Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу
We consider an evolution problem on free boundary arising in the linear sloshing. A numerical solution is realized through the Cayley transformation with respect to time and the integral equation method with respect to spatial variables. Taking into account the axial symmetry, the sequence of one-di...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4159 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу / Г.П. Даців, Р.С. Хапко // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 2. — С. 7-14. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4159 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-41592017-11-27T10:19:20Z Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу Даців, Г.П. Хапко, Р.С. Математика We consider an evolution problem on free boundary arising in the linear sloshing. A numerical solution is realized through the Cayley transformation with respect to time and the integral equation method with respect to spatial variables. Taking into account the axial symmetry, the sequence of one-dimensional integral equations of the second kind is obtained. The full discretization is performed by the Nystr¨om method with non-linear mesh grading transformation. 2008 Article Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу / Г.П. Даців, Р.С. Хапко // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 2. — С. 7-14. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4159 517.9 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Даців, Г.П. Хапко, Р.С. Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу |
| description |
We consider an evolution problem on free boundary arising in the linear sloshing. A numerical solution is realized through the Cayley transformation with respect to time and the integral equation method with respect to spatial variables. Taking into account the axial symmetry, the sequence of one-dimensional integral equations of the second kind is obtained. The full discretization is performed by the Nystr¨om method with non-linear mesh grading transformation. |
| format |
Article |
| author |
Даців, Г.П. Хапко, Р.С. |
| author_facet |
Даців, Г.П. Хапко, Р.С. |
| author_sort |
Даців, Г.П. |
| title |
Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу |
| title_short |
Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу |
| title_full |
Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу |
| title_fullStr |
Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу |
| title_full_unstemmed |
Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу |
| title_sort |
застосування перетворення келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4159 |
| citation_txt |
Застосування перетворення Келі і методу інтегральних рівнянь для чисельного розв’язування лінійної осесиметричної задачі слошингу / Г.П. Даців, Р.С. Хапко // Доповіді Національної академії наук України. — 2008. — № 2. — С. 7-14. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT dacívgp zastosuvannâperetvorennâkelíímetoduíntegralʹnihrívnânʹdlâčiselʹnogorozvâzuvannâlíníjnoíosesimetričnoízadačíslošingu AT hapkors zastosuvannâperetvorennâkelíímetoduíntegralʹnihrívnânʹdlâčiselʹnogorozvâzuvannâlíníjnoíosesimetričnoízadačíslošingu |
| first_indexed |
2025-07-02T07:22:50Z |
| last_indexed |
2025-07-02T07:22:50Z |
| _version_ |
1836518967668113408 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2008
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
© 2008
Г.П. Дацiв, Р.С. Хапко
Застосування перетворення Келi i методу iнтегральних
рiвнянь для чисельного розв’язування лiнiйної
осесиметричної задачi слошингу
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. Л. Макаровим)
We consider an evolution problem on free boundary arising in the linear sloshing. A numeri-
cal solution is realized through the Cayley transformation with respect to time and the integral
equation method with respect to spatial variables. Taking into account the axial symmetry, the
sequence of one-dimensional integral equations of the second kind is obtained. The full discreti-
zation is performed by the Nyström method with non-linear mesh grading transformation.
Задачi слошингу є актуальними для рiзних прикладних застосувань. Oдна з математичних
моделей, що характерна для лiнiйного слошингу в контейнерi, формулюється як еволю-
цiйна задача на вiльнiй поверхнi з операторним коефiцiєнтом [1, 2]. У роботах [1, 3] для
часткової дискретизацiї еволюцiйних задач за часовою змiнною запропоновано ефективний
спосiб, що грунтується на використаннi перетворення Келi i полiномах Лагерра. Важливою
перевагою цього методу є його належнiсть до класу алгоритмiв без насичення точностi. Для
подання оператора у вихiдному рiвняннi зручно скористатися теорiєю потенцiалiв, що дає
можливiсть редукувати операторнi рiвняння до послiдовностi iнтегральних. У данiй роботi
цей пiдхiд розроблено для лiнiйної осесиметричної задачi.
