Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH

Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH

Рассмотрен метод синтеза моделей GARCH для прогнозирования максимальных условных дисперсий многомерных гетероскедаcтических процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат — с большими. Динамика процессов в стохастической среде описана матрично-пол...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2009
Автори: Романенко, В.Д., Милявский, Ю.Л.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2009
Назва видання:Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/42242
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH / В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 4. — С. 92–108. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-42242
record_format dspace
spelling irk-123456789-422422013-03-14T03:09:38Z Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH Романенко, В.Д. Милявский, Ю.Л. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Рассмотрен метод синтеза моделей GARCH для прогнозирования максимальных условных дисперсий многомерных гетероскедаcтических процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат — с большими. Динамика процессов в стохастической среде описана матрично-полиномиальными моделями авторегрессии и скользящего среднего с разнотемповой дискретизацией. Адаптивная настройка коэффициентов моделей GARCH выполнена на основе рекуррентного метода наименьших квадратов. Приведены результаты экспериментальных исследований адаптивной настройки и прогнозирования максимальных условных дисперсий при оптимальных коэффициентах. Розглянуто метод синтезу моделей GARCH для прогнозування максимальних умовних дисперсій багатовимірних гетероскедастичних процесів при дискретизації вхідних збурень з малими періодами квантування, а вихідних координат — з великими. Динаміку процесів у стохастичному середовищі описано матрично-поліноміальними моделями авторегресії і ковзного середнього з різнотемповою дискретизацією. Розроблено алгоритм адаптивного настроювання коефіцієнтів моделей GARCH. Наведено результати експериментальних досліджень такого настроювання та прогнозування максимальних умовних дисперсій при оптимальних коефіцієнтах. A method for synthesis of GARCH models for forecasting maximal conditional dispersions of multidimensional heteroskedastic processes under discretisation of input disturbances with small sampling periods and of output coordinates with large ones is considered. The dynamics of processes in a stochastic medium is described by matrix-polinomial models of autoregression and a sliding mean with multirate discretization. An algorithm for adaptive setting of GARCH models is developed. Experimental results for such a setting as well as forecasting of maximal conditional dispersions under optimal coefficients are presented. 2009 Article Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH / В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 4. — С. 92–108. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/42242 62-50 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Романенко, В.Д.
Милявский, Ю.Л.
Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH
Системні дослідження та інформаційні технології
description Рассмотрен метод синтеза моделей GARCH для прогнозирования максимальных условных дисперсий многомерных гетероскедаcтических процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат — с большими. Динамика процессов в стохастической среде описана матрично-полиномиальными моделями авторегрессии и скользящего среднего с разнотемповой дискретизацией. Адаптивная настройка коэффициентов моделей GARCH выполнена на основе рекуррентного метода наименьших квадратов. Приведены результаты экспериментальных исследований адаптивной настройки и прогнозирования максимальных условных дисперсий при оптимальных коэффициентах.
format Article
author Романенко, В.Д.
Милявский, Ю.Л.
author_facet Романенко, В.Д.
Милявский, Ю.Л.
author_sort Романенко, В.Д.
title Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH
title_short Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH
title_full Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH
title_fullStr Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH
title_full_unstemmed Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH
title_sort прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей garch
publisher Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate 2009
topic_facet Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/42242
citation_txt Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов с разнотемповой дискретизацией на основе адаптивных моделей GARCH / В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 4. — С. 92–108. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv AT romanenkovd prognozirovaniemaksimalʹnyhuslovnyhdispersijmnogomernyhprocessovsraznotempovojdiskretizaciejnaosnoveadaptivnyhmodelejgarch
AT milâvskijûl prognozirovaniemaksimalʹnyhuslovnyhdispersijmnogomernyhprocessovsraznotempovojdiskretizaciejnaosnoveadaptivnyhmodelejgarch
first_indexed 2025-07-04T00:44:29Z
last_indexed 2025-07-04T00:44:29Z
_version_ 1836675099651997696
fulltext © В.Д.Романенко, Ю.Л. Милявский, 2009 92 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 TIДC МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ УДК 62-50 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МАКСИМАЛЬНЫХ УСЛОВНЫХ ДИСПЕРСИЙ МНОГОМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ НА ОСНОВЕ АДАПТИВНЫХ МОДЕЛЕЙ GARCH В.Д. РОМАНЕНКО, Ю.Л. МИЛЯВСКИЙ Рассмотрен метод синтеза моделей GARCH для прогнозирования максималь- ных условных дисперсий многомерных гетероскедаcтических процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а вы- ходных координат — с большими. Динамика процессов в стохастической сре- де описана матрично-полиномиальными моделями авторегрессии и скользя- щего среднего с разнотемповой дискретизацией. Адаптивная настройка коэф- фициентов моделей GARCH выполнена на основе рекуррентного метода наи- меньших квадратов. Приведены результаты экспериментальных исследований адаптивной настройки и прогнозирования максимальных условных дисперсий при оптимальных коэффициентах. ВВЕДЕНИЕ В работах [1–3] рассмотрены нелинейные стохастические условно-гаус- совские модели для описания динамики изменения дисперсий гетероскеда- стических процессов в дискретном времени с однотемповой дискретизацией входных возмущений и выходных координат. Недостаток этих моделей за- ключается в том, что они дают возможность прогнозировать условную дис- персию выходной координаты с приемлемой точностью только на один ба- зовый период квантования 0T при ограниченной минимальной выборке координат. В [4] описаны теоретические положения проектирования разнотемпо- вых дискретных систем прогнозирования максимальных условных диспер- сий выходных координат одномерных и многомерных процессов на основе модели ARCH (Autоregressive Conditional Heteroskedasticity) при дискрети- зации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат — с большими. Эти модели дают возможность прогнозировать максимальную выборочную условную дисперсию на большой период кван- тования h . Однако модель ARCH показывает низкую точность прогнозиро- вания при воздействии возмущений типа белого шума с некоррелированны- ми дискретными отсчетами. Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 93 В [5] предложена методика перехода от модели ARCH к модели GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) для одно- мерных процессов ARMA с разнотемповой дискретизацией. При этом на базе минимальной выборки на основе GARCH прогнозировалась условная дисперсия, которая не может характеризовать максимальные условные дис- персии на определенном интервале развития процесса. Описан также алго- ритм адаптивной настройки коэффициентов половины модели GARCH, ко- торые характеризуют только скользящее среднее данной модели. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Первая задача данного исследования — разработка метода прогнозирования максимальных выборочных условных дисперсий многомерных гетероскеда- стических процессов при переменных выборках с дискретизацией выходных координат )( iii hry с увеличенными периодами квантования 0Tmh ii = , а входных координат )( 0kTiξ — с малым базовым периодом квантования 0T . При этом предполагается вычислять и прогнозировать на базе моделей GARCH по рекуррентной процедуре не условные дисперсии с минимальной ограниченной выборкой, а максимальные условные дисперсии на некоторых интервалах дискретного времени, так называемых «окнах», величина кото- рых при вычислении максимальных условных дисперсий изменяется от ih до ii hP max ( ni ...,,2,1= ). Наибольшую величину «окна» целесообразно вы- бирать равной наибольшей постоянной времени процесса по данному кана- лу постmax iii ThP = . Вторая задача — разработка процедуры адаптивной настройки коэф- фициентов модели GARCH для достижения оптимальной точности прогно- зирования максимальной условной дисперсии. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МАКСИМАЛЬНЫХ ВЫБОРОЧНЫХ УСЛОВНЫХ ДИСПЕРСИЙ МНОГОМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ ARCH Многомерная модель ARMA с разнотемповой дискретизацией представлена в виде [4] = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − )( )( )( )(00 0)(0 00)( 222 111 1 1 222 1 111 nnnnnn hry hry hry zA zA zA … … … ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = −−− −−− −−− nnnnnn n n a a a kT kT kT zCzCzC zCzCzC zCzCzC 0 0 0 0 02 01 11 2 1 1 1 2 1 22 1 22 1 1 1 12 1 11 2 1 )( )( )( )()()( )()()( )()()( … … … ξ ξ ξ . (1) В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 94 При этом соотношение периодов квантования для дискретных отсчетов выходных координат 0Tmh ii = ( ni ...,,2,1= ), (2) где im — целое число, большее единицы. Тогда соотношение операторов обратного сдвига будет im i zz −− =1 , (3) где 1−z — оператор обратного сдвига на один период квантования 0T ; 1− iz — оператор обратного сдвига на один период ih . Структура полиномов в модели (1) имеет вид 2 2 1 1 1 1)( −−− ++= iiiii zazazA ii , (4) i ijiij m mij zczczC 2 2 1 1 1 ...1)( −−− +++= , (5) где ni ...,,2,1= ; nj ...,,2,1= . При этом i a0 — смещение i -й выходной коор- динаты, равное ср )1( iii yA . Разнотемповую модель (1) можно представить в разностной форме для каждой выходной координаты. + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i ii i i h m kyah m kyah m ky ii 21 21 + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 0120111 2... 11 Tmh m kcTh m kch m k ii i mi i i i iii ξξξ …+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 020212 22 ... Tmh m kcTh m kch m k ii i mi i i i iii ξξξ …… + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 01022 ...2 2 Th m kch m kTmh m kc i i ni i nii i m niii ξξξ …… + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 0Tmh m kc ii i nm ini ξ inii aTmh m kc ii i nm 002 2 + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ξ… , ni ...,,2,1= . (6) Алгоритм прогнозирования максимальной выборочной условной дис- персиии многомерного процесса для последовательности ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m ky вы- полняется на основе следующей рекуррентной процедуры. 1. Определение выборочного условного математического ожидания выходной координаты iy на протяжении «окна» ii hp . Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 95 { } ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −=∑ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − i i i i m k p m kj ii i h m kya p hjyM p i i i i i ij 11(1 1 1 1 …+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 012 1 2 Tmh m kch m kya ii i mi i i iii ξ …… + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 02012 2 2 Tmh m kcTmh m kc ii i mii i m iijii ξξ …… + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 0022 ...2 2 Tmh m kcTmh m kc ii i nmii i m niiii ξξ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ii i iii i nm hp m kyaTmh m kc inii 102 2... …ξ …+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 012 11 1 Tmhp m kchp m kya iii i mii i i iii ξ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + i nmiii i m m kcTmhp m kc niiii ξξ ...21 012 1 … ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ −+− inii apTmhp m kcTmhp iiii i nmiii 0020 21...)1 ξ . (7) 2. Вычисление выборочной условной дисперсии на интервале ii hp для последовательности ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m ky . = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ii i ii i ii i i hp m kyh m kyh m ky ,...,1var { }∑ ∑ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −= i i i i i i i i i m k p m kj m k p m kj iiij i ii i hjyM p hjy p 1 2 1 1 )(1)(1 , (8) ni ...,,2,1= . 3. Определение максимального значения выборочной условной дисперсии при изменении ip в интервале max 1 ii pp ≤≤ на основе выражений (7), (8). ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤≤ …,1varsup max1 i i ii i i pp h m kyh m ky ii В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 96 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i iii i i h m khp m ky 2^ max , ξ… , (9) где maxip устанавливается на основе постmax iii Thp = . При этом постiT — по- стоянная времени, которая характеризует инерционность координаты iy . 4. Вычисление ряда максимальных выборочных условных дисперсий при ni ...,,2,1= на основе выражений ) …,21varsup1 max max 1 2^ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤≤ i i ii i i pp i i i h m kyh m kyh m k ii ξ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ii i i hp m ky,… , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤≤ ii i i pp ii i i h m kyh m k ii µµξ max max 1 2 ^ varsup ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − iii i iii i i hp m kyh m ky µµ ,,1 … . 5. Построение математической модели ARCH динамики максимальных выборочных условных дисперсий для каждой координаты iy на основе данных вычисленных рядов путем применения метода наименьших квадра- тов (МНК) в виде модели авторегрессии …+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i i h m kh m k i 1ˆ 2 ^ 1 2 ^ maxmax ξαξ ii i iii i i h m kwh m k i γµξαµ ˆˆ 2 ^ max + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +… , (10) где ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m kw — процесс дискретного белого шума с нулевым средним. Уравнение (10) представляет авторегрессионную условно гетероскеда- стическую модель ARCH, на основе которой выполняется прогнозирование максимальной выборочной условной дисперсии (9) на один большой период квантования 0Tmh ii = . + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i i h m kh m k i 2 ^ 1 2 ^ maxmax ˆ1 ξαξ ) ] ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + iii i ii i i h m kh m k ii γµξαξα µ ˆ1ˆ1ˆ 2 ^ 2 ^ 2 maxmax … . (11) Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 97 Цель данной статьи — на основе модели ARCH (10) разработать обоб- щенную авторегрессионную условно гетероскедастическую модель GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) с большим перио- дом квантования 0Tmh ii = для описания динамики изменяющейся условной дисперсии по i -му каналу и исследовать вопросы достижения максималь- ной точности прогнозирования. РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ GARCH ПРИ ПЕРИОДЕ КВАНТОВАНИЯ 0Tmh ii = Введем новые переменные. ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i ii i i h m kvh m kHh m k maxmax ^ ξ , (12) где ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m kv — нормальная последовательность с нулевым средним и единичной дисперсией 0= ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m kvM , 12 = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i h m kvM . На основе (12) для максимальной выборочной условной дисперсии можно записать ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = i i ii i ii h m kvh m kH 22 ^ maxmax ξ . (13) Если предположить, что …+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i iii i i h m kh m kH i 12 ^ 1 maxmax ξαγ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ii i i h m k i µξαµ 2 ^ max … , (14) то, согласно выражению (12), ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i i m k h m kh m kM i 12 ^ 2 ^ 1 maxmax ξξ , …… + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i iii i i h m kh m k i 1,,2 2 ^ 1 2 ^ maxmax ξαγξ В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 98 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ii i i h m k i µξαµ 2 ^ max … . Если подставить (13), (14) в выражение (10), получим = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i ii i i h m kvh m kHh m k 2 2^ maxmax ξ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = i i ii i i h m kwh m kH max . (15) Таким образом, ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m kH max представляет собой линейную проек- цию максимального значения квадрата ошибки ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m k2 ^ max ξ и является прогнозом для максимальной условной дисперсии ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m k2 ^ max ξ . Учитывая представление (13), инновацию ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m kw в уравнении ав- торегрессии (10) можно записать так: ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 122^ maxmax i i ii i ii i ii i i h m kvh m kHh m kh m kw ξ . (16) В то время как безусловная дисперсия ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m kw является постоян- ной, условная дисперсия согласно (16) со временем изменяется. Запишем формулу (14) следующим образом: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++++= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− i i iiiiii i i h m kzzzh m kH i iii 2 ^ 2 2 1 1 maxmax )( ξαααγ µ µ… ,(17) где 1− iz — оператор обратного сдвига на период квантования 0Tmh ii = . Представим полином i iii iii zzz µ µααα −−− +++ ...