Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач
Розглядаються питання існування та наближеної побудови розв’язків багатоточкових крайових задач для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь з невідомими параметрами за допомогою модифікації чисельно-аналітичного методу послідовних наближень....
Gespeichert in:
Datum: | 2009 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Ukrainian |
Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2009
|
Schriftenreihe: | Системні дослідження та інформаційні технології |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/42245 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач / І.І. Король // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 4. — С. 129–139. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-42245 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-422452013-03-14T03:08:40Z Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач Король, І.І. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Розглядаються питання існування та наближеної побудови розв’язків багатоточкових крайових задач для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь з невідомими параметрами за допомогою модифікації чисельно-аналітичного методу послідовних наближень. Рассматриваются вопросы существования и приближенного построения решений многоточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными параметрами с помощью модификации численно-аналитического метода последовательных приближений. By using a modification of a numerical-analytic method for successive approximations, the problems of the existence and construction of approximate solutions for multi-point boundary value problems are considered for the systems of ordinary nonlinear differential equations with unknown parameters. 2009 Article Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач / І.І. Король // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 4. — С. 129–139. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/42245 517.927.4 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
topic |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
spellingShingle |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Король, І.І. Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач Системні дослідження та інформаційні технології |
description |
Розглядаються питання існування та наближеної побудови розв’язків багатоточкових крайових задач для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь з невідомими параметрами за допомогою модифікації чисельно-аналітичного методу послідовних наближень. |
format |
Article |
author |
Король, І.І. |
author_facet |
Король, І.І. |
author_sort |
Король, І.І. |
title |
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач |
title_short |
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач |
title_full |
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач |
title_fullStr |
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач |
title_full_unstemmed |
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач |
title_sort |
інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач |
publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
publishDate |
2009 |
topic_facet |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/42245 |
citation_txt |
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач / І.І. Король // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 4. — С. 129–139. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
work_keys_str_mv |
AT korolʹíí íntegruvannâparametrizovanihbagatotočkovihkrajovihzadač |
first_indexed |
2025-07-04T00:44:41Z |
last_indexed |
2025-07-04T00:44:41Z |
_version_ |
1836675111804993536 |
fulltext |
© І.І. Король, 2009
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 129
УДК 517.927.4
ІНТЕГРУВАННЯ ПАРАМЕТРИЗОВАНИХ БАГАТОТОЧКОВИХ
КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
І.І. КОРОЛЬ
Розглядаються питання існування та наближеної побудови розв’язків багато-
точкових крайових задач для систем нелінійних звичайних диференціальних
рівнянь з невідомими параметрами за допомогою модифікації чисельно-
аналітичного методу послідовних наближень.
ВСТУП
Одним з ефективних і конструктивних методів дослідження питань якісної
теорії та наближеної побудови розв’язків нелінійних систем дифе-
ренціальних рівнянь, підпорядкованих різного роду обмеженням, зокрема
дво- та багатоточковим крайовим умовам, є чисельно-аналітичний метод
послідовних наближень. Детальний огляд досліджень з цього питання мож-
на знайти в роботі [2], де результати, одержані в [3] для триточкових крайо-
вих задач з параметрами, узагальнюються на випадок багатоточкових край-
ових умов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянемо систему диференціальних рівнянь
( )sxtf
dt
dx λλλ ,,,,, 21 …= , (1)
підпорядкованих багатоточковим крайовим умовам
( ) ( ) ( ) dTxAtxAxA q
q
k
kk =++ +
=
∑ 1
1
0 0 , (2)
( )
( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
,0
,0
,0
0
022
011
ss xx
xx
xx
(3)
де 1,R,, +≥∈ sndfx n , sλλλ ,,, 21 … — невідомі скалярні параметри:
];[ iiii baI =∈λ , si ,,1…= , Ttttt qq =<<<<= +1100 … , ( ) ( ,,,0 001 sxxx …=
( ) ( ))0,,01 ns xx …+ ; ,kA 1,,0 += qk … — сталі матриці, які задовольняють
умову 0det
1
1
≠∑
+
=
q
k
kA .
І.І. Король
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 130
Вважаємо, що для крайової задачі (1)–(3) виконуються такі умови.
