Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь
Розглядається задача Коші для рівняння теплопровідності, яка полягає у відновленні температурного поля на основі температури і теплового потоку на частині границі. Для одержання регуляризованого розв'язку застосовується метод типу Ландвебера, який поширюється на випадок частково необмежених обл...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43813 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь / В. Г. Вавричук, Р.С. Хапко // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 7-14. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-43813 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-438132013-05-19T03:09:10Z Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь Вавричук, В.Г. Хапко, Р.С. Математика Розглядається задача Коші для рівняння теплопровідності, яка полягає у відновленні температурного поля на основі температури і теплового потоку на частині границі. Для одержання регуляризованого розв'язку застосовується метод типу Ландвебера, який поширюється на випадок частково необмежених областей. Для розв'язування прямих початково-крайових коректних задач, які виникають на кожній ітерації методу, пропонується метод граничних інтегральних рівнянь з використанням функцій Гріна та часткової дискретизації за часовою змінною. Ефективність і стійкість запропонованого методу підтверджується чисельними експериментами. We consider a Cauchy problem for the heat equation in a semiinfinite domain, where the temperature field is to be reconstructed from the temperature and a heat flux given on a part of the boundary. A Landweber-type method is extended for this case. As a result, a sequence of mixed well-posed problems is solved at each iteration step to obtain a stable approximation to the original Cauchy problem. We developed an efficient boundary integral equation method for the numerical solution of these mixed problems, based on the Rothe's method and Green's function technique. Numerical experiments are presented with noisy data, showing the efficiency and the stability of the proposed numerical procedure. 2011 Article Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь / В. Г. Вавричук, Р.С. Хапко // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 7-14. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43813 519.6 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Вавричук, В.Г. Хапко, Р.С. Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь Доповіді НАН України |
| description |
Розглядається задача Коші для рівняння теплопровідності, яка полягає у відновленні температурного поля на основі температури і теплового потоку на частині границі. Для одержання регуляризованого розв'язку застосовується метод типу Ландвебера, який поширюється на випадок частково необмежених областей. Для розв'язування прямих початково-крайових коректних задач, які виникають на кожній ітерації методу, пропонується метод граничних інтегральних рівнянь з використанням функцій Гріна та часткової дискретизації за часовою змінною. Ефективність і стійкість запропонованого методу підтверджується чисельними експериментами. |
| format |
Article |
| author |
Вавричук, В.Г. Хапко, Р.С. |
| author_facet |
Вавричук, В.Г. Хапко, Р.С. |
| author_sort |
Вавричук, В.Г. |
| title |
Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь |
| title_short |
Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь |
| title_full |
Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь |
| title_fullStr |
Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь |
| title_sort |
про чисельне розв'язування задачі коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43813 |
| citation_txt |
Про чисельне розв'язування задачі Коші для рівняння теплопровідності в частково необмежених областях на основі інтегральних рівнянь / В. Г. Вавричук, Р.С. Хапко // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 7-14. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT vavričukvg pročiselʹnerozvâzuvannâzadačíkošídlârívnânnâteploprovídnostívčastkovoneobmeženihoblastâhnaosnovííntegralʹnihrívnânʹ AT hapkors pročiselʹnerozvâzuvannâzadačíkošídlârívnânnâteploprovídnostívčastkovoneobmeženihoblastâhnaosnovííntegralʹnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-04T02:13:56Z |
| last_indexed |
2025-07-04T02:13:56Z |
| _version_ |
1836680726954639360 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2011
МАТЕМАТИКА
УДК 519.6
© 2011
В.Г. Вавричук, Р.С. Хапко
Про чисельне розв’язування задачi Кошi
для рiвняння теплопровiдностi в частково необмежених
областях на основi iнтегральних рiвнянь
(Представлено академiком НАН України В. Л. Макаровим)
Розглядається задача Кошi для рiвняння теплопровiдностi, яка полягає у вiдновленнi
температурного поля на основi температури i теплового потоку на частинi грани-
цi. Для одержання регуляризованого розв’язку застосовується метод типу Ландвебера,
який поширюється на випадок частково необмежених областей. Для розв’язування пря-
мих початково-крайових коректних задач, якi виникають на кожнiй iтерацiї методу,
пропонується метод граничних iнтегральних рiвнянь з використанням функцiй Грiна
та часткової дискретизацiї за часовою змiнною. Ефективнiсть i стiйкiсть запропоно-
ваного методу пiдтверджується чисельними експериментами.
