Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале
Отримано достатні умови рівномірної експоненціальної стійкості в цілому стану рівноваги нейронної системи на часовій шкалі. Ефективність отриманих достатніх умов проілюстровано на прикладі....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43724 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале / Т.А. Лукьянова // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 13-18. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-43724 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-437242013-05-16T03:06:54Z Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале Лукьянова, Т.А. Математика Отримано достатні умови рівномірної експоненціальної стійкості в цілому стану рівноваги нейронної системи на часовій шкалі. Ефективність отриманих достатніх умов проілюстровано на прикладі. We present new stability results of neural systems on the time scale. The sufficient conditions of exponential stability are given. The efficiency of the obtained sufficient conditions is tested by a numerical example. 2011 Article Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале / Т.А. Лукьянова // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 13-18. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43724 517.929 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Лукьянова, Т.А. Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале Доповіді НАН України |
| description |
Отримано достатні умови рівномірної експоненціальної стійкості в цілому стану рівноваги нейронної системи на часовій шкалі. Ефективність отриманих достатніх умов проілюстровано на прикладі. |
| format |
Article |
| author |
Лукьянова, Т.А. |
| author_facet |
Лукьянова, Т.А. |
| author_sort |
Лукьянова, Т.А. |
| title |
Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале |
| title_short |
Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале |
| title_full |
Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале |
| title_fullStr |
Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале |
| title_full_unstemmed |
Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале |
| title_sort |
об экспоненциальной устойчивости нейронной сети хопфилда на временной шкале |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43724 |
| citation_txt |
Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале / Т.А. Лукьянова // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 13-18. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT lukʹânovata obéksponencialʹnojustojčivostinejronnojsetihopfildanavremennojškale |
| first_indexed |
2025-07-04T02:10:39Z |
| last_indexed |
2025-07-04T02:10:39Z |
| _version_ |
1836680520243609600 |
| fulltext |
УДК 517.929
© 2011
Т.А. Лукьянова
Об экспоненциальной устойчивости нейронной сети
Хопфилда на временной шкале
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Отримано достатнi умови рiвномiрної експоненцiальної стiйкостi в цiлому стану рiв-
новаги нейронної системи на часовiй шкалi. Ефективнiсть отриманих достатнiх умов
проiлюстровано на прикладi.
Изучению динамики нейронной сети на временной шкале посвящен целый ряд работ. Экспо-
ненциальная устойчивость нейронной сети Коско была рассмотрена в [1, 2]. Случай особой
временной шкалы P1,1 =
∞
⋃
k=0
[2k, 2k+1] изучен в [3]. Устойчивость нейронной сети Хопфилда
общего вида изучена в работах [4–6], где получены условия равномерной асимптотической
и экспоненциальной устойчивости.
Целью данной работы является получение достаточных условий экспоненциальной ус-
тойчивости нейронной сети Хопфилда на временной шкале. В теории динамических урав-
нений на временной шкале существует несколько разных определений такой устойчивости.
В определении экспоненциальной устойчивости, использованном в работах [5, 6], для любой
временной шкалы решения системы оцениваются при помощи функции et. Это определение
совпадает с общепринятым только в случае, когда T = R, в то время как определение 1 дан-
ной работы совпадает с общепринятыми определениями как в непрерывном T = R (и в этом
случае оно эквивалентно определению из работ [5, 6]), так и в дискретном T = Z случаях.
1. Основные обозначения и определения. Временной шкалой T называется про-
извольное непустое замкнутое подмножество множества вещественных чисел R. Основные
понятия и теоремы математического анализа на временной шкале, такие как определе-
ния производной и интеграла, правила дифференцирования и интегрирования, определе-
ние и свойства rd-непрерывной функции, функции скачка σ(t), зернистости µ(t) временной
шкалы, экспоненциальной функции подробно изложены в работах [7, 8]. Приведем только
некоторые самые необходимые понятия и определения.
Функция f : T × R
n → R
n называется регрессивной, если при любом t ∈ T
k оператор
F : Rn → R
n, действующий по формуле Fx = x + µ(t)f(t, x), обратим.