1. Функція ( )Λ,, xtf визначена і неперервна в області [ ] IDT ××=Ω ,0 ,
1++⊂Ω snR , де D — замкнена обмежена область в nR , ( )∈=Λ sλλλ ,,, 21 …
sIIII ×××=∈ …21 , і обмежена вектором )(tM .
( ) ( )tMxtf ≤Λ,, , ( ) ( ) ( )( )ΛΛ=Λ ,,,,,,,, 1 xtfxtfxtf n… .
2. Функція ),,( Λxtf в області Ω задовольняє умову Ліпшіца по Λ,x .
( ) ( ) Λ ′′−Λ′+′′−′≤Λ ′′′′−Λ′′ LxxKxtfxtf ,,,, , (4)
де nsnn RLRK ×
+
×
+ ∈∈ , .
Нерівності між векторами розуміємо покомпонентно.
3. ∅≠0D , де 0D — ( )sn − -вимірна множина точок 0z така, що точки
( )00010 ,,, zxxx s…= містяться в D разом із своїм β - околом, де
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ Λ−Λ=′+′=
Ω∈ΛΩ∈Λ
,,min,,max
2
1,
2 ),,(),,(
01 xtfxtfMzMT
xtxt
ββ ,
( ) ( )k
q
k
k
q
k
k
k
q
k
k tHAP
T
tAHMPxAdHz 1
1
11
1
0
1
0
01 ,, αβ ∑∑∑
=
−+
=
+
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=′+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−= ,
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
T
ttt 121α .
4. Власні значення ( )Qsi матриці KPETQ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
2
, де E — одинична
матриця, лежать в одиничному крузі
( ) niQsi ,,1,1 …=< . (5)
Під розв’язком задачі розуміємо неперервно-диференційовану на про-
міжку [ ]T,0 вектор-функцію ( )txx *= і такі значення параметрів =Λ=Λ *
( )**
1 ,, sλλ …= , тобто сукупність ( )( )** ,Λtx , яка задовольняє як систему (1), так
і крайові умови (2), (3).
ОБГРУНТУВАННЯ ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНОГО МЕТОДУ
Розглянемо послідовність вектор-функцій ( ){ }Λ,, 0ztxm , заданих рекурент-
ним співвідношенням
( ) ( )( ) ( )( )[ ] +ΛΛ−ΛΛ+=Λ ∫ −−
t
mmm dzsxsfzxfxztx
0
010100 ,,,,,,,,,, τττ
( )( ) ( )( )[ ]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
ΛΛ−ΛΛ−−+ ∫∑∑ −−
=
+
=
kt
mm
q
k
k
q
k
k dzsxsfzxfAxAdH
T
t
0
0101
1
0
1
0
,,,,,,,, τττ ,
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 131
( ) ( ) ,,2,1,,,...,,, 0001000 …===Λ mzxxxztx s (6)
де ( )( ) ( )( )∫ ΛΛ=ΛΛ −−
T
mm dszsxsf
T
zsxsf
0
0101 ,,,,1,,,, .
Безпосередньою перевіркою можна переконатися, що всі члени по-
слідовності (6) задовольняють крайові умови (2), (3) при довільних значен-
нях параметрів з області ( ) IDz ×∈Λ 00 , . Має місце твердження про
збіжність послідовності (6).