Постановка задачi. Нехай задано канонiчну частково необмежену область D0 ⊂ R2 з гра-
ницею Γ0 i обмежену однозв’язну область D1 ⊂ D0 з достатньо гладкою границею Γ1
(рис. 1). Нехай D = D0 \ D1, T > 0, c > 0 — вiдомi константи i ν — одиничний вектор
зовнiшньої нормалi до вiдповiдної границi. Розглядається задача Кошi для рiвняння тепло-
провiдностi, яка полягає у вiдновленнi температурного поля за даними Кошi на частинi
границi областi
Рис. 1. Частково необмежена область з включенням
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 7
1
c
∂u
∂t
= ∆u в D × (0, T ),
u = f1 на Γ0 × (0, T ),
∂u
∂ν
= f2 на Γ0 × (0, T ),
u(x, 0) = 0 для x ∈ D,
(1)
де f1 i f2 — вiдомi достатньо гладкi функцiї. Тут i надалi вважатимемо, що розв’язок
рiвняння теплопровiдностi має задовольняти умову регулярностi на нескiнченностi u(x, t) →
→ 0, |x| → ∞ рiвномiрно у всiх напрямках i для всiх t ∈ (0, T ).
Оскiльки така задача є некоректною в сенсi вiдсутностi стiйкостi розв’язку за вхiдними
даними, то її не можна розв’язати традицiйними чисельними методами. Застосування стан-
дартної регуляризацiї Тихонова приводить до змiни оператора задачi, натомiсть наведений
в [1] iтерацiйний метод, який грунтується на методi Ландвебера, позбавлений цього недолi-
ку. На кожнiй iтерацiї методу розв’язуються певнi прямi початково-крайовi задачi. В данiй
роботi цi iдеї поширюються на випадок частково необмежених областей з обмеженим вклю-
ченням на площинi. Зважаючи на те, що розглядається однорiдне параболiчне рiвняння,
використання iнтегральних рiвнянь дає можливiсть понизити розмiрнiсть вiдповiдних поча-
тково-крайових задач. Спершу здiйснюється часткова дискретизацiя нестацiонарної задачi
методом Роте за часовою змiнною [2, 3]. В результатi отримується послiдовнiсть стацiонар-
них елiптичних задач. Далi, шляхом побудови спецiальної послiдовностi функцiй Грiна для
елiптичних рiвнянь, стацiонарнi задачi у частково необмеженiй областi D редукуються до
iнтегральних рiвнянь по границi включення Γ1. Повна дискретизацiя методом квадратур [4]
приводить до послiдовностi систем лiнiйних рiвнянь з однаковою матрицею i рекурентними
правими частинами.
Iтерацiйний метод. Поставимо за мету визначити u|Γ1×(0,T ). Переформулюємо зада-
чу Кошi у виглядi операторного рiвняння, для цього введемо такi оператори. Оператор
K : L2(Γ1 × (0, T )) → L2(Γ0 × (0, T )) визначається як Kη := u|Γ0×(0,T ), де u — розв’язок
мiшаної початково-крайової задачi
1
c
∂u
∂t
= ∆u в D × (0, T ),
u = η на Γ1 × (0, T ),
∂u
∂ν
= 0 на Γ0 × (0, T ),
u(x, 0) = 0 для x ∈ D.