1. Постановка задачi. Нехай Ω ⊂ R
3 — обмежена область, заповнена рiдиною, з гра-
ницею ∂Ω = Γ1
⋃
Γ2, де Γ1 — вiльна границя областi, Γ2 — непроникна частина границi
областi.
Нехай необхiдно знайти обмежену функцiю u : Γ1 × [0,∞) → R, яка є розв’язком такої
еволюцiйної задачi:
∂2u
∂t2
+ Au = 0 на Γ1 × [0,∞), (1)
u|t=0 = ω0,
∂u
∂t
∣∣∣∣
t=0
= 0 на Γ1. (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 7
Тут ω0 — задана функцiя i оператор A визначається як
Au =
∂v
∂ν
на Γ1, (3)
де ν — одиничний вектор зовнiшньої нормалi до ∂Ω i v є гармонiйною в Ω функцiєю з гра-
ничними умовами
v = u на Γ1,
∂v
∂ν
= 0 на Γ2. (4)
2. Часткова дискретизацiя за часом i зведення до iнтегральних рiвнянь. Ви-
ходячи з результатiв, наведених у [1, 3], подамо розв’язок нестацiонарної задачi (1), (2)
у виглядi ряду
u(x, t) = e−δt
∞∑
n=0
Ln(t)[un(x) − un+1(x)]. (5)
Тут δ < 1/2 — фiксована константа, Ln — полiноми Лагерра, а коефiцiєнти un визначаються
з рекурентної послiдовностi операторних рiвнянь
(A + α0I)un+1 = 2(A + α1I)un − (A + α2I)un−1, n = 0, 1, . . . , (6)
де α0 = (δ − 1)2, α1 = δ(δ − 1) для n > 0, α2 = δ2 для n > 0 i α2 = α1 для n = 0. Тут i далi
u−1 = u0, а всi функцiї з iндексами, меншими вiд −1, вважаються рiвними нулю.
Для зведення операторних рiвнянь (6) до iнтегральних скористаємося теорiєю потенцi-
алу [4]. Подамо коефiцiєнти un i, вiдповiдно, Aun через потенцiали простого шару з густи-
нами µn i фундаментальним розв’язком Φ(x, y) = (1/4π)|x − y|−1
un(x) =
∫
∂Ω
µn(y)Φ(x, y) ds(y), x ∈ Γ1 (7)
i
(Aun)(x) =
1
2
µn(x) +
∫
∂Ω
µn(y)
∂Φ(x, y)
∂ν(x)
ds(y), x ∈ Γ1. (8)
У результатi для (6) з врахуванням означення оператора A (3) отримуємо послiдовнiсть
систем iнтегральних рiвнянь типу Фредгольма другого роду
1
2
µn+1(x) +
∫
∂Ω
µn+1(y)Ψ(α0, 1;x, y) ds(y) = µn(x) −
1
2
µn−1(x) +
+ 2
∫
∂Ω
µn(y)Ψ(α1, 1;x, y) ds(y) −
∫
∂Ω
µn−1(y)Ψ(α2, 1;x, y) ds(y), x ∈ Γ1,
1
2
µn+1(x) +
∫
∂Ω
µn+1(y)Ψ(0, 1;x, y)ds(y) = 0, x ∈ Γ2, n = 0, 1, . . . ,
(9)
де Ψ(α, β;x, y) = αΦ(x, y) + β∂Φ(x, y)/∂ν(x).
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Густина µ0 визначається iз системи iнтегральних рiвнянь
∫
∂Ω
µ0(y)Ψ(1, 0;x, y) ds(y) = ω0(x), x ∈ Γ1,
1
2
µ0(x) +
∫
∂Ω
µ0(y)Ψ(0, 1;x, y) ds(y) = 0, x ∈ Γ2.