Теорема 1. Нехай крайова задача (1)–(3)задовольняє умови 1– 4 . Тоді
1) послідовність (6) рівномірно збігається при ∞→m в області
( ) [ ] 1
0000 ,,0,, +⊂Ω××=Ω∈Λ nRIDTzt до неперервної граничної функції
( )Λ,, 0
* ztx , і для збіжності справедливі оцінки
( ) ( ) ( ) ( )0
1
00
* ,,,, zQEQztxztx m
m β−−≤Λ−Λ ; (7)
2) ( ) IDz ×∈Λ∀ 00 , гранична функція ( )Λ,, 0
* ztx при 0=t проходить
через точку ( ) ( )000100 ,,,,,0 zxxxzx s…==Λ і є розв’язком збуреної по відно-
шенню до (1)–(3) крайової задачі
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==
=++
Λ∆+Λ=
+
=
∑
,0,,0
,0
,,,,
0011
1
1
0
0
ss
q
q
k
kk
xxxx
dTxAtxAxA
zxtf
dt
dx
…
(8)
де
( ) ( )( )+ΛΛ−=Λ∆ ,,,,, 0
*
0 zsxsfz
( )( ) ( )( ) .,,,,,,,,1
0
0
*
0
*
1
1
0
0
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ΛΛ−ΛΛ−−+ ∫∑∑
=
+
=
ktq
k
k
q
k
k dzsxsfzxfAxAdH
T
τττ (9)
Доведення. Покажемо, що в просторі неперервних вектор-функцій по-
слідовність (6) є фундаментальною, а отже, і рівномірно збіжною. Спочатку
доведемо, що ( ) ( ) DztxNmzt m ∈Λ∈∀Ω∈Λ∀ ,,,,,, 000 . За лемою 3 [4]
( ) ( )[ ( )] +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+Λ−Λ≤−Λ ∑∫
+
=
1
0
00
0
0001 ,,,,,,
q
k
k
t
xAdHdxsfxfxztx ττ
( )( ) ( )( )[ ] ( ) +′≤ΛΛ−ΛΛ+ ∑ ∫
=
MtdzsxsfzxfAH
q
k
t
k
k
1
1 0
0000 ,,,,,,,, ατττ
І.І. Король
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 132
( ) ( ) ( ) ( ) .00111
1
1
0
0 zzMtMtHAxAdH k
q
k
k
q
k
k ββαα ≤+′≤′+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+ ∑∑
=
+
=
Отже, при ( ) 00 ,, Ω∈Λzt маємо ( ) Dztx ∈Λ,, 01 . За індукцією можна лег-
ко встановити, що ( ) ( ) 000 ,,,,2,1,,, Ω∈Λ∀=∀∈Λ ztmDztxm … .
Оцінимо різницю функцій
( ) ( ) ≤Λ−Λ+ ,,,, 001 ztxztx mm
( )( ) ( )( )[∫ −ΛΛ−ΛΛ≤ −
t
mm zxfzxf
0
010 ,,,,,,,, ττττ
( )( ) ( )( )( )] +ΛΛ−ΛΛ− − τdzsxsfzsxsf mm ,,,,,,,, 010
( )( ) ( )( )[∑ ∫
=
− −ΛΛ−ΛΛ+
q
k
t
mmk
k
zxfzxfAH
1 0
010 ,,,,,,,, ττττ
( )( ) ( )( )( )] ≤ΛΛ−ΛΛ− − τdzsxsfzsxsf mm ,,,,,,,, 010
( )( ) ( )( ) +ΛΛ−ΛΛ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −≤ ∫ −
t
mm dzxfzxf
T
t
0
010 ,,,,,,,,1 τττττ
( )( ) ( )( ) +ΛΛ−ΛΛ+ ∫ −
T
t
mm dzxfzxf
T
t τττττ ,,,,,,,, 010
( )( ) ( )( )∑ ∫
=
−
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+ΛΛ−ΛΛ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
q
k
t
mm
k
k
k
dzxfzxf
T
tHA
1 0
010 ,,,,,,,,1 τττττ
( )( ) ( )( ) .,,,,,,,, 010
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
ΛΛ−ΛΛ+ ∫ −
T
t
mm
k
k
dzxfzxf
T
t
τττττ
Якщо позначити ( ) ( ) ( ) ,,,,,,, 00101 Λ−Λ=Λ ++ ztxztxztr mmm то, врахо-
вуючи умову Ліпшіца (4), одержимо
( ) ( ) ( ) +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Λ+Λ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −≤Λ ∫ ∫+
t T
t
mmm dzr
T
tdzr
T
tKztr
0
0001 ,,,,1,, ττττ
( ) ( ) .,,,,1
1 0
00∑ ∫ ∫
= ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Λ+Λ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
q
k
t T
t
m
k
m
k
k
k
k
dzr
T
t
dzr
T
t
KHA ττττ
Ми вже довели, що ( ) ( ) ( ) ,,, 01101 zMtztr βα +′≤Λ а тому, враховуючи
лему 2.2 [1], за методом математичної індукції отримуємо
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 133
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+′++′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −≤Λ ∫ ∫
t T
t
dzM
T
tdzM
T
tKztr
0
01101102 1,, τβτατβτα
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ≤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+′++′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+∑ ∫ ∫
=
q
k
t T
t
kk
k
k
k
dzM
T
tdzM
T
tKHA
1 0
0110111 τβτατβτα
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]≤+′++′≤ ∑
=
q
k
kkk ztMtKHAztMtK
1
01120112 )( βααβαα
( ) ( ) ( ) ≤⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +′
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+≤ ∑
=
01
1
11 3
zMTKtHAtE
q
k
kk βαα
( ) ( )00132
zQzMTKPET ββ ≤⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +′⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +≤ ,
( ) ( ) .,, 001 zQztr m
m β≤Λ+
З урахуванням (5) одержимо оцінку різниці
( ) ( ) ( )≤Λ≤Λ−Λ ∑
=
++
j
i
immjm zrztxztx
1
000 ,,,,,, τ
( ) ( ) ( )0
1
1
0
0 zQEQzQ m
j
i
im ββ −
−
=
+ −≤≤∑ .
