Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга
Отримано критерій гармонічності грассманового відображення підмноговиду в групі Гейзенберга. Розглянуті приклади, що демонструють зв'язок між гармонійністю цього відображення і властивостями векторного поля середньої кривини. Введено природний клас циліндричних підмноговидів. Доведено, що гіпер...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43726 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга / Е.В. Петров // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 25-29. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-43726 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-437262013-05-16T03:06:59Z Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга Петров, Е.В. Математика Отримано критерій гармонічності грассманового відображення підмноговиду в групі Гейзенберга. Розглянуті приклади, що демонструють зв'язок між гармонійністю цього відображення і властивостями векторного поля середньої кривини. Введено природний клас циліндричних підмноговидів. Доведено, що гіперповерхня постійної середньої кривини з гармонічним гауссовим відображенням є циліндричною. We obtain criteria for the harmonicity of the Gauss map of a submanifold in the Heisenberg group and consider the examples demonstrating the connection between the harmonicity of this map and the properties of the mean curvature field. We introduce a natural class of cylindrical submanifolds and prove that a constant mean curvature hypersurface with harmonic Gauss map is cylindrical. 2011 Article Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга / Е.В. Петров // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 25-29. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43726 514.764.27 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Петров, Е.В. Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга Доповіді НАН України |
| description |
Отримано критерій гармонічності грассманового відображення підмноговиду в групі Гейзенберга. Розглянуті приклади, що демонструють зв'язок між гармонійністю цього відображення і властивостями векторного поля середньої кривини. Введено природний клас циліндричних підмноговидів. Доведено, що гіперповерхня постійної середньої кривини з гармонічним гауссовим відображенням є циліндричною. |
| format |
Article |
| author |
Петров, Е.В. |
| author_facet |
Петров, Е.В. |
| author_sort |
Петров, Е.В. |
| title |
Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга |
| title_short |
Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга |
| title_full |
Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга |
| title_fullStr |
Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга |
| title_full_unstemmed |
Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга |
| title_sort |
гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе гейзенберга |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43726 |
| citation_txt |
Гармоничность грассманова отображения подмногообразий в группе Гейзенберга / Е.В. Петров // Доп. НАН України. — 2011. — № 10. — С. 25-29. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT petrovev garmoničnostʹgrassmanovaotobraženiâpodmnogoobrazijvgruppegejzenberga |
| first_indexed |
2025-07-04T02:10:46Z |
| last_indexed |
2025-07-04T02:10:46Z |
| _version_ |
1836680527662284800 |
| fulltext |
УДК 514.764.27
© 2011
Е.В. Петров
Гармоничность грассманова отображения
подмногообразий в группе Гейзенберга
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
Отримано критерiй гармонiчностi грассманового вiдображення пiдмноговиду в групi
Гейзенберга. Розглянутi приклади, що демонструють зв’язок мiж гармонiйнiстю цього
вiдображення i властивостями векторного поля середньої кривини. Введено природний
клас цилiндричних пiдмноговидiв. Доведено, що гiперповерхня постiйної середньої кри-
вини з гармонiчним гауссовим вiдображенням є цилiндричною.
1. Предварительные сведения. Пусть M — гладкое многообразие, dimM = n, M → N —
его погружение в (n + q)-мерную группу Ли N с левоинвариантной метрикой. Пусть Φ —
грассманово (гауссово в случае гиперповерхности) отображение подмногообразия M , опре-
деляемое переносом в TeN (т. е. в алгебру Ли N группы N) касательного пространства
в соответствующей точке M дифференциалом левого сдвига:
Φ: M → G(n, q); Φ(p) = dLp−1(TpM). (1)
Тут G(n, q) — грассманиан n-мерных векторных подпространств (n+q)-мерного векторного
пространства, точка p отождествляется с ее образом при погружении. Через Lg здесь и далее
обозначаем левый сдвиг на элемент g ∈ M , через dF — дифференциал отображения F .
Это отображение является обобщением классического грассманова (гауссова) отображения
подмногообразия в евклидовом пространстве.
Если (M1, g1), (M2, g2) — гладкие римановы многообразия, то для отображения φ ∈
∈ C∞(M1,M2) энергией φ называется интеграл
E(φ) =
1
2
∫
M1
∑
16i6m
g2(dφ(Ei), dφ(Ei)) dVM ,
где m — размерность M1, E1, . . . , Em — ортонормированный базис касательного к M1 про-
странства, dVM — форма объема метрики g1. Критические точки функционала φ 7→ E(φ)
называются гармоническими отображениями из M1 в M2 (подробнее см. [1]).