( 2 2 1 1 ) в виде отношения )1( )( ...( 2 2 1 1 )(2 2 1 12 2 1 1 i iii ii iiiii iii n inii n inii iii zzz zrzrzr zzz −−− +− + −− −−− −−−− +++ =+++ σσσ ααα µ µµ µ … … .(18) При этом корни уравнения 0)1( 2 2 1 1 =−−−− −−− i iii n inii zzz σσσ … долж- ны находиться в середине круга единичного радиуса. Применяя выраже- ние(18), можно представить равенство (17) в виде конечно-разностного уравнения Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 99 + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i iii i i h m kHh m kH i 1 maxmax 1σλ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ii i ini i i hn m kHh m kH ii maxmax 22 σσ … …+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + i i ii i i h m krh m kr ii 21 2 ^ 2 2 ^ 1 maxmax ξξ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + iii i in hn m kr iii µξµ 2 ^ max … , (19) где ini iii γσσσλ )1( 21 −−−−= … . Прибавим к обеим частям равенства (19) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m k2 ^ max ξ и выполним преобразование полученного выражения с учетом (15). ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i iii i ii i i m kwh m kh m kH i1 2 ^ maxmax σλξ ) ] + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− ii i ini i ii hn m kwh m kwh ii σσ …21 2 ( ) ( ) …+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ i i ii i i h m krh m kr iiii 21 2 ^ 22 2 ^ 11 maxmax ξσξσ ( ) ) ] …… + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ + ii i inii i inn hn m krhn m kr iii 12 ^ 2 ^ max1max ξξσ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + i i iiii i in h m khn m kr ii 2 ^ 2 ^ maxmax ξµξµ… . При ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i ii i i h m kwh m kh m kH 2 ^ maxmax ξ преобразуем преды- дущее выражение к виду + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i iii i i h m krh m k ii 1)( 2 ^ 11 2 ^ maxmax ξσλξ В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 100 + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ii i inni i i hn m krh m kr iiii 2 ^ 2 ^ 22 maxmax )(2)( ξσξσ … + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ iii i inii i in hn m krhn m kr iii µξξ µ 2 ^ 2 ^ maxmax1 1 … ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ii i ini i ii i i hn m kwh m kwh m kw ii σσ …11 , (20) где возмущения определяются следующим образом: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i ii i i h m kHh m kh m kw 111 maxmax 2 ^ ξ , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ii i iii i iii i i hn m kHhn m khn m kw maxmax 2 ^ ξ . Выражение (20) представляет модель GARCH для i -го канала много- мерного процесса при периоде квантования 0Tmh ii = , в которой учиты- вается динамика изменения четвертого момента …−−− −− 2 2 1 11( ii zz ii σσ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − i i i n in h m kwz i i )σ… в модели изменения максимальной выборочной условной дисперсии ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m k2 ^ max ξ . На основе модели (20) можно прогнозировать максимальную выбороч- ную условную дисперсию на один большой период квантования 0Tmh ii = по i -му каналу + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i iii i i h m krh m k ii 2 ^ 11 2 ^ maxmax )(1 ξσλξ ×+++ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++ )(1)( 2 ^ 22 max iiii nni i i rh m kr σξσ … …+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × + ii i inii i i hn m krhn m k i 2 ^ 1 2 ^ maxmax 1 ξξ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + iii i in hn m kr ii 12 ^ max µξµ… Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 101 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ii i ini i i hn m kwh m kw ii 11 σσ … . (21) АДАПТИВНАЯ НАСТРОЙКА КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛЕЙ GARCH Для достижения максимальной точности прогнозирования согласно (21) не- обходимо выполнять адаптивную настройку коэффициентов модели GARCH (20) из условия минимизации критерия оптимальности ∑ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = N m k i i ii i iN i i h m kh m kI 1 2 2 ^ 2 maxmax ξξ , (22) где ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i i h m k2 max ξ — вычисленное значение максимальной