Функция f : T → R называется регрессивной, если 1 + µ(t)f(t) 6= 0 при всех t ∈ T
k
и положительно регрессивной, если 1 + µ(t)f(t) > 0 при всех t ∈ T
k. Множество всех
rd-непрерывных и положительно регрессивных функций f : T → R обозначим через R+.
Через ep(t, t0) будем обозначать экспоненциальную функцию на временной шкале.
В дальнейшем будут необходимы такие свойства экспоненциальной функции.
Теорема 1. Если p ∈ R+, λ ∈ R+, тогда при всех t0 ∈ T и t ∈ [t0,+∞)T:
1) ep(t0, t0) = 1, ep(t, t0) > 0;
2) e∆p (t, t0) = p(t)ep(t, t0);
3) ep(σ(t), t0) = (1 + µ(t)p(t))ep(t, t0);
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 13
4)
1
ep(t, t0)
= e⊖p(t, t0), где ⊖p ∈ R+, (⊖p)(t) = −
p(t)
1 + µ(t)p(t)
;
5) lim
t→+∞
e⊖λ(t, t0) = 0 (см. [9]);
6) если T = R, то e⊖λ(t, t0) = e−λ(t−t0);
7) если T = Z, то e⊖λ(t, t0) = (1 + λ)−(t−t0).
Кроме того, будут необходимы такие свойства ∆-производной.
Теорема 2. Если функции f , g ∆-дифференцируемы в точке t ∈ T
k, то верны следую-
щие утверждения:
1) произведение fg ∆-дифференцируемо в точке t ∈ T
k и
(fg)∆(t) = f∆(t)g(t) + f(σ(t))g∆(t) = f(t)g∆(t) + f∆(t)g(σ(t));
2) f(σ(t)) = f(t) + µ(t)f∆(t);
3) если f∆(t) > 0, то функция f неубывающая на T
k (см. [8, теорема 1.76]).
Обозначим через ‖x‖ =
(
n
∑
i=1
x2i
)1/2
евклидову норму вектора x ∈ R
n, ‖A‖ =
= (λM (ATA))1/2 — норму матрицы A = {aij} ∈ R
n×n, λM (A) — наибольшее собствен-
ное значение матрицы A, [a,+∞)T = {t ∈ T : t > a} при a ∈ T, b = min{b1, b2, . . . , bn},
b = max{b1, b2, . . . , bn}.
Матрица A ∈ R
n×n называется M -матрицей, если все ее внедиагональные элементы
неположительные, а все главные миноры положительные.
2. Нейронная сеть на временной шкале. Рассмотрим нейронную сеть на временной
шкале, динамика которой описывается уравнениями вида
x∆(t) = −Bx(t) + Ts(x(t)) + u, t ∈ Tτ . (1)
Решение x(t; t0, x0) при t = t0 принимает значение x0, т. е.
x(t0; t0, x0) = x0, t0 ∈ Tτ , x0 ∈ R
n. (2)
В системе (1) Tτ = [τ,+∞)T, τ ∈ T, вектор x ∈ R
n характеризует состояние нейронов,
T = {tij} ∈ R
n×n, компоненты tij описывают связи между i-м и j-м нейронами, s : Rn → R
n,
s(x) = (s1(x1), s2(x2), . . . , sn(xn))
T, функция si описывает ответ i-го нейрона, B ∈ R
n×n,
B = diag{b1, b2, . . . , bn}, bi > 0, i = 1, 2, . . . , n, u ∈ R
n — постоянный вектор внешнего входа.
Если T = R, тогда x∆ = d/dt и начальная задача (1)–(2) эквивалентна начальной задаче
для непрерывной нейронной системы типа Хопфилда [10]
dx(t)
dt
= −Bx(t) + Ts(x(t)) + u, t > τ,
x(t0; t0, x0) = x0, t0 > τ, x0 ∈ R
n.
Если T = Z, тогда x∆(k) = x(k+1)−x(k) = ∆x(k), Tτ = {τ, τ +1, τ +2, . . . } и начальная
задача (1)–(2) эквивалентна следующей [11]:
∆x(k) = −Bx(k) + Ts(x(k)) + u, t ∈ Tτ ,
x(k0; k0, x0) = x0, k0 ∈ Tτ , x0 ∈ R
n.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
О системе (1) введем следующие предположения.
