К критерию при многократном выборе решения

Отримано розв'язок проблеми невизначеності задачі багаторазових рішень для досить широкого класу правил вибору переваг в системі прийняття рішень у вигляді переваг на рішеннях, які задаються функцією корисності, параметрично залежної від опуклої статистичної закономірності на множині станів і ф...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Михалевич, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2011
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Інформатика та кібернетика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43823
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	К критерию при многократном выборе решения / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 49-53. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-43823
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-438232013-05-19T03:09:45Z К критерию при многократном выборе решения Михалевич, В.М. Інформатика та кібернетика Отримано розв'язок проблеми невизначеності задачі багаторазових рішень для досить широкого класу правил вибору переваг в системі прийняття рішень у вигляді переваг на рішеннях, які задаються функцією корисності, параметрично залежної від опуклої статистичної закономірності на множині станів і функції корисності на наслідках, що визначається з точністю до додатного лінійного перетворення. We obtain a solution of the fundamental problem of multiple solutions for a sufficiently broad class of rules of choosing preferences in decision-making systems without memory with a criterion which bijectively corresponds to a convex statistical regularity on the set of states and the utility function on the consequences, which is determined up to a positive linear transformation. 2011 Article К критерию при многократном выборе решения / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 49-53. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43823 519.81 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Михалевич, В.М. К критерию при многократном выборе решения Доповіді НАН України
description	Отримано розв'язок проблеми невизначеності задачі багаторазових рішень для досить широкого класу правил вибору переваг в системі прийняття рішень у вигляді переваг на рішеннях, які задаються функцією корисності, параметрично залежної від опуклої статистичної закономірності на множині станів і функції корисності на наслідках, що визначається з точністю до додатного лінійного перетворення.
format	Article
author	Михалевич, В.М.
author_facet	Михалевич, В.М.
author_sort	Михалевич, В.М.
title	К критерию при многократном выборе решения
title_short	К критерию при многократном выборе решения
title_full	К критерию при многократном выборе решения
title_fullStr	К критерию при многократном выборе решения
title_full_unstemmed	К критерию при многократном выборе решения
title_sort	к критерию при многократном выборе решения
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/43823
citation_txt	К критерию при многократном выборе решения / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2011. — № 11. — С. 49-53. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT mihalevičvm kkriteriûprimnogokratnomvyborerešeniâ