выборочной ус- ловной дисперсии по i -му каналу на основе (8), (9), а 2 ^ maxiξ — дисперсия, которая определяется по модели GARCH (20). Запишем критерий (22) как ∑ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ → ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = N m k ii i T ii i iN i i h m kXh m kI 1 2 2 ^ minˆ max θξ , (23) где векторы оцениваемых коэффициентов iθ̂ согласно модели (20) будут равны [ ]T innnnni iiiiiiiiiii rrrrr λσσσσσθ µ ,,,,,,),(,),(),(ˆ 12211 1 ……… ++ +++= , (24) а вектор вычисляемых координат …,2,1 2 ^ 2 ^ maxmax ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i ii i T i h m kh m kh m kX ξξ …… ,1,, 2 ^ 2 ^ maxmax ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ii i iii i i hn m khn m k ξξ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1,,,1,, 2 ^ max ii i ii i iiii i i hn m kwh m kwhn m k …… µξ . Для оценивания неизвестных оптимальных коэффициентов iθ̂ согласно (24), при которых минимизируется критерий (23), применяется рекуррент- ный метод наименьших квадратов (РМНК). В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 102 × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i ii i i h m kKh m kh m k 1ˆˆ θθ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × i i ii i T ii i i h m kh m kXh m k 1ˆ2 max θξ , (25) × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i ii i i h m kXh m kPh m kK 1 1 11 − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +× i i ii i ii i T i h m kXh m kPh m kX , (26) × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i i ii i ii i i h m kPh m kPh m kP 11 × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × i i ii i T ii i i h m kPh m kXh m kX 11 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × − i i ii i T ii i i h m kPh m kXh m kX 1 1 , ( ni ...,,2,1= ). (27) Таким образом, процедура РМНК (25)–(27) повторяется на каждом ша- ге n раз для оценки коэффициентов iθ̂ по каждому каналу многомерного процесса. Пример. Модель ARMA двумерного процесса с разнотемповой дис- кретизацией [6] при 01 5Th = , 02 10Th = имеет вид ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− − − )( )( )()( )()( 10 5 )(0 0)( 02 01 1 22 1 21 1 12 1 11 22 11 1 22 1 11 kT kT zCzC zCzC hky hky zA zA ξ ξ , где 51 11 9048,01)( −− −= zzA ; 101 22 9044,01)( −− −= zzA ; 543211 11 46156,045223,046137,04707,04802,01)( −−−−−− −++++= zzzzzzC ; 643211 12 55387,048818,151824,15489,15802,11)( −−−−−− +++++= zzzzzzC ; ++++++= −−−−−− 543211 21 27857,028138,02842,0287,029,01)( zzzzzzC 109876 2649,026759,02703,0273,02558,0 −−−−− +++++ zzzzz ; Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 103 +++++= −−−−− 43211 22 5239,05292,0534,054,01)( zzzzzC 1098765 41107,04982,05033,050839,051353,051872,0 −−−−−− −+++−+ zzzzzz . Модель GARCH (20) для первого и второго каналов двумерного про- цесса получена в следующей форме: +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 1 2 1 ^ 111 2 1 ^ 1 5 )( 5 max11max hkrhk ξσξ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ 1 2 1 ^ 31 2 1 ^ 2 3 5 2 5 max1max1 hkrhkr ξξ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ 11111 1 55 1 hkwhkw σ , (28) +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 2 2 ^ 112 2 2 ^ 1 10 )( 10 max22max hkrhk ξσξ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ 2 2 2 ^ 32 2 2 ^ 2 3 10 2 10 max2max2 hkrhkr ξξ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+ 22122 1 1010 2 hkwhkw σ . (29) На рис. 1, 2 приведены результаты цифрового моделирования по прогнозированию максимальных условных дисперсий ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 1 2 1 ^ 1 5max hkξ и ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 2 2 ^ 1 10max hkξ , которые сравниваются с вычисленными значениями по формулам (8), (9) при 12 max1 =P ; 6 max2 =P . На рис. 3–10 приведены графики адаптивной настройки моделей GARCH (28), (29) на основе РМНК (23)–(27). На основе результатов цифро- вого моделирования можно выполнить следующий анализ. Составление классической модели GARCH [2] основано на предвари- тельном определении ряда дискретных отсчетов условных дисперсий, кото- рые на каждом периоде квантования численно равны ])[(ˆ 0 2 Tik −ξ при qi ,...,2,1,0= . Отдельные отсчеты ])[(ˆ 0 2 Tik −ξ слабо коррелированы друг с другом [4, рис. 2], так как ])[( 0Tik −ξ являются некоррелированными от- счетами белого шума. Поэтому представление динамики слабо коррелиро- ванных отсчетов изменяющихся условных дисперсий в виде нелинейной В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 104 условно-гауссовской