В [2] было доказано, что грассманово (гауссово в случае гиперповерхности) отображение
подмногообразия евклидова пространства гармонично тогда и только тогда, когда вектор-
ное поле средней кривизны подмногообразия параллельно. В [3] доказано, что гауссово
отображение гиперповерхности в группе Ли с биинвариантной метрикой гармонично тогда
и только тогда, когда гиперповерхность имеет постоянную среднюю кривизну. В [4] был
получен критерий гармоничности грассманова отображения подмногообразия произволь-
ной группы Ли в терминах второй фундаментальной формы подмногообразия и левоин-
вариантной связности на группе. В [5] были получены критерии гармоничности гауссова
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 25
отображения для гиперповерхностей в нильпотентных группах Ли ступени 2. В частности,
было установлено, что, в отличие от групп с биинвариантной метрикой, сохранение средней
кривизны не эквивалентно гармоничности этого отображения.
Пусть N — (2m + 1)-мерная группа Гейзенберга (см., например, [6]). Такие группы со-
ставляют простейший класс неабелевых нильпотентных групп Ли ступени 2. Группа N
представляет собой пространство R
2m+1 с глобальными координатами x1, . . . , xm, y1, . . . ,
ym, z и базисом левоинвариантных векторных полей
K1 =
∂
∂x1
, . . . , Km =
∂
∂xm
,
L1 =
∂
∂y1
+ x1
∂
∂z
, . . . , Lm =
∂
∂ym
+ xm
∂
∂z
,
Z =
∂
∂z
,
(2)
элементы которого связаны структурными соотношениями
[Ki, Lj ] = δijZ, [Ki,Kj ] = [Li, Lj ] = [Ki, Z] = [Li, Z] = 0 (3)
для 1 6 i, j 6 m. Отметим, что центр Z данной алгебры Ли — одномерное векторное под-
пространство, порожденное Z. Зададим левоинвариантную метрику на N так, что базис (2)
будет ортонормированным. Обозначим через V ортогональное дополнение к Z. Из (3) сле-
дует, что 0 6= [V,V] ⊂ Z. Для любого Z∗ ∈ Z на V можно определить линейный оператор
J(Z∗) с помощью соотношения 〈J(Z∗)X,Y 〉 = 〈[X,Y ], Z∗〉. Заметим, что J(Z)2 = − Id.
2. Критерий гармоничности грассманова отображения. Пусть N — (2m+1)-мер-
ная группа Гейзенберга. Рассмотрим погруженное в N подмногообразие M . Пусть p —
некоторая точка M , Y1, . . . , Yn и Yn+1, . . . , Yn+q — ортонормированные базисы касательно-
го пространства TpM ⊂ TpN и нормального пространства NpM ⊂ TpN соответственно,
выбранные следующим образом:
Ya = Xa, 1 6 a 6 n− 1, n+ 2 6 a 6 n+ q,
Yn = Xn − |Xn+1|Z, Yn+1 = Xn+1 + |Xn|Z,
(4)
где n + q = 2m + 1, X1, . . . ,Xn−1, Xn+2, . . . ,Xn+q — ортонормированная система векто-
ров в V, Xn ∈ V и Xn+1 ∈ V ортогональны к X1, . . . ,Xn−1, Xn+2, . . . ,Xn+q, Xn+1 = λXn
(λ > 0), |Xn|
2 + |Xn+1|
2 = 1. Обозначим через Yi, Xi, Z как векторы касательного про-
странства TpN , так и соответствующие им элементы алгебры Ли N группы N . Через (·)T
и (·)⊥ обозначим проектирование на касательное и нормальное расслоения подмногообра-
зия соответственно. Скалярное произведение, индуцированное метрикой N на касательных
пространствах (в том числе на алгебре Ли этой группы), обозначим через 〈·, ·〉, риманову
связность этой метрики и векторное поле средней кривизны погружения — через ∇ и H
соответственно. Для 1 6 i, j 6 n, n + 1 6 α 6 n + q обозначим через bαij коэффициенты
второй фундаментальной формы B подмногообразия M в точке p относительно введенного
базиса.
