку q = p покладемо Ep,p(A) = Ep(A).
Визначимо допомiжний функцiонал
Eq,p(t, x) = inf{‖x − x0‖ : x0 ∈ Eq,p(A), |x0|q,p < t}, x ∈ X.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Для пари чисел 0 < α < ∞ та 0 < τ 6 ∞ або 0 6 α < ∞ та τ = ∞ розглянемо шкалу
апроксимацiйних просторiв
Bα
q,p,τ(A) = {x ∈ X : |x|Bα
q,p,τ
< ∞}, Bα
p,τ (A) := Bα
p,p,τ(A),
породжену функцiоналом Eq,p, де у вiдповiдностi до [7, лема 7.1.6] функцiя
|x|Bα
q,p,τ
=
( ∞∫
0
[tαEq,p(t, x)]τ
dt
t
)1/τ
: 0 < τ < ∞,
sup
t>0
tαEq,p(t, x) : τ = ∞
є квазiнормою на Bα
q,p,τ (A).
Простiр Bα
q,p,τ(A), надiлений квазiнормою | · |Bα
q,p,τ
, назвемо абстрактним простором
Бєсова.
Одержанi властивостi таких просторiв Бєсова виводяться з вiдомих iнтерполяцiйних
теорем.
Теорема 2. Нехай 1 6 p, q 6 ∞, 0 < ϑ 6 1 i нехай задано пари iндексiв 0 < α,α0, α1 < ∞
та 0 < τ, τ0, τ1 6 ∞ або 0 6 α,α0, α1 < ∞ та τ, τ0, τ1 = ∞.
(i) Якщо [Bα
q,p,τ (A)]ϑ позначає простiр Bα
q,p,τ (A), надiлений квазiнормою |x|ϑBα
q,p,τ
, x ∈
∈ Bα
q,p,τ(A), то з точнiстю до еквiвалентних квазiнорм справедлива рiвнiсть просторiв
[Bα
q,p,τ (A)]ϑ = (Eq,p(A),X)ϑ,g, де ϑ =
1
α + 1
, τ = gϑ. (7)
(ii) Якщо α = (1 − ϑ)α0 + ϑα1 i α0 6= α1, то
(Bα0
q,p,τ0(A), Bα1
q,p,τ1(A))ϑ,τ = Bα
q,p,τ(A) (8)
i iснують постiйнi c1, c2 такi, що
|x|Bα
q,p,τ
6 c1|x|
1−ϑ
B
α0
q,p,τ0
|x|ϑ
B
α1
q,p,τ1
, x ∈ Bα0
q,p,τ0(A)
⋂
Bα1
q,p,τ1(A), (9)
K(t, x;Bα0
q,p,τ0,B
α1
q,p,τ1) 6 c2t
ϑ|x|Bα
q,p,τ
, x ∈ Bα
q,p,τ(A), t > 0. (10)
(iii) Якщо τ 6 ρ, то справедливi неперервнi вкладення
Bα
q,p,τ(A) # Bα
q,p,ρ(A). (11)
4. Найкращi апроксимацiї векторами експоненцiального типу. Розглянемо проб-
лему найкращої апроксимацiї довiльного елемента банахового простору X елементами A-iн-
варiантних пiдпросторiв E t
q,p(A) з фiксованими iндексами 1 6 q, p 6 ∞ та t > 0. Для цього
оцiнимо вiдстань
dq,p(t, x) = inf{‖x − x0‖ : x0 ∈ E t
q,p(A)}, x ∈ X
мiж деяким заданим елементом x i пiдпростором E t
q,p(A).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 19
Теорема 3. Для кожної пари iндексiв 0 < α < ∞ та 0 < τ 6 ∞ або 0 6 α < ∞ та
τ = ∞ iснують постiйнi c1(α, τ) i c2(α, τ) такi, що задовольняються нерiвностi
|x|Bα
q,p,τ
6 c1|x|
α
q,p‖x‖, x ∈ Ep,q(A), (12)
dq,p(t, x) 6 c2t
−α|x|Bα
q,p,τ
, x ∈ Bα
q,p,τ(A). (13)
Доведення. Вiдповiдно до теореми 2(i) при ϑ = 1/(α + 1) та τ = gϑ простiр [Bα
q,p,τ (A)]ϑ
є iнтерполяцiйним мiж Eq,p(A) i X. Як наслiдок,
Eq,p(A) ⊂ [Bα
q,p,τ (A)]ϑ = (Eq,p(A),X)ϑ,g ⊂ X.
Згiдно з [7, теорема 3.11.4(b)] для деякої постiйної c(ϑ, g) маємо
|x|(Eq,p,X)ϑ,g
6 c|x|1−ϑ
q,p ‖x‖ϑ, x ∈ Eq,p(A).