Також оператор G : L2(Γ0 × (0, T )) → L2(Γ0 × (0, T )) визначається як Gψ := u|Γ0×(0,T ), де
u — розв’язок такої мiшаної початково-крайової задачi:
1
c
∂u
∂t
= ∆u в D × (0, T ),
u = 0 на Γ1 × (0, T ),
∂u
∂ν
= ψ на Γ0 × (0, T ),
u(x, 0) = 0 для x ∈ D.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Використовуючи формулу Грiна, можна показати, що спряжений оператор K∗ : L2(Γ0 ×
× (0, T )) → L2(Γ1 × (0, T )) має вигляд K∗ζ = −
∂
∂ν
v
∣∣∣∣
Γ1×(0,T )
, де v визначається з мiшаної
початково-крайової задачi
1
c
∂v
∂t
= −∆v в D × (0, T ),
v = 0 на Γ1 × (0, T ),
∂v
∂ν
= ζ на Γ0 × (0, T ),
v(x, T ) = 0 для x ∈ D.
(2)
Таким чином, задача (1) еквiвалентна операторному рiвнянню Kη = f1 − Gf2. Вико-
ристовуючи подання оператора K через функцiю Грiна для задачi Дiрiхле, аналогiчно ви-
падку обмежених областей [1, 5], можна показати, що вiн є компактний, як iнтегральний
оператор з неперервним ядром. Через те для розв’язання операторного рiвняння потрiбно
застосовувати регуляризуючий метод; як такий розглянемо метод Ландвебера [1, 5, 6]
ηk = ηk−1 − γLK
∗(Kηk−1 +Gf2 − f1), (3)
де γL > 0 — параметр релаксацiї; η0 — довiльне початкове наближення. Як критерiй зу-
пинки iтерацiйного процесу може використовуватися принцип нев’язки. Питання чисель-
ного розв’язування прямих задач, якi виникають на кожнiй iтерацiї даного методу, розгля-
нуто нижче. При цьому для розв’язування спряженої задачi (2) використовується замiна
v(x, t) = u(x, T − t). Вiдповiдно до загальної теорiї [6] справедливим є такий результат про
збiжнiсть.
Теорема 1. Нехай f1, f2 ∈ L2(Γ0 × (0, T )) i u — розв’язок задачi Кошi (1). Якщо 0 <
< γL < 1/‖K‖2, то для uk з iтерацiйного процесу (3) має мiсце збiжнiсть
lim
k→∞
‖u− uk‖L2(Ω×(0,T )) = 0
для будь-якого початкового наближення η0 ∈ L2(Γ1 × (0, T )).
Нескладно пересвiдчитися, що на кожнiй iтерацiї методу Ландвебера необхiдно розв’я-
зувати двi прямi мiшанi початково-крайовi задачi Дiрiхле–Неймана для рiвняння тепло-
провiдностi.
Чисельне розв’язування прямих задач. Розглянемо мiшану початково-крайову за-
дачу Дiрiхле–Неймана
1
c
∂u
∂t
= ∆u в D × (0, T ),
u = g1 на Γ1 × (0, T ),
∂u
∂ν
= g0 на Γ0 × (0, T ),
u(x, 0) = 0 для x ∈ D.
Для чисельного розв’язування скористаємося поєднанням методу Роте i граничних iнте-
гральних рiвнянь [2, 3]. Вводимо на [0, T ) рiвновiддалений подiл tn = (n+1)h, h = T/(N+1),
тодi un(x) ≈ u(x, tn), gℓn(x) = gℓ(x, tn) i u−1 = gℓ,−1 = 0, де n = 0, . . . , N − 1, ℓ = 0,1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 9
Пiсля використання скiнченно-рiзницевої апроксимацiї похiдної за часом одержуємо по-
слiдовнiсть N стацiонарних мiшаних задач
∆un − γ2un =
n−1∑
m=0
βn−mum в D, (4)
un = g1n на Γ1,
∂un
∂ν
= g0n на Γ0, (5)
де γ > 0 i βi — вiдомi коефiцiєнти. На нескiнченностi вимагатимемо забезпечення умови
регулярностi un(x) → 0 при |x| → ∞ рiвномiрно у всiх напрямках.