Оскільки ,0lim =
→∞
m
m
Q то послідовність (6) у просторі неперервних век-
тор-функцій є фундаментальною, а отже, за критерієм Коші вона рівномірно
збігається. Перейшовши у співвідношенні (6) до границі при ∞→m от-
римаємо, що гранична функція ),,( 0
* Λztx задовольняє інтегральному
рівнянню
( ) ( )( ) ( )( )[ ] +Λ−Λ+= ∫
t
dsxsfxfxtx
0
0 ,,,, τττ
( )( ) ( )( )[ ]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
Λ−Λ−−+ ∫∑∑
=
+
=
ktq
k
k
q
k
k dsxsfxfAxAdH
T
t
01
0
1
0
,,,, τττ ,
з чого слідує, що ( ) ( )000100
* ,,,,,0 zxxxzx s…==Λ і ( )Λ,, 0
* ztx є розв’язком
крайової задачі (8).
Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай крайова задача (1)–(3)задовольняє умови 1–4 . Тоді
набір ( )** ),( Λtx є розв’язком вихідної крайової задачі (1)–(3) тоді і тільки
тоді, коли ( )**
0 ,Λz є розв’язком визначального рівняння ( ) .0,0 =Λ∆ z При
цьому ( ) ( )**
0
** ,, Λ= ztxtx і ( ) ( )*
00010
* ,,,0 zxxxx s…== .
І.І. Король
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 134
Доведення проводиться за аналогією з доведенням теореми 3 [5].
На практиці розглядають наближену збурюючу функцію
( ) ( )( )+ΛΛ−=Λ∆ ,,,,, 00 zsxsfz mm
( )( ) ( )( )[ ]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
ΛΛ−ΛΛ−−+ ∫∑∑
=
+
=
kt
mm
q
k
k
q
k
k dzsxsfzxfAxAdH
T 0
00
1
1
0
0 ,,,,,,,,1 τττ ,
на підставі аналізу якої можна робити висновки про існування розв’язку
крайової задачі (1)–(3). Достатні умови для цього дає теорема 3.
НЕОБХІДНІ ТА ДОСТАТНІ УМОВИ ІСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ
Теорема 3. Нехай крайова задача (1)–(3) задовольняє умови 1–4, а також
існує випукла замкнена область IDIDV ×⊂′×′=′ 00 така, що для деякого
фіксованого 1≥m наближене визначальне рівняння ( ) 0,0 =Λ∆ zm має в V ′
єдиний розв’язок, індекс якого не дорівнює нулю і на межі S області V ′
виконується нерівність
( ) ( ) ( )0
1
0),(
1,inf
0
zQEKQP
T
Ez m
mSz
β−
∈Λ
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +>Λ∆ .
Тоді крайова задача (1)–(3) має єдиний розв’язок )),(( ** Λtx , початкове зна-
чення якого ( ) ( )*
0001
* ,,,0 zxxx s…= , де ( ) Vz ′∈Λ**
0 , .