З цiєї нерiвностi та iзоморфiзму (7) випливає iснування такої постiйної c1(α, τ), що викону-
ється нерiвнiсть (12). Згiдно з [7, теорема 3.11.4(a)] для деякої постiйної c(ϑ, g) маємо
K(t, x; Eq,p,X) 6 ctϑ|x|(Eq,p ,X)ϑ,g
, x ∈ (Eq,p(A),X)ϑ,g .
Тому, вiдповiдно до iзоморфiзму (7), iснує постiйна c0(α, τ) така, що
K(t, x; Eq,p,X) 6 c0t
ϑ|x|ϑBq,p,τ
, x ∈ Bq,p,τ(A).
Покладемо K∞(t, x; Eq,p,X) := inf
x=x0+x1
max{|x0|q,p, t‖x
1‖}, де x0 ∈ Eq,p(A), x1 ∈ X. Оскiльки
K∞(t, x; Eq,p,X) 6 K(t, x; Eq,p,X), то
t−ϑK∞(t, x; Eq,p,X) 6 c0|x|
ϑ
Bq,p,τ
, x ∈ Bq,p,τ(A). (14)
Згiдно з [7, лема 7.1.2] для кожного t > 0 iснує s > 0 таке, що
K∞(t, x; Eq,p,X) = s, Eq,p(s + 0, x) 6
s
t
.
Для кожного s1 > 0 iснує t > 0 таке, що s1 6 K∞(t, x; Eq,p,X) = s. При фiксованому x
функцiя Eq,p(t, x) є незростаюча, отже,
Eq,p(s, x) 6 Eq,p(s1 + 0, x) 6
s1
t
.
Тому маємо [Eq,p(s, x)]ϑ 6 t−ϑs1
ϑ
6 t−ϑs1s
ϑ−1 i, таким чином,
s1−ϑ[Eq,p(s, x)]ϑ 6 t−ϑs1 6 t−ϑK∞(t, x; Eq,p,X).
Застосовуючи (14), отримуємо
s1−ϑ[Eq,p(s, x)]ϑ 6 c0|x|
ϑ
Bq,p,τ
.
Позначаючи α = (1 − θ)/θ, маємо
sαEq,p(s, x) 6 c
1/ϑ
0 |x|Bq,p,τ , x ∈ Bq,p,τ (A). (15)
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Якщо |x0|q,p = r(x0) + ‖x0‖ < s, то r(x0) < s − ‖x0‖, де покладено r(x0) = inf{t > 0: x0 ∈
∈ E t
q,p(A)}. Тому x0 ∈ E t
q,p(A) для такого t > 0, що r(x0) < t < s − ‖x0‖. Згiдно з теоре-
мою 1(i) маємо E t
q,p(A) ⊂ Es
q,p(A), отже, x0 ∈ Es
q,p(A). Таким чином, виконується нерiвнiсть
dq,p(s, x) 6 Eq,p(s, x), x ∈ X, s > 0. (16)
Покладаючи c2 = c
1/ϑ
0 в (15) i використовуючи (16), отримуємо (13).
Теорема 4. Нехай оператор A має дискретний спектр σ(A) = {λn ∈ C : n ∈ N} i
R(λn) — спектральний пiдпростiр, що вiдповiдає власному значенню λn. Позначимо
Rt = span{R(λn) : |λn| < t}.
Для кожної пари iндексiв 0 < α < ∞ та 0 < τ 6 ∞ або 0 6 α < ∞ та τ = ∞ iснує постiйна
c(α, τ) така, що виконується нерiвнiсть
inf{‖x − x0‖ : x0 ∈ Rt} 6 ct−α|x|Bα
1,τ
, x ∈ Bα
1,τ (A). (17)
Доведення. У [8, 9] доведено, що у випадку, якщо оператор A має дискретний спектр,
виконується рiвнiсть
E t
1(A) = Rt.
Таким чином, нерiвнiсть (13) безпосередньо дає оцiнку (17) вiдстанi вiд вектора x ∈ Bα
1,τ (A)
до спектрального пiдпростору Rt.
5. Зв’язок з класичними результатами. Нехай тепер оператор A є замиканням опе-
ратора диференцiювання D в просторi X = Lp(R), 1 < p < ∞, яке далi позначаємо через Dp.
Теорема 5. Нехай для кожної пари iндексiв 0 < α < ∞ та 0 < τ 6 ∞ або 0 6 α < ∞
та τ = ∞ задано класичний простiр Бєсова Bα
p,τ (R). Справедливий такий iзоморфiзм:
Bα
∞,τ (Dp) = Bα
p,τ (R).