Означення 1. Послiдовнiсть функцiй Φn, n = 0, . . . , N − 1 називається фундаменталь-
ним розв’язком системи рiвнянь (4), якщо
∆xΦn(x, y)−
n∑
m=0
βn−mΦm(x, y) = δ(x− y).
Теорема 2. Функцiї
Φn(x, y) =
1
2π
{K0(γ|x− y|)vn(|x− y|) +K1(γ|x− y|)wn(|x− y|)}
при n = 0, . . . , N−1 є фундаментальним розв’язком (4) в сенсi означення 1. Тут K0 i K1 —
модифiкованi функцiї Бесселя другого роду, а vn, wn — вiдомi полiноми, коефiцiєнти anm
яких рекурсивно визначаються через γ i βn (див. [2]).
Зауважимо, що в [7] знайдено дещо iншi подання для Φn, обчислення яких здiйснює-
ться за рекурентними формулами. Для зведення мiшаних стацiонарних задач до граничних
iнтегральних рiвнянь введемо поняття послiдовностi функцiй Грiна.
Означення 2. Функцiї Nn при n = 0, . . . , N − 1 називають послiдовнiстю функцiй
Грiна для задачi Неймана для системи елiптичних рiвнянь (4) в областi D0, якщо ∀x, y ∈
∈ D0, Nn(x, y) є фундаментальним розв’язком в сенсi означення 1; ∀x ∈ D0 та ∀ y ∈ Γ0
справджується
∂Nn
∂ν(y)
(x, y) = 0.
Для рiвнянь (4) має мiсце аналог формул Грiна.
Теорема 3. Розв’язок un задачi Неймана для послiдовностi елiптичних рiвнянь в D0
виражається як
un(x) =
n∑
m=0
∫
Γ0
[
∂um
∂ν
(y)−
∂um−1
∂ν
(y)
]
Nn−m(x, y) ds(y).
Доведення. Iдея доведення полягає у застосуваннi до un(y) та Nn(·, y) аналогу другої
формули Грiна та використаннi властивостей функцiй Nn.
Теорема 4. Функцiї Грiна для задачi Неймана для послiдовностi елiптичних рiвнянь
мають вигляд
Nn(x, y) = Φn(x, y) + φn(x, y),
де Φn — фундаментальний розв’язок, а φn визначається з граничних задач
∆yφn(x, y)−
n∑
m=0
βn−mφm(x, y) = 0 в D0,
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
∂φn(x, y)
∂ν(y)
= −
∂Φn(x, y)
∂ν(y)
на Γ0.
Подамо розв’язок un мiшаної задачi (4), (5) у виглядi
un(x) =
n∑
m=0
∫
Γ1
ϕm(y)Nn−m(x, y) ds(y) + ωn(x),
де ϕn — невiдомi густини i
ωn(x) =
n∑
m=0
∫
Γ0
[g0m(y)− g0,m−1(y)]Nn−m(x, y) ds(y).
Пiсля застосування теореми 3 та теореми про неперервнiсть потенцiалу простого шару в R2
одержимо послiдовнiсть iнтегральних рiвнянь
∫
Γ1
ϕn(y)N0(x, y) ds(y) = g1n(x)− ωn(x)−
n−1∑
m=0
∫
Γ1
ϕm(y)Nn−m(x, y) ds(y), x ∈ Γ1. (6)
Iнтегральнi рiвняння (6) є коректними у вiдповiдних просторах Гьольдера або Соболє-
ва [2, 3]. Нехай Γ1 має параметричне подання Γ1 = {x(s) = (x1(s), x2(s)), s ∈ [0, 2π]}.