модели GARCH не обеспечивает высокого качества прогнозирования будущего значения условной дисперсии ])1[(ˆ 0 2 Tk +ξ . Рис. 1. График вычисления (черный цвет) и прогнозирования (белый) максимальной условной дисперсии ])1]5/[([ 1 2 max1 hk +ς 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 ])1]5/[([],)1]5/[([ˆ 1 2 max11 2 max1 hkhk ++ ςς [k/5]h1 Рис. 2. График вычисления (черный цвет) и прогнозирования (белый) макси- мальной условной дисперсии ])1]10/[([ 2 2 max2 hk +ς 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0 50 100 150 200 ])1]10/[([],)1]10/[([ˆ 2 2 max22 2 max2 hkhk ++ ςς [k/10]h2 Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 105 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 )ˆˆ( 1111 r+σ [k/5]h1 Рис. 3. График адаптивной настройки коэффициента )ˆˆ( 1111 r+σ по РМНК 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 21r̂ [k/5]h1 Рис. 4. График адаптивной настройки коэффициента 21r̂ по РМНК 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 1 2 3 4 21r̂ [k/5]h1 Рис.5. График адаптивной настройки коэффициента 31r̂ по РМНК В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 106 20 40 60 80 100 120 140 160 180 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 11σ̂ [k/5]h1 Рис. 6. График адаптивной настройки коэффициента 11σ̂ по РМНК 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 )ˆˆ( 1212 r+σ [k/10]h2 Рис. 7. График адаптивной настройки коэффициента )ˆˆ( 1212 r+σ по РМНК 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 22r̂ [k/10]h2 Рис. 8. График адаптивной настройки коэффициента 22r̂ по РМНК Прогнозирование максимальных условных дисперсий многомерных процессов ... Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 107 Синтез моделей GARCH в данной статье производится на основе пред- варительной разработки моделей ARCH для максимальных выборочных условных дисперсий, которые определяются на базе (7)–(10). В процессе этой процедуры влияния отдельных отсчетов условных дисперсий усредня- ются на протяжении «окна» ii hp , что значительно увеличивает корреляцию между вычисленными отсчетами максимальных выборочных условных дис- персий ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡∧ i j j hi m k max ξ , ji µ,...,1,0= , на основе которых разрабатыва- ется модель GARCH. Поэтому прогнозирование по этой модели максималь- ных выборочных условных дисперсий, как это показано в примере, получается более точным по сравнению с прогнозированием условной дис- персии по классической модели GARCH. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 12σ̂ [k/10]h2 Рис. 10. График адаптивной настройки коэффициента 12σ̂ по РМНК 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 32r̂ [k/10]h2 Рис. 9. График адаптивной настройки коэффициента 32r̂ по РМНК В.Д. Романенко, Ю.Л. Милявский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 108 ВЫВОДЫ Разработан метод синтеза моделей GARCH для прогнозирования макси- мальных выборочных условных дисперсий выходных координат многомер- ных гетероскедастических процессов на увеличенные периоды квантования 0Tmh ii = при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования, а выходных координат — с большими. Разработан алгоритм адаптивной настройки всех коэффициентов моде- ли GARCH для многомерного процесса на основе РМНК. Проведены экспериментальные исследования по прогнозированию дисперсий выходных координат двумерного процесса с разнотемповой дис- кретизацией и адаптивной настройке коэффициентов синтезированных мо- делей GARCH. ЛИТЕРАТУРА 1. Бідюк П.І. Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. — № 3. — С. 88–110. 2. Hamilton J.D. Time series analysis. — N.Y.: Prinseton Universiti Press. — 1994. — 799 p. 3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. — М.: Фазис, 1998. — 512 с. 4. Романенко В.Д. Прогнозирование и минимизация дисперсий гетероскедасти- ческих процессов на основе моделей с разнотемповой дискретизацией // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2007. — № 2. — С. 115–130. 5. Романенко В.Д., Билый А.В. Синтез и адаптивная настройка моделей GARCH для прогнозирования дисперсий гетероскедастических процессов с разно- темповой дискретизацией // Системні дослідження та інформаційні техно- логії. — 2008. — № 1. — С. 114–126. 6. Романенко В.Д. Прогнозирование динамических процессов на основе матема- тических моделей временных рядов с разнотемповой дискретизацией // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2005. — № 2. — С. 23–41. Поступила 11.02.2009

Схожі ресурси