Предложение 1. Грассманово отображение гладкого вложенного подмногообразия M
в группе Гейзенберга N с выбранной указанным способом левоинвариантной метри-
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
кой гармонично в точке p тогда и только тогда, когда во введенных выше обозна-
чениях
〈[nH, Yj ], Yα〉 −
(
|Xn+1|
2 +
1
2
)
〈(J(Z)Xj)
T , (J(Z)Xα)
T 〉 −
− |Xn+1|
2〈J(Z)Xj ,Xn〉〈J(Z)Xα,Xn〉+ 2|Xn+1|
∑
16i6n
bαin〈J(Z)Xi,Xj〉 −
− |Xn|
∑
16i6n
bn+1
ij 〈J(Z)Xi,Xα〉+ |Xn+1|
∑
n+16γ6n+q
bγnj〈J(Z)Xγ ,Xα〉 = 0 (5)
для 1 6 j 6 n − 1 и n + 2 6 α 6 n + q;
〈[nH, Yn], Yα〉 −
(
|Xn+1|
2 +
1
2
)
〈(J(Z)Xn)
T , (J(Z)Xα)
T 〉+
+ 2|Xn+1|
∑
16i6n
bαin〈J(Z)Xi,Xn〉 − |Xn|
∑
16i6n
bn+1
in 〈J(Z)Xi,Xα〉+
+ |Xn+1|
∑
n+16γ6n+q
bγnn〈J(Z)Xγ ,Xα〉 = 0 (6)
для n + 2 6 α 6 n + q;
〈[nH, Yj ], Yn+1〉 −
(
|Xn+1|
2 +
1
2
)
〈(J(Z)Xj)
T , (J(Z)Xn+1)
T 〉+
+ 2|Xn+1|
∑
16i6n
bn+1
in 〈J(Z)Xi,Xj〉+ |Xn|
∑
16i6n,n+26γ6n+q
bγij〈J(Z)Xi,Xγ〉+
+ |Xn+1|
∑
n+26γ6n+q
bγnj〈J(Z)Xγ ,Xn+1〉 = 0 (7)
для 1 6 j 6 n − 1; и
〈[nH, Yn], Yn+1〉 −
(
|Xn+1|
2 +
1
2
)
〈(J(Z)Xn)
T , (J(Z)Xn+1)
T 〉+
+
1
2
|Xn+1||Xn|
(
2|Xn+1|
2 − n+ 1 +
∑
16i,k6n
|[Xi,Xk]|
2
)
+
+ 2|Xn+1|
∑
16i6n
bn+1
in 〈J(Z)Xi,Xn〉+ |Xn|
∑
16i6n,n+26γ6n+q
bγin〈J(Z)Xi,Xγ〉+
+ |Xn+1|
∑
n+26γ6n+q
bγnn〈J(Z)Xγ ,Xn+1〉 = 0. (8)
Доказательство предложения основано на применении критерия из [4] к базису (4).
Рассмотрим пример. Пусть 1 6 l 6 k 6 m, l + k = n, 2 6 n 6 2m. Рассмотрим n-мерное
горизонтальное распределение F в N , порожденное векторными полями ∂/∂x1, . . . , ∂/∂xk,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 27
∂/∂y1, . . . , ∂/∂yl. Оно, очевидно, интегрируемо, т. е. порождает некоторое слоение F . Сле-
дующее утверждение является следствием предложения 1.
Предложение 2. Каждый лист F минимален. При этом существуют листы с не-
гармоническим грассмановым отображением.
В частности, мы получили пример подмногообразия с параллельным вектором средней
кривизны (и даже минимального) в N , грассманово отображение которого не является
гармоническим.
3. Цилиндрические подмногообразия. Будем называть подмногообразие M цилинд-
рическим, если в касательном пространстве каждой его точки присутствует значение в этой
точке векторного поля Z. Интегральные траектории поля Z имеют вид z = t, поэтому
если M полно, то M = M1 × R, где M1 — гладкое подмногообразие в подпространстве
z = 0. Рассмотрим на этом (2m)-мерном подпространстве естественную евклидову метрику
с ортонормированным базисом, состоящим из полей ∂/∂xi и ∂/∂yj для 1 6 i, j 6 m. Для
таких подмногообразий из условий предложения 1 следует:
Предложение 3. Пусть M — цилиндрическое. Тогда векторное поле H средней кривиз-
ны M параллельно тогда и только тогда, когда грассманово отображение M гармонично
и (J(Z)H)⊥ = 0.
Здесь под J(Z)H понимается действие соответствующим оператором на вектор, пред-
ставляющий поле H, в каждой точке (этот вектор нормальный, следовательно, ортогонален
значению Z в точке). В частности, из параллельности H будет следовать гармоничность
грассманова отображения. Как следует из предложения 2, эта импликация, вообще говоря,
неверна для подмногообразий в группе Гейзенберга.