(10)
3. Параметризацiя iнтегральних рiвнянь. Нехай границя ∂Ω утворена обертанням
кривої L = L1
⋃
L2 навколо осi Ox3 i Li заданi параметрично Li = {xi(ξ) = (ri(ξ), zi(ξ)),
(i−1)π 6 ξ 6 iπ} iз ri > 0 i |x′
i(ξ)| > 0 для всiх ξ ∈ [(i−1)π, iπ], i = 1, 2. Тодi в цилiндричнiй
системi координат (r, z, ϕ) границя ∂Ω має вигляд
∂Ω = {x(ξ, ϕ) = (r(ξ) cos(ϕ), r(ξ) sin(ϕ), z(ξ)), 0 6 ξ, ϕ 6 2π}, (11)
де r(ξ) = ri(ξ), z(ξ) = zi(ξ) для ξ ∈ [(i−1)π, iπ], i = 1, 2, вiдстань мiж точками x(ξ, 0) i y(τ, ϕ)
задається як R(ξ, τ, ϕ) = ([r(ξ)]2 +[r(τ)]2−2r(ξ)r(τ) cos(ϕ)+[z(ξ)−z(τ)]2)1/2. Будемо також
вважати, що функцiя w0 не залежить вiд ϕ. Пiсля параметризацiї в (9) отримаємо
1
2
µ1,n+1(ξ) +
1
4π
2∑
ℓ=1
ℓπ∫
(ℓ−1)π
µℓ,n+1(τ)Ψ̂1,ℓ(α0, 1; ξ, τ) dτ =
= µ1,n(ξ) −
1
2
µ1,n−1(ξ) +
1
2π
2∑
ℓ=1
ℓπ∫
(ℓ−1)π
µℓ,n(τ)Ψ̂1,ℓ(α1, 1; ξ, τ) dτ −
−
1
4π
2∑
ℓ=1
ℓπ∫
(ℓ−1)π
µℓ,n−1(τ)Ψ̂1,ℓ(α2, 1; ξ, τ) dτ, ξ ∈ [0, π),
1
2
µ2,n+1(ξ) +
1
4π
2∑
ℓ=1
ℓπ∫
(ℓ−1)π
µℓ,n+1(τ)Ψ̂2,ℓ(0, 1; ξ, τ) dτ = 0, ξ ∈ (π, 2π], n = 0, 1, . . . ,
(12)
де µℓ,n(ξ) = µn(xℓ(ξ)), ℓ = 1, 2 i
Ψ̂i,ℓ(α, β; ξ, τ) = rℓ(τ)[r′ℓ(τ)2 + z′ℓ(τ)2]1/2
[
α
2π∫
0
dϕ
R(ξ, τ, ϕ)
+ β
2π∫
0
∂
∂ν(xi(ξ))
dϕ
R(ξ, τ, ϕ)
]
. (13)
Нескладнi перетворення в (13) приводять до такого подання:
Ψ̂i,ℓ(α, β; ξ, τ) = Ψ
(1)
i,ℓ (α, β; ξ, τ)K(k2
i,ℓ(ξ, τ)) + Ψ
(2)
i,ℓ (α, β; ξ, τ)E(k2
i,ℓ(ξ, τ)),
де Ψ
(1)
i,ℓ i Ψ
(2)
i,ℓ — неперервнi функцiї, гладкiсть яких залежить вiд гладкостi кривих L1
i L2, K i E — повнi елiптичнi iнтеграли першого i другого роду вiдповiдно, k2
i,ℓ(ξ, τ) =
= 2ri(ξ)rℓ(τ)/(ri(ξ) + rℓ(τ))2 + (zi(ξ) − zℓ(τ))2. Вiдомо [5], що густини µℓ,n мають при пiдхо-
дi до кутової точки τ = π особливiсть виду
µℓ,n(τ) = O(|τ − π|λ), λ = min
{
π
2θ
,
π
2(2π − θ)
}
− 1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 9
Тут θ — внутрiшнiй кут мiж кривими L1 i L2 у точцi їх перетину. З метою послаблення
цiєї особливостi, аналогiчно до [2], для ξ, τ ∈ [(i− 1)π, iπ], i = 1, 2, здiйснюється спецiальна
замiна змiнних τ = wi(σ), ξ = wi(s), де функцiї wi мають такi властивостi гладкостi:
wi ∈ Cq−1[0, 2π], w
(ℓ)
i (jπ) = 0, wi(s + 2π) = wi(s), ℓ = 1, q − 1, j = 0, 1, 2;
q ∈ N, q > 2.