Доведення. Враховуючи умову Ліпшіца (4) та оцінки (7), для різниці
точної ( )Λ∆ ,0
* z і наближеної ( )Λ∆ ,0zm збурюючих функцій одержимо
( ) ( ) ( )( ) ( )( )∫ +ΛΛ−ΛΛ≤Λ∆−Λ∆
T
mm dszsxsfzsxsf
T
zz
0
00
*
00 ,,,,,,,,1,,
( )( ) ( )( )[∑ ∫
=
−ΛΛ−ΛΛ+
q
k
t
mk
k
zxfzxfAH
T 1 0
00
* ,,,,,,,,1 ττττ
( )( ) ( )( )( ) ≤⎥⎦
⎤ΛΛ−ΛΛ− τdzsxsfzsxsf m ,,,,,,,, 00
*
( ) ( )∫ +Λ−Λ≤
T
m dszsxzsxK
T 0
00
* ,,,,1
( ) ( ) +Λ−Λ⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+ ∫∑
=
kt
m
k
q
k
k dzxzx
T
tKHA
T 0
00
*
1
,,,,11 τττ
( ) ( ) ( ) ( ) .1,,,, 0
1
00
* zQEKQP
T
Edzxzx
T
t m
T
t
m
k
k
βτττ −−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +≤
⎥
⎥
⎦
⎤
Λ−Λ+ ∫ (10)
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 135
Далі доведення проводиться аналогічно доведенню теореми 4 [5].
Доведемо неперервну залежність збурюючої функції вигляду (9) від
параметрів Λ,0z .
Теорема 4. Нехай крайова задача (1)–(3)задовольняє умови 1–4 . Тоді
вектор-функція ( )Λ∆ ,0z вигляду (9) визначена і неперервна в області
ID ×0 , і для довільних точок ( ) ( ) IDzz ×∈Λ ′′′′Λ′′ 000 ,,, виконується оцінка
( ) ( )( ) ( ) ( ) +′′−′⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++≤Λ ′′′′∆−Λ′′∆ −
00
1
00
11,, xxREQEKP
T
ER
T
zz
( ) ,
2
1 1 Λ ′′−Λ′⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++ − LPETQEKEP
T
E
де ∑
+
=
=
1
0
q
k
kHAR .
Доведення. Для довільної точки ( ) IDz ×∈Λ 00 , функція ( )Λ,, 0
* zsx є
неперервною як границя рівномірно збіжної послідовності (6). А тоді і
( )Λ∆ ,0z є неперервною і обмеженою ( ) IDz ×∈Λ∀ 00 , .
( ) .11,
1
0
00 MP
T
ExAdH
T
z
q
k
k ′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−≤Λ∆ ∑
+
=
Спочатку оцінимо близькість функцій ( )Λ′′ ,, 0zsxm і ( )Λ ′′′′ ,, 0zsxm . При
1=m для довільних ( ) ( ) IDzz ×∈Λ ′′′′Λ′′ 000 ,,, , виконуючи перетворення, по-
дібні до тих, які використовували при встановленні оцінки (7), маємо
( ) ( ) +′′−′+′′−′≤Λ ′′′′−Λ′′ ∑
+
=
1
0
00000101 ,,,,
q
k
k xxAH
T
txxztxztx
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] +Λ ′′′′−Λ′′−Λ ′′′′−Λ′′+ ∫
t
dxsfxsfxfxf
0
0000 ,,,,,,,, τττ
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ≤Λ ′′′′−Λ′′−Λ ′′′′−Λ′′+ ∑ ∫
=
q
k
t
k
k
dxsfxsfxfxfAH
T
t
1 0
0000 ,,,,,,,, τττ
( ) [ ]∫ +Λ ′′−Λ′+′′−′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+′′−′+≤
t
dLxxK
T
txxRE
0
0000 1 τ
[ ] +Λ ′′−Λ′+′′−′+ ∫
T
t
dLxxK
T
t τ00
[ ]∑ ∫
= ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+Λ ′′−Λ′+′′−′⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
q
k
t
k
k
k
dLxxK
T
t
HA
1 0
001 τ
І.І. Король
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 136
[ ] ( )( ) +′′−′+++≤
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
Λ ′′−Λ′+′′−′+ ∫ 00100 xxPKKtREdLxxK
T
t T
t
k
k
ατ
( )( ) ( ) Λ ′′−Λ′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++′′−′++≤Λ ′′−Λ′++ LPETxxQRELPtE
2001α .