S1. Вектор-функция f(x) = −Bx + Ts(x) + u является регрессивной.
S2. Существуют положительные постоянные li > 0, i = 1, 2, . . . , n, такие, что |si(r) −
− si(v)| 6 li|r − v| при всех r, v ∈ R.
Если выполняются предположения S1, S2, то при любых начальных данных (t0, x0) ∈
∈ Tτ × R
n задача (1)–(2) имеет точно одно решение на [t0,+∞)T [8].
В работе [5] получено такое условие регрессивности:
Теорема 3. Пусть выполнено предположение S2. Если при каждом фиксированном
t ∈ T матрица (I−µ(t)B)Λ−1−µ(t)|T | является M -матрицей, то функция f(x) = −Bx+
+ Ts(x) + u регрессивна при любом u ∈ R
n.
Пусть x = x∗ — изолированное состояние равновесия системы (1), L = max{l1, l2, . . . , ln}.
Определение. Состояние равновесия x = x∗ системы (1) называется равномерно экспо-
ненциально устойчивым в целом, если существуют постоянные p > 0, α > 0 и N = N(x0) >
> 0 такие, что ‖x(t; t0, x0)− x∗‖ < N(e⊖p(t, t0))
α при всех x0 ∈ R
n, t0 ∈ Tτ и t ∈ [t0,+∞)T.
В работе [4] приведено такое условие существования равновесия.
Теорема 4. Пусть выполняется предположение S2 и имеет место неравенство b −
− L‖T‖ > 0. Тогда существует состояние равновесия системы (1), и это состояние рав-
новесия единственно.
3. Основной результат. Сделаем замену переменных y(t) = x(t) − x∗ и перепишем
начальную задачу (1)–(2) в виде
y△(t) = −By(t) + Tg(y(t)), t ∈ Tτ , (3)
y(t0; t0, y0) = y0, t0 ∈ Tτ , y0 ∈ R
n, (4)
где y ∈ R
n, g(y) = (g1(y1), g2(y2), . . . , gn(yn))
T, g(y) = s(y + x∗) − s(x∗).
Если для системы (1) выполняются предположения S1, S2, то для системы (3) верны
следующие утверждения.
G1. Вектор-функция g1(y) = −By + Tg(y) является регрессивной.
G2. Существуют положительные постоянные li > 0 такие, что |gi(r) − gi(v)| 6 li|r − v|,
при всех r, v ∈ R, i = 1, 2, . . . , n.
G3. G(0) = 0.
Заметим, что если выполняются условия G1–G3, то при любых начальных данных
(t0, x0) ∈ Tτ×R
n существует единственное решение задачи (3)–(4) при всех t ∈ [t0,+∞)T [8].
Теорема 5. Предположим, что для системы (1) выполняются предположения S1, S2
и существует постоянная µ∗ > 0 такая, что µ(t) 6 µ∗ при всех t ∈ Tτ . Если выполняется
неравенство
2b− 2L‖T‖ − µ∗(b+ L‖T‖)2 > 0, (5)
то существует единственное состояние равновесия системы (1), и это состояние равно-
весия равномерно экспоненциально устойчиво в целом.
Доказательство. Из неравенства (5) следует, что b−L‖T‖ > 0 и, в соответствии с тео-
ремой 4, существует единственное состояние равновесия x = x∗ системы (1).
Покажем его экспоненциальную устойчивость. Поведение состояния x(t) системы (1)
в окрестности состояния равновесия x = x∗ эквивалентно поведению состояния y(t) сис-
темы (3) в окрестности нуля. Для доказательства теоремы применим функцию Ляпунова
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 15
v(t, y) = yTyep(t, t0), где
0 < p < 2b− 2L‖T‖ − µ∗(b+ L‖T‖)2. (6)
Для производной функции v(t, y(t)) имеем выражение
v∆(t, y(t)) = yT(t)y(t)(ep(t, t0))
∆ + [yT(t)y(t)]∆ep(σ(t), t0).