Предложение 4. Пусть M = M1×R — полное цилиндрическое подмногообразие. Тогда:
1) M минимально в N тогда и только тогда, когда M1 минимально в E2m;
2) векторное поле H средней кривизны M параллельно тогда и только тогда, когда
векторное поле H1 средней кривизны M1 как подмногообразия евклидова пространства E2m
параллельно и выполняется условие (J(Z)H)⊥ = 0;
3) грассманово отображение M гармонично тогда и только тогда, когда H1 парал-
лельно.
Заметим, что из пункта 3 предложения 4 и результата работы [2] следует, что грассма-
ново отображение M гармонично тогда и только тогда, когда грассманово отображение M1
(как подмногообразия в E2m) гармонично.
4. Случай гиперповерхности. Пусть M — гиперповерхность (n = 2m, q = 1). Пос-
кольку 〈J(Z)H,H〉 = 0 в силу определения J(Z) и нормальное пространство одномерно,
в этом случае в каждой точке либо H = 0 (и тогда J(Z)H = 0), либо вектор J(Z)H является
касательным, поэтому из предложений 3 и 4, а также из замечания в конце п. 3 следует:
Следствие 1. Пусть M — цилиндрическая гиперповерхность. Тогда гауссово отобра-
жение M гармонично тогда и только тогда, когда M имеет постоянную среднюю кри-
визну.
Следствие 2. Пусть M = M1 ×R — полная цилиндрическая гиперповерхность. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
1) гауссово отображение M гармонично;
2) M имеет постоянную среднюю кривизну;
3) гауссово отображение M1 как гиперповерхности в E2m гармонично;
4) M1 имеет постоянную среднюю кривизну в E2m.
Справедлив также следующий результат:
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №10
Теорема 1. Пусть M — гиперповерхность постоянной средней кривизны в группе Гей-
зенберга, гауссово отображение которой гармонично. Тогда M является цилиндрической.
Доказательство теоремы основано на изучении уравнений Гаусса и Кодацци гиперпо-
верхности.
Впервые утверждение теоремы 1 было доказано для частного случая трехмерной груп-
пы Гейзенберга в [5]. Аналогичный трехмерный результат для другого определения гаус-
сова отображения (не совпадающего с гауссовым отображением поверхности в трехмерной
группе Ли) получен в [7]. Из следствия 1 и теоремы 1 следует, что для трех естественных
свойств — сохранения средней кривизны гиперповерхности, гармоничности ее гауссова ото-
бражения и цилиндричности — выполнение любых двух из них влечет за собой выполнение
третьего.
Из теоремы 1 и следствия 2 также следует, что полная гиперповерхность постоянной
средней кривизны с гармоническим гауссовым отображением представляет собой прямое
произведение гиперповерхности постоянной средней кривизны в E2m на вертикальную пря-
мую. В частности, полные поверхности постоянной средней кривизны с гармоническим гаус-
совым отображением в трехмерной группе Гейзенберга представляют собой вертикальные
евклидовы плоскости и прямые вертикальные евклидовы цилиндры.
1. Eells J. J., Sampson H. Harmonic mappings of Riemannian manifolds // Amer. J. Math. – 1964. – 86,
No 1. – P. 109–160.
2. Ruh E.A., Vilms J. The tension field of the Gauss map // Trans. Amer. Math. Soc. – 1970. – 149. –
P. 569–573.
3. do Espirito-Santo N., Fornari S., Frensel K., Ripoll J. Constant mean curvature hypersurfaces in a Lie
group with a bi-invariant metric // Manuscr. Math. – 2003. – 111. – P. 459–470.
4. Petrov Ye. V. Submanifolds with the harmonic Gauss map in Lie groups // J. Math. Phys., Anal., Geom. –
2008. – 4, No 2. – P. 278–293.
5. Petrov Ye. V. The Gauss map of hypersurfaces in 2-step nilpotent Lie groups // Ibid. – 2006. – 2, No 2. –
P. 186–206.
6. Eberlein P. B. Geometry of 2-step nilpotent groups with a left-invariant metric // Ann. Sci. École Norm.
Sup. – 1994. – 27. – P. 611–660.
7. Sanini A. Gauss map of a surface of the Heisenberg group // Boll. Unione Mat. Ital. – 1997. – 11-B(7),
Suppl. Fasc. 2. – P. 79–93.
Поступило в редакцию 20.12.2010Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
E.V. Petrov
Gauss map of submanifolds in the Heisenberg group
We obtain criteria for the harmonicity of the Gauss map of a submanifold in the Heisenberg group
and consider the examples demonstrating the connection between the harmonicity of this map and
the properties of the mean curvature field. We introduce a natural class of cylindrical submanifolds
and prove that a constant mean curvature hypersurface with harmonic Gauss map is cylindrical.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №10 29
|