Пiсля здiйснення замiни i нескладних перетворень з послiдовностi систем (12) отримаємо
1
2
ϕ1,n+1(s) +
1
2π
2∑
ℓ=1
2π∫
0
ϕℓ,n+1(σ)Ψ̃1,ℓ(α0, 1; s, σ) dσ =
= ϕ1,n(s) −
1
2
ϕ1,n−1(s) +
1
π
2∑
ℓ=1
2π∫
0
ϕℓ,n(σ)Ψ̃1,ℓ(α1, 1; s, σ) dσ −
−
1
2π
2∑
ℓ=1
2π∫
0
ϕℓ,n−1(σ)Ψ̃1,ℓ(α2, 1; s, σ) dσ, s ∈ [0, 2π],
1
2
ϕ2,n+1(s) +
1
2π
2∑
ℓ=1
2π∫
0
ϕℓ,n+1(σ)Ψ̃2,ℓ(0, 1; s, σ) dσ = 0, s ∈ [0, 2π], n = 0, 1, . . . ,
(14)
де ϕℓ,n(s) = µℓ,n(wℓ(s))w
′
ℓ(s), Ψ̃i,ℓ(α, β; s, σ) = Ψ̂i,ℓ(α, β;wi(s), wℓ(σ))w′
i(s). Зважаючи на по-
дання (13) i наявнiсть в елiптичних iнтегралах логарифмiчної особливостi [6], ядра Ψ̃ℓ,ℓ
можна записати таким чином:
Ψ̃ℓ,ℓ(α, β; s, σ) = Ψ̃
(1)
ℓ,ℓ (α, β; s, σ) ln
4
e
sin2 s − σ
2
+ Ψ̃
(2)
ℓ,ℓ (α, β; s, σ), ℓ = 1, 2,
де Ψ̃
(1)
ℓ,ℓ мають властивостi гладкостi, аналогiчнi до Ψ̂1, а Ψ̃
(2)
ℓ,ℓ мають особливостi у верши-
нах i в центрi квадрата [0, 2π] × [0, 2π], що буде враховано при чисельному розв’язуваннi.
Зауважимо також, що ядра Ψ̃i,ℓ при i 6= ℓ є гладкими.
Аналогiчнi перетворення, здiйсненi в (10), приводять до такої параметризованої системи
iнтегральних рiвнянь:
1
2π
2∑
ℓ=1
2π∫
0
ϕℓ,0(σ)Ψ̃1,ℓ(1, 0; s, σ) dσ = g0(s), s ∈ [0, 2π],
1
2
ϕ2,0(s) +
1
2π
2∑
ℓ=1
2π∫
0
ϕℓ,0(σ)Ψ̃2,ℓ(0, 1; s, σ) dσ = 0, s ∈ [0, 2π],
(15)
де g0(s) = w0(w1(s))w
′
1(s).
Теорема 1. Нехай q > 3. Для w0 з простору Соболєва парних 2π-перiодичних функцiй
H0
e [0, 2π] iснують єдинi розв’язки послiдовностi систем iнтегральних рiвнянь (14), (15)
ϕ1,n, ϕ2,n ∈ H0
e [0, 2π].
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Доведення. Покажемо коректнiсть системи (15). Очевидно, що їй вiдповiдає така мi-
шана внутрiшня гранична задача:
∆U = 0 в Ω, U = w0 на Γ1,
∂U
∂ν
= 0 на Γ2.
На основi формули Грiна [7], справедливої для випадку кусково-гладкої границi ∂Ω, отриму-
ємо єдинiсть класичного розв’язку цiєї задачi. Звiдси випливає єдинiсть розв’язку системи
iнтегральних рiвнянь (15). Перепишемо цю систему в операторному виглядi
(
S + C11 + D11 B12
B21
1
2
I + C22 + D22
)(
ϕ1,0
ϕ2,0
)
=
(
g0
0
)
.