Подставляя
[yT(t)y(t)]∆ = 2yT(t)y∆(t) + µ(t)[y∆(t)]Ty∆(t),
для производной функции v вдоль решений системы (3) получаем
v∆(t, y(t))|(3)=(py(t)Ty(t)+(1+µ(t)p)(2yT(t)y∆(t)+µ(t)[y∆(t)]Ty∆(t)))ep(σ(t), t0)=
= (p‖y(t)‖2 + (1 + µ(t)p)(2yT(t)[−By(t) + Tg(y(t))] +
+ µ(t)‖By(t)− Tg(y(t))‖2))ep(σ(t), t0). (7)
Используя неравенства
yTTg(y) 6 ‖y‖‖T‖‖g(y)‖ 6 ‖y‖‖T‖L‖y‖ = L‖T‖‖y‖2,
‖By − Tg(y)‖2 6 (‖By‖+ ‖T‖‖g(y)‖)2 6 (b+ L‖T‖)2‖y‖2,
продолжим оценку (7)
v∆(t, y(t))|(3) 6 (p‖y(t)‖2 + (1 + µ(t)p)(−2b‖y(t)‖2 + 2L‖T‖‖y(t)‖2 +
+ µ(t)(b+ L‖T‖)2‖y(t)‖2))ep(σ(t), t0) = (p+ (1 + µ(t)p)(−2b+ 2L‖T‖+
+ µ(t)(b+ L‖T‖)2))‖y(t)‖2ep(σ(t), t0). (8)
Рассмотрим квадратный трехчлен ψ(z) = (b + L‖T‖)2z2 − (2b − 2L‖T‖)z + 1. Поскольку
D = (2b − 2L‖T‖)2 − 4(b + L‖T‖)2 = 4(b + b)(b − b − 4L‖T‖) < 0, то ψ(z) > 0 при всех
z ∈ R. Таким образом,
1− µ(t)(2b − 2L‖T‖ − µ(t)(b+ L‖T‖)2) = (b+ L‖T‖)2µ2(t)− (2b− 2L‖T‖)µ(t) + 1 > 0
при всех t ∈ Tτ . Кроме того, при всех t ∈ Tτ
2b− 2L‖T‖ − µ(t)(b+ L‖T‖)2 > 2b− 2L‖T‖ − µ∗(b+ L‖T‖)2 > 0.
Поэтому в силу выбора постоянной p верны неравенства
p < 2b− 2L‖T‖ − µ∗(b+ L‖T‖)2 6 2b− 2L‖T‖ − µ(t)(b+ L‖T‖)2 6
6
2b− 2L‖T‖ − µ(t)(b+ L‖T‖)2
1
6
2b− 2L‖T‖ − µ(t)(b+ L‖T‖)2
1− µ(t)(2b − 2L‖T‖ − µ(t)(b+ L‖T‖)2)
,
откуда получаем
p(1− µ(t)(2b − 2L‖T‖ − µ(t)(b+ L‖T‖)2)) < 2b− 2L‖T‖ − µ(t)(b+ L‖T‖)2,
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
p+ (1 + pµ(t))(−2b+ 2L‖T‖+ µ(t)(b+ L‖T‖)2) < 0.
Продолжая оценку (8), будем иметь
v∆(t, y(t))|(3) 6 0. (9)
Тогда, согласно теореме 1.76 из [8], при всех t ∈ [t0,+∞)T верно неравенство
v(t, y(t))| 6 v(t0, y(t0)).
Учитывая свойства экспоненциальной функции, получаем оценку
‖y(t)‖ 6 ‖y0‖(e⊖p(t, t0))
1/2,
которая выполняется при всех y0 ∈ R
n, t0 ∈ Tτ и t ∈ [t0,+∞)T. Теорема 5 доказана.
4. Численный пример. Рассмотрим трехкомпонентную нейронную сеть вида
x∆(t) = −Bx(t) + Ts(x(t)) + u, (10)
где x = (x1, x2, x3)
T ∈ R
3, b1 = b2 = b3 = 0,5, s(x) = (s1(x1), s2(x2), s3(x3))
T, si(xi) =
= (1/2)
(
|xi + 1| − |xi − 1|
)
, i = 1, 2, 3,
T =
0,1 −0,1 0
0,2 0,1 0,2
0,1 0,3 −0,3
.