При 2=m аналогічно отримаємо
( ) ( ) ( ) +′′−′+≤Λ ′′′′−Λ′′ 000202 ,,,, xxREztxztx
( ) ( )[∫ +Λ ′′′′−Λ′′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
t
zxzxK
T
t
0
0101 ,,,,1 ττ
] ( ) ( )[ ] +Λ ′′−Λ′+Λ ′′′′−Λ′′+Λ ′′−Λ′+ ∫ ττττ dLzxzxK
T
tdL
T
t
,,,, 0101
( ) ( )[ ]∑ ∫
=
+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
Λ ′′−Λ′+Λ ′′′′−Λ′′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
q
k
t
k
k
k
dLzxzxK
T
tHA
1 0
0101 ,,,,1 τττ
( ) ( )[ ] ≤
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
Λ ′′−Λ′+Λ ′′′′−Λ′′+ ∫ τττ dLzxzxK
T
t T
t
k
k
,,,, 0101
( ) ( ) ( ) .
20000
2 Λ ′′−Λ′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +++′′−′++′′−′++≤ LPETQExxRQExxQQE
За методом математичної індукції одержимо такі оцінки:
( ) ( ) +′′−′
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+′′−′
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
≤Λ ′′′′−Λ′′ ∑∑
−
==
00
1
0
00
0
00 ,,,, xxRQxxQztxztx
m
i
i
m
i
i
mm
Λ ′′−Λ′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+ ∑
−
=
LPETQ
m
i
i
2
1
0
.
Переходячи в останній нерівності до границі при ∞→m і беручи до
уваги (5), маємо
( ) ( ) ≤Λ ′′′′−Λ′′ ,,,, 0
*
0
* ztxztx
( ) ( ) ( ) Λ ′′−Λ′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+′′−′+−≤ −− LPETQExxREQE
2
1
00
1 . (11)
З означення (9) збурюючої функції, враховуючи (11) та лему 2.1 [1],
маємо, що при ( ) ( ) IDzz ×∈Λ ′′′′Λ′′∀ 000 ,,, справедливі оцінки
( ) ( ) ≤Λ ′′′′∆−Λ′′∆ ,, 00 zz
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 137
( )( ) ( )( ) +′′−′+Λ ′′Λ ′′′′−Λ′Λ′′≤ ∫ 00
0
0
*
0
* 1,,,,,,,,1 xxR
T
dszsxsfzsxsf
T
T
( )( ) ( )( )∫∑ +Λ ′′Λ ′′′′−Λ′Λ′′⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
=
kt
k
q
k
k dzxfzxf
T
t
HA
T 0
0
*
0
*
1
,,,,,,,,11 τττττ
( )( ) ( )( ) ≤
⎥
⎥
⎦
⎤
Λ ′′Λ ′′′′−Λ′Λ′′+ ∫
T
t
k
k
dzxfzxf
T
t
τττττ ,,,,,,,, 0
*
0
*
( ) ( ) ≤′′−′+Λ ′′−Λ′++Λ ′′′′−Λ′′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +≤ 000
*
0
* 1)1(,,,,1 xxR
T
LP
T
EztxztxKP
T
E
( ) ( ) +′′−′⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++≤ −
00
111 xxREQEKP
T
ER
T
( ) .
2
1 1 Λ ′′−Λ′⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++ − LPETQEKEP
T
E
Теорему доведено.
Наступна теорема встановлює необхідні умови розв’язуваності крайо-
вої задачі, тобто умови, необхідні для того, щоб існувала пара ( )**
0 ,Λz , яка
визначає при 0=t початкове значення ( ) ( )*
0001
* ,,,0 zxxx s…= точного
розв’язку задачі (1)–(3).