Тут
(Sϕ)(s) :=
1
2π
2π∫
0
ln
(
4
e
sin2 s − σ
2
)
ϕ(σ) dσ,
(C11ϕ)(s) :=
1
2π
2π∫
0
[Ψ̃
(1)
1,1(1, 0; s, σ) − 1] ln
(
4
e
sin2 s − σ
2
)
ϕ(σ) dσ,
(C22ϕ)(s) :=
1
2π
2π∫
0
Ψ̃
(1)
2,2(0, 1; s, σ) ln
(
4
e
sin2 s − σ
2
)
ϕ(σ) dσ,
(Dℓℓϕ)(s) :=
1
2π
2π∫
0
Ψ̃
(2)
ℓ,ℓ (αℓ, βℓ; s, σ)ϕ(σ) dσ,
(Bkℓϕ)(s) :=
1
2π
2π∫
0
Ψ̃k,ℓ(αk, βk; s, σ)ϕ(σ) dσ,
де k, ℓ = 1, 2, α1 = 1, β1 = 0, α2 = 0, β2 = 1 для s ∈ [0, 2π]. У [4] показано, що опе-
ратор S : H0
e [0, 2π] → H1
e [0, 2π] є обмежений i має обмежений обернений. Оператори Bkℓ
компактнi в H0
e [0, 2π], оскiльки мають неперервнi ядра. Аналогiчно до [8] на основi технi-
ки перетворення Мелiна можна показати, що оператори Cℓℓ + Dℓℓ, ℓ = 1, 2 є обмеженими
з H0
e [0, 2π] у H1
e [0, 2π], що дає їх компактнiсть у H0
e [0, 2π]. У результатi на основi теорiї
Рiсса–Шаудера [4] отримуємо коректнiсть системи (15). Обгрунтування коректностi сис-
тем (14) здiйснюється аналогiчно з використанням методу iндукцiї.
4. Повна дискретизацiя. Чисельне розв’язування iнтегральних рiвнянь здiйснимо
методом Нiстрьома з використанням тригонометричних квадратурних формул [4, 9]
1
2π
2π∫
0
f(s) ds ≈
1
2M
2M−1∑
j=0
f(sj), (16)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 11
1
2π
2π∫
0
f(σ) ln
(
4
e
sin2 s − σ
2
)
dσ ≈
2M−1∑
j=0
Rj(s)f(sj), (17)
де sk = kπ/M , k = 0, . . . , 2M − 1, M ∈ N, Rj — вiдомi ваговi функцiї. У результатi до
розв’язування отримуємо рекурентну послiдовнiсть систем лiнiйних рiвнянь
1
2
I+A11(α0, 1) B12(α0, 1)
B21(0, 1)
1
2
I+A22(0, 1)
(
ϕ̃1,n+1
ϕ̃2,n+1
)
=
(
I+2A11(α1, 1) 2B12(α1, 1)
0 0
)(
ϕ̃1,n
ϕ̃2,n
)
−
−
(1
2
I + A11(α2, 1) B12(α2, 1)
0 0
)(
ϕ̃1,n−1
ϕ̃2,n−1
)
. (18)
Тут нами введено такi матрицi:
Aℓℓ(α, β) =
[
Ψ̃
(1)
ℓ,ℓ (α, β; sk, si)(Ri(sk) + R2M−i(sk)) +
1
M
Ψ̃
(2)
ℓ,ℓ (α, β; sk, si)
]M−1
k,i=1
,
Bℓj(α, β) =
1
M
[Ψ̃ℓ,j(α, β; sk, si)]
M−1
k,i=1, ℓ, j = 1, 2,
i вектори ϕ̃ℓ,n = [ϕ̃ℓ,n(si)]
M−1
i=1 , де ϕ̃ℓ,n(si) ≈ ϕℓ,n(si), ℓ = 1, 2, n = 0, . . . . Зауважимо, що
при отриманнi виписаної послiдовностi систем враховано парнiсть i симетричнiсть пiдiн-
тегральних функцiй i апрiорну iнформацiю про рiвнiсть нулю шуканих густин у точках 0
i π. Остання властивiсть дає можливiсть уникнути обчислення значень ядер Ψ̃
(2)
ℓ,ℓ у точках
їх невизначеностi, зазначених вище. Аналiз збiжностi та оцiнка похибки методу Нiстрьома
здiйснюється аналогiчно до схеми, запропонованої в [9]. Має мiсце твердження.