Параметризацiя iнтегральних рiвнянь та видiлення логарифмiчної особливостi в ядрах iн-
тегральних операторiв (6) приводить до послiдовностi рiвнянь
1
2π
2π∫
0
µn(σ)
[
H00(s, σ)ln
4
e
sin2
s− σ
2
+H01(s, σ)
]
dσ = Gn(s), (7)
де µn(σ) = ϕn(x(σ))|x
′(σ)|. Правi частини мають вигляд
Gn(s) = g1n(s)− ωn(s)−
1
2π
n−1∑
m=0
2π∫
0
µm(σ)
[
Hn−m,0(s, σ)ln
4
e
sin2
s− σ
2
+Hn−m,1(s, σ)
]
dσ.
Тут g1n(s) = g1n(x(s)), ωn(s) = ωn(x(s)) i ядра iнтегральних операторiв
Hn0(s, σ) = −
1
2
I0(γ|r(s, σ)|)vn(|r(s, σ)|) +
1
2
I1(γ|r(s, σ)|)wn(|r(s, σ)|),
Hn1(s, σ) = Hn(s, σ)−Hn0(s, σ)ln
4
e
sin2
s− σ
2
,
де Hn(s, σ) = Nn(x(s), x(σ)), r(s, σ) = x(s) − x(σ). Функцiю Hn1(s, σ) можна неперервно
довизначити при s = σ як
Hn1(s, s) = −
1
2
ln
eγ2|x′(s)|2
4
− CE +
an1
γ
+ φn(x(s), x(s)),
де CE — константа Ейлера; an1 — коефiцiєнт полiнома wn.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 11
Для подальшої дискретизацiї методу введемо рiвновiддалений подiл sj = σj = jπ/M ,
M ∈ N. При обчисленнi iнтегралiв у послiдовностi iнтегральних рiвнянь (7) скористаємося
тригонометричними квадратурами
1
2π
2π∫
0
f(σ)dσ ≈
1
2M
2M−1∑
j=0
f(σj),
1
2π
2π∫
0
f(σ)ln
4
e
sin2
s− σ
2
dσ ≈
1
2M
2M−1∑
j=0
Rj(s)f(σj),
(8)
де Rj — вiдомi ваговi функцiї [8]. Iнтеграли в ωn обчислюються за допомогою квадратур
на основi sink-апроксимацiї, а також конформних вiдображень.
Остаточно, застосувавши метод поточкової колокацiї, одержимо послiдовнiсть систем
лiнiйних рiвнянь
2M−1∑
j=0
µ̃nj
{
R|j−k|H00(sk, sj) +
1
2M
H01(sk, sj)
}
= G1
nk,
де µ̃nj ≈ µn(sj), Rj = Rj(0), G
1
nk — вiдомi правi частини.
Питання збiжностi та оцiнки похибки такої чисельної схеми розв’язування iнтегральних
рiвнянь розглянуто в [4].
Iтерацiйний метод вимагає обчислення розв’язку та його нормальної похiдної на грани-
цi. Враховуючи поведiнку потенцiалу простого шару при переходi через границю, розв’я-
зок un можна неперервно продовжити на Γ0. Натомiсть на Γ1, використовуючи теорему
про стрибок нормальної похiдної потенцiалу простого шару при переходi через границю,
одержимо
∂un
∂ν
(x) = −
1
2
n∑
m=0
ϕm(x) +
n∑
m=0
∫
Γ1
ϕm(y)
∂Φn−m(x, y)
∂ν(x)
ds(y) +
∂ωn(x)
∂ν(x)
, x ∈ Γ1.
Пiсля параметризацiї та видiлення логарифмiчної особливостi в ядрi дане спiввiдношення
матиме вигляд
∂un
∂ν
(x(s)) =
1
2π
n∑
m=0
2π∫
0
µm(σ)[H̃11
n−m,0(s, σ)ln
4
e
sin2
s− σ
2
+ H̃11
n−m,1(s, σ)]dσ −
−
1
2
n∑
m=0
µm(s)
|x′(s)|
+
∂ωn(x(s))
∂ν(x(s))
, s ∈ [0, 2π].