Вiдповiдно до [7, §7.2] на просторi E(Dp) визначимо квазiнорму
|u|E(Dp) = ‖u‖Lp(R) + sup{|ζ| : ζ ∈ supp û},
де supp û є носiй перетворення Фур’є û функцiї u ∈ E(Dp). З теорем 3, 5 та рiвностi
sup{|ζ| : ζ ∈ supp û} = inf{t > 0: u ∈ E t
∞(Dp)}
негайно випливає
Наслiдок 1. Iснують постiйнi c1(α, τ) i c2(α, τ) такi, що
‖u‖Bα
p,τ (R) 6 c1|u|
α
E(Dp)‖u‖Lp(R), u ∈ E(Dp), (18)
d(t, u) 6 c2t
−α‖u‖Bα
p,τ (R), u ∈ Bα
p,τ (R), (19)
де d(t, u) = inf{‖u−v‖Lp(R) : v ∈ Mt
p} = inf{‖u−v‖Lp(R) : v ∈ E t
∞(Dp)}, M
t
p — простiр цiлих
функцiй експоненцiального типу t > 0, звуження яких на R належить Lp(R).
Нерiвностi (18) i (19) збiгаються вiдповiдно з вiдомими нерiвностями Бернштейна i Джек-
сона у формi, що представлена в [7, §7.2].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 21
1. Радыно Я.В. Векторы экспоненциального типа в операторном исчислении и дифференциальных
уравнениях // Дифференц. уравнения. – 1985. – 21, № 9. – С. 1559–1569.
2. Горбачук М.Л., Горбачук В. I. Про наближення гладких векторiв замкненого оператора цiлими век-
торами експоненцiального типу // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 5. – С. 616–628.
3. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Операторный подход к вопросам аппроксимации // Алгебра и ана-
лиз. – 1997. – 9, № 6. – С. 90–108.
4. Горбачук М.Л. Ознаки повноти множини цiлих векторiв експоненцiального типу необмеженого опе-
ратора // Доп. НАН України. – 2001. – № 6. – С. 7–11.
5. Горбачук В.И., Князюк A. В. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравне-
ний // Успехи мат. наук. – 1989. – 44, № 3. – С. 55–91.
6. Triebel H. Interpolation theory. Function spaces. Differential operators. – Berlin; Heidelberg; New York;
Tokyo: Springer, 1995. – 664 p.
7. Bergh J., Löfström J. Interpolation spaces. – Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer, 1976. – 262 p.
8. Dmytryshyn M., Lopushansky O. Vectors of exponential type of operators with discrete spectrum // Ма-
тематичнi студiї. Працi Львiв. мат. т-ва. – 1998. – 9, No 1. – С. 70–77.
9. Dmytryshyn M., Lopushansky O. Operator calculus on the exponential type vectors of the operator with
point spectrum // General Topology in Banach Spaces. – Huntigton, New York: Nova Sci. Publ., 2001. –
P. 137–145.
Надiйшло до редакцiї 02.04.2007Прикарпатський нацiональний унiверситет
iм. Василя Стефаника, Iвано-Франкiвськ
Iнститут прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
УДК 517.988
© 2007
Член-кореспондент НАН України В. Л. Макаров, В.В. Хлобистов,
I. I. Демкiв
Про континуальнi вузли iнтерполювання формул типу
Ньютона та Ермiта в лiнiйних топологiчних просторах
Interpolation formulas of the Hermite and Newton types on a continual set of knots which
depend on continuous scalar parameters are considered. These formulas for nonlinear operators
in the linear topological space are constructed and investigated. They provide the correspondence
of “input” and “output” continual data as distinct from the previously known interpolation
formulas.
Побудовi та дослiдженню iнтерполяцiйних полiномiв в абстрактних лiнiйних просторах
присвячено ряд робiт [1–8]. Цi питання вивчалися також дослiдниками так званої “Kergin
interpolation” [9–12 та iн.]. Тут слiд вiдзначити, що iнтерполянт Кергiна та подальшi його
узагальнення з точнiстю до замiни змiнних iнтегрування фiгурували ще у статтi С.Ю. Уль-
ма, В.В. Полля [1] у 1969 р. У той час як робота P. Kergin [12] з’явилась тiльки у 1980 р.
Зауважимо, що у бiльшостi з вказаних робiт [1–3, 6–12] для побудови операторних iнтер-
полянтiв використовувалась континуальна iнформацiя про оператор, який iнтерполюється.
Однак цi iнтерполянти задовольняють умови iнтерполювання тiльки на скiнченнiй множинi
вузлiв, тобто має мiсце неузгодженiсть вхiдної та вихiдної iнформацiї, що не є природним.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
|