Теорема 5. Нехай крайова задача (1)–(3) задовольняє умови 1–4 . Тоді
для того, щоб деяка область IDV ′′×′′=′′ 0 містила точку ( )**
0 ,Λz , яка зводить
при *Λ=Λ крайову задачу (1)–(3) до задачі Коші
( )
( ) ( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
Λ=
,,,,0
,,,
*
0001
*
0
*
zxxxx
xtf
dt
dx
s…
необхідно, щоб Ν∈∀m і для ( ) Vz ′′∈Λ∀ ,0 виконувалася нерівність
( ) ( ) ( )
⎩
⎨
⎧
+−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++≤Λ∆ −
′′∈Λ
00
1
),(
0
11sup,
0
xxREQEKP
T
ER
T
z
Vz
m
( ) +
⎭
⎬
⎫
Λ−Λ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++ − LPETQEKEP
T
E
2
1 1
( ) ( )0
11 zQEKQP
T
E m β−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++ . (12)
Доведення. Згідно з теоремою 2 пара ( )**
0 ,Λz є розв’язком визначаль-
ного рівняння
( ) 0, **
0 =Λ∆ z . (13)
І.І. Король
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 4 138
Застосуємо теорему 4 у випадку, коли ( ) ( )Λ=Λ′′ ,, 00 zz , ( ) =Λ ′′′′ ,0z
( )**
0 ,Λ= z , де ( )Λ,0z — довільна точка області V ′′ . Тоді, з урахуванням (13)
маємо
( ) ( ) ( ) +−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++≤Λ∆ − *
00
1
0
11, xxREQEKP
T
ER
T
z
( ) *1
2
1
Λ−Λ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++ − LPETQEKEP
T
E . (14)
З нерівності (10) слідує, що
( ) ( ) ( ) ( )0
1
00
1,, zQEKQP
T
Ezz m
m β−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +≤Λ∆−Λ∆ ,
тобто
( ) ( ) ( ) ( )0
1
00
1,, zQEKQP
T
Ezz m
m β−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++Λ∆≤Λ∆ . (15)
Об’єднуючи нерівності (14) та (15), отримаємо співвідношення (12).
( ) ( ) ( ) +−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++≤Λ∆ − *
00
1
0
11, xxREQEKP
T
ER
T
zm
( ) +Λ−Λ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++ − *1
2
1 LPETQEKEP
T
E
( ) ( )≤−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++ −
0
11 zQEQKP
T
E m β
( ) ( )
⎩
⎨
⎧
+−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++≤ −
′′∈Λ
00
1
),(
11sup
0
xxREQEKP
T
ER
TVz
( ) +
⎭
⎬
⎫
Λ−Λ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++ − LPETQEKEP
T
E
2
1 1
( ) ( )0
11 zQEKQP
T
E m β−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++ .
Теорему доведено.
ВИСНОВКИ
Розглянуто застосування чисельно-аналітичного методу послідовних на-
ближень до дослідження існування та наближеної побудови розв’язків не-
лінійних систем диференціальних рівнянь з параметрами, підпорядкованих
нерозділеним багатоточковим крайовим умовам. Обґрунтовано алгоритм
побудови наближених розв’язків. Встановлено конструктивні необхідні та
достатні умови їх існування.
Інтегрування параметризованих багатоточкових крайових задач
Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 4 139
ЛІТЕРАТУРА
1. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы в теории крае-
вых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. — Киев: Наук.
думка, 1992. — 280 с.
2. Ронто Н.И., Самойленко А.М., Трофимчук С.И. Теория численно-аналити-
ческого метода: достижения и новые направления развития // Укр. мат.
журн. — 1999. — 51, № 7. — С. 960–971.
3. Король І.І. Застосування чисельно-аналітичного методу до дослідження три-
точкових крайових задач з параметрами // Наук. вісн. УжДУ. Сер. Ма-
тематика. — Вип. 3. — 1998. — С. 124–127.
4. Ронто М., Мейсарош Й. Некоторые замечания о сходимости численно-
аналитического метода последовательных приближений // Укр. мат.
журн. — 1996. — 48, № 1. —С. 90–95.
5. Ронто Н.И., Король И.И. Исследование и решение краевых задач с параметра-
ми численно-аналитическим методом // Укр. мат. журн. — 1994. — 46,
№ 8. — С. 1031–1042.
Надійшла 14.07.2008
|