Тут функцiї H̃11
n0 i H̃11
n1 є неперервними, тому при чисельнiй реалiзацiї можна використати
тригонометричнi квадратури (8).
Чисельнi експерименти. Розглянемо задачу Кошi в смузiD0 з границею Γ0 = Γ1
0
⋃
Γ2
0,
де Γ1
0 = {(t, 0), t ∈ R}, Γ2
0 = {(t, π), t ∈ R}, i включенням D1, обмеженим кривою Γ1 =
= {x(s) =
√
cos s+ 0,25 sin s(cos s, sin s), s ∈ [0, 2π]}, вибравши параметри T = c = 1. Як
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
Рис. 2. Чисельнi результати для випадку смуги: а — точний розв’язок; б — наближений розв’язок
точний розв’язок покладемо u(x(s), t)|Γ1×(0,T ) = − sin(t) cos(s). Далi, маючи u|Γ1×(0,T ) та
вибравши f2 = 0, згенеруємо f1 як розв’язок вiдповiдної прямої задачi Дiрiхле–Неймана,
при цьому в значення f1 випадковим чином вноситься 5% збурення. Результати роботи
iтерацiйного процесу зображенi на рис. 2, параметри дискретизацiї при розв’язуваннi прямої
задачi вибранi таким чином: N = 9, M = 32, M∞ = 100, а параметр γL = 2,5.
Як бачимо, незважаючи на внесений шум у вхiднi данi, вдалося одержати придатну
реконструкцiю граничних значень. При цьому завдяки ефективнiй реалiзацiї розв’язування
прямих задач є можливiсть здiйснити велику кiлькiсть iтерацiй методу Ландвебера для
досягнення кращої точностi.
1. Bastay G., Kozlov V.A., Turesson B.O. Iterative methods for an inverse heat conduction problem //
J. Inverse Ill-posed Probl. – 2001. – 9. – P. 375–388.
2. Chapko R., Kress R. Rothe’s method for the heat equation and boundary integral equations // J. Integral
Equations Appl. – 1997. – 9. – P. 47–69.
3. Chapko R., Vavrychuk V.G. On the numerical solution of a mixed initial boundary value problem for
the heat equation in a double-connected planar domain // J. Numer. Appl. Math. – 2009. – 97. –
P. 26–38.
4. Chapko R., Kress R. On a quadrature method for a logarithmic integral equation of the first kind //
Agarwal, ed., World Scientific Series in Applicable Analysis. Contributions in Numerical Mathematics,
Vol. 2. – Singapore: World Scientific, 1993. – P. 127–140.
5. Johansson B.T. An iterative method for a Cauchy problem for the heat equation // IMA J. Appl. Math. –
2006. – 71. – P. 262–286.
6. Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. – Dordrecht: Kluwer, 1996. –
332 p.
7. Gavrilyuk I., Makarov V. An explicit boundary integral representation of the solution of the two-dimensional
heat equation and its discretization // J. Integral Equations Appl. – 2000. – 12. – P. 63–83.
8. Kress R. Linear integral equations. – Heidelberg: Springer, 1999. – 388 p.
Надiйшло до редакцiї 17.01.2011Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 13
V.G. Vavrychuk, R. S. Chapko
On the numerical solution of a Cauchy problem for the heat equation in
semiinfinite domains based on integral equations
We consider a Cauchy problem for the heat equation in a semiinfinite domain, where the tem-
perature field is to be reconstructed from the temperature and a heat flux given on a part of the
boundary. A Landweber-type method is extended for this case. As a result, a sequence of mixed
well-posed problems is solved at each iteration step to obtain a stable approximation to the original
Cauchy problem. We developed an efficient boundary integral equation method for the numerical
solution of these mixed problems, based on the Rothe’s method and Green’s function technique.
Numerical experiments are presented with noisy data, showing the efficiency and the stability of
the proposed numerical procedure.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11
|