Легко видеть, что b = b = 0,5, L = 1, Λ = I, ‖T‖ = 0,43990, и, согласно теореме 4, существует
единственное состояние равновесия системы (10) при любом u ∈ R
3.
Функция −Bx(t) + Ts(x(t)) + u будет регрессивной, если матрица
(I − µ(t)B)Λ−1 − µ(t)|T | =
1− 0,6µ(t) −0,1µ(t) 0
−0,2µ(t) 1− 0,6µ(t) −0,2µ(t)
−0,1µ(t) −0,3µ(t) 1− 0,8µ(t)
является M -матрицей при всех t ∈ Tτ . Отсюда имеем ограничения на зернистость времен-
ной шкалы µ(t) ∈ [0,13386)
⋃
(0,21535; 1,34876).
Неравенство (5) выполняется, если µ∗ < 0,12788. Из всего вышеприведенного делаем
вывод, что если µ(t) < 0,12788 при всех t ∈ Tτ , то для любого u ∈ R
3 существует един-
ственное состояние равновесия системы (10), и это состояние равновесия равномерно экс-
поненциально устойчиво в целом.
Таким образом, в рамках второго метода Ляпунова, получены достаточные условия рав-
номерной экспоненциальной устойчивости в целом состояния равновесия нейронной систе-
мы Хопфилда на временной шкале. При этом использована скалярная функция Ляпунова,
зависящая от времени.
Условия, приведенные в работе [1], предполагают существование параметра p, для кото-
рого должна выполняться система n неравенств, зависящих от времени. Теорема 5 данной
работы дает достаточные условия экспоненциальной устойчивости в виде одного простого
неравенства на коэффициенты и нормы матриц исходной системы. Кроме того, для верхней
границы параметра p получена явная оценка вида (6).
Автор выражает благодарность академику НАН Украины А.А. Мартынюку за по-
становку задачи и обсуждение результатов.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 17
1. Chen A., Du D. Global exponential stability of delayed BAM network on time scale // Neurocomputing. –
2008. – 71. – P. 3582–3588.
2. Li Y., Chen X., Zhao L. Stability and existence of periodic solutions to delayed Cohen–Grossberg BAM
neural networks with impulses on time scales // Ibid. – 2009. – 72. – P. 1621–1630.
3. Zheng F., Zhou Z., Ma C. Periodic solutions for a delayed neural network model on a special time scale //
Appl. Math. Lett. – 2010. – 23. – P. 571–575.
4. Лукьянова Т.А., Мартынюк А.А. Об асимптотической устойчивости нейронной сети на временной
шкале // Нелiнiйнi коливання. – 2010. – 13, № 3. – С. 346–360.
5. Мартынюк А.А., Лукьянова Т.А. Об устойчивости нейронной сети на временной шкале // Доп. НАН
України. – 2010. – № 1. – С. 21–26.
6. Martynyuk A.A., Lukyanova T.A., Rasshyvalova S. N. On stability of Hopfield neural network on time
scales // Nonlin. dynamics and systems theory // Nonlinear Dynamics and systems theory. – 2010. – 10,
No 4. – P. 397–408.
7. Bohner M., Martynyuk A.A. Elements of stability theory of A.M. Liapunov for dynamic equations on time
scales // Ibid. – 2007. – 7, No 3. – P. 225–251.
8. Bohner M., Peterson A. Dynamic equations on time scales: an introduction with applications. – Boston:
Birkhäuser, 2001. – 358 p.
9. Peterson A.C., Raffoul Y.N. Exponential stability of dynamic equations on time scales // Adv. Difference
Equat. – 2005. – 2005, No 2. – P. 133–144.
10. Hopfield J. J. Neurons with graded response have collective computational properties like those of two state
neurons // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. – 1984. – 81. – P. 3088–3092.
11. Feng Z., Michel A.N. Robustness analysis of a class of discrete-time systems with applications to neural
networks // IEEE Trans. Circuits and Syst. – 2003. – 46, No 12. – P. 1482–1486.
Поступило в редакцию 13.12.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
T.A. Lukyanova
On exponential stability of a Hopfield neural network on the time scale
We present new stability results of neural systems on the time scale. The sufficient conditions of
exponential stability are given. The efficiency of the obtained sufficient conditions is tested by a
numerical example.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
|