Теорема 2. Нехай крива обертання L має кут (1 − ρ)π з 0 < |ρ| < 1 i нехай ω0 ∈
∈ Hp+5/2(L1) для p ∈ N i q > 3. Тодi для q > (p + 1/2)(1 + |ρ|) i кожного n = 0, . . . система
лiнiйних рiвнянь (18) має єдиний розв’язок i справедлива оцiнка похибки
‖ϕℓ,n − ϕ̃ℓ,n‖H0
e
[0,2π] 6 CnM−p,
де Cn > 0 i ℓ = 1, 2.
Отже, для функцiй un, вiдповiдно до (7), маємо таку апроксимацiю:
ũn(x1(s))=
M−1∑
i=1
ϕ̃1,n(si)
[
Ψ̃
(1)
1,1(1, 0; s, si){Ri(s) + Ri(π − s)} +
1
M
Ψ̃
(2)
1,1(1, 0; s, si)
]
+
+
1
M
M−1∑
i=1
ϕ̃2,n(si)Ψ̃1,2(1, 0; s, si). (19)
У ролi наближеного розв’язку еволюцiйної задачi беремо часткову суму ряду (5)
uM
N (x1(s), t) = e−δt
N∑
n=0
Ln(t)[ũn(x1(s)) − ũn+1(x1(s)). (20)
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
Таблиця 1. Чисельнi результати
t M = N ξ = 1 ξ = 2 ξ = 3
0,0 32 0,611847634 −0,410898038 −1,036876256
64 0,606851013 −0,392930667 −0,999174463
128 0,606900278 −0,393239220 −0,999956312
Lag. 0,606900946 −0,393239555 −0,999999918
0,5 32 0,522043109 −0,044705590 −0,395243607
64 0,521372952 −0,041925900 −0,389586936
128 0,521369142 −0,041923309 −0,389466566
Lag. 0,521368896 −0,041923065 −0,389456054
1,0 32 0,917979758 0,704484478 0,334089949
64 0,915416047 0,703282521 0,334546555
128 0,915667493 0,703397647 0,334553375
Lag. 0,915680947 0,703397793 0,334553461
Наведена нижче теорема, яка сформульована i доведена в [3], демонструє оцiнку похибки
апроксимацiї за часом.
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2 i w0 ∈ D(Aσ). Тодi для достатньо
великого N має мiсце оцiнка похибки
sup
t∈(0,T )
‖u(·, t) − uN (·, t)‖L2(L1) 6 cN−σ+(1/4)‖Aσw0‖L2(L1), t > 0.
5. Чисельнi експерименти. Розглянемо еволюцiйну задачу (1), (2). Нехай поверхнi Γ1
i Γ2 утворенi обертанням кривих L1 та L2, якi заданi параметрично:
L1 :=
{
x1(ξ) =
(
ξ
π
, 0
)
, 0 6 ξ 6 π
}
,
L2 :=
{
x2(ξ) =
(
sin
(
ξ
2
)
, 2 cos
(
ξ
2
))
, π 6 ξ 6 2π
}
.
Виберемо ω0(x1(s)) = cos(s). Табл. 1 мiстить наближений розв’язок задачi (1), (2) при
рiзних параметрах дискретизацiї, причому δ = 0,01. Цi результати порiвнюються з резуль-
татами, отриманими при чисельному розв’язуваннi цiєї ж задачi з використанням пере-
творення Лагерра для дискретизацiї за часом [2] (при обчисленнi розв’язку взято δ = 0,
M1 = M2 = 128, N = 30, κ = 4).
Отже, чисельнi результати пiдтверджують очiкувану збiжнiсть вiдповiдно до теорем 2
i 3. Проведене порiвняння з методом розвинення в ряд Лагерра [2] показує, що в найгiршому
випадку в результатах збiгаються чотири знаки пiсля коми.