first_indexed	2025-07-04T02:14:32Z
last_indexed	2025-07-04T02:14:32Z
_version_	1836680765214031872
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 11 • 2011 IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА УДК 519.81 © 2011 В.М. Михалевич К критерию при многократном выборе решения (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Чикрием) Отримано розв’язок проблеми невизначеностi задачi багаторазових рiшень для досить широкого класу правил вибору переваг в системi прийняття рiшень у виглядi переваг на рiшеннях, якi задаються функцiєю корисностi, параметрично залежної вiд опуклої статистичної закономiрностi на множинi станiв i функцiї корисностi на наслiдках, що визначається з точнiстю до додатного лiнiйного перетворення. Рассмотрим многократный выбор решения для задач решения (ЗР) в необайесовской фор- ме, определяемых в [1]. Напомним некоторые определения. Для произвольного векторного пространства V введем отношение эквивалентности ( co ≈) на 2V следующим образом. Для любых X,Y ⊆ V X co ≈ Y ⇔ coX = coY. (1) Определение 1. Статистической закономерностью на Θ, где Θ — произвольное мно- жество с заданной алгеброй подмножества Σ (если Σ не задается, то считается, по умол- чанию, что Σ = 2Θ) называется всякое непустое замкнутое множество P в топологии τ(Θ) пространства PF (Θ) := {p ∈ ([0, 1])Σ : p(Θ) = 1, p(C ⋃ D) = p(C) + p(C \D),∀C,D ∈ Σ} (2) всех аддитивных вероятностных мер на Θ, являющейся следом * — слабой топологии в со- пряженном к банаховому пространству BΣ(Θ) с нормой ‖f‖ := sup θ∈Θ \|f(Θ)\|. Семейство всех статистических закономерностей на Θ будем обозначать P (Θ). Ясно, что в топологии τ(Θ) пространство PF (Θ) компактно. Рассмотрим класс ССЗР с заданными отношениями предпочтений на соответствую- щих множествах последствий. Тогда каждой такой параметрической ССЗР этого класса соответствует упорядоченная четверка вида Z := ((X,<),Θ, U, g), где (<) — соответству- ющее отношение предпочтения на последствиях этой СЗР. Через Z обозначим класс всех ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 49 ССЗР вида Z. Также введем обозначения: Z((X,<)) := {((X,<), ·, ·, ·) ∈ Z}, Z((X,<),Θ) := = {((·, ·),Θ, ·, ·) ∈ Z(X,<)}. Определение 2. Проекцией ССЗР класса Z называется такое отображение Πp: Z −→ Z, что для любой ССЗР ((X,<),Θ, U, g) ∈ Z имеем Πp(((X,<),Θ, U, g) = (X,Θ, U, g). Рассмотрим теперь задачу многократных решений (ЗМР) в классе ССЗР Z(Y,Θ) (см. [1]). Определение 3. Моделью ПВП для ЗМР, сокращенно МПВП (Ω-параметрической МПВП, сокращенно Ω-МПВП) в Z′(X,Θ) ⊆ Z(X,Θ) будем называть конечную совоку- пность условий (аксиом) У на ПВП в ЗМР для Z′(X,Θ), которые задают единственный ПВП (в зависимости от параметра ω ∈ Ω, где Ω — множество значений параметра ω), и обозначать [Y] для ЗМР в классе Z′(Y,Θ) (с параметром ω ∈ Ω). Определим класс ПВП в ЗМР для Z′(Y,Θ) ⊆ Z(Y,Θ), который будем обозначать через Π∞ 0 (Z′(Y,Θ)), как подкласс всех таких ПВП π ∈ Π∞(Z′(Y,Θ)), что для любой определяющей ССЗР Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z′(Y,Θ) (см. [1]) выполняются условия: Y1) если Zi = (Y,Θ, Ui, gi) ∈ Z′(Y,Θ), i = 1, 2, то a) (Y,<Z1 ) = (Y,<Z2 ) =: (Y,<) — невырожденное, т. е. не для всех y1, y2 ∈ Y