1. Gavrilyuk I., Kulyk A., Makarov V. Integral equations of the linear sloshing in an infinite chute and their
discretization // Comput. Methods Appl. Math. – 2001. – 1. – P. 39–61.
2. Дацiв Г. Про чисельне розв’язування однiєї еволюцiйної задачi на частинi поверхнi осесиметричної
областi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. прикл. матем. та iнформ. – 2007. – 13. – С. 15–29.
3. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. Strongly positive operators and numerical algorithms without accuracy
saturation. – Kiev: Institute of Math. of NASU, 2005. – 500 с.
4. Kress R. Linear Integral Equations. – 2nd ed. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1999. – 365 с.
5. Costabel M., Stephan E. P. Boundary integral equations for mixed boundary value problems in polygonal
domains and Galerkin approximation // Math. Models in Mechanics. – Warsaw: Banach Center Publicati-
ons, PWN-Polish Scientific Publishers, 1985. – Vol. 15. – P. 175–251.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №2 13
6. Cody W. J. Chebyshev approximation for the complete elliptic integrals K and E // Math. Comput. –
1965. – 19. – P. 105–112.
7. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. – Москва: Высш. школа, 1977. – 432 с.
8. Elshner J., Graham I.G. Quadrature methods for Symm’s integral equation on polygons // IMA J. Numer.
Anal. – 1997. – 17. – P. 643–664.
9. Kress R., Tran T. Inverse scattering for a locally perturbed half-plane // Inverse Problems. – 2000. – 16. –
P. 1541–1559.
Надiйшло до редакцiї 17.07.2007Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
УДК 517.95
© 2008
I.Я. Кмiть
Мiшана задача для двовимipної гiпеpболiчної системи
пеpшого поpядку
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
Using an analog of the classical method of characteristics for one-dimensional hyperbolic sys-
tems, we investigate a mixed problem for a two-dimensional semilinear hyperbolic system with
non-Lipschitz nonlinearities. We prove that the problem is correctly posed in the classical sense.
Пpи постановцi мiшаних задач для гiпеpболiчних piвнянь чи систем вибip кpайових умов
потpiбно пiдпоpядковувати таким вимогам. З одного боку, кpайовi умови повиннi визнача-
ти вхiднi хвилi в pозглядувану область, а з iншого — вони не повиннi змiнювати поведiнку
вихiдних хвиль. У випадку багатьох незалежних змiнних ситуацiя iстотно ускладнюється.
Це зумовлюється складнiстю визначення вхiдних i вихiдних хвиль. Вiдомо кiлька пiдходiв
до pозв’язання питання пpо коpектну постановку мiшаних задач. Зокpема, Friedrichs [1]
“енеpгетичним методом” отpимав деякий клас кpайових умов, за яких задача є коpектно
поставленою. Iнший клас умов у пpостоpах Соболєва отpимали Lax i Phillips [2]. Hersh [3]
довiв необхiднi i достатнi умови для коpектної постановки мiшаних задач у пiвпpостоpi
з нехаpактеpистичною межею, але його pезультати стосуються лише одноpiдних систем iз
сталими коефiцiєнтами без молодших членiв. Метод доведення базується на пеpетвоpеннях
Лапласа i Фуp’є. Iншi пiдходи запpопоновано в [4–11]. У данiй pоботi ми доводимо pезуль-
тат пpо коpектну постановку в класичному сенсi мiшаної задачi для двовимipної майже
лiнiйної гiпеpболiчної системи з нелiпшiцевими нелiнiйностями. Ми викоpистовуємо аналог
класичного методу хаpактеpистик. Як i в одновимipному випадку, наш пiдхiд базується на
iнтегpальному зображенi задачi.
Постановка задачi та її iнтегpальне зображення. В областi Π = {(x, y, t) ∈ R
3 | 0 <
< x < 1, 0 < y < 1, t > 0} pозглянемо систему диференцiальних рiвнянь вигляду
n∑
j=1
aij(ujt − λi1(x, t)ujx − λi2(y, t)ujy) = fi(x, y, t, u), i 6 n, (1)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №2
|