выпол- няется y1 < y2, б) из (y1)Θ < ∗ Z (y2)Θ следует y1 < y2 ∀ y1, y2 ∈ Y , в) из u1, v1 ∈ U1, u2, v2 ∈ U2, g1(θ, u1) = g2(θ, u2), g1(θ, v1) = g2(θ, v2) ∀ θ ∈ Θ, u1 < ∗ Z1 v1 следует u2 < ∗ Z2 v2; Y2) (U∞,<∗ Z) — нестрогий порядок; Y3) если ui ∈ U , i = 1, 2, y ∈ Y , u1 ≻∗ Z u2, α ∈ (0, 1), то αu1 + (1− α)yΘ ≻∗ Z αu2 + (1− α)yΘ; Y4) если ui ∈ U , i = 1, 3, u1 ≻∗ Z u2 ≻∗ Z u3, то найдутся такие α, β ∈ (0, 1), что αu1 + (1− α)u3 ≻ ∗ Z u2 ≻ ∗ Z βu1 + (1− β)u3; Y5) если u, v ∈ U∞, u = k ∑ i=1 © ui, v = l ∑ j=1 © vj и k ∑ i=1 © g(θ, ui) <Z l ∑ j=1 © g(θ, vj) для любых k, l ∈ N, θ ∈ Θ, то u < ∗ Z v; Y6) если ui ∈ U , yi ∈ Y , i = 1, 2, то u1 ⊕ u2 ∼ ∗ Z u2 ⊕ u1, y1 ⊕ y2∼Z y2 ⊕ y1; Y7) если ui ∈ U∞, yi ∈ Y ∞, i = 1, 4, то из u1∼ ∗ Z u2 следует, что u3 ⊕ u1 < ∗ Z u4 ⊕ u2 равносильно u3 < ∗ Z u4, а из y1∼ ∗ Z y2 следует, что y3 ⊕ y1 < ∗ Z y4 ⊕ y2 равносильно y3 < ∗ Z y4; Y8) если ui ∈ U∞, yi ∈ Y ∞, i = 1, 4, то из u1 < ∗ Z u2 следует, что найдется такое натуральное n, для которого (n⊗ u1)⊕ u3 ≻ ∗ Z (n⊗ u2)⊕ u4, а из y1 < ∗ Z y2 следует, что найдется такое натуральное n, для которого (n⊗ y1)⊕ y3 ≻ ∗ Z (n⊗ y2)⊕ y4; 50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11 Y9) если ui ∈ U , i = 1, 3, то из g(θ, u1)⊕ g(θ, u2)∼Z 2⊗ g(θ, u3) ∀ θ ∈ Θ (3) следует, что 2⊗ u3 < ∗ Z u1 ⊕ u2. (4) Далее для произвольного непустого множества A определим в функциональном про- странстве RA отношение эквивалентности ( m ≈) следующим образом. Для любых f , g ∈ RA f m ≈ g ⇔ f = mg, m ∈ R, m > 0. (5) Введем в рассмотрение соответствие χ∞ Z′(Y,Θ) из RX/ m ≈ ×P (Θ)/ co ≈ в Π∞(Z′(Y,Θ)), где P (Θ) — семейство всех статистических закономерностей на Θ, а ( co ≈) — эквивалентность, введенная согласно (1). Это соответствие определяется следующим образом. Если ω ∈ ∼ ω∈ ∈ RX/ m ≈, P ∈ ∼ P∈ P (Θ)/ co ≈, Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z′(Y,Θ) ⊆ Z(Y,Θ), то χ∞ Z′(Y,Θ)(ω,P ) := = (χ∞ 1Z′(Y,Θ)(ω,P ), χ∞ 2Z′(Y,Θ)(ω,P )), а [χ∞ 1Z′(Y,Θ)(ω,P )](Z) := (Y ∞,<Z), [χ ∞ 2Z′(Y,Θ)(ω,P )](Z) := = (U∞,<∗ Z) и при этом для любых θ ∈ Θ и для любых m′, n′ i ∈ N, x′ij ∈ X, α′ ij ∈ [0, 1], u′i ∈ U , если j = 1, n′ i, n′ i ∑ j=1 α′ ij = 1, g(θ, u′i) = l(θ,u′ i ) ∑ k=1 βk(θ, u ′ i)gk(θ, u ′ i), l(θ,u′ i ) ∑ k=1 βk(θ, u ′ i) = 1, βk(θ, u ′ i) ∈ [0, 1], gk(θ, u ′ i) ∈ X, k = 1, l(θ, u′i), l(θ, u ′ i) ∈ N, i = 1,m′, а также для любых m′′, n′′ i ∈ N, x′′ij ∈ ∈ X, α′′ ij ∈ [0, 1], u′′i ∈ U , если j = 1, n′′ i , n′′ i ∑ j=1 α′′ ij = 1, g(θ, u′′i ) = l(θ,u′′ i ) ∑ k=1 βk(θ, u ′′ i )gk(θ, u ′′ i ), l(θ,u′′ i ) ∑ k=1 βk(θ, u ′′ i ) = 1, βk(θ, u ′′ i ) ∈ [0, 1], gk(θ, u ′′ i ) ∈ X, k = 1, l(θ, u′′i ), l(θ, u′′i ) ∈ N, i = 1,m′′ выполняются соотношения: m′ ∑ i=1 © n′ i ∑ j=1 α′ ijx ′ ij <Z m′′ ∑ i=1 © n′′ i ∑ j=1 α′′ ijx ′′ ij ⇔ m′ ∑ i=1 n′ i ∑ j=1 α′ ijω(x ′ ij) > m′′ ∑ i=1 n′′ i ∑ j=1 α′′ ijω(x ′′ ij), (6) m′ ∑ i=1 © u′i < ∗ Z m′′ ∑ i=1 © u′′i ⇔ m′ ∑ i=1 min p∈P ∫ Θ l(θ,u′ i ) ∑ k=1 βk(θ, u ′ i)ω(gk(θ, u ′ i))p(dθ) > > m′′ ∑ i=1 min p∈P ∫ Θ l(θ,u′′ i ) ∑ k=1 βk(θ, u ′′ i )ω(gk(θ, u ′′ i ))p(dθ). (7) Теорема 1. Для любого класса ССЗР Z ′ 1(Y,Θ) Π∞ 0 (Z′ 01(Y,Θ)) = χ∞ Z′ 01 (Y,Θ)(R X/ m ≈, P (Θ)/ co ≈) и всякое ПВП π ∈ Π∞ 0 (Z′ 01(Y,Θ)) можно, и притом единственным образом, продолжить до ПВП π ∈ Π∞ 0 (ПрZ′ 1(Y,Θ)), при этом χ∞ ПрZ′ 1 (Y,Θ) является инъекцией и Π∞ 0 (ПрZ′ 1(Y,Θ)) = χ∞ ПрZ′ 1 (Y,Θ)(R X/ m ≈, P (Θ)/ co ≈). ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 51 Следствие 1. Для любого класса Z ′ 1(Y,Θ) условия Y1–Y9 на ПВП для ЗМР в классе Z′ 01(Y,Θ) представляют собой RX� m ≈ ×P (Θ)� co ≈ — МПВП для ЗМР в классе ПрZ′ 1(Y,Θ), т. е. (Y1–Y9) для ЗМР в ПрZ′ 1(Y,Θ) с параметрами ∼ ω∈ RX� m ≈ и P ∈ P (Θ)� co ≈, при этом разным значениям параметров ∼ ω и P соответствуют несовпадающие ПВП. Следствие 2. МСЗР M = (Y,Θ, U, g, P ), где Z = (Y,Θ, U, g) ∈ ПрZ′ 1(Y,Θ), а зако- номерность P ∈ P (Θ)� co ≈ является полным математическим описанием ситуации для (Y1–Y9) для ЗМР в Z′ 01(Y,Θ) с параметрами ∼ ω∈ RX� m ≈ и P ∈ P (Θ)� co ≈. Другими словами, ТПРы с ПВП из класса Π∞ 0 (Z′ 01(Y,Θ)) в ситуации с одинаковой мо- делью имеют одинаковые отношения предпочтений на решениях, при условии совпадения их отношений предпочтений на последствиях. Теорема 2. Для произвольного класса ССЗР Z ′ 1(Y,Θ) всякое ПВП π ∈ Π21(Z ′ 01(Y,Θ)) можно, и притом единственным образом, продолжить до ПВП π ∈ Π∞ 0 (ПрZ′ 1(Y,Θ)). Далее, если через Π∞ 21(Z ′(Y,Θ)) обозначим класс таких ПВП в ЗМР для Z′(Y,Θ) ⊆ ⊆ Z(Y,Θ), что для любой определяющей ССЗР Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z′(Y,Θ) выполняются условия Y1–Y8, то расширяя на Y ∞ и U∞ функции полезности, определяющие предпоч- тения на Y и U соответственно, в силу условий Y1–Y5, согласно теореме 6 (см. [2]), требуя выполнения соотношений для любого u ∈ U∞, где u = u1 ⊕ · · · ⊕ un = n ∑ i=1 © ui, n ∈ N, ωU∞(u) = ωU∞ ( n ∑ i=1 © ui ) = n ∑ i=1 ωU (ui), (8) а также для любых yj ∈ Y , j = 1,m, m ∈ N, ωY ∞ ( m ∑ j=1 © yj ) = m ∑ j=1 ωY (yj), (9) мы приходим к следующему результату. Теорема 3. Для произвольного класса ССЗР Z ′ 1(Y,Θ) Π∞ 21(ПрZ′ 1(Y,Θ)) = Π∞ 0 (ПрZ′ 1(Y,Θ)). Доказательство следует из определения Π∞ 21(ПрZ′ 1(Y,Θ)) и теоремы 2. Доказанная теорема является в некотором смысле обобщением для ЗМР результатов И. Гильбоа и Д. Шмейдлера (см. [3, c. 145]). 1. Михалевич, В.М. Многократный выбор решения при наличии одной из форм принципа гарантиро- ванного результата // Доп. НАН України – 2011. – № 8. – С. 43–47. 2. Михалевич, В.М. О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решений // Кибернетика и системный анализ. – 2011. – № 6. – С. 140–154. 3. Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin expected utility with non-unique prior // J. of Math. Economics. – 18. – P. 141–153. Поступило в редакцию 24.03.2011НУ “Киево-Могилянская академия”, Киев 52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №11 V.M. Mykhalevich To the criterion when selecting multiple solutions We obtain a solution of the fundamental problem of multiple solutions for a sufficiently broad class of rules of choosing preferences in decision-making systems without memory with a criterion which bijectively corresponds to a convex statistical regularity on the set of states and the utility function on the consequences, which is determined up to a positive linear transformation. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №11 53

К критерию при многократном выборе решения

Institution

